О строении младших граней в выпуклых многогранниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

О СТРОЕНИИ МЛАДШИХ ГРАНЕЙ В ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКАХ*)

О, В, Бородин, А. О, Иванова, Т. К, Неустроева

1. Введение

Степень ¿(у) вершины V (ранг г(/) грани /) в плоском графе О есть число инцидентных ей ребер. Под к-вершиной (к-гранью) понимается вершина (грань) степени (ранга) к. Будем говорить, что грань / = VI,... , уг (для краткости полагаем г = г(/)) имеет тип Щ/) = (¿1,... , где ¿г ^ ¿¿+1 при каждом 1 ^ г ^ г — 1, если г-я по величине степень вершины среди вершин, инцидентных грани /, те превосходит ¿¿,1 ^ г ^ г. Как доказано Э. Штейницем [1], 3-связные плоские графы взаимно однозначно отвечают выпуклым 3-мерным многогранникам, называемым далее 3-многогранниками.

В 1940 г. А. Лебег [2] показал, что любой 3-многогранник содержит грань одного из следующих типов:

(3,6, го), (3,7,41), (3,8,23), (3,9,17), (3,10,14), (3,11,13), (4,4, го), (4,5,19), (4,6,11), (4,7,9), (5,5,9), (5,6,7), (3,3,3, ГО, (3,3,4,11), (3,3,5,7), (3,4,4,5), (3,3,3,3,5).

Некоторые параметры этого описания позднее были уточнены для отдельных классов 3-многогранников. Однако вплоть до работы [3] не

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (второго автора — проект 06-01-00694, третьего — 0501-00816).

© 2006 Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К.

было получено улучшений ни одного из параметров теоремы Лебега без ухудшения других ее параметров (см. [3]).

В [3] доказана следующая

Теорема 1. Каждый 3-многогранник содержит грань одного из следующих типов:

(3,6, го*), (3,8*,22), (3,9*,15), (3,10*, 13), (3,11*, 12), (4,4, го*), (4,5*,17),(4,6*,11), (4,7*,8), (5,5*,8), (5,6,6*), (3,3,3, го*), (3,3,4*,11), (3,3,5*,7), (3,4,4,5*), (3,3,3,3,5*).

Тем самым полученное А. Лебегом описание строения младших граней 3-связных плоских графов улучшено по девяти параметрам без ухудшения остальных его параметров.

Здесь вхождения, неулучшаемость которых уже доказана, помечены звездочкой. (Подразумевается, что в каждом типе граней компоненты, предшествующие помеченным, также неулучшаемы.)

В [3] поставлена

Задача 2. Найти уточнение теоремы Лебега, не допускающее дальнейших усилений.

Можно сказать, что решение задачи 2 требует уточнения лишь

небольшого числа параметров в теореме 1. В данной работе мы уточ-

, , , ,

Теорема 3. Каждый 3-многогранник содержит грань одного из следующих типов:

(3,6, го*), (3,8*,22), (3,9*,15), (3,10*, 13), (3,11*, 12),

, , го* , , *, , , *, , , *, , , *, , , , * ,

, , , го* , , , *, , , , *, , , , , * , , , , , * .

2. Доказательство основного результата

При доказательстве теоремы 3 мы будем часто писать (например)

«ввиду ¡(3,10,13)», подразумевая «поскольку в рассматриваемом нами

,,

Пусть С — контрпример к теореме 3, а С содержит наибольшее число ребер, соединяющих между собой вершины степени больше 11, среди всех контрпримеров с |^(С) | вершинами.

С

вершинами степени не меньше 11.

Доказательство. Действительно, добавление ребра между такими двумя несоседними вершинами (вершины не смежны ввиду 3-связности графа, т. е. при добавлении ребра не возникает кратных

С

приведенный в теореме 3, не содержит двух компонент не менее 12. Каждому элементу х € V и К припишем заряд

( й(х) — 6, если х € V, М(х) = <

[ 2г(х) — 6, если х € К.

Формулу Эйлера IV| — |Е| + | = 2 запишем в виде (2|Е| — 6|V|) + (4|£| — 6|К|) = —12. Отсюда следует, что

£ М(х) = Е— 6) + Е— 6) = —12- (!)

жevuF уеУ !eF

Мы хотим перераспределить заряды, не изменяя их суммы, таким образом, чтобы новый заряд каждой вершины и грани оказался неотрицательным, тогда очевидное противоречие 0 ^ —12 завершит доказательство теоремы.

