CC BY
9Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
УДК 519.172.2
ТОЧНОЕ ОПИСАНИЕ 4-ЦЕПЕЙ В 3-МНОГОГРАННИКАХ С МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ 5 А. О. Иванова
Аннотация. В 1922 г. Франклин доказал, что каждый 3-многогранник Р5 с минимальной степенью 5 содержит 5-вершину, смежную с двумя вершинами степени не более 6, причем результат неулучшаем. В дальнейшем он был уточнен в нескольких направлениях. В частности, Йендроль и Мадараш (1996) доказали существование 4-цепи, сумма степеней вершин которой не превышает 23. Цель данной заметки — доказать, что каждый Р5 содержит (5, 6, 6, 6)-цепь или (5, 5, 5, 7)-цепь, причем результат не улучшаем ни по одному из параметров.
Ключевые слова: плоский граф, плоская карта, структурные свойства, 3-много-гранник, 4-цепь.
1. Введение
Степень в(х) вершины или грани х плоского графа С есть число инцидентных ей ребер. к-Вершина (к-грань) есть вершина (грань) степени к, к+ -вершина имеет степень не менее к, и т. д. Минимальную степень вершин в С обозначим ¿(С). Мы будем опускать аргумент всякий раз, когда он ясен из контекста.
к-Цепью называется цепь на к вершинах. Цепь г>1;...,г>к называется (в1,..., ¿к)-цепью, если < в», где 1 < г < к. Весом чи(Н) подграфа Н
графа С называется сумма степеней в С вершин подграфа Н. Через Р^ обозначим класс 3-многогранников с минимальной степенью в частности, Р3 есть множество всех 3-многогранников.
В 1904 г. Вернике [1] доказал, что если Р5 € Р5, то Р5 содержит 5-вершину, смежную с 6--вершиной. Франклин [2] в 1922 г. усилил этот результат, доказав существование (6, 5, 6)-цепи в каждом Р5 € Р5.
Теорема 1 [2]. Каждый 3-многогранник с минимальной степенью 5 содержит (6, 5, 6)-цепь, причем результат неулучшаем.
Заметим, что описание 3-цепей является точным, если ни один из параметров не может быть усилен и ни один из членов не может быть отброшен.
Работа выполнена в рамках государственной работы «Организация проведения научных исследований» и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 15-01-05867, 16-01-00499).
© 2016 Иванова А. О.
Точность описания Франклина следует из конструкции, получающейся из додекаэдра путем вставки вершины в каждую его грань и соединения этой новой вершины ребрами с пятью граничными вершинами.
Теорема 1 Франклина является основополагающей в структурной теории плоских графов. Она была усилена и обобщена в нескольких направлениях, см. [3-35].
Упомянем лишь несколько просто формулируемых результатов для Р5, которые наиболее близки к теореме Франклина и все параметры в которых точны.
Бородин [5] доказал, что существует 3-грань веса не более 17. Из результата Йендроля и Мадараша [24] следует существование 5-вершины с весом трех ее соседей не более 18, а также 4-цепи веса не более 23. Результат Мадараша [31] дает нам 5-цепь веса не более 29.
Недавно О. В. Бородин и А. О. Иванова [36] доказали следующий факт, возможно наиболее близкий к теореме Франклина среди отсутствовавших в литературе.
Теорема 2 [36]. Каждый 3-многогранник с минимальной степенью 5 содержит (5, 6, 6)-цепь, причем результат неулучшаем.
В [13] О. В. Бородин и А. О. Иванова доказали, что существует в точности семь точных описаний 3-цепей в 3-многогранниках без треугольников.
Теорема 3 [13]. Существует в точности семь точных описаний 3-цепей в 3-многогранниках без треугольников: (1) (5,3, 6) V (4, 3,7), (и) (3, 5, 3) V (3,4, 4), (ш) (5, 3, 6) V (3, 4, 3), (™) (3,5, 3) V (4, 3,4), (V) (5, 3,7), (У1) (3, 5, 4), (VII) (5, 4, 6).
