Анализ платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования в рисковые активы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Реннер А.Г., Яркова О.Н.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет» mme@mail.osu.ru

АНАЛИЗ ПЛАТЕЖЕСПОСОБНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЕТОМ ИНВЕСТИРОВАНИЯ В РИСКОВЫЕ АКТИВЫ

В работе построены зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала в пуассоновской модели коллективного риска с учетом инвестирования в рисковые и безрисковые активы. Выявлен характер влияния параметров процесса риска на начальный капитал компании при фиксированном уровне неразорения. Построен критерий для выбора стратегии инвестирования в рисковые и безрисковые активы.

Ключевые слова: вероятность неразорения, рисковые активы.

Пусть страховая компания инвестирует свободные средства в рисковые активы, цены которого удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению

dSt = + аdWt),

где ц и 5 - доходность и волатильность цены рискового актива,

Wt - винеровский процесс.

Одной из важнейших задач страховой компании является задача оценки и обеспечения платежеспособности, под которой понимается положительность процесса риска, эволюция которого, в случае пуассоновского процесса поступления исков и инвестирования средств в рисковые активы, описывается, согласно [1, с. 19], уравнением

dYt = (ц dt+а dWt)Yt + cdt - 6

N(0

IX

1=N(0

У = и, (1)

где - капитал страховой компании в момент времени Ь;

и - начальный капитал компании;

с - интенсивность поступления страховых

премий;

N(1)-пуассоновский процесс - число поступивших исков за время [0, Ь], с параметром At;

{X;} - размеры выплат по искам страховой компании - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью распределения вероятностей /(х).

В качестве показателя платежеспособности возьмем вероятность неразорения, (р(и) = Р{ > 0,У0 = иД > 0}, которая, в предположении о пуассоновском процессе поступления исков, может быть найдена [2, с. 419] как решение задачи:

— и2^"(и) + (ци + с)^'(и) - А<р(и) +

и

+ я|^(и - уЖу^у = о,

о

р(~) = 1, ц > а2/2.

(2)

Случай ц = 0 и а = 0 соответствует тому, что страховая компания не инвестирует свободные средства; при ц = г > 0,а = 0 - страховая компания вкладывает свободные средства в безрисковые активы с доходностью г; если ц Ф 0,а Ф 0 - страховая компания вкладывает свободные средства в рисковые активы.

Проанализируем, как влияет инвестирование на зависимость вероятности неразорения страховой компании от размера ее начального капитала.

Предварительно аппроксимировав ^х), на основе статистических данных о размерах выплат, с помощью отрезка обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов, нашли численное решение задачи (2):

а) без учета инвестирования ( ц = 0; а = 0 );

б) с инвестированием в безрисковые активы (г=0,13);

в) с учетом инвестирования в рисковые активы (ц =0,4; а=0,13).

Графики построенных зависимостей (для договоров КАСКО за 2006-08 годы Оренбургского филиала страховой компании, исков/день, тыс. руб./день) представлены на рисунке 1.

По построенным зависимостям можно провести сравнительный анализ стратегии инвестирования для обеспечения заданного уровня неразорения. Так, например, инвестирование в рисковые активы (ц =0,4; а=0,13) позволяет достичь уровня надежности 0,95 при значении начального капитала 300 тыс. руб., при инвестиро-

2

вании в безрисковые активы (г=0,13) уровень не-разорения 0,95 достигается при значении начального капитала 320,1 тыс. руб., а при отсутствии инвестирования требуется 450,6 тыс. руб. Кроме того, анализ показал (рисунок 2), что при значениях начального капитала менее 417 тыс. руб. с точки зрения вероятности неразорения выгоднее инвестирование в рисковые активы, в противном случае выгоднее инвестирование в безрисковые активы.

Помимо задачи оценки зависимости вероятности неразорения от начального капитала

при фиксированных значениях параметров модели коллективного риска представляет интерес оценка зависимости величины необходимого начального капитала, гарантирующего заданный уровень неразорения, от величины рисковой надбавки.

