CC BY
2ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ
ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА BULLETIN OF OSH STATE UNIVERSITY
ISSN: 1694-7452 e-ISSN: 1694-8610
№2/2024, 345-353
МАТЕМАТИКА
УДК: 517.928.2
DOI: 10.52754/16948610 2024 2 34
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Y4YH4Y ТАРТИПТЕГИ СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛГОН КВАЗИСЫЗЫКТУУ КАДИМКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕЛЕР Y4YH ЧЕКТИК МАСЕЛЕЛЕРДИН ЧЕЧИМДЕРИНИН АСИМПТОТИКАЛЫК ЖАКЫНДАШУУСУ
ASYMPTOTIC APPROXIMATIONS OF THE SOLUTIONS TO BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THIRD ORDER SINGULARY PERTURBED QUASILINEAR ORDINARY
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Абдувалиев Абдыганы Осмонович
Абдувалиев Абдыганы Осмонович Abduvaliev Abdygany Osmonovich
к.ф.-м.н., доцент, Ошский государственный университет
ф.-м.и.к., доцент, Ош мамлекеттик университеты Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Osh State University
Абдималик кызы Альбина
Абдималик кызы Альбина Abdimalik kyzy Albina
магистрант, Ошский государственный университет
магистрант, Ош мамлекеттик университети Master's Student, Osh State University [email protected]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Аннотация
В статье рассматриваются краевые задачи для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, которые являются линейными относительно второй производной неизвестной функции. Асимптотические приближения решений строятся в случае, когда коэффициент при второй производной, вычисленной в решении вырожденного уравнения, имеет единственный внутренний нуль.
Ключевые слова: асимптотические приближения, сингулярно возмущенные уравнения, квазилинейное уравнение, краевая задача, малый параметр.
Y4YH4Y ТАРТИПТЕГИ СИНГУЛЯРДУУ КОЗГОЛГОН КВАЗИСЫЗЫКТУУ КАДИМКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕР Y4YH ЧЕКТИКМАСЕЛЕЛЕРДИН ЧЕЧИМДЕРИНИН АСИМПТОТИКАЛЫК ЖАКЫНДАШУУСУ
Аннотация
Макалада белгисиз функциянын экинчи тартиптеги туундусуна карата сызыктуу болгон y4YH4Y тартиптеги синулярдуу козголгон квазисызыктуу кадимки дифференциалдык тендемелер Y4YH чектик маселелер каралат. Чечимдердин асимптотикалык жакындашуусу кубулган тендеменин чечиминде эсептелинген экинчи тартиптеги туундунун коэффициенти жалгыз ички нелге ээ болгон учурда тургузулат.
ASYMPTOTIC APPROXIMATIONS OF THE SOLUTIONS TO BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THIRD ORDER SINGULARYPERTURBED QUASILINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Abstract
The article considers boundary value problems for singularly perturbed ordinary differential equations of the third order, which are linear with respect to the second derivative of an unknown function. Asymptotic approximations of solutions are constructed in the case when the coefficient for the second derivative calculated in the solution of a degenerate equation has a single internal zero.
Ачкыч свздвр: асимптотикалык жакындашуу, сингулярдык козголгон тендемелер, квазисызыктуу тендеме, чектик маселе, кичине параметр.
Keywords: asymptotic approximations, singularly perturbed equations, quasi-linear equation, boundary value problem, small parameter.
Введение
Пусть дана краевая задача
гу" = f(x, у, у')у" + д(х, у, у'), а < х < Ъ, (1)
у(а, е) = А0 у'(а, е) = Аъ у(Ь, е) = В, (2)
где е > 0-малый параметр, f(x, у,у') и д(х, у,у') - данные функции, а А0 А1: В — постоянные.