Проблема 4 [18]. Дать все точные описания 3-цепей в Р3. В [36] также был сделан следующий скромный вклад в решение проблемы 4.
Теорема 5 [36]. Не существует точных описаний 3-цепей в Р5, отличных от данных в теореме Франклина и в теореме 2.
В [37] дано доказательство следующее совместного уточнения теоремы 2 и вышеупомянутого результата Йендроля и Мадараша [24] о 4-цепи веса не более 23.
Теорема 6 [37]. Каждый 3-многогранник с минимальной степенью 5 содержит (6, 5, 6, 6)-цепь или (5, 5, 5, 7)-цепь, причем результат неулучшаем. Целью данной заметки является доказательство следующего факта.
Теорема 7. Каждый 3-многогранник с 6 = 5 содержит (5, 6, 6, 6)-цепь или (5, 5, 5, 7)-цепь, причем результат неулучшаем.
Проблема 8. Дать все точные описания 4-цепей в Р5.
2. Доказательство теоремы 7
На рис. 1 изображена половина триангуляции, содержащей только 5-вер-шины и 7+-вершины и не содержащая (5, 5, 5, 5)-цепи, откуда следует точность члена (5, 5, 5, 7) в теореме 7. Действительно, достаточно сдвинуть одну половину на одну позицию и соединить с другой половиной по граничному циклу. Точность члена (5, 6, 6, 6) следует из хорошо известной конструкции, содержащей только 5-вершины и 6-вершины, в которой 5-вершины расположены сколь угодно далеко друг от друга.
Рис. 1. Конструкция, подтверждающая точность (5, 5, 5, 7) в теореме 7 (см. [37])
Предположим, что 3-многогранник Рд противоречит теореме 7, избегая (5, 6, 6, 6)-цепи и (5, 5, 5, 7)-цепи. Пусть Р5 есть контрпример к теореме 7 на тех же вершинах, что и Р', имеющий максимальное число ребер.
В ходе всего доказательства мы должны следить, чтобы запрещенные 4-цепи не вырождались в 3-циклы. В большинстве случаев это невозможно благодаря выбору запрещенной 4-цепи в окрестности центральной вершины, где все вершины попарно различны из-за отсутствия в Р петель и кратных ребер.
Обозначим через Vi,..., г^(х) соседей вершины или грани х в циклическом порядке вокруг х.
Утверждение 9. Р5 является триангуляцией.
Доказательство. Пусть Р5 содержит 4+-грань / = ). Заме-
тим, что V = Vj, где 1 < г < < в(/), благодаря отсутствию точек сочленения в Р5. Если в^) + в^з) > 11, то добавление диагонали в = v1vз дает нам контрпример Р5 к теореме 7 с большим числом ребер, поскольку в в Р^ соединяет 6+-вершину с 7+-вершиной, а это противоречит определению Р5. Таким образом, в^) = в(vз) = 5 в Р5. Из симметрии имеем также в^2) = в^) = 5. Следовательно, Р5 содержит (5, 5, 5, 5)-цепь; противоречие. □
Утверждение 10. Р5 не содержит разделяющего 3-цикла С = жуг, где в(х) = в(у) =5 и в(г) = 6.
Доказательство. Предположим противное. Через в;п-(ж) и вехЬ(ж) обозначим число соседей вершины ж, лежащих внутри и снаружи С соответственно. Такие же обозначения используем для вершин у и г. Очевидно, что вшЬ(ж) + вех-(ж) = в^Ы + вех-ьЫ = 3 и вт-(г) + вех-(г) = 4.
Поскольку Р5 является триангуляцией, а С разделяющим, получаем в^ > 1 и вехЬ > 1 для каждой из ж, у, г.
Если втЬ(ж) = в;пь(у) = 1, то имеем вершину ад внутри С такую, что существуют грани аджу, аджг и адуг, откуда следует в(ад) = 3; противоречие.
