Исследование вероятности неразорения страховой компании с учетом диверсификации вложений и перестрахования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Яркова О.Н.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет» yarkovaon@yandex.ru

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕРАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ВЛОЖЕНИЙ И ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ

В работе выявлена связь между параметрами процесса риска и платежеспособностью страховой компании в условиях диверсификации вложений, с учетом которой сформирована стратегия инвестирования; построена зависимость между объемом собственного удержания и вероятностью неразорения в различных условиях инвестирования, анализ которой позволяет выработать подходящие условия перестрахования.

Ключевые слова: вероятность неразорения страховой компании, диверсификация вложений, перестрахование.

Усиливающаяся конкуренция, о которой свидетельствует снижение доли ведущих страховых компаний в совокупном объеме собранных премий, и увеличение финансовых рисков в условиях кризиса порождают высокие требования к объективной оценке не только платежеспособности страховых компаний, под которой понимается положительность процесса риска, но и инструментов, влияющих на нее. Одним из инструментов, позволяющих влиять на платежеспособность, является собственный капитал страховой компании, увеличение которого возможно за счет инвестирования.

Пусть страховая компания инвестирует свободные средства в соотношении в :а, соответственно в безрисковые активы с доходнос-

тью г > 0, и в рисковый актив, цены ^ которого удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению [1, с. 10]

іБ1 = Б, (ріг + оі№,),

(1)

где /ли о - доходность и волатильность цены рискового актива,

^ - винеровский процесс.

Капитал страховой компании, характеризующий процесс риска, согласно [2, с. 426], удовлетворяет уравнению

{ т)

йУ1 = ((тв+ац) йг+ао <Ш, )У1 + сйг - й

У0 = и, 0<а + в< 1,

(2)

Рисунок 1. Зависимости между начальным капиталом (тыс. руб.) и долей инвестирования только в рисковый актив с доходностью 0.4 и волатильностью цен а) 0.15, б) 0.2, в) 0.25, при % = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс. руб / день, <р = 0.95, в = 0

где У - капитал страховой компании в момент времени Ь]

и - начальный капитал компании; с - интенсивность поступления страховых премий;

ЩЬ)-число поступивших исков за время [0, Ь], которое является пуас-соновским случайным процессом с параметром Хг;

|Х(.} - размеры выплат по искам страховой компании - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью распределения вероятностей /(.X).

В качестве меры платежеспособности возьмем вероятность нера-зорения(р(ы) = рУ > 0,У0 = и,г > 0}, которая, в предположении о пуассо-новском процессе поступления исков с учетом инвестирования в рисковый и безрисковый актив, может быть найдена, как показано в работе [2, с. 427], как решение задачи:

г=0

1 а2о2и 2ф*(и) + (с + (вт + ац)и)ф'(и)-Х(р(и) +

2 и

+ Л$р(и - у)/(у)йу = 0,

0 2 /

(р(ж) = 1, л>о /2. (3)

Поставим задачу определения стратегии инвестирования, основанную на принципе диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы. Используя разработанный программный комплекс, построили численное решение задачи (3), для договоров КАСКО, при фиксированных значениях параметров процесса риска (Х, с,

Л, о, т), предварительно аппроксимировав /(.X) с помощью отрезка обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов Чебышева, что позволило построить:

- зависимость между необходимым начальным капиталом и долей инвестирования только в рисковый актив, при фиксированном значении вероятности неразо-рения, которая представлена на рисунке 1;

- зависимость между вероятностью неразорения страховой компании с заданным начальным капиталом и долей инвестирования только в рисковый актив, которая представлена на рисунке 2;

- зависимость между начальным капиталом и долей инвестирования в рисковый актив, с учетом диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы, при фиксированном значении вероятности неразорения, которая представлена на рисунке 3;

- зависимость между вероятностью неразорения страховой компании с заданным начальным капиталом и долей инвестирования в рисковый актив, с учетом диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы, которая представлена на рисунке 4.

