О структуре инвестирования капитала страховой компании в безрисковые активы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Реннер А.Г., Ленерт А.Г.

Оренбургский государственный университет E mail: [email protected]

О СТРУКТУРЕ ИНВЕСТИРОВАНИЯ КАПИТАЛА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В БЕЗРИСКОВЫЕ АКТИВЫ

Исследована вероятность неразорения страховой компании, инвестирующей собственный капитал в безрисковые активы. В предположении об обобщенном характере плотности распределения размера выплат выявлена структура инвестирования капитала страховой компании в безрисковые активы.

Ключевые слова: вероятность неразорения, безрисковые активы, инвестирование, дельтафункция Дирака.

Усиливающаяся среди страховых компаний конкуренция и увеличение рисков, обусловленных мировым финансовым кризисом, выдвигают высокие требования как к оценке платежеспособности страховых компаний, так и к исследованиям характеристик влияния на нее.

В работах Х. Крамера [1, 2], Ф. Лундбер-га [3, 4], А.В. Мельникова [5, 6] и других исследовалось влияние на платежеспособность размера начального капитала с учетом его инвестирования в безрисковые и рисковые активы. Но в приведенных выше исследованиях делаются достаточно жесткие допущения относительно характера распределения размеров выплат.

В работе [7] предлагается для построения численно-аналитического решения в модели Крамера-Лундберга аппроксимировать плотность распределения размера выплат обобщенным рядом Фурье по системе функций, допускающих преобразование Лапласа. Тем же автором в работе [8] предлагается искать вероятность неразорения страховой компании, в модели с инвестированием собственного капитала в безрисковые активы, в классе обобщенных функций, точнее обобщенной бралась плотность распределения размера выплат, но не удалось дать содержательную интерпретацию полученного результата.

Итак, рассмотрим модель вероятности неразорения страховой компании с пуассо-

капитал страховой

новским потоком исков и с инвестированием средств компании в безрисковые активы.

Пусть N(1) - пуассоновский случайный процесс с параметром X, число исков на [0; 1];

X - интенсивность пуассоновского процесса поступления исков;

X. - определяет выплату по иску на промежутке [0; 1];

N (г)

^ =и+сг -Х ,

г=1

компании в момент времени 1;

^(м^=Р{У4>0,У0=и, 1>0| - вероятность не-разорения;

и - начальный капитал; г - процентная ставка; с - интенсивность поступления страховых премий.

В случае, если страховая компания размещает свой капитал на банковском счете, вероятность неразорения может быть получена как решение задачи Коши для интегро-диф-ференциального уравнения:

и

Ху(и) =у'(и)(ти + с) + Х^у(и -х) f (х)йх

о

у (ж) = 1

(1)

Применяя преобразование Лапласа к ин-тегро-дифференциальному уравнению, получим:

Ф(р)Х = -г(рФ(р) - у(0))+c(рФ(р) -у(0)) + ХФ(p)D(р)

Х + г - cp -XD(р) , су(0)

Ф (р) +-------- -— Ф(р) = -- г

гр

гр

где Ф( p) = L(w(u)); D( p) = L( f (x)),

, X + r - cp -XD(p)

9( p) =--------- --------—'

rp

g(p) =

cy(0)

rp

Решение уравнения (2) может быть записано в виде:

p

Ф( p) = exp(-G( p)) *(n + J g (s)* exp(G(s))ds)

lim Ф(p) =n

p ^

, (3)

где

G (p) = J

X + r - cs - XD(s)

ds

rs

Учитывая теоремы о предельных значениях оригинала и изображения

lim^(u) = lim рФ( р) = 1

u —ж р——0

lim^(u) = lim рФ(р) < 1

u— 0 р—ж ’

положим

lim Ф(р) = 0.

р — ж

Тогда из (3) следует

Ф(p) = exp(-[^(s)ds)*f (- c^(0) * exp(( J j rs

• X + r -ct-XD(t)

rt

dt )ds)

F

Ф( p) = J (-

cw(0)

rs

exp

(Jx-

X + r ct ^ ,

■ "і D(t)

x x

rt

-dt))ds.

