Динамическая модель формирования инвестиционного портфеля страховой компании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Реннер А.Г., Буреш А.И.

Оренбургский государственный университет E-mail: mme@mail.osu.ru

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

Строится модель вероятности неразорения страховой компании, инвестирующей средства в портфель из рисковых и безрисковых активов. Обсуждается вопрос оптимизации во времени вероятности неразорения.

Ключевые слова: вероятность неразорения страховой компании, безрисковые и рисковые активы, инвестирование.

Работы Башелье, Самуэльсона положили основу применения методов теории случайных процессов в портфельном инвестировании, позволяющих наиболее адекватно описывать динамику основных и производных ценных бумаг, а следовательно ввести в рассмотрение дополнительный параметр время. Наиболее заметным результатом портфельной теории прошлого века является теория Блэка-Шоулза [1]. В основе теории лежит предположение:

- о непрерывной временной аппроксимации параметров оборота активов;

- постоянство безрисковой процентной ставки г для всех сроков погашения;

- по акциям не выплачиваются дивиденды;

- отсутствие арбитража;

- доходность акции имеет логнормальное распределение.

Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито, характеризующее изменение цены одного рискового актива

аБ(г)= S(tXиdt+odWt) (1)

где ц - средняя ставка доходности актива;

а - волатильность, показывающая стандартное отклонение доходности актива;

Wt - винеровский процесс.

Если в состав инвестиционного портфеля страховой компании включается безрисковый актив 50(£) с постоянной процентной ставкой г

dSo ()= (ХИ (2)

и п рисковых активов Si 1 = 1, п с ожидаемыми средними доходностями |Л.()={|Л.; ()}=— и ковариационной матрицей активов Е=Ыокк,

Мп

то динамика цены каждого актива

dSi(t)= S, (

ц i (t)dt+ £а (dWj (t)

s.()= S(t), i = 1,n

j=1

(З)

где W(t)= ( ().^п ())т - п-мерный винеровс-кий процесс.

При этом естественно считать, что ц1 > г.

На основе моделей динамики рыночных активов построим модель динамики инвестиций страховой компании в портфель

п(г.)={п1 ().п п (t)}.

Пусть У(г;) - капитал инвестора (страховой компании) в момент времени t (стоимость портфеля), а N (1) 1 = 1, п - число единиц г-го актива в портфеле в этот момент. Тогда

Y(t)=]ГN10 ()+ N0 (t)So (t). (4)

1=1

Отметим, что среди N () могут быть отрицательные, что соответствует так называемой короткой продаже (продаже актива, которого у продавца в наличии нет, осуществленная в ожидании падения цен).

Динамика капитала портфеля страховой компании У(Ь) описывается задачей Коши для стохастического дифференциального уравнения

dY(t)= No (t)dSo (t)+£ Ni (t)dSi (t) Y(o)=Yo “ (5)

Если учитывать поступающие с интенсив-

ностью Є(ґ) премии и выплаты Zi,і = 0,N0 по искам

( N (t)

dY(t) = Y(t)(l - П/)r + Пц] + Y(t)П£dW(t)+ C(t)dt - d £Zt

A, -=“

(б)

где и - начальный капитал компании;

С(Ь) - интенсивность поступления страховых премий

Ы(Ь) - число поступивших исков за время [0,^] - пуассоновский процесс с параметром А£;

{Zl }=0к( - размеры выплат страховой компании по искам - последовательность неза-

висимых, одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения вероятностей /(х);

I = (1,1...l)т - п-мерный единичный вектор;

1 - Ш = а - доля безрискового актива; г - доходность безрискового актива. Модель (6) перепишем в виде

dYt = Y (t )(l - П/ )r + Пц] + Y (t )п£ dWt + C (t )dt - J zP(dt, dz)

Z

Ylt-0 = “■

(7)

Здесь Р(&,&) - [2] - целочисленная случайная мера с компенсатором )=MtF(dz),

соответствующая точечному случайному процес-

N0'

су

N()

£ Zi.

i=1

Решение (7) можно последовательно искать на каждом полуинтервале [^,t1+1) 1 = 0,1,...п, где t1,t2 ..дп моменты скачков Пуассоновского процесса. Аппроксимируя в (7):

| zp(dt,dz )= ^()си, (8)

средний суммарный раз-

- 1 N(1)

где 2(,)=

мер иска в момент скачка Пуассоновского процесса, мы У(ґ) можем рассматривать как марковский процесс.

