О структуре пространства уравнений Абеля с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

В. Ш. Ройтенберг

О структуре пространства уравнений Абеля с периодическими коэффициентами

Банахово пространство приведенных уравнений Абеля с периодическими коэффициентами является объединением множеств Е°, Е1 и Е , где Е - множество грубых уравнений, Е ( Е ) - множество уравнений первой(второй) степени негрубости. Множество Е° состоит из двух связных компонент. Множество Е1 является аналитическим подмногообразием коразмерности один и состоит из двух связных компонент. Множество Е 2 является связным аналитическим подмногообразием коразмерности два.

Ключевые слова:приведенные уравнения Абеля с периодическими коэффициентами, грубые уравнения, уравнения первой и второй степеней негрубости.

V. Sh. Roitenberg

On the Structure of the Space of Reduced Abel's Equations with Periodic Coefficients

y° yi y2 y°

The Banach space of reduced Abel's equations with periodic coefficients is the union of sets Е , Е and Е , where Е is the

yi у 2 y°

set of structurally stable equations, Е (Е ) is the set of equations of the first (second) order instability. The set Е consists of two

yi

connected components. The set Е is the analytical submanifold of codimension one and consists of two connected components.

2

The set Е is the connected analytical submanifold of codimension two.

Keywords: reduced Abel's equations with periodic coefficients, structurally stable equations, equations of the first and second order instability.

Будем рассматривать приведенные уравнения Абеля

а: х = х3 +a1(t)x2 + a2(t)x + a3(t)

с 1-периодическими коэффициентами ai е Cr ( r > 0). Обозначим А* - множество таких уравнений. Биекция А* эа1->(а1, а2, а3) е C(R/Z,R3) вводит в А* структуру банахова пространства с нормой Hall = max max max a(kVt) .

11 11 m=1,2,3 k=0,...,r t I m I

Уравнение a еА* определяет автономную систему

х = je3 + ay{s)x2 + a2(s)x + a3(s), s = l

на цилиндре R x R/Z . Ее траектории будем называть траекториями уравнения a . Для приведенного уравнения Абеля бесконечность устойчива в том смысле, что при достаточно большом d > 0 траектории уравнения в точках {+d} x R/Z направлены из [—d, d] x R/Z.

Как известно [2], сумма кратностей 1-периодических решений (замкнутых траекторий) уравнения a е А* не превосходит трех. Поэтому

А*=Е0 ^Е1 ^Е2, где Е° =Е0 ^Е0, аЕ°0 (k = 1,3) состоит из уравнений, имеющих ровно k 1-периодических решений и эти решения - однократные, Е1 = Е1 ^ Е^ состоит из уравнений, имеющих одно 1 -периодическое решение х = p (t) и одно двукратное 1-периодическое решение х = p (t), причем

© Ройтенберг В. Ш., 2013

Р2(0 < Pi(t) (Р2(0 > Pi(t)) для a еЕ| (a e E), E2

V) £

состоит из уравнений, имеющих единственное трехкратное 1-периодическое решение. Согласно

* ^ л ЛЛ^^^О v0

^ .......

I*; уравнение а еА* I

[3, 4] уравнение а еА* является грубым тогда и только тогда, когда а еЕ , множество £ открыто и всюду плотно в А*; уравнение а еА* имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда а еЕ1, множество Е1 открыто и всюду плотно в А* \ £0. Очевидно, что уравнения

а е£2 имеют вторую степень негрубости.

Здесь мы докажем следующее утверждение.

■^о ^о -

Теорема. 1) Множества £° и £° - компоненты линейной связности множества £ ; 2) Множества £ и £ - компоненты линейной связности множества £1; 3) множество £2 линейно связ-но;4)множество £1 ^£2 линейно связно и является границей каждого из множеств £° и £°; 5) Множества £1 и £2 являются вложенными аналитическим подмногообразиями А* соответственно коразмерностей один и два.

Доказательство. Пусть q(t) - 1-периодическая С+1 -функция. Диффеоморфизм g: К х К ^ К х К, заданный формулой

g (х, t) = (х - q(t), t),

индуцирует гомеоморфизм g* : А* ^ А*, переводящий уравнение (1) в уравнение

g* (а): х = х3 + а* (72 + а2 (?)х + аъ (V),

где

а* = ах + Зд, а2=а2 + 2ахд + 3д2, аъ =а3+ а2д + агд2 + д3 —д. Докажем линейную связность £° . Пусть уравнение а е£° , а р(1) - его1-периодическое решение. Возьмем в определении g функцию q(t) = цр(^) и рассмотрим семейство уравнений

ам = g*(а) е£0, ¡е[0;1]. Уравнение а0 совпадает с а, а уравнение а1 имеет вид

х = х(х2 + а* (¿)х + а2 (/)) . Так как уравнение а1 е£°, то его периодическое решение х = 0 неустойчивое и характеристический

показатель ^ а* ^> 0. Ясно, что существует такое число N > 0, что

х2 + уа1 ({)х + уа*2 (t) >-N при всех t е Я, х е Я, V е[0;1]. (1)

Рассмотрим семейство уравнений

ам : х = х(х2 +аЩ)х + а2(Г) + //Л^),//е [0; 1].