Особой назовем 4-грань, инцидентную двум 3-вершинам и еще одной вершине степени 4 или 5.

Треугольную грань, инцидентную 3-вершине, назовем тяжелой. Вершину будем называть младшей, если ее степень не больше 5.

Жадной назовем 17-вершину, инцидентную только 3-граням, среди которых есть только один треугольник с двумя 5-вершинами, а на остальных 3-гранях происходит чередование 4-вершин с 5-вершинами.

Рассмотрим 4-грань / = муад^, где ¿(и) = ¿(V) = 5, ¿(ад) = 3, ¿(х) = 4. Пусть и окружена то циклу вершинами V, х, у, г,у'. Кроме того, пусть / — единственная нетреугольная грань при и, а г — вершина степени 4 или 5. В первом случае потребуем, чтобы у' была жадной вершиной, а во втором случае — чтобы у была жадной, при

этом ¿(у') ^ 11. Верши ну V, удовлетворяющую всем перечисленным

/

2.1. Правила перераспределения зарядов вершин и граней.

/

шей вершине V:

(a) заряд 1, если ¿(V) = 3;

(b) заряд если ¿(V) = 4;

(c) заряд если ¿(V) = 5, за следующими исключениями: если / — грань типа (3, 4, 5, 5), то обеим 5-вершинам / отдает по ^ при

/

ленной 5-вершине / отдает заряд а второй 5-вершине — заряд

если / — особая грань типа (3, 3, 5, Ж), то при N < 11 грань / отдает

/

111'. Каждая грань ранга не менее 5, инцидентная хотя бы по одной вершине степеней 4 и 5, передает заряд ^ каждой грани, смежной по ребру и^, если ¿(и) = ¿(V) = 3.

112. Вершина V степени с! ^12 отдает

(a) заряд ^ каждой инцидентной особой грани;

(b) каждой тяжелой грани заряд /3^ = ^¿Г^2; если при V существует нетреугольная грань или нетяжелая 3-грань, инцидентная хотя бы одной немладшей вершине, и оу = если каждая грань при V является тяжелой.

Замечание 2. По правилу R2(b) вершина v может давать заряд «а < ва лишь при чет ном d.

(c) Каждой инцидентной нетяжелой 3-грани f = uvw заряд | при d(u) = 4 и d(w) = 5,

i при ^^ 4 и d(w) ^ 6, | при ^^ 5 и d(w) > 6;

(d) каждой инцидентной 3-грани с двумя 5-вершинами заряд

v

если d(v) ^ 16 или v — нежадная 17-вершина, если d(v) ^ 18.

R3. Вершина v степени d, 8 ^ d ^11, отдает каждой инцидентной грани f заряд ad. После этого f передает из полученного заряда по °'d ^ 0 на смежные грани из окружения вершины v, если грань / — особая нетреугольная грань, ипоу, если / — неособая нетреугольная грань.

fv

v

«а, если f смежна с двумя 3-гранями из окружения вершины v; не менее 7d = «d + , если / смежна с особой гранью из

v

не менее 3d = fad, если / граничит с неособой нетреугольной гра-

v

vd

f = uvw заряд

f

шине степени не менее 12;

d w vw

R5. Треугольная грань f = uvw отдает инцидентной младшей v

(a) | при ¿(у) = 5, если либо ¿(и) = 4, либо ¿(и) = 5 и ¿(ад) <11, либо ¿(и) = 5 и ад — жадная 17-вершина, либо ¿(и) = 6 и ¿(ад) < 8;

(b) \ при ¿(у) = ¿(и) = 5, если 12 < ¿(ад) < 16 или ад — нежадная 17-вершина,

(c) | при ¿(у) = 5 в остальных случаях; ((1) если ¿(у) = 4;

(е) весь заряд, полученный гранью / от вершин и, ад степени не ¿у

Новый вклад элемента х € V и К обозначим через М*(х). Тогда £ М*(х) = —12

ввиду (1). Для завершения доказательства теоремы остается проверить, что М*(х) ^ 0 для любого х € V и К, так как сумма новых

—

отдельные случаи.

2.2. Проверка того, что М* (/) ^ 0, если / — грань ранга г.