Зависимости подобного рода позволяют сформировать стратегию инвестирования. К примеру:

страховой компании с начальным капиталом 384 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0.95 необходимо инвестировать от 70% до 90% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью 0.25; для страховой компании с начальным капиталом 373 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0.95 необходимо инвестировать 60% свободного капитала в рисковые активы с

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 О,В 0,9 1

доля инвестирования в рисковый актив

Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а)-Ж- 61-*- в!-*-

Рисунок 2. Зависимости между вероятностью неразорения и долей инвестирования только в рисковый актив с дох)одностью 0.4 и волатильностью цен а) 0.15, б) 0.20, в) 0.25, при % = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс.руб / день, и = 350тысруб., в = 0

доля инвестирования в рисковыи актив

Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а)-Ж- 61*- в1-ф-

Рисунок 3. Зависимости между начальным капиталом (тыс. руб.) и долей инвестирования в рисковый актив с доходностью р = 0.4 и волатильностью а) 0.15 ; б) 0.2; в) 0.25; прив = 1 -а, г=0.13 % = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс.руб/день, (р = 0.95.

доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25 и 40% свободных средств в безрисковые активы с доходностью 0.13.

Для определения области значений начального капитала, при которых вложения в рисковый и безрисковый актив в соотношении а: в соответственно обеспечивают более высокий уровень вероятности неразорения, чем вложения только в безрисковый актив, определим точку инвестиционного равновесия из соотношения

(и.) = р (И.) = ^

. * * ч

где (и ,р ) - точка инвестиционного равновесия;

и - равновесный капитал;

*

р - равновесная вероятность.

Численное решение задачи (3) для различных значений волатильности цен рискового актива при фиксированных значениях доходности рискового и безрискового актива и доли инвестирования в рисковый актив позволило построить зависимости:

- между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива для различных значений доли инвестирования, которые представлены на рисунке 5;

- между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива для различных значений доли инвестирования, которые представлены на рисунке 6.

Полученные результаты позволяют сформировать стратегию инвестирования в зависимости от условий диверсификации и положения начального капитала относительно точки инвестиционного равновесия. Так, например, для заданных параметров процесса риска ( т1~а = 0.13, /л = 0.4, а = 0.5, г = 0.13 ): при с< 32 вложение на условиях диверсификации в рисковый и безрисковй актив дает более высокие значения вероятности нера-зорения, при любых значениях начального капитала; для с > 47 более высокий уровень неразорения обеспечивает инвестирование только в безрисковые активы; при 32 < с < 47 зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива приведена на рисунке 5. Точка (35,449) на графике означает, что при и < 449 тыс. руб. лучше инвестировать 50% свободных средств в рисковые активы с доходностью /л = 0.4 и волатильностью с = 0.35 и 50% средств в безрисковые активы с доходностью 0.13, а при и > 449 тыс. руб. инвестирование в безрисковые активы с доходностью

0,949

0,948

а °'947

1 0,946 ■и-

§■ 0,945 | 0,944 г 0,943 £ 0,942 ■с 0,941 о 0,94 & 0,939 0,938

0,935

; ; ; ; -^Г \

!

1 1 1111

: ♦ ♦—-»

^ : : : :

! ! ! ! !

А* т : і

\ \ ! ! ! ! ■

т Г “ "

1/ \

0,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

доля инвестирования в риско выи актив

0,8

0,9

Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а!-Ж- 61-*- в1-Ф-

Рисунок 4. Зависимость между вероятностью неразорения и долей инвестирования в рисковый актив с доходностью 0.4 и волатильностью цен а) 0.15, б) 0.2, в) 0.25; при в = 1 — а,г = 0.13, Х=3882иско/в>ен, с = 196.5тыс.руб/день, и = 350тысруб.

1

0,95

0,9

£ 0.85

0

■е 0,8

1 0,75 ш

“ 0.7

(С

£ 0,65 її

0 0,6

Г

1 0,55 £2. 1

0,5

0,45

0,4

г

і 1 і і і і \

нщммттмтЫ*»

35 40 45 50

волатильность цен %

Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а)*- 61-*- в)-ф-

Рисунок 5. Зависимости между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива, при инвестировании а) а = 0.3, б)а = 0.5, в)а = 0.7 свободных средств в рисковый актив с доходностью 0.4 и 1 — а в безрисковый актив с доходностью 0.13, Я= 3.82 исков/день,с = 196.5тыс.руб/день, г = 0.13

г = 0.13 обеспечит более высокие значения вероятности неразорения.