При любом ¡л е [0;1] уравнение См имеет 1-периодическое решение х = 0 с характеристическим

показателем [ (а*^) + ¡lN)dt > 0 и потому неустойчивое. Покажем, что при любом ¡1 е[0;1] урав-

0

нение ам не имеет других периодических решений и потому принадлежит £°. Множество М0 тех ¡1 е [0; 1], для которых уравнение См не имеет периодических решений, отличных от х = 0, открыто в [0;1] и содержит нуль. Если множество [0;1]\ М0 не пусто, то оно содержит наименьший элемент ц > 0 . Ясно, что ал е£1, ибо в противном случае ам° е£°, а потому и С1л е£° при всех ¡1 близких к ц0, в противоречии с выбором ц0. Пусть х(^ и, ¡1) - решение уравнения а1, удовлетворяющее начальному условию х(0,и, ¡) = и . Оно аналитически зависит от (и, ¡) [1]. Пусть х(^и0, ¡0) - не-

нулевое 1-периодическое решение уравнения аМо. Для определенности будем считать и0 > 0 . При [ близких к [0 в некоторой окрестности отрезка[0, щ ] определена функция последования Р(•, [) = х(1, •, [), при этом Р(0, [ ) = 0, Р(и0, [ ) = и . Производная х' щ, [ ) удовлетворяет уравнению в вариациях (х^ ) = Ъ(^)х^ + №х(1, щ, [) , где Ъ(/) - некоторая функция, и начальному условию х^ (0, и0, [0) = 0. Следовательно,

1 1 р (и0, /л0) = N| x(s, и0, ß0) exp | b(z)dzds .

Так как и0 > 0, то х^, и0, [0 ) > 0 и Р^ (и0, [0 ) > 0 . Поэтому при некотором [ , достаточно близком к [0, но меньшем [0, Р(щ, [) < щ. Так как решение х = 0 уравнения аи неустойчивое, то Р(щ, [) > щ при некотором их е (0, и0 ). Но тогда найдется щ е (щ, щ ), для которого Р(щ, [) = щ , то есть уравнение аи имеет ненулевое периодическое решение в противоречие с выбором ¿и0. Аналогичное противоречие получаем и при щ < 0. Поэтому М0 = [0,1], то есть е [0;1] аи . Рассмотрим теперь семейство уравнений

а?еА'г: х = х(х2 + (1-//)(а1(0х + а2(0) + И), //е[0,1]. Ввиду (1) любое ненулевое решение уравнения а[ является либо возрастающей, либо убывающей функциейи потому не периодично. Следовательно, У[е[0;1] а[ . Аналогично У[е[0;1] £/;." е Е°, где : х = х1 + ((1 — //) N + // )л' .Так как а», = а^, а» = а1, а0 = а, а уравнение совпадает с уравнением х = х3 + х, то произвольное уравнение а е X" и уравнение л* = х1 + х можно соединить в Е1 путем. Следовательно, Е1 линейно связно.

Докажем линейную связность . Как и в случае а еЕ° соединим уравнение а еЕ° путем в Е° с уравнением

а1: х = х(х2 + а* (?)х + а2 (/)), для которого х = 0 - устойчивое 1-периодическое решение с характеристическим показателем

I а2 (< 0 . Кроме х = 0 уравнение а1 будет иметь неустойчивые периодические решения

* 0 '

(?) < 0 и (?) > 0 . Рассмотрим семейство уравнений

ам : х = х(х2 + (1 - ¡л)<\ + (1 - /и)а* (?)-//),// е [0; 1]. Так как для любого [е[0;1] х = 0 - 1-периодическое решение уравнения аи с характеристическим показателем (1 — [)а2 (}— [ < 0, а бесконечность устойчива, то в каждой из областей

х > 0 и х < 0 имеются замкнутые траектории уравнения. Но это возможно только, если они гиперболические, то есть аи еЕ° . Таким образом, любое уравнение а еЕ° можно соединить путем в с уравнением а1 : х = х(х2 —1) и потому X" линейно связно. Так как уравнения из X", принадлежащие одной компоненте линейной связности, имеют одинаково число замкнутых траекторий, то Е состоит из двух компонент Е1 и Е3 .