Мы покажем, что собственный заряд 2г—6 неособой грани / достаточен для обеспечения младших вершин, лежащих на границе этой грани

(т. е. такая грань не нуждается в зарядах, полученных от вершин

/

считать, что ее собственный заряд 2 отдается двум 3-вершинам и нам

нужно будет показать, что поступление в / заряда от ее вершины ад

у

¿у

правил 112 (а) и Ш(Ь): вершина ад, имеющая степень не менее 12 ввиду

¡(3,3,4,11), дает / заряд который / далее передает у. Если же ¿у

/у

случай 1: г ^ 5. Если на границе / нет ни 4-, ни 5-вершин, т. е. грани / не нужно делать передач зарядов смежным граням по Ш', то

при г > 6 имеем М*(/) > 2г — 6 — 1х г = г — 6 > О, поскольку /

г

/ инцидентна те более чем четырем 3-вершннам ввиду ¡(3,3,3,3,5). Поэтому либо у / ровно четыре 3-вершины, и тогда М* (/) — 4 х 1 = О, либо / инцидентна не менее чем двум верши нам степени ^ 4, а

значит, М*(/)> 4-Зх1-2х±=0 (см. Ш). /

5, тогда М*(/) > 2г - 6 - (г - 2) х 1 - ± - § - (г - 3) х ± = ^ о,

/

(см. Ш и Ш').

случай 2: г = 4. Теперь М(/) = 2. По предположению !(3,3, 3, го) /

/

М* / — х

//

шине степени 4 или 5. Если четвертая инцидентная вершина V имеет степень не менее 12, то грань / получает от у заряд ^ согласно Т12(а), откуда М* (/) > 0 те правилу Ш. Допустим, что ¿(V) = й <11, тогда / инцидентна 5-вершине и ^ ^ 8 ввиду ¡(3,3,4,11) и ¡(3,3,5,7). По правилу Т13 грань / сначала получает от у не менее а^ ^ а^ = а

х ал —1/4

затем / из полученного заряда отдает по 9 ; на соседние грани из

окружения V, т. е. на самом деде от полученного заряда у / остает-

/

дополняя его зарядами (неотрицательными), которые могут передать смежные грани по 111', а также по правилу ИЗ, примененному к

соседним с / гранями го окружения V, так что М*(/) = 0.

/

/

или 5, то М*(/) ^2-1-2х| = 0. В противном случае / имеет , , , , , , , , ,

,,,

ущемленной 5-вершиной, когда одна из них получает а вторая — | согласно Ш(с). Поэтому М*(/) > 2 - 1 - \ - 2 х \ = 0 или М*(/) > 2 — 1 — \ — | — | = 0. Если / — (3, 5, 5, 5)-грань, то по Ш(с) каждая из трех 5-вершин получает | и М*(/) = 0.

Если же на грани / нет 3-вершин, то М*(/) ^ 2 — 4x^ = 0.

случай 3: г = 3. Пусть / = иуш, где ¿(и) < ¿(у) < ¿(ш). Если ¿(и) >6, то М*(/) = М(/) = 0.

Предположим, что ¿(и) = 5. Если ¿(у) = 5, то ¿(ш) ^ 9 ввиду ¡(5,5,8). При ¿(го) < 17 грань / получает от го либо не менее ад = | по ИЗ и 112 (с1) (если либо ¿(ш) < 11, либо ш жадная соответственно), либо не менее | по 112(1 (если ¿(ш) ^ 12, но ш не жадная). Тогда / передает и и у по правилу Т15 либо не более 2 х либо не более 2 х | соответственно, поэтому М*(/) ;:г 0. Если же ¿(го) ;:г 18, то / получает от го заряд | по Т12(с1) и передает по правилу 115 (с) не более 2 х Аналогично при ¿(у) = 6 ввиду ¡(5,6,6) по И2 И5 имеем М*(Л > \ ~ \ = 0 при 7 < ¿(у)) < 8 и М*(/) > | -1 = 0 при ¿(у)) > 9, поскольку «(¡(ш) ^ а9 = §• Наконец, при ¿(у) ^ 7 и ¿(го) ;:г 7 согласно И2 И 5 получаем М*(/) > 2 х | - § = 0 или М*(/) > § - § = 0 (при ¿(ш) < 11 и ¿(ш) ^12 соответственно).