С целью обеспечения платежеспособности страховщик может также воспользоваться пропорциональным перестрахованием. Интенсивность поступления премий цедента после оплаты премии перестраховщику будет равна с = (1 + 0) -Я- т - (1 +1) -Я-у- т, где 0 > 0 - относительная рисковая надбавка цедента;

%>0 - относительная рисковая надбавка перестраховщика; т - математическое ожидание размеров выплат по искам X; у: 0 <у< 1 - доля перестрахования;

(1 -у) - объем собственного удержания.

По известным размерам выплат по искам X. можно определить выплаты цедента х™ = (1-у)Х и аппроксимировать плотность распределения размеров выплат цедента /цед (х). Тогда задача (3) для определения вероятности неразорения страховой компании с учетом перестрахования, как известно [2, с. 427], примет вид

том характеристик инвестиционного процесса. Например, для обеспечения вероятности неразорения 0.95 страховой компании с начальным капиталом 300 тыс. руб. необходимо инвестировать 40% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25, 60% свободных средств - в безрисковые активы с доходностью 0.13 и отдать на перестрахование 15% рисков.

650 600 550 ^ 500 | 450 | 400 'I 350 I 300

ш

g 250

Л 200

150

100

50

7

_ 1 ! . 1 —r—r—7—

20

25

30

35 40 45 50

волатильность цен %

55

60

65

Интерполяционный сплайн 3-го порядка для случая: а]*- 61* ё\+-

1 а2а2 и2ф"(и) + ((1 + 0) -Я- т -- (1 +1) - Я-у т+(в г + ац)и)ф'(и) -

и

-Я(р(и) + Я |ф(и - уХцед (у^у = 0,

ф(°°) = 1, 11>о211. (4)

Проанализируем, как влияет объем собственного удержания, при пропорциональном перестраховании, на платежеспособность страховой компании, при наличии статистической информации о размерах выплат.

Зависимости между начальным капиталом и объемом собственного удержания для случаев с инвестированием и без инвестирования, при фиксированном значении вероятности неразорения, представлены на рисунке 7.

Построенные зависимости позволяют выбрать приемлемые для страховщика объемы перестрахования с уче-

Рисунок 6. Зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива при инвестировании а) а = 0.3, б)а = 0.5, в) а = 0.7 свободных средств в рисковый актив с доходностью 0.4 и 1 — а в безрисковый актив с доходностью 0.13, Х = 3.82 исков/день, с = 196.5тыс.руб/день,

г = 0.13

Рисунок 7. Зависимость между начальным капиталом (тыс. руб.) и объемом собственного удержания для случаев: а) без инвестирования, б) с инвестированием в безрисковые активы г = 0.13, в) р = 0.4, а = 0.16, а = 0.4, г = 0.13, в = 0.6;

X = 3.82 исков/день, в = 0.6, % = 0.8, р = 0.95.

Список использованной литературы:

1. Мельников, А.В., Волков, С.Н., Нечаев, М.Л. Математика финансовых обязательств / Мельников, А.В., Волков, С.Н., Нечаев, М.Л. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.

2. Paulsen, J., Ruin models with investment income/ Paulsen, J.//Probability Surveys Vol. 5, 2008, 416-434 c.

Yarkova O.N.

STUDY OF PROBABILITY OF NON-BANKRUPTCY OF AN INSURANCE COMPANY SUBJECT TO DIVERSIFICATION OF INVESTMENT AND REINSURANCE

The article reveals relation between parameters of a risk process and solvency of an insurance company, under diversification of investment, according to which investment strategy was established; author shows dependency between retention volume and probability of non-bankruptcy under different conditions of investment, analysis of which allows to work out appropriate terms of reinsurance.

Key words: probability of non-bankruptcy of an insurance company, diversification of investment, reinsurance.

Информация об авторе:

Яркова О.Н., старший преподаватель кафедры математических методов и моделей в экономике ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, к. 6106, тел.: (3532) 372444, 89619141072, e-mail: yarkovaon@yandex.ru