Если уравнение йеЕ1 достаточно близко к уравнению а е Е), то и а е Е). Поэтому уравнения из Е1 и из Е\ принадлежат разным компонентам линейной связности множества Е1 . Докажем линейную связность Е1. Доказательство линейной связности Е\ аналогично. Пусть а еЕ). Как и вы-86 В. Ш. Ройтенберг

о

s

ше, уравнение а можно соединить путем в Е) с уравнением а1: х = х(х2 + aj" (í)x + а2 (/)), имеющим двукратное периодическое решение х = 0 и однократное периодическое решение р1 (t) > 0 . Рассмотрим семейство уравнений

ам : х = х3 + ((1 - ju)a¡ (t) - jtи)х2 + а2 (t)x, /л е [0; 1].

Г1 *

Характеристический показатель h = J ^ а2 (t)dt его периодического решения х = 0 не зависит от Ц .Так

как a0 = а1, то h = 0 . Пусть x(t, и, ц) - решение уравнения аЦ, удовлетворяющее начальному условию х(0, и, ц) = u . Тогда

xU (t, 0, ц) = exp j^* (s)ds и Рм'(0, ц) = ^ (1,0, ц) = 1.

Производная х"и (t, 0, ц) удовлетворяет уравнению в вариациях

(х! X = а2 (t ) х"ии + 2((1-ц)а*(0 - ц)х'2 (t, 0, ц) и начальному условию х"и (0,0, ц) = 0. Поэтому

i t i t PUU (0, ц) = { 2((1 -ц)а[ (t) -ц)) exp j а* (s)dsdt = 2(1 -^(0,0) - 2ц{ exp J а* (s)dsdt.

О О 0 0

Так как а0 = а1, то Р"и (0,0) < 0, потому при любом Ц е [0; 1] и Р"и (0, ц) < 0, то есть х = 0 - двукратное периодическое решение уравнения аЦ и, значит, аЦ е^1. Уравнение а1 имеет вид х = х3 —х2 +а*2 (1)х . Рассмотрим семейство уравнений

ам : áM : х = х3-х2 + (\ - fj)a2(t)x, /¿е[0;1].

Характеристический показатель нулевого решения этих уравнений (1 - ц) J а2 (t}dt = 0. Как и выше, получаем

PUU (0, Ц) = -Jo 2 exp|^а* (s)dsdt < 0.

Поэтому при любом // е [0; 1] a" е Е). Так как а0 = а1, a а1 : i = х3 — л"2. то любое уравнение а е X)

можно соединить путем в Е) с уравнением X = X3 — X2. Таким образом, Е) линейно связно.

Доказательство линейной связности Е2 и Е1 ^Е2 мы опустим. Оно аналогично доказательству линейной связности Е1 .

Покажем, что Е1 - вложенное аналитическое подмногообразие коразмерности один. Правая часть уравнения Абеля а аналитически зависит от а е Аг. Поэтому его решение X = Л'(/, //, а) - аналитическая функция от (и, а) [1]. Пусть х(1, ?/, а) - двукратное периодическое решение уравнения fleS1. Обозначим Р(и,а) = Л'(1, //, а) - функцию последования. Тогда

P(ü,a) -ü = Р;(й,а)-\ = 0, PZ(и,а) * 0. По теореме о неявной функции в некоторой окрестности W уравнения а существует единственная аналитическая функция и(-) такая, что

Vaeff P'u{u{á),а)-1 = 0 и и{а) = й . Пусть f(á) = P(u(á)) — и(а). Тогда для достаточно малой окрестности Fcff уравнения а имеем

¥гл?) ={áeV: f (а) = 0}.

Отсюда будет следовать, что Е1 - вложенное аналитическое подмногообразие коразмерности один, если мы покажем, что /'(а) Ф 0 . Пусть /г1 : х = х1 + 1 . Рассмотрим уравнение

а + т/г1 : х = х3 + ах (1)х2 + а2 (?)х + аъ (V) + т . Обозначим 1(/,М,г):= + тй'). Производная х' (/,?}, О) удовлетворяет уравнению

(х'т ) = Ъ(1) х'т +1, где Ъ{1) - некоторая функция, и начальному условию х^ (0, й,0) = 0. Следовательно,

dP(U, а + ткг)/dт| 0 = х'(1,щ0) = I exp I Ъ(т^т(^ > 0. Так как Р'и(й, а) — 1 = 0, то

/'(а)/1 = / + Щ т__0 = а + Щ т__0 Ф 0

и потому /'(а) Ф 0 .

Ясно, что при достаточно малом т > 0 и е = sgn Р"и (и, а) уравнение а + ет// принадлежит Е0

а уравнение а — ет/ е Е0 . Поэтому Е1 входит в границу как Е0 , так и Е0 . В любой окрестности

уравнения а еЕ2 есть уравнение из Е1, а потому и из Е0 и Е0 . Таким образом, Е1 ^ Е2 является

границей каждого из множеств Е1 и Е3 .