Пусть теперь ¿(и) = 4. Если ¿(у) = 5, то ¿(ш) > 17 ввиду ¡(4, 5, 16), и согласно правилу 112 (с) грань / получает от го заряд | и передает по правилу И5 не более §■ + Поэтому М*(/) > 0. Далее, еели ¿(у) = 6, то ¿(ш) > 12 ввиду ¡(4,6, 11) и согласно правилу И2(с) грань / получает от и) заряд ^ и передает по правилу Т15(с1) не более Аналогично если ¿(у) = 7, то ¿(го) > 9, откуда М*(/) > § + \ - \ = 0 при ¿(го) < 11 или М*(/) ^ | - | = 0 при ¿(го) > 12. Если же ¿(г;) > 8, то ¿(го) > 8, откуда М*(/) > | - | = 0.

Наконец, при ¿(и) = 3 из И5(е) ввиду ¡(3, 6, го) сразу следует, что М* /

2.3. Проверка того, что M * (v) ^ 0, ее л и v — вершина степени d.

случай 1: d ^ 12. Если v инцидентна только тяжелым граням, то M * (v) > d — 6 — d х ad = 0 по правилу R2(b). Поэтому можно

v

грани f'.

Предположим теперь, что v инцидентна тяжелой грани f, которая смежна с f' то ребру vw. Если f' нетреугольная, то v передает ей не более г? по R2(a). Если же f' треугольная, то d(w) ^ 7 ввиду !(3,6, <ж). Тогда v отдает /' не более ^ по R2(c). Таким образом, в окружении v существует грань, которой v отдает не более Заметим, что если при этом вершина v отдает остальным d — 1 инцидентным граням не больше чем по f3d = d~¿I¡/2, то M*(v) > d - 6 - \ - (d - 1) х [3d = 0.

ПОДСЛУЧАЙ 1.1: d > 18. Достаточно заметить, что fíd ^ As > «18 = §, но по правилу R2 вершина v не отдает ни одной грани больше [3d-

d

v

в окружении v максимальную последовательность граней fo, fi,... , fk+i где fi,... , fk тяжелые, a f и fk+i то тяжелые. Если f = fk+i, т0 fo либо нетреугольная грань, либо 3-грань, инцидентная двум немладшим вершинам. По правилу R2 вершина v отдает /о не более а значит, M*(v) ^ 11 — 16x|i — i = 0. Если же fo ф fk+i, то ввиду сказанного выше грани /о и fk+i получают от v не более чем по Кроме того, v отдает остальным инцидентным граням не более |, поскольку /?17 = || < §. Следовательно, M*(v) > 11 - 15 х § - 2 х \ = 0.

v

v

получающая от v не более либо существуют по крайней мере 2 грани, которым v отдает не более Действительно, тогда мы будем иметь M*(v) > 11 - 16 х | - | = 0 или M*(v) > 11 - 15 х | - 2 х \ = 0.

у

и

иу у

более 77.

у

у/ //

степеней 4 или 5). Если в окружении у есть только одна (5, 5,17)-грапь, то у будет жадной, поэтому по Т12(с1) отдает этой грани заряд Если же при у есть те менее двух (5,5,17)-граней, то у нежадная и согласно Т12с[ передает этим граням по

Подслучай 1.3: ¿ < 16.

Заметим, что теперь передач | от у та треугольники типов (4, 5, ¿) и (5, 5, ¿) нет, поэтому каждая нетяжелая грань забирает у у не больше I = /#12 < Ре,- Но такая грань существует согласно замечанию, сделанному в начале случая 1, поэтому М*(у) > 3, — 6 — \ — (й — 1) х /За = 0.

СЛУЧАЙ 2: 8 < ¿(у) < 11. Каждой инцидентной грани у передает

заряд а а = > поэтому М*(у) = 0. ¿у

у

а треугольник ьм-ии с 4- или 5-вершиной и получает от у заряд | согласно 114, если ¿(ш) < 11. Покажем, что суммарная передача от у не превосходит 1.

Пусть каждая грань, получающая | от у, т. е. треугольник иуш, в котором ¿(и) = 3 (и ¿(ш) > 23 ввиду ¡(3,7,22)), а ребро иу инцидентно нетреугольной грани /, перебросит по р^ на те соседние грани

у/

у

пулевой заряд, согласно ИЗ является 3-грань и'уш при условии, что ¿(и') ^ 4.) Тогда каждая грань с очевидностью получает от у не больше^— Поскольку М(у) = 1, остается показать,

что найдется грань, получающая в итоге 0, либо найдутся две грани, получающие по

Сначала допустим, что ни одна грань не получала ^. Тогда каждая нетреугольная грань в итоге получает 0, а если же все инцидентные грани являются треугольниками, то ввиду ¡(5,5,7) при V имеется 3-грань, не инцидентная младшим вершинам и опять-таки получающая 0.