Из симметрии то же следует для внешности С, поэтому мы можем предположить, что в;пь(ж) = 1 и вшЬ(у) = 2. Теперь существуют грани аджу, аджг, иуг и удау. Если вшЬ(г) = 2, то в(ад) = 4 и в(и) = 3; противоречие. В противном случае имеем в;пь(г) + вехЬ(г) > 6 по симметрии. □
Обозначим множества вершин, ребер и граней контрпримера Р5 через V, Е и Р соответственно. Из формулы Эйлера IV| — |Е| + | = 2 для Р5 получаем
£ (в(v) — 6) = —12. (1)
vev
Определим начальный заряд формулой у^) = в(v) — 6 для каждой v € V. Заметим, что только 5-вершины имеют отрицательный начальный заряд.
Используя свойства Р5 как контрпримера к теореме 7, зададим локальное перераспределение зарядов, сохраняя их сумму, таким образом, что новый заряд будет неотрицательным для всех v € V. Полученное противоречие с (1) завершит доказательство теоремы 7.
5-Вершина v называется сильной, если она имеет не менее четырех 7+-соседей, в противном случае v называется слабой.
Используем следующие правила перераспределения зарядов (рис. 2).
13,1. Каждая 6+-вершина г>х дает ^ каждой смежной 5-вершине г> за следующими исключениями:
(е1) ¿(г>1) > 8 и V инцидентна 3-грани т где > 8. В этом случае
г>1 дает | вершине г> (это же верно для г>2).
(е2) ) = 6 и V является сильной. В этом случае v1 ничего не дает вершине V.
И2. Каждая 7+-вершина VI дает каждой смежной 6-вершине V следующий заряд:
(a) если V смежна со слабой 5-вершиной, за исключением случая, когда существуют 3-грани v1vv2, v1v2ж, где й^) = 7 и = ¿(ж) = 5; и тогда VI ничего не дает вершине V;
(b) 0, если существуют 3-грани v1vv2 и v1vv6, где = ¿^б) = 5.
Е1е2
6
Е2Ь
Рис. 2. Правила перераспределения зарядов
Убедимся далее, что > 0 для всех V € V. Заметим, что ввиду 3-
связности в окрестности любой вершины все ее соседи попарно различны.
СлучаЙ 1: ¿(V) = 5. Ввиду отсутствия (5, 5, 5, 5)-цепей в триангуляции Р5 вершина V имеет не более двух 5-соседей.
Если V имеет в точности двух 5-соседей, то все другие соседи имеют степень не менее 8 ввиду отсутствия (5, 5, 5, 7)-цепей в окрестности вершины V, следовательно, //(г>) >—1 + 2х| + 4 = 0по Ш.
5
0
5
Предположим, что V имеет только одного 5-соседа. Поскольку И,1е2 неприменимо, получаем //(г>) > — 1 + 4 х ^ = 0 по Ш.
Наконец, V не имеет 5-соседей. Если найдется в точности один 6-сосед, то V получает ^ четыре раза от 7+-соседей по Ш с учетом Ше2. В противном случае у получит ^ от каждого из своих соседей по Ш, откуда {у) > —1 + 5 х ^ > 0.
Случай 2: ¿(V) = 6. Если V не имеет 5-соседей, то «'(V) = «(V) = 6 — 6 = 0.
Пусть V имеет в точности одного 5-соседа, VI. Если V! имеет 6--соседа, отличного от V, скажем х (не исключено, что х смежна с V), то v! является слабой, а значит, получает ^ от у по Ш. Таким образом, мы должны убедиться, что у получит по меньшей мере | + | от своих 7+-соседей согласно 112. По симметрии можем считать, что > 7 ввиду отсутствия (5, 6, 6, 6)-цепей в
окрестности вершины V. Более того, хотя бы одна из vз, V4 также является 7+-вершиной. Если ¿(х) = 6, то у получает | от каждой из этих двух 7+-вершин, поскольку исключение из 112а не применяется. Таким образом, //(г>) > 0 —^+2х | = 0 по 112. Если с1(х) = 5, то й(г^) > 7, где 2 < г < 6, поскольку запрещенная (5, 5, 6, 6)-цепь через вершины х, v! и V невозможна. Теперь исключение из И,2а возможно только для г>2 или г>б, откуда следует //(г>) > 0 — ^ + 3 х | > 0 по 112а, И1. Если v! не имеет 6--соседа (т. е. является сильной), то V ничего не дает вершине v! согласно И,1е2, откуда /«'(V) = /«(V) = 6 — 6 = 0.
