Высота 5-звезды в плоских нормальных картах с минимальной степенью 5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2014. Том 21, № 4

УДК 519.172.2

ВЫСОТА 5-ЗВЕЗДЫ В ПЛОСКИХ НОРМАЛЬНЫХ КАРТАХ С МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ 5 А. О. Иванова, Д. В. Никифоров

Аннотация. Рассматриваются нормальные плоские карты М5 с минимальной степенью 5. Высота 5-звезды есть максимальная степень ее вершин. Через обозначим минимальную высоту 5-звезд с центром в 5-вершине в данной карте М5. Известно, что существуют нормальные плоские карты М5 с минимальной степенью 5 такие, что ^($5) неограниченно велика. В 1940 г. Лебег доказал, что если М5 не содержит 4-звезд циклического типа (5, 6, 6, 5) с центром в 5-вершине, то М55) < 41. В 2013 г. О. В. Бородин, А. О. Иванова и Т. Р. Йенсен понизили эту оценку до 28 и дали конструкцию М5 без (5, 6, 6, 5)-звезд с 1г(85) = 20.

Доказано, что если М5 не содержит 4-звезд циклического типа (5, 6, 6,5) с центром в 5-вершине, то Ь(5б) < 23.

Ключевые слова: плоская карта, плоский граф, 3-многогранник, структурные свойства, звезда, высота.

1. Введение

Нормальная плоская карта (НПМ) — это плоский псевдограф, в котором разрешены петли и мультиребра, но степень каждой вершины и грани не меньше трех. Степень вершины/грани х обозначим через ¿(ж). к-Вершина — вершина степени к, к+ -вершина (к- -вершина) имеет степень не менее к (не более к); то же верно для граней. НПМ с минимальной степенью 6 обозначим через . к-Звезда Бк (и) называется младшей, если ее центр V имеет степень 5. Высота 5-звезды — максимальная степень ее вершин. Через Ь(Б^) обозначим минимальную высоту младших 5-звезд в данной М5.

В 1904 г. Вернике [1] доказал, что каждая карта М5 содержит 5-вершину, смежную с 6--вершиной. Этот результат был усилен Франклином [2] в 1922 г. до существования 5-вершины, смежной с двумя 6--вершинами. В 1940 г. Лебег [3, с. 36] дал приближенное описание младших 5-звезд в М5. В частности, его описание включает результаты из [1,2] и показывает существование 5-вершины с тремя 8--соседями.

Для М5 известные оценки Л.(Бх) < 6 [1] и Л.(Б2) < 6 [2] являются точными. Лебег [3] доказал оценку к(Б3) < 7. В 1996 г. Йендроль и Мадараш [4] улучшили оценку Н(Б^) < 11 Лебега [3] до точной оценки Н(Б^) < 10. Кроме того, Йендроль и Мадараш [4] дали точное описание младших 3-звезд в М5.

Работа первого автора выполнена в рамках государственной работы «Организация проведения научных исследований» и поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 12-01—98510, 12-01—00631, 15-01—05867), второго — при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-1939.2014.1).

© 2014 Иванова А. О., Никифоров Д. В.

Для произвольных НПМ известны следующие результаты о (^ — 2)-звездах при ¿-вершинах, где й < 5. Ван ден Хойвел и МакГиннесс [5] доказали, что существует вершина V такая, что либо < 11 при й(г>) = 3, либо < 11 при ¿(V) = 4, либо Л(5э^)) < 11 при ¿(V) = 5. Балог и др. [6] доказали, что < 10. Харант и Йендроль [7] усилили эти результаты, доказав, что либо М^!^)) < 10 при ¿(V) = 3, Л(52Н) < 10 при ¿(V) = 4, либо Л(53^)) < 7 с ¿(V) = 5. Недавно О. В. Бородин и А. О. Иванова [8] получили точное описание (^ — 2)-звезд в НПМ, в частности доказав, что < 10 при ¿(V) = 3, либо Л($2^)) < 9 при ¿(V) = 4, либо Л(5э^)) < 7 при ¿(V) = 5, где оценки 10, 9 и 7 неулучшаемы. Кроме того, О. В. Бородин и А. О. Иванова [9] получили точное описание 4-звезд в М5.

Более общая проблема описания ¿-звезд при ¿-вершинах, < 5, называемых полными звездами, на данный момент кажется неприступной для произвольных НПМ и трудной даже для М5.