Теперь будем считать, что найдется грань /4, получающая от V заряд Если /4 смежна с гранями / и /5 из окружения вершины V, которые получают от V пулевой заряд, то будем называть такую тройку /3/4/5 ПРИ V контекстом 0X0.

Если же, скажем, / получает от V больше 0, то она фактически

является 3-граныо, инцидентной 3-вершине (так как, будучи инцидент/

получала бы 0 согласно Т14(а)), и поэтому получает ^ по Т14(Ь). Но тогда следующая грань / го окружения V является нетреугольной и получает 0. Такую четверку граней в окружении вершины V назовем контекстом 0ХХ0.

Если при V имеется контекст 0X0, то его средняя грань после переброски уже остается с зарядом = Поэтому можно считать, что каждая «нулевая» грань при V должна получать по ^ сразу от двух контекстов, но это с неизбежностью влечет еще один контекст 0X0, экономящий вторую

Остается допустить, что в окружении V нет контекста 0X0, но име-////

/ / / ////

стом 0ХХ0, то и /5 и /6 получают в итоге от V заряд Таким образом, М* (V) > 0.

Случай 4: ¿=5.

По правилам Ш и Т15 вершина степени 5 получает от каждой грани не менее 4. Ясно, что если V инцидентна грани, дающей ей не менее 4,

либо двум граням, дающим по то уже имеем М*(у) = — 1 + | + 4х| = 0 или М* (у) = —1 + 2x^ + 3x^ = 0. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только те случаи, когда вершина у получает по | не

менее чем от четырех граней и от пятой не более ^. Кроме того, будем

у

так как любая грань ранга не менее 5 передает у заряд |.

у

Заметим, что согласно Ш(с) вершина у получает не менее | от

/'

/

у

граням уу^у^!, где 1 < г < 4, так как в противном случае у получала

у

... у^уу^! (сложение по тос! 5) с ¿(у^) >9, ¿(у^) > 6, то эта грань давала бы вершине у заряд | согласно Т15(с), и мы имели бы М* (у) ;:г 0. Если бы среди вершин у^ нашлась младшая вершина, то либо

¿(у^+1) > 9, либо ¿(у®-1) > 9 ввиду !(5, 5,8). Но каждая вершина, вхо-

у

быть младшей, так как иначе у получала бы от этого треугольника и мы уже имели бы М*(у) > 0. Таким образом, если у смежна хотя бы с одной младшей вершиной, то на упорядоченном множестве ,... , щ } происходит чередование младших вершин с вершинами степени не менее 9.

При таком условии сначала допустим, что ¿(у1) >9 и ¿(уб) > 9. Тогда грань / = .. .у1уу5 ... дает вершине у заряд | согласно Ш(с), Т15(с).

Пусть теперь ¿(у1) <5 и ¿(уб) ^ 5. Если ¿(у1) = ¿(уб) = 4 или ¿(ух) = ¿(у5) = 5, то у получает | от 4-грани / согласно Ш(с). Если,

скажем, ¿(у^ = 4 и ¿(уб) = 5, то 4 < ¿(уз) ^ 5 ввиду чередования, /у

найдутся треугольники типов (4, 5, Ж) и (5, 5, N с общей вершиной ш € {щ,щ} степени N > 17 ввиду !(4, 5, 16). При N > 18 такой (5, 5, Ж)-

треугольник дает V заряд | по Т15(с), откуда М*(у) ;:г 0.

Пусть N = 17. Если ш нежадная, то этот (5, 5, ^-треугольник дает V заряд откуда М*(ги) ;:г 0, так как г> получает не менее ^ от 4-гранн /. Поэтому в дальнейшем будем считать, что ш жадная и грань /имеет тип (3, 4, 5, 5), поскольку в противном случае грань / отдавала бы V заряд Если г^ — ущемленная вершина в /, то вершина V получает | от / согласно Ш(с). Пусть не является ущемленной вершиной в /, тогда V4 те является жадной, поэтому ш = щ и ¿^4) ^ 12. Следовательно, V получает не менее чем по ^ от (5,5, ;:г 12)-граней vщщ и так как их наличие свидетельствует о том, что V4 не

является жадной, поэтому М*(V) > 0.