Далее предположим, что V имеет не менее двух 5-соседей, х и у. Если V инцидентна 3-грани х^, то V имеет четырех 7+-соседей ввиду отсутствия (5, 6, 6, 6)-цепей в ее окрестности. Заметим, что х не может быть смежна с 5-вершиной, отличной от у, из-за отсутствия (5, 6, 6, 6)-цепей в окрестности вершины х. По симметрии то же верно и для у. Следовательно, исключение из И2а (как и И,2Ь) не применимо ни к одному из 7+-соседей вершины V, откуда М» >0-2х±+4х§ = 0по 112а и Ш.
В противном случае х и у не могут быть смежны в Р5 согласно утверждению 10. Более того, каждый из 5-соседей вершины V является сильной вершиной, поскольку не существует (5, 6,5, 6)-цепей, проходящих через х, V, у, в Р5. Отсюда следует, что V ничего не дает им согласно И,1е2, а значит,
«'(V) = «(V) =6 — 6 = 0.
Случай 3: ¿(V) = 7. Заметим, что V имеет не более двух последовательных 5-соседей ввиду отсутствия (5, 5, 5, 7)-цепей в окрестности вершины V, а следовательно, не более четырех 5-соседей.
Если у имеет не более одного 5-соседа, то ц'{у) > 1 — — 6 х | = 0 по Ш,
И2.
Если V имеет в точности двух 5-соседей, то V имеет не более четырех 6-соседей ввиду отсутствия (5, 6, 6, 6)-цепей вокруг у, а значит, ц'{у) > 1 — 2 х ^ — 4x1 = 0.
Допустим, что V смежна в точности с тремя 5-вершинами. Теперь небольшим перебором убеждаемся, что V имеет не более двух 6-соседей, откуда «'(V) > 1-Зх±-2х§ = 0.
Если v имеет в точности четырех 5-соседей, то либо d(vi) = d(v2) = d(v4) = d(ve) = 5, либо d(v1) = d(v2) = d(v5) = d(vg) = 5. Теперь единственный возможный 6-сосед (v5 или соответственно одна из вершин v3, v4) ничего не получает от v согласно R2b или R2a, следовательно, //(г>) >1-4x^=0.
Случай 4: d(v) > 8. Если Riel применимо к vv1, то по симметрии d(v2) > 8, и v2 ничего не получает от v. Чтобы оценить общий заряд, передаваемый от v, усредним заряд, получаемый 5-вершиной v\ в Riel до j следующим образом: v дает j вершине v\ и | вершине г>2. Заметим, что при таком усреднении г>2 получает не более ^ + |, а значит, каждый сосед вершины v получает от нее не более j. Отсюда следует, что //(г>) > d{v) — 6 — d{v) x j = ^ÍÉÍIÜ—> g, что и требовалось.
Противоречие 0 < -12 с (1) завершает доказательство теоремы 7.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wernicke P. Uber den kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann. 1904. Bd 58. S. 413— 426.
2. Franklin P. The four color problem // Amer. J. Math. 1922. V. 44. P. 225-236.
3. Aksenov V. A., Borodin O. V., Ivanova A. O. Weight of 3-paths in sparse plane graphs // Electron. J. Comb. 2015. V. 22, N 3. P. #P3.28.
4. Ando K., Iwasaki S., Kaneko A. Every 3-connected planar graph has a connected subgraph with small degree sum (Japanese) // Annual Meeting of Mathematical Society of Japan. 1993.
5. Бородин О. В. Решение задач Коцига и Грюнбаума об отделимости цикла в плоском графе // MaT. заметки. 1989. V. 46, N 5. P. 9-12.