Для доказательства того, что Е2 - вложенное аналитическое подмногообразие коразмерности два, достаточно для любого уравнения а еЕ2 найти его окрестность V и аналитическое отображение У: К —> К2 такие, что /'(а) : А* —> К2 - сюръективное отображение, а V глТ.2 = \а (^У : /(а) = 0}.

Пусть р(1) - периодическое решение уравнения а еЕ2. Отображение g2 : А2 ^ А2, построенное по g(х, t) = (х — р(?), t), является аналитическим диффеоморфизмом, переводящим уравнение а в уравнение g2 ( а) еЕ2, имеющее периодическое решение х = 0 . Поэтому отображение /: V ^ К2

достаточно построить в окрестности уравнения а еЕ2, с периодическим решением х = 0 . Для функции последования Р( , а) имеем

Р(0, а) = р(0, а) — 1 = Рщ (0, а) = 0 , Р^ (0, а) Ф 0. По теореме о неявной функции отсюда следует, что в некоторой окрестности Ж уравнения а существует единственная аналитическая функция щ (•), такая, что

Уа&Ж Р"и(и(а),а) = 0 и и(а) = 0.

Пусть

/1(а) = Р(и(а),а)-и(а), /2(а) = р(и(а),а)~ 1, / = <Х/2) : Ж ^К2. Тогда для достаточно малой окрестности V а Ж уравнения а имеем V гл Е2 ={аеК: /(¿7) = 0}. Осталось доказать сюръективность /'(а) . Пусть

/г1 : х = х3 + \, И2 \ х = х3 + х.

Как и выше, получаем

dP(0, а + тк1)/ dт\т=0 > 0. Пусть теперь х = х(^ щ, т) - решение уравнения

а + тк2: х = х3 +а1^)х2 +(а2^) + т)х, удовлетворяющее начальному условию х(0, щ, т) = щ . Тогда х^, 0, т) = 0 и

dP(0, а + т/г2)/d^0 = (1,0,0) = 0. Производная х"т ^, 0,0) удовлетворяет уравнению

(-СХ = a2(t)-C+ c(t), где c(t) = x'u (t, 0,0) > 0, и начальному условию x"T (0,0,0) = 0 . Следовательно,

i i

dPU(0, a + тк2)/ dr|r=0 = x"uT (1,0,0) = J c(t) exp J a2 (j)drds > 0 .

0 s

Учитывая равенства PU(0, a) — 1 = PU(0, a) = 0 , получаем

df (a + тк1)/d\|r=0 = dP(0, a + тк1)/d\|r=0 ^0,dfx(a + \h2)/d\|r=0 = dP(0, a + \h2)/d\|r=0 = 0,

df (a + \h2)/d\|r=0 = dPj(0, a + \h2)/d\|r=0 ^ 0. Поэтому det(df (a + ThJ)/d\\T=0) ^ 0 и f '(a) : A* ^R2 - сюръективно.

Библиографический список

1. Лефшец, С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений [Текст] / С. Лефшец. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1961. - 387 с.

2. Плисс, В. А.О числе периодических решений уравнений с полиномиальной правой частью [Текст] / В. А. Плисс // ДАН СССР. - 1959. - Т. 127, № 5. - С. 965-968.

3. Ройтенберг, В. Ш. О грубости и первой степени негрубости обобщенных уравнений Абеля с периодическими коэффициентами [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика : Межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 8. - Ярославль, 2012. -С. 26-38.

4. Ройтенберг, В. Ш. О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Ярославский педагогический вестник. - 2012. -Т. III (Естественные науки). - № 3. - С. 16-21.

Bibliograficheskij spisok

1. Lefshec, S. Geometricheskaja teorija differencial'nyh uravnenij [Tekst] / S. Lefshec. - M. : Izd-vo inostrannoj literatury, 1961. - 387 s.

2. Pliss, V. A.O chisle periodicheskih reshenij uravnenij s polinomial'noj pravoj chast'ju [Tekst] / V. A. Pliss // DAN SSSR. - 1959. - T. 127, № 5. - S. 965-968.

3. Rojtenberg, V. Sh. O grubosti i pervoj stepeni negrubosti obobshhennyh uravnenij Abelja s periodiche-skimi kojefficientami [Tekst] / V Sh. Rojtenberg // Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teorija i praktika : Mezhvuz. sb. nauch. tr. - Vyp. 8. - Jaroslavl', 2012. -S. 26-38.

4. Rojtenberg, V. Sh. O grubosti uravnenij Abelja s periodicheskimi kojefficientami [Tekst] / V. Sh. Roj-tenberg // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. - 2012. -T. III (Estestvennye nauki). - № 3. - S. 16-21.