(4)

p

p

s

Для обеспечения сходимости несобственного интеграла в выражении (4) необходимо наложить некоторые ограничения (гарантирующие восстановление оригинала ш(и)) на обобщенную плотность распределения размера выплат:

Г ~ г

/(х) = (5(х) - — /(х)) + — 5(х), (5)

А А

где5(х) - дельта-функция Дирака; f (х) -регулярная часть плотности распределения, оцениваемая по статистическим данным с помощью обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных функций, допускающих преобразования Лапласа.

В выражении (5) первое слагае-

Г ~

мое х) — ~ f (х) обобщенной плотности ха-

А

рактеризует ту часть капитала компании, которую можно инвестировать в безрисковые

—

активы. Второе слагаемое — <5(х) обобщенА

ной плотности в выражении (5) характеризует ту часть капитала компании, которая предназначена для выплат по образовавшимся в начальный момент искам.

Таким образом, мы одновременно установили структуру инвестиций средств страховой компании.

05.05.2012

Список литературы:

1. Cramer, H. Collective Risk Theory // Jubilee Volume of F. Scandia, 1955.

2. Cramer, H. On the Mathematical Theory of Risk // Skandia Jubilee Volume, Stockholm Centraltryckeriet, 1930 / Reprinted in: Harald Cramer Collective works, ed. by A. Martin-Lof. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - Vol. 1. - P. 601-678.

3. Lundberg, F. Approximerad Framstallning av Sannolikhetsfunktionen. Aterforsakring av Kollektivrisker (PhD thesis) // Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1903. - 53 p.

4. Lundberg, F. Fцrsдkringsteknisk Riskut^mning // F. Englunds Boktryckeri - A.B., Stockholm, - 1926.

5. Мельников, А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1995. - Т. 2. - №4. - C. 514-526.

6. Мельников, А.В. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.

7. Реннер, А.Г. Оценка платежеспособности страховой компании // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2006. - №1. - С. 144-145.

8. Реннер А.Г., Ерофеев А.В. Анализ вероятности неразорения страховой компании в коллективных моделях риска // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2007. - №8. - С. 69-72.

Сведения об авторах:

Реннер Александр Георгиевич, заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета, доцент, кандидат технических наук Ленерт Александра Георгиевна, студент факультета экономики и управления Оренбургского

государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 6106, тел. (3532) 372444, e-mail: [email protected]

UDC 330.4:368 Renner A.G., Lenert A.G.

Orenburg state university E-mail: [email protected]

THE STRUCTURE OF INVESTING THE INSURANCE COMPANY CAPITAL INTO RISK-FREE ASSETS

The article investigates the probability of non-ruin of an insurance company investing its own capital into riskfree assets. Assuming generalized nature of frequency distribution it identifies the structure of investing the insurance company capital into risk-free assets.

Key words: probability of non-ruin, investing, risk-free assets, Dirac delta function.

Bibliography:

1. Cramer, H. Collective Risk Theory // Jubilee Volume of F. Scandia, 1955.

2. Cramer, H. On the Mathematical Theory of Risk // Skandia Jubilee Volume, Stockholm Centraltryckeriet, 1930 / Reprinted in: Harald Cramer Collective works, ed. by A. Martin-Lof. - Berlin: Springer-Verlag, Vol. 1. - 1994. - P 601-678.

3. Lundberg, F Approximate representation of the probability function. II. Reinsurance of collective risks (PhD thesis) // Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1903. - 5з p.

4. Lundberg, F Insurance technical smoothing of risks // F Englunds Boktryckeri - A.B., Stockholm, - 1926.

5. Melnikov, A.V. Stochastic analysis at contemporary financial and insurance mathematics // Obozrenie prikladnoj i promyshlennoj matematiki. - 1995. - V. 2. - №4. - P. 514-526.

6. Melnikov, A.V. Financial obligations mathematics. - М.: GU VShE, 2001. - 260 p.

7. Renner, A.G. Evaluating an insurance company solvency // Vestnik Orenburg State University. - 2006. - №1. - P. 144-145.

8. Renner A.G., Erofeev A.V. The insurance company probability of non-ruin analysis at collective risk model // Vestnik Orenburg State University. - 2007. - №8. - P. 69-72.