Варьируя значение рисковой надбавки, можно оценить скорость поступления премий и построить зависимость вероятности неразо-рения, гарантирующей заданный уровень не-разорения, от рисковой надбавки для случаев с инвестированием и без инвестирования. На

Вероятность неразорения

0,95

0,9

0,85

0,8

0,75

0,7

0,65

0,6

0,55

0,5

0,45

0,4

вложение Б рисковые

-1-у ..•■""Л

V

'вложение в безрисковые активы

\

\

Гг /| \

// / без ин в естиро в ани я

І7 ■ ■ ;

/ 1 1

'

50 100 150 200 250 300

350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 начальный капитал

Рисунок 1. Графики зависимости вероятности неразорения от необходимого начального капитала (тыс. руб.), для случаев: а) без инвестирования; б) с инвестированием в безрисковые активы г=0,13; в) с инвестированием в рисковые активы, Д=0,4; СТ =0,13 при ие [0,850] тыс. руб., А =3,82 исков/день,

с=196,5 тыс. руб/день.

Вероятность неразорения

начальный капитал

Рисунок 2. Графики зависимости вероятности неразорения от необходимого начального капитала (тыс. руб.) для случаев: а) без инвестирования; б) с инвестированием в безрисковые активы г=0,13; в) с инвестированием в рисковые активы Д=0,4; С =0,13, при ие [320,520] тыс. руб., А =3,82 исков/день,

с=196,5 тыс. руб/день.

Таблица 1. Значения оценок коэффициентов эластичности величины начального капитала, гарантирующего неразорение с вероятностью 0,95 по различным параметрам процесса риска

Оценка коэффициента эластичности величины начального капитала, гарантирующего вероятность неразорения 0,95 Значение оценки

по значению рисковой надбавки в модели без инвестирования, при рисковой надбавке 0,70 -0,678

по значению рисковой надбавки в модели с инвестированием в безрисковые активы, при рисковой надбавке 0,70 -0,411

по значению рисковой надбавки в модели с инвестированием в рисковые активы, при рисковой надбавке 0,70 -0,381

по значению доходности вложения в безрисковый актив, при г=0,13 -0,224

по значению доходности вложения в рисковый актив, при ц = 0,4 -0,589

по значению волатильности вложения в рисковый актив, при с = 0,13 0,646

Относительная рисковая надбавка %

* инвестирование в рисковые активы х Инвестирование в безрисковые активы о Без инвестирования

Рисунок 3. Зависимость начального капитала (тыс. руб.), гарантирующего неразорение с вероятностью 0,95, от рисковой надбавки для случаев: а) без инвестирования, б) с инвестированием в безрисковые активы с доходностью 0,13, в) с инвестированием в рисковые активы ц=0,4, (7=0,13, при А =3,82 исков/день.

График зависимости

доходность безриск. актива % х Расчетная_______— Аппроксимирую я

Рисунок 4. График зависимости начального капитала (тыс. руб.), гарантирующего уровень неразорения 0.95, от доходности вложения в безрисковый актив,

А =3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день.

рисунке 3 приведены графики зависимостей для уровня неразорения 0,95.

Анализируя расчеты, можно сделать вывод: страховой компании с начальным капиталом 350 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0,95 требуется установить относительную рисковую надбавку в размере 85% при отсутствии инвестирования. Инвестирование в безрисковые активы с доходностью 0,13 позволяет снизить рисковую надбавку до 45% при том же уровне неразорения. Инвестирование в рисковые активы с доходностью 0,4 и волатильностью 0,13 позволяет снизить рисковую надбавку до 35% при том же уровне неразорения. Для построенных зависимостей были рассчитаны оценки коэффициентов эластичности (для рисковой надбавки 70%, таблица 1), откуда следует, что наибольшее влияние рисковая надбавка оказывает на начальный капитал, если страховая компания не инвестирует свободные средства.

Аналогично строятся зависимости необходимого начального капитала, гарантирующего заданный уровень неразорения, от доходности вложения в рисковые и безрисковые активы и волатильности. Графики данных зависимостей для уровня неразорения 0,95 представлены на рисунках 4-6.

Проведем анализ чувствительности величины необходимого начального капитала к изменению параметров процесса риска с помощью коэффициентов эластичности (таблица 1).

Таким образом:

- при отсутствии инвестирования или инвестировании в безрисковые активы наибольшее влияние на величину необходимого начального капитала оказывает величина относительной рисковой надбавки. Т. е. пересмотр величины относительной рисковой надбавки будет являться наиболее действенным инструментом снижения размера начального капитала, гарантирующего неразорение с вероятностью 0,95 (или, что эквивалентно, повышения уровня неразоре-ния при том же размере начального капитала);

- при инвестировании в рисковые активы наибольшее влияние на рост величины необходимого начального капитала, гарантирующего неразорение с вероятностью 0,95, оказывает волатильность.