Следующая хорошо известная конструкция показывает, что ^(^5) не ограничена для М5. Возьмем три концентрических п-цикла С1 = V! ... v'!n, где п не ограничено и 1 < г < 3, и соединим С2 с С1 ребрами v2vj1 и v2vj+1, где 1 < ] < п (сложение по модулю п). То же самое проделаем с С2 и С 3. Наконец, соединим все вершины С1 с новой п-вершиной и то же сделаем для С3.

5-Вершина V, окруженная вершинами v1,..., V5 в циклическом порядке называется (¿1, ¿2, ¿з, ¿4)-вершиной, или вершиной типа (¿1; ¿2, ¿3, ¿4), если существует к < 5, такое, что ¿(^) < ¿к (сложение по модулю 5).

Очевидно, что каждая 5-вершина V в построенной выше М5 является -к

(5, 6, 6, 5)-вершиной и, более того, V смежна с двумя 5-вершинами и двумя 6-вершинами. Лебег [3] доказал, что если М5 не содержит (5, 6, 6, 5)-вершин, то Л($5) < 41. В [10] эта оценка понижена до 28 и дана конструкция М5 без (5, 6, 6, 5)-вершин с Л(55) = 20.

Целью данной статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Каждая нормальная плоская карта с минимальной степенью 5, не содержащая (5, 6, 6, 5)-вершин, содержит младшую 5-звезду высоты не более 23.

2. Доказательство теоремы 1

Достаточно доказать теорему 1 для триангуляций, поскольку добавление диагоналей в нетреугольную грань нормальной плоской карты с 6 = 5 не создает ни новых младших звезд, ни (5, 6, 6, 5)-вершин и не может понизить высоту имеющихся младших 5-звезд.

Допустим, что триангуляция Т5 с минимальной степенью 5 и множествами вершин, ребер и граней V, Е и ^ соответственно является контрпримером к теореме 1. Заметим, что любая 5-вершина в Т5 смежна с 24+-вершиной.

Перепишем формулу Эйлера IV| — |Е| + | = 2 для Т5 в виде

]Т(ф) — 6) = —12.

vev

Начальный заряд ^(и) каждой вершины V € V(С) положим равным ¿(и)-6. Заметим, что только 5-вершины имеют отрицательный заряд. Перераспределим заряды вершин так, чтобы новый заряд ^'(и) каждой вершины V стал неотрицательным. Поскольку сумма зарядов вершин при перераспределении сохраняется, получим противоречие с (1), что и завершит доказательство теоремы. Используем следующие правила перераспределения зарядов. 11,1. Каждая вершина у с 7 < ¿(у) < 23 отдает ^ каждой инцидентной ей 5-вершине и2, если ¿(из) > 6.

И2. Каждая 24+ -вершина и отдает каждой инцидентной ей 5-вершине и2

(a) если ¿(ух) = ¿(г>з) = 5,

(b) 1, если ¿(их) = 5, а ¿(из) > 6,

(c) если ¿(У\) > 6 и ¿(уз) > 6.

Заряд вершины х после применения правил И,1 и И.2 обозначим через ^2(х). 5-Вершина х называется богатой, если ^2(х) > 0, и бедной, если и является

-К

(5, 5, п, 5)-вершиной, где 7 < п < 23.

Лемма 1. Если ¿(и) > 24, то ^'(и) > 0.

Доказательство. Чтобы оценить суммарный заряд, передаваемый вершиной и смежным 5-вершинам, усредним заряды в правилах И,2(Ь) и И,2(с) следующим образом: 112(Ь) у отдает | по ребру г>г>2 и ^ по ребру г>г>з и Р*,2(с) у отдает | по ребру г>г>2 и | по каждому из ребер г>г>х, уу%. (По-прежнему у отдает

4 по ребру УУ2 по 112(а).) Теперь по любому ребру у отдает не более | (так как

4

3 + 1<| + 1<|), откуда

М» > Ф) ~ 6 ~ Ф) х | = ^^ 24 > 0. □

Лемма 2. Если 7 < ¿(и) < 23, то ^'(и) > 0.

Доказательство. Поскольку по правилу И,1 вершина и из трех последовательных ребер может отдавать заряд не более чем по двум ребрам, при всех ф) > 8

п N . 2ф) 1 5ф) - 36 „ М» > Ф) - 6 - х - = —^- > 0.