Вырожденное уравнение, которое получается из (1) при е = 0, имеет вид
f(x, и, и')и" + д(х, и, и') = 0. (3)
Асимптотическое разложение решения краевой задачи (1), (2) ранее построено в случае, когда вырожденное уравнение (3) имеет решение и = и(х), а < х < Ъ, удовлетворяющее одному из следующих условий:
1) и(а) = А, и(Ь) = В, f(x, и(х), и'(х) < 0 при а < х < Ь;
2) и(а) = А, и'(а) = А1, f{x, и(х), и'(х)) > 0 при а < х < Ъ
(см. [1]), т.е. функция
Р(х) = f(x, и(х),и' (х)) (4)
на отрезке [а, Ъ] принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения.
Если функция р(х), определенная формуле (4), имеет нули на отрезке [а, Ь], то построение асимптотического разложения решения задачи (1), (2) является сложным. Одной из трудностей этого случая является то, что дифференциальные уравнения относительно коэффициентов регулярной части асимптотического разложения имеют особенности в нулях функции р(х). В настоящей статье рассматриваются случаи, когда функция р(х) обращается в нуль в единственной внутренней точке отрезке [а, Ъ]. Аналогичный случай для сингулярно возмущенного дифференциального второго порядка рассмотрен в работе [22]. Пусть выполнены следующие предположения:
I. f(x, у, z), д(х, у, z) е Cm(D), где D= [а, Ъ] х R2.
II. Существует решение и = и(х) е Ст[а, Ъ] вырожденного уравнения (3), удовлетворяющее условиям:
и(а) = А, и(Ь) = В. (5)
Введем функцию
д(х) = /2(х, и(х), и' (х))и"(х) + (х, и(х), и '(х)). (6)
III. р(х0) = 0, |р(х)| ^ 0 при х е [а, Ь] — (х0}, д(х0) > 0, где х0 е (а, Ь) (х0 — некоторая точка промежутка (а, Ь)), где р(х) и д(х) определены по формулам (4) и (6).
IV. Пусть выполнено одно из условий:
a) и' (а) = Лх,
b) (а,м(а),и'(а) + 5)^ < 0 при 0 < Щ < — и '(а)|.
Структура асимптотического разложения решения зависит от знаков чисел р(а) и р(Ь) (см. (4)).
Рассмотрим всевозможные случаи относительно знаков чисел р(а) и р(Ь). 10. р(а) < 0, р(Ь) < 0.
В этом случае, формальное разложение решения задачи (1), (2) ищем в виде у(х, £) = Ет=0 [Ут (*) + Пт(т)], (7)
где т = ^^, а ут(х) и Пт(т) — искомые коэффициенты разложения.
Подставляя (7) в (1) и применяя методы работы [1] получим уравнения относительно коэффициентов ут (х) и Пт (г).
/(х, у0 (х), у'о (х)) у"0 (х) + #(х, у0 (х), у ' 0 (х)) = 0, (8)
Р(х)У"т(х) + ^МУ^М + 5(х)у 'т = Рт(Х), Ш > 1, (9)
где р(х) и д(х) определяются соответственно по формулам (4) и (6), 5(х) = /у (х, у0 (х), у'0 (Х)у"0 + #у(х, }7(х), у'0 (х)),
^т(х) —определенным образом выражается через функции у0(х),у^х), .... ут-1(х). Положим, что Уо(х) = ^(х), а < х < Ь. Тогда из предположения II следует, что У0^) является решением вырожденного уравнения (3) и удовлетворяет дополнительным условиям:
Уо (Ь)= Л, у0(Ь)= В. Согласно результатом работы [3] при каждом натуральном т > 1 для любой пары чисел уравнение (9) имеет единственное решение, удовлетворяющее, условиям:
Ут= ^т , У'т= причем это решение принадлежит классу беспоконечно дифференцируемых на отрезе [а, Ь] функций (Сю [а, Ь]).
Из третьего из условий (2) следует, что = 0. Поэтому, мы берем решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям
Ут(Ь) = 0, у'т(Ь) = ат, т> 1, (10)
где ат — пока неизвестный параметр. Тогда решение уравнения (9), при каждом натуральном т > 1, удовлетворяющее условиям (10) будет зависет от параметра ат:
Ут = Ут(х, ит ), т> 1. (11)
Теперь перейдем к нахождению функций Пт(т) = Пт , ш> 1.