Проведем сравнительный анализ целесообразности инвестирования в рисковые и безрисковые активы. Для этого найдем такие значения начального капитала u*, при которых выполняются соотношения:

ç^'c (u) >çr(u) Vu < u*; ç^c (u) <çr(u) Vu > u*; (3)

ç^c (u*) = çr(u*) = ç

Назовем (u*,ç*) - точкой инвестиционного равновесия, так как в этой точке вероятность неразорения при инвестировании в рисковые активы совпадает с вероятностью не-разорения при инвестировании в безрисковые активы, здесь u* -равновесный капитал, а ç - равновесная вероятность. Сравнение рисковых вложений будем проводить с безрисковыми для r=0,13 и д=0,4. Варьируя с , построили графики зависимости равновесного капитала и равновесной вероятности от волатильности вложения в рисковый актив.

График зависимости

доходность рискового актива %

X Расчетная — Аппроксимирующая

Рисунок 5. График зависимости начального капитала (тыс. руб.), гарантирующего уровень неразорения 0,95, от доходности вложения в рисковый актив при фиксированном с=0,13, А =3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день.

График зависимости

волатильность вложения % X Расчетная — Аппроксимирующая

Рисунок 6. График зависимости начального капитала (тыс. руб.), гарантирующего уровень неразорения 0.95, от волатильности вложения в рисковый актив при Д=0,4, А =3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день

волатильность %

X Расчетная — Аппроксимирующая

Рисунок 7. График зависимости равновесного капитала (тыс. руб.) от волатильности рискового актива, при ц=0,4,

А=3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день

12 13 14 15 16 17 18

волатильность %

>^асчетна^^^^^^^^^ппроксимируюш£^|

Рисунок 8. График зависимости равновесной вероятности от волатильности рискового актива, при ц=0,4; г=0,13, А=3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день.

начальный капитал

Рисунок 9. Графики зависимости вероятности неразорения от необходимого начального капитала (тыс. руб.), для случаев: а) без инвестирования; б) с инвестированием в безрисковые активы г=0,03; в) с инвестированием в безрисковые активы г=0,06; г) с инвестированием в безрисковые активы г=0,09, при u е [0,500] тыс. руб., А=3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день.

На основе полученных расчетов можно сделать вывод, что для заданных параметров процессов риска (г=0,13 и д=0,4): при о< 11 вложение в рисковые активы дает более высокие значения вероятности неразорения при любых значениях начального капитала; для о > 19 более высокий уровень нера-зорения обеспечивает инвестирование в безрисковые активы; при 12 < о < 18 зависимость u*(o) приведена на рисунке 7, так, например, точка (15, 250) на графике означает, что при u < 250 тыс. руб. выгоднее инвестирование в рисковые активы с доходностью ^=0,4 и волатильностью о = 0,15, а при u > 250 тыс. руб. выгоднее инвестирование в безрисковые активы с доходностью г=0,13. Зависимость ç(o) представлена на рисунке 8. Для значений ц =0,4, г=0,13 и о=15 (при X =3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб/день) точкой инвестиционного равновесия будет (250, 0,92).

Расчеты показали (рисунок 9), что вложения в безрисковые активы более выгодны по сравнению с отсутствием инвестирования при любых значениях начального капитала и доходности: ^г(и) > (р° (u), Vu > 0,г > 0.

Список использованной литературы:

1. Мельников, А.В., Волков, С.Н., Нечаев, М.Л. Математика финансовых обязательств / Мельников, А.В., Волков, С.Н., Нечаев, М.Л. //М.: ГУ ВШЭ, 2001 - 260с.

2. Paulsen, J., Ruin models with investment income / Paulsen, J. // Probability Surveys. Vol. 5, 2008, 416-434 c.

Renner A.G., Yarkova O.N.

ANALYSIS OF PAYING CAPACITY OF INSURANCE COMPAN WITH TAKING INTO ACCOUNT INVESTMENTS INTO RISK ASSETS

The dependences of possibility of insurance company nonbankruptcy from the opening capital in paussonov’s model of collective risk taking into account investments into risk and nonrisk assets are constructed in this article. The character of risk process parameters influence on the opening capital of a company at fix level of nonbankruptcy is revealed here. The criterion for choice of strategy of investments into risk and nonrisk assets is constructed in this work.

Key words: possibility of nonbankruptcy, risk assets

Информация об авторе:

Реннер А.Г. заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета, кандидат технических наук, доцент,

460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, тел.: (3532) 372444, е-таИ: mme@mail.osu.ru

Яркова О.Н. старший преподаватель кафедры математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета,

460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, тел.: (3532) 372444