Обозначим:

у^, 1) = Y(t)[(l - П1)г + Пц]+ С()- (9)

G(Y, 1)= Y(t)п£. (10)

Пусть Р(, X, т, Y) - условная плотность распределения того, что размер капитала в момент времени травен У, если в момент времени Ь<т он был равен X.

Известно [3], чтоP(t,X,т,Y) удовлетворяет второму уравнению Колмогорова

|Т[р( ^ т y)]-+jL [a(y, т)P(t, x т, y х

dx dy 2 dy2

x[b(y, x)p(t, x, x, y)]= 0, (11)

где a(y, x)=y(y, x) (12)

b(y, x)= G(y, x)GT (y, x) (13)

В качестве начального условия, учитывая то обстоятельство, что значение Y(t) в начальный момент x=t=0 задано и равно и, следует положить при t=0

р( x, т, y)x=t=o = §(x - у )t=o = §(u - y) (14)

Нас интересует вероятность того, что капитал компании в течение времени tе T(t,т)= (tjt + C)* - остается положительным (o < Y(x)< ^),т. е. вероятность неразорения компании.

Если обозначать далее P(x, y)- условную плотность распределения вероятностей, то вероятность P(x)= P (o < Y(x)< <х) вмомент времени т определяется равенством

р(т) = Jp(т, y )dy,

* C - любая положительная константа

** на практике у=^ заменяют y= ymax, где ymax -

j max

некоторое достаточно большое значение, такое что J P(x, y )dy = 1

Вероятность неразорения страховой компании

Рисунок 1. Зависимость вероятности неразорения от времени

а функция Р(т, у) определяется как решение уравнения (11), с начальным условием (14) и граничным условием

Р(т,0)= 0 т > t = 0, (16)

р(т, «,)= 0 ** т> t = 0. (17)

Приведем результаты расчетов для случая инвестирования средств страховой компании в один безрисковый (доля Ь) и один рисковый (доля а), а+Ь=1, активы. Модель (7) принимает вид:

dY(t) = Y(tXrp + ац)й + cdt + Y(t)аodWt - А£() = 0

(7а)

В смешанной краевой задаче (11, 14, 16, 17) для второго уравнения Колмогорова:

а(У,т)= Y(тXrP + ац(+ с -b(Y, т)=аоY(т)

Решая смешанную краевую задачу, численно, аппроксимировав её неявной разностной схемой при фиксированных значениях и, г,р, а,д, о, с, X, получим Р(т, у) и, в соответствии с (15) вычисляем Р(т)=р( и, г,р, а, ц, о,с, X).

При инвестировании средств в рисковый актив: р = 0, а = 1, X = 3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб./день, г=0,13, ц=0,4, 8=0,2, м=105 тыс. руб. - получим оценку зависимости Р(т), представленную на рисунке 1.

Как видно из рисунка 1 вероятность нера-зорения 0,9 достигается, при указанном наборе параметров, лишь к концу первого года функционирования страховой компании, что говорит о целесообразности оптимизации параметров инвестирования на начальном этапе. В частности, максимизировать вероятность неразо-рения наиболее целесообразно за счет диверсификации вложений. К примеру, инвестирование средств в безрисковый и рисковый актив в соотношении р = 0,5 а = 0,5 (при неизменных прочих параметрах) позволяет достичь уровня Р(т) = 0,9 почти вдвое быстрее (192 дня). Следует ожидать еще большего эффекта при варьировании параметров портфеля с несколькими различными безрисковыми активами.

15.11.2012

Список литературы:

1. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. - 1973.

2. Paulsen, J. Risk theory in a stochastic environment // J. Stochastic Process. Appl. - 1993. - V. 21. - P. 327-361.

3. Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. - М.: МИР, 2003.

Сведения об авторах:

Реннер Александр Георгиевич, заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета, доцент, кандидат технических наук Буреш Антон Игоревич, старший преподаватель кафедры математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 6106, тел. (3532) 372444, e-mail: mme@mail.osu.ru