Остается допустить, что V смежна только с немладшими вершинами. Тогда ввиду ! (5, 6,6) либо среди четырех треугольников при V найдется 3-грань, инцидентная двум вершинам степени не менее 7 и дающая вершине V заряд либо пятая грань, инцидентная V, должна быть 4-граныо, дающей вершине V заряд откуда М*(у) ;:г 0.

ПОДСЛУЧАЙ 4.2: V — ущемленная вершина.

По правилу Ш вершина V получает | от (3, 4, 5, 5)-грани где ¿(VI) = 3 и !(v2) = 5. Обозначим вершины, смежные по циклу с V, через VI,... ^5. Вершина ^ смежна с vз, так как четыре грани, инцидентные V2, являются треугольными по определению ущемленной вершины. Пусть вершины, смежные по циклу с ^, суть ш, ш, ш, vз, V. По определению ущемленности либо ^^^ отбо ш жадная. В любом из этих случаев грань / = щvщ ... является 4-граныо ввиду !(3, 6, го).

Пусть сначала вершина vз жадная. По определению жадной вершины ^^ ^^^ ^^^ 4, а грань щvщ ... треугольная. Если грань /2 = V5VV4 ... является четырехугольной, то V получает от / заряд не менее поскольку в этой грани вершина V не является ущемленной, так как смежна с 4-вершиной ^ в ^^ ^ ^^шина V также не может быть ущемленной в / ввиду того, что щ инцидентна двум 4-граням / и/). Следовательно, грань /1 отдает V заряд не менее ^ и М*(у) ;:г 0. Если же / — треугольная грань, то ¿^б) ^ 17 ввиду !(4, 5, 16) и вершина V

получает от /1 заряд | по Ш, откуда М*(у) ;:г 0.

Предположим теперь, что ш жадная. Напомним, что тогда по

определению ущемленной вершины ¿(ш) = 5 и 9 < ¿(уз) <11 ввиду

,,

Если /1 = У1УУ5и) — грань, дающая | ущемленной ею вершине у, то /1 имеет тип (3,4,5,5). По определению ущемленной вершины грань / треугольная и ¿(у4) > 9. Тогда грапь / = у4ууз ... отдает у заряд | по правилам Ш(с), Т15(с). Поэтому далее будем считать, что /1 отдает у заряд не менее

Пусть сначала / — грань типа (3,4,5,5), но уже без ущемленной вершины, тогда у получает ^ от этой грани согласно Ш(с) и ¿(у5) = 4

или 5. Напомним, что ¿(уз) > 9 по предположению о том, что у —

/

у/

бы вершине у не менее Поэтому предположим, что /3 — треугольная грань. Если бы ¿(у4) ;:г 6, то /3 отдавала бы у заряд Остается предположить, что ¿(у4) = 5, так как ¿(уз) < 11. № тогда / — нетреугольная грань, дающая у заряд не менее

Наконец, пусть / те является гранью типа (3,4, 5, 5). Если / — неособая или особая грань с вершиной степени не менее 12, то передает вершине у заряд Предположим, что /1 — особая (3, 3, 5, А^-грань, где 8 < N < 11, а значит, передает у не менее | по правилу Ш(с). Ввиду жадности ш все инцидентные ей грани являются треугольными. Вершина х ф у^ в грани, инцидентной ребру шш, имеет степень 5, а значит, грань / * = шушх.. .нетреугольная. При ¿(ш) = 3 ввиду !(3,3,4, 11) грань /* имеет ранг не менее 5 и перебрасывает через ребро уоу 1 на грань /1 заряд ^ согласно Ш'. Следовательно, грань /1 отдает

у не менее | + ^ = § но Ш(с), так что М*(у) > 0. Если 8 < ¿(ю) < 11, /* /

менее = § по ИЗ. Поэтому /1 отдает у не менее 4 + § = § согласно Ш(с), и мы имеем М* (у) > 0.

Случай 5: ¿ = 4. М*(у) = -2 + 4 х | = 0 ввиду Ш и Т15: каждая

инцидентная вершине V грань дает ей ровно Случай 6: в, = 3.