Требуем, чтобы функции Пт(т) являлись погранслойными функциями [1]. Из второго из условий (2) имеем, что
йП0
~Г (0) = 0. ат
Поэтому достаточно положить П0 (т) = 0.
Применяя методы работы [1] получим уравнения для Пт (т) , т > 1:
— = / {а, и(а), и' (а) + ) , (Щ
й3пт ( ¿П^Т^ а2пт = I \a, u(a), и' (а) +--—— )~йг2~ +
т > 2, (13)
где Бт(т) определенным образом выражается через Пх(т),.... Пт-1(т) (см. [1]). Из условия у'(а, е) = А (см.(2)) получаем, что
йПл
(0)= А± - у'о(а), (14)
йт
Введем обозначения
^ (0)= У'т-М), т> 2. (15)
йПт(т) = рт(т), т> 1.
йт
Тогда уравнения (12), (13) и условия (14), (15) переходят к следующим уравнениям и условиям:
—~2т = [(а, и(а), и' (а) + ^Ю)-^, (16)
2 = и(а),и' (а) + Р1(т))~^ + (^), т> 1, (17)
р1(0)=А1 — уа(0), (18)
vm(0) = —y 'm-1(a), rn> 1. (19)
Потребуем еще выполнения условий
(т) ^ 0 при т ^ (20т)
которые означают, что функции (т), m > 1, являются пограничными функциями.
Из результатов работы [4] следует, что при выполнении предположения IV задача (16), (18), (201) имеет единственное решение, причем это решение и его производные являются погранслойными функциями. Из определения функции (т), m > 1, следует, что
П1(т) = с + /J r1, dr, m > 1,
где с — const. Здесь с выбирается единственным образом так, что функции П1(т) является погранслойной функцией.
Теперь из условии у(а, г) = Л0 (см.(2)) и (11) получим, что
yi(a, ai)+ П1(0) = 0. (21)
Из того, что дифференциальные уравнения (9) являются линейными, уравнение (21) такие является линейной относительно параметра и может быть представлено в виде
fcai = 7i, (22)
где к и у1 —определенные числа.
Для того , чтобы из (22) однозначно определить мы требуем выполнения следующего предположния.
V. к * О.
Тогда из (21) (или из (22)) однозначно определим значение параметра и окончательно определим функцию ;у1 (х).
Далее из уравнений (17) и из условий (19), (20т) при т = 2 однозначно определяем v2(r), затем П2(т). Причем по результатам работы [4] функция П2(т) и ее производные являются погранслойными функциями.
Значение параметра а2 (см.11)) определяется из условие У2 (а, «2) + П2(0) = 0.
Это уравнение может быть представлено в виде = у2, где к - определено выше (см. (22)), а У2 — некоторое число. По предположенно V это уравнение имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение а2 в (11) при т = 2 окончательно определим функцию у2 = У2(*, «2).
Продолжая этот процесс можем построить любые коэффициенты разложения (7). Ведем обозначение
Yn(х, е) = Ет=о ¿т [у т(*) + Пт (^)], а < t < Ъ , (23)
Теорема 1. Пусть выполнены предположения / — К. Тогда найдется такое число £о > 0, что для всякого ге(0. £о) существует решение у=у(х, г) краевой задач (1), (2) такое, что это решение и его первая производная имеют асимптотические представления:
у(х, г) = Yn(x, г) + 0(гп+1), а < х < Ъ,
у '(х, г) = Yn'(x, г) + 0(гп), а < х < Ь.
Доказательство теоремы проводится с построением барьерных функций [5].
20. р(а) < 0, р(Ь) > 0.