6. Borodin O. V. Structural properties of plane maps with minimum degree 5 // Math. Nachr. 1992. V. 18. P. 109-117.
7. Borodin O. V. Structural theorem on plane graphs with application to the entire coloring // J. Graph Theory. 1996. V. 23, N 3. P. 233-239.
8. Borodin O. V. Minimal vertex degree sum of a 3-path in plane maps // Discuss. Math. Graph Theory. 1997. V. 17, N 2. P. 279-284.
9. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing (d — 2)-stars at d-vertices, d < 5, in normal plane maps // Discrete Math. 2013. V. 313, N 17. P. 1700-1709.
10. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 4-stars at 5-vertices in normal plane maps with minimum degree 5 // Discrete Math. 2013. V. 313, N 17. P. 1710-1714.
11. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 3-faces in normal plane maps with minimum degree 4 // Discrete Math. 2013. V. 313, N 23. P. 2841-2847.
12. Бородин О. В., Иванова А. О. Каждый 3-многогранник с минимальной степенью 5 содержит 7-цикл с максимальной степенью вершин не более 15 // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 4. С. 775-789.
13. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing tight descriptions of 3-paths in triangle-free normal plane maps // Discrete Math. 2015. V. 338, N 11. P. 1947-1952.
14. Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R. 5-Stars of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2014. V. 34, N 3. P. 539-546.
15. Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R., Kostochka A. V., Yancey M. P. Describing 3-paths in normal plane maps // Discrete Math. 2013. V. 313, N 23. P. 2702-2711.
16. Borodin O. V., Ivanova A. O., Kostochka A. V. Every 3-polytope with minimum degree 5 has a 6-cycle with maximum degree at most 11 // Discrete Math. 2014. V. 315-316. P. 128-134.
17. Borodin O. V., Ivanova A. O., Kostochka A. V. Describing faces in plane triangulations // Discrete Math. 2014. V. 319. P. 47-61.
18. Borodin O. V., Ivanova A. O., Kostochka A. V. Tight descriptions of 3-paths in normal plane maps // J. Graph Theory (accepted).
19. Borodin O. V., Woodall D. R. Short cycles of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 1998. V. 18, N 2. P. 159-164.
20. Ferencova B., Madaras T. Light graphs in families of polyhedral graphs with prescribed minimum degree, face size, edge and dual edge weight // Discrete Math. 2010. V. 310, N 12. P. 1661-1675.
21. Hudak P., Madaras T. On doubly light triangles in plane graphs // Discrete Math. 2013. V. 313, N 19. P. 1978-1988.
22. Jendrol' S. Paths with restricted degrees of their vertices in planar graphs // Czechoslovak Math. J. 1999. V. 49. P. 481-490.
23. Jendrol' S. A structural property of convex 3-polytopes // Geom. Dedicata. 1997. V. 68. P. 91-99.
24. Jendrol' S., Madaras T. On light subgraphs in plane graphs with minimum degree five // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16, N 2. P. 207-217.
25. Jendrol' S., Madaras T., Sotak R., Tuza Z. On light cycles in plane triangulations // Discrete Math. 1999. V. 197-198. P. 453-467.
26. Jendrol' S., Voss H.-J. Light subgraphs of graphs embedded in the plane - a survey // Discrete Math. 2013. V. 313, N 4. P. 406-421.
27. Jendrol' S., Macekova M. Describing short paths in plane graphs of girth at least 5 // Discrete Math. 2015. V. 338, N 2. P. 149-158.
28. Jendrol' S., Macekova M., Sotak R. Note on 3-paths in plane graphs of girth 4 // Discrete Math. 2015. V. 338, N 9. P. 1643-1648.
29. Lebesgue H. Quelques consequences simples de la formule d'Euler //J. Math. Pures Appl. 1940. V. 19. P. 27-43.
30. Madaras T., Sotak R. The 10-cycle C10 is light in the family of all plane triangulations with minimum degree five // Tatra Mt. Math. Publ. 1999. V. 18. P. 35-56.
31. Madaras T. Note on the weight of paths in plane triangulations of minimum degree 4 and 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2000. V. 20, N 2. P. 173-180.