Если V инцидентна трем граням ранга не менее 4, то М* (V) = —3 + 3x1 = 0 согласно Ш.

Если V инцидентна только одному треугольнику / = где

7 < ¿(и) < ¿(ш), то достаточно убедиться, что / передает вершине

V не меньше 1 по 112-115. Если ¿(и) > 12, ¿(ш) > 12, то и и ш передают вершине V через грань / не меньше чем по «12 = Пусть 7 < ¿(и) < 11, тогда ¿(ш) > 13 ввиду !(3,11,12) и / передает вершине

V заряд 7й(„) + ¡3¿_(ги) (если положить 77 = ввиду инцидентности и и ш нетреугольным граням. Поскольку функции и в^ растущие, остается лишь проверить граничные неравенства при 7 < ¿(и) < 11. Имеем

| + | = 1 при 7 < ¿(и) < 8 ввиду !(3, 8, 22); | + Ц > 1 при ¿(и) = 9 ввиду !(3,9,15); |§ + Ц > 1 при ¿(и) = 10 ввиду !(3,10,13); § + Ц > 1 при ¿(и) = 11 ввиду !(3,11,12).

Поскольку обе грани ранга не менее 4 передают V по 1, то М*(V) > —3 + 3x1 = 0.

Если V инцидентна ровно двум треугольникам жу^ и то покажем, что каждый из них, например жу^, передает вершине V не менее 1. Отсюда получим, что М*(V) > ^НЗх 1 = 0.

Во-первых, ¿(у) > 12, так как иначе ¿(ж) > 12, ¿(г) > 12 ввиду !(3,11,11), что противоречит замечанию 1. Далее, ¿(ж) >7 и ¿(г) > 7 ввиду !(3,6, го), так что грань ... ^ж ... не является особой. Поэтому ж передает вершине V не менее 5<1(х) = Iа<Цх) ^ 1<Цх) (мы доопределяем ¿7 = Вершина у передает вершине не менее а^у), а при нечетном й ввиду замечания 2 даже не менее •

Поскольку функции а^ и в а возрастают, остается лишь проверить граничные неравенства при (¿(ж) ^ 7. Имеем ¿7+/32з=(57+а24=,5 +

| = 1 при 7 < ¿(ж) < 8 ввиду !(3,8, 22); при 9 < ¿(ж) < 11 или ¿(ж) > 12 достаточно заметить, что S^x) è или a^x) è соответственно (так как ad(j/) è)- Итак, ввиду симметрии вершина v получает заряд не менее 1 через каждую инцидентную ей грань.

Наконец, пусть v окружена тремя 3-гранями. Если v смежна с вершиной ж степени ¿(ж) < 11, то две другие смежные с ней вершины y, z имеют степени не менее 13. Поэтому согласно R2, R3 и R5 вершина v получат не менее 2а^(ж) + 2ad(y) + 2а^(г) ^ 3, a при нечетных ¿(y), ¿(z) заряд вершин y, z, передаваемый вершине v, повышается даже до

2ßd(z)-

Действительно,

4 х ß23 = 4 х а24 = 3 пр и7< ¿(ж) < 8 ввиду !(3,8, 22), 2 х | + 4 х aie > 3 при d(ж) = 9 ввиду !(3, 9,15), 2 х | + 4 х «14 > 3 при d(ж) = 10 ввиду !(3,10,13), 2 х jj + 4 х «13 > 3 при d(ж) = 11 ввиду !(3,11,12). Если же ¿(ж) ¿(y) ^ 12 и ¿(z) ^ 12, то вершина v получает

от граней не менее 6 х

Таким образом, во всех случаях M*(v) > 0. Теорема 3 доказана.

Авторы выражают искреннюю благодарность А. П. Глебову за подробное изучение рукописи и сделанные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Steinitz Е. Polyheder und Raumeinteilungen // Enzykl. Math. Wiss. AB. 1922. V. 3 (Geometrie), N 12. P. 1-139.

2. Lebesgue H. Quelques conséquences simples de la formule d'Euler // J. Math. Pures Appl. 1940. V. 9. P. 27-43.

3. Бородин О. В. Усиление теоремы Лебега о строении младших граней в выпуклых многогранниках // Дискрет, анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2002. Т. 9, № 3. С. 29-39.

г. Новосибирск, г. Якутск

20 марта 2006 г.