В этом случае, решение задачи (1), (2) ищем в виде
у(х, £) = £т[;у т(х) + Пт(т) + Ст(!)], (24)
где г = , § = ^р, а у т(х), Пт(г), и @т(§)- искомые коэффициенты разложения. Для
коэффициентов у т(х), т=0,1,2,.., получим те же уравнения (8) и (9) , что и в случае 10. И в этом случае положим у 0(х) = и(х) (см. предположение II).
Используя результаты работы [3] получим, что при каждом натуральном п > 1 для
любого числа ат уравнение (9) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию У'т (Ь) = «т. (25)
Причем, это решение принадлежит классу Сю[а, Ь].
Решение уравнения (9), удовлетворяеющее условию (25) обозначим
через
У т = У т (Х, «т ),т > 1. (26)
Как и в случае 10 положим , что
П0 (т) = 0 и (§) = 0. Функция П1 (т) — определится точно также, как и в случае 1о.
Параметр а1 определяется из алгебраического уравнения (21). Из предположения V получим, что уравнения (21) относительно неизвестного параметра а1 имеет единственное решение а1 = а^. Подставляя найденное значение параметра в (26) при т = 1 , окончательно находим У 1 = У 1(х,
Теперь определим теперь функцию Q1 (т). Относительно этой функции получим уравнение
/ Ип \ И2,
= Г(Ь, и(Ъ), и' (Ь)+ (27)
чъ3 ' V ' 4 " 4 ' й\) аъ2 и условия
&(0) = —у г(Ъ, аг), (28)
д1(0) ^ 0 при ъ^—™. (29)
Введем обозначение
^ аъ
Тогда уравнение (27) переходит к уравнению:
= Г(Ъ, и(Ь), и' (Ь) + и?) —. (30)
Это уравнение рассмотрим с дополнительными условиями
ж(о) = 8, ж(Ъ) ^о при Ъ^—™- (31)
где 8 — неизвестный параметр, который будет определен ниже.
Согласно результатам работы [4] задача (30), (31) для любого параметра 8 имеет единственное решение № = w(Ъ, 8), которое является погранслойной функцией.
Для каждого фиксированного значения параметра 8 существует единственная функция Q1 (Ъ, 8) такая, что
^ЪР = 8) и Q1(l, 8) ^ о при Ъ ^ Значение параметра 8 выберим из условия (28):
д±(о, 8) = —у ±(Ь, а{). (32)
VI. Предположим, что уравнения (32) имеет решение 8 = 80 и
дQl
Ж (о, 80) *о.
При выполнении предположения VI, пологая 8 = 80 окончательно находим функцию
Ql = Ql(т, 80).
Аналогично определяются Q2(т), Qз(т),....
Таким образом определены все коэффициенты ряда (24), который является формальным асимптотическим разложением решения задач (1)-(2).
Введем обозначение
Yn(х, е) = Гк=0 ек [ук(х) + Щ (--) + дк (33)
Теорема 2. Пусть выполнены предположения I — VI. Тогда для функции (33) выполняется заключение теоремы 1.
Литература
1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. -М.: наука, 1973, 272 с.
2. Абдувалиев А.О. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотические представления решений некоторых сингулярно возмущенных задач. -ДАН СССР-1989-т. 304, №4, с.777-780.
3. Абдувалиев А.О. Асимптотические приближения решений краевых задач для системы Линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при одной из производных. Известия АН Кирг, ССР. Физ-техн. и матем. науки-1988, №2, с 12-15.
4. Howes F. A. and O'Malley, Jr.R.E. Singular perturbations of semilinear second order systems. -"lect. Notes Math.", 1980, #827, p.131-150.
5. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Барьерные функции и асимптотические решения сингулярно возмущенных краевых задач. Росс. Акад. Наук, Докл.,т.332(1993), №3.
6. Абдилазизова, А.А. Чектелбеген аймакта сызыктуу эмес маселенин езгече учурдагы асимптотикалык баасы / А. А. Абдилазизова // Вестник Ошского государственного университета. - 2021. - Vol. 3, No. 1. - P. 4-9. - DOI: 10.52754/16947452_2021_3_1_4. -EDN: WVDXMR.