32. Madaras T. On the structure of plane graphs of minimum face size 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2004. V. 24, N 3. P. 403-411.
33. Madaras T. Two variations of Franklin's theorem // Tatra Mt. Math. Publ. 2007. V. 36. P. 61-70.
34. Madaras T., Skrekovski R., Voss H.-J. The 7-cycle C7 is light in the family of planar graphs with minimum degree 5 // Discrete Math. 2007. V. 307, N 11-12. P. 1430-1435.
35. Mohar B., Skrekovski R., Voss H.-J. Light subgraphs in planar graphs of minimum degree 4 and edge-degree 9 // J. Graph Theory. 2003. V. 44, N 4. P. 261-295.
36. Borodin O. V., Ivanova A. O. An analogue of Franklin's Theorem // Discrete Math. 2016. V. 339, N 10. P. 2553-2556.
37. Бородин О. В., Иванова А. О. Описание 4-цепей в 3-многогранниках минимальной степени 5 // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 981-987.
Статья поступила 17 апреля 2016 г. Иванова Анна Олеговна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 shmgnanna@mail. ru
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
UDC 519.172.2
TIGHT DESCRIPTION OF 4-PATHS IN 3-POLYTOPES WITH MINIMUM DEGREE 5 A. O.Ivanova
Abstract: Back in 1922, Franklin proved that every 3-polytope P5 with minimum degree 5 has a 5-vertex adjacent to two vertices of degree at most 6, which is tight. This result has been extended and refined in several directions. In particular, Jendrol' and Madaras (1996) ensured a 4-path with the vertex degree-sum at most 23.
The purpose of this note is to prove that every P5 has a (5, 6, 6, 6)-path or (5, 5, 5, 7)-path, where all parameters are tight.
Keywords: planar graph, plane map, structural properties, 3-polytope, 4-path.
REFERENCES
1. Wernicke P. "Uber den Kartographischen Vierfarbensatz," Math. Ann. 58, 413—426 (1904).
2. Franklin P., "The four color problem," Amer. J. Math., 44, 225-236 (1922).
3. Aksenov V. A., Borodin O. V., and Ivanova A. O. "Weight of 3-paths in sparse plane graphs," Electron. J. Comb., 22, No. 3, Paper #P3.28 (2015).
4. Ando K., Iwasaki S., and Kaneko A. "Every 3-connected planar graph has a connected subgraph with small degree sum," [in Japanese] Annual Meeting of Mathematical Society of Japan (1993).
5. Borodin O. V. "Solution of Kotzig's and Grunbaum's problems on the separability of a cycle in a planar graph," [in Russian] Math. Zam., 46, No. 5, 9-12 (1989).
6. Borodin O. V. "Structural properties of plane maps with minimum degree 5," Math. Nachr., 18, 109-117 (1992).
7. Borodin O. V. "Structural theorem on plane graphs with application to the entire coloring," J. Graph Theory, 23, No. 3, 233-239 (1996).
8. Borodin O. V. "Minimal vertex degree sum of a 3-path in plane maps," Discuss. Math. Graph Theory, 17, No. 2, 279-284 (1997).
9. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "Describing (d — 2)-stars at d-vertices, d < 5, in normal plane maps," Discrete Math., 313, 1700-1709 (2013).
10. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "Describing 4-stars at 5-vertices in normal plane maps with minimum degree 5," Discrete Math., 313, 1710-1714 (2013).
11. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "Describing 3-faces in normal plane maps with minimum degree 4," Discrete Math., 313, 2841-2847 (2013).
12. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "Each 3-polytope with minimum degree 5 has a 7-cycle with maximum degree at most 15," Sib. Math. J., 56, No. 4, 612-623 (2015).
13. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "Describing tight descriptions of 3-paths in triangle-free normal plane maps," Discrete Math., 338, 1947-1952 (2015).
14. Borodin O. V., Ivanova A. O., and Jensen T. R. "5-Stars of low weight in normal plane maps with minimum degree 5," Discuss. Math. Graph Theory, 34, No. 3, 539-546 (2014).
15. Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R., Kostochka A. V., and Yancey M. P. "Describing 3-paths in normal plane maps," Discrete Math., 313, No. 23, 2702-2711 (2013).
16. Borodin O. V., Ivanova A. O., and Kostochka A. V. "Every 3-polytope with minimum degree 5 has a 6-cycle with maximum degree at most 11," Discrete Math., 315—316, 128-134 (2014).
© 2016 A. O. Ivanova
17. Borodin O. V., Ivanova A. O., and Kostochka A. V. "Describing faces in plane triangulations," Discrete Math., 319, 47-61 (2014).
18. Borodin O. V., Ivanova A. O., and Kostochka A. V. "Tight descriptions of 3-paths in normal plane maps," J. Graph Theory, accepted.
19. Borodin O. V. and Woodall D. R. "Short cycles of low weight in normal plane maps with minimum degree 5," Discuss. Math. Graph Theory, 18, No. 2, 159-164 (1998).
20. Ferencova B. and Madaras T. "Light graphs in families of polyhedral graphs with prescribed minimum degree, face size, edge and dual edge weight," Discrete Math., 310, 1661-1675 (2010).
21. Hudak P. and Madaras T. "On doubly light triangles in plane graphs," Discrete Math., 313, No. 19, 1978-1988 (2013).
22. Jendrol' S. "Paths with restricted degrees of their vertices in planar graphs," Czech. Math. J., 49, 481-490 (1999).
23. Jendrol' S. "A structural property of convex 3-polytopes," Geom. Dedicata, 68, 91-99 (1997).
24. Jendrol' S. and Madaras T. "On light subgraphs in plane graphs with minimum degree five," Discuss. Math. Graph Theory, 16, 207-217 (1996).
25. Jendrol' S., Madaras T., Sotak R., and Tuza Z. "On light cycles in plane triangulations," Discrete Math., 197/198, 453-467 (1999).
26. Jendrol' S. and Voss H.-J. "Light subgraphs of graphs embedded in the plane - a survey," Discrete Math., 313, 406-421 (2013).
27. Jendrol' S. and Macekova M. "Describing short paths in plane graphs of girth at least 5," Discrete Math., 338,149-158 (2015).
28. Jendrol' S., Macekova M., and Sotak R. "Note on 3-paths in plane graphs of girth 4," Discrete Math., 338, 1643-1648 (2015).
29. Lebesgue H. "Quelques consequences simples de la formule d'Euler," J. Math. Pures Appl., 19, 27-43 (1940).
30. Madaras T. and Sotak R. "The 10-cycle is light in the family of all plane triangulations with minimum degree five," Tatra Mt. Math. Publ., 18, 35-56 (1999).
31. Madaras T. "Note on the weight of paths in plane triangulations of minimum degree 4 and 5," Discuss. Math. Graph Theory, 20, No. 2, 173-180 (2000).
32. Madaras T. "On the structure of plane graphs of minimum face size 5," Discuss. Math. Graph Theory, 24, No. 3, 403-411 (2004).
33. Madaras T. "Two variations of Franklin's theorem," Tatra Mt. Math. Publ., 36, 61-70 (2007).
34. Madaras T., Skrekovski R., and Voss H.-J. "The 7-cycle C7 is light in the family of planar graphs with minimum degree 5," Discrete Math., 307, 1430-1435 (2007).
35. Mohar B., Skrekovski R., and Voss H.-J. "Light subgraphs in planar graphs of minimum degree 4 and edge-degree 9," J. Graph Theory, 44, 261-295 (2003).
36. Borodin O. V. and Ivanova A. O. "An analogue of Franklin's Theorem, Discrete Math.," 339, No. 10, 2553-2556 (2016).
37. Borodin and O. V. Ivanova A. O. "Describing 4-paths in 3-polytopes with minimum degree 5," Sib. Math. J., 57, No. 5, 981-987 (2016).
Submitted April 17, 2016
Ivanova Anna Olegovna Nord-East Federal University, Kulakovskogo st., 48, Yakutsk 677000, Russia shmgnanna@mail. ru