Пусть ¿(и) = 7. Если и смежна менее чем с четырьмя 5--вершинами, то //(г>) > 1 — 4 х | = 0. В противном случае у смежна не более чем с двумя

6+-вершинами, а значит, по правилу Ш вершина у отдает ^ не более четырех раз, откуда (и) > 0. □

Лемма 3. Если 5-вершина и не бедная, то ^2(и) > 0.

Доказательство. Напомним, что и смежна с 24+-вершиной, скажем и2. Если = ¿(из) = 5, то ввиду симметрии ¿(и4) > 7 (поскольку в Т5 нет

младших (5, 6, 6, 5)-вершин). Если при этом ¿(у^) > 6, то у получает | от г>2 и не менее ^ от г>5 по Ш, Р*,2(а), откуда /л2(г>) > — 1 + | + ^ = 0. В противном случае и бедная.

Пусть > 6, тогда ^2(и) > -1 + 1 = 0 по И2(Ь), И2(с). □

Далее покажем, что в окрестности бедной вершины всегда найдется такая богатая вершина, что после дораспределения зарядов между богатыми и бедными вершинами будет ^'(и) > 0 для любой вершины и € V.

Лемма 4. Если 5-вершина V является бедной или богатой, то > 0.

Доказательство. Пусть V бедная, ) = = = 5, 7 < ) < 23, ) > 24 и V4 окружена вершинами V, V5, ж, у и vз в циклическом порядке, а вершина vз окружена вершинами V, v2, г, у и V4 в циклическом порядке.

Если г>4 также бедная, то ¿(у) > 24 и /л2(г>з) > — 1 + 2 х | = и богатая вершина г>з может дать по ^ каждой из своих бедных соседок г> и г>4 (заметим, что г не является бедной, так как смежна с двумя 24+-вершинами), откуда М'Н > 0 и ^з) > 0.

Пусть у3 бедная, тогда 7 < с!(у) < 23 (а с!(х) > 24), (л2{щ) > -1 + | + 2 х | > 2х | и богатая вершина г>4 может дать по ^ каждой из бедных вершин г> и г>з, откуда > 0 и > 0.

Пусть ни одна из вершин vз и V4 не является бедной. Поскольку ^(^5) > 24, то й{ж) > 24 или ¿(у) > 24. Если ¿(у) > 24, то //2(^3) > -1 + 2 х | > значит, может дать недостающую ^ единственной смежной бедной вершине г> (вершина г, как и выше, не бедная).

Пусть ¿(ж ) > 24. Тогда мгЫ > -1 + \ + 1 = и этого достаточно, чтобы богатая вершина г>4 отдала ^ бедной вершине г>, если у не бедная. Пусть у так же, как и г>, бедная, т. е. 7 < с1(г) < 23 и /л2(г>з) > — 1 + ^ + 1 = Тогда богатые вершины vз и V4 могут передать недостающий заряд бедным вершинам V и у. □

Таким образом, поскольку 6-вершины не участвуют в перераспределении зарядов, а 7+-вершины не участвуют в дораспределении зарядов, из лемм 1-4 следует, что > 0 для всех V € V. Теорема 1 доказана.

Авторы благодарят О. В. Бородина за идею, тщательную проверку доказательства и полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wernicke P. Über den Kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann. 1904. V. 58. P. 413-426.

2. Franklin Ph. The four colour problem // Amer. J. Math. 1922. V. 44. P. 225-236.

3. Lebesgue H. Quelques consequences simples de la formule d'Euler // J. Math. Pures Appl. 1940. V. 19. P. 27-43.

4. Jendrol' S., Madaras T. On light subgraphs in plane graphs of minimal degree five // Discuss. Math. Graph Theory. 1996. V. 16. P. 207-217.

5. Van den Heuvel J., McGuinness S. Coloring the square of a planar graph // J. Graph Theory. 2003. V. 42. P. 110-124.

6. Balogh J., Kochol M., Pluhar A., Yu X. Covering planar graphs with forests // J. Comb. Theory, Ser. B. 2005. V. 94. P. 147-158.

7. Harant J., Jendrol' S. On the existence of specific stars in planar graphs // Graphs Comb. 2007. V. 23. P. 529-543.

8. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing (d — 2)-stars at d-vertices, d < 5, in normal plane maps // Discrete Math. 2013. V. 313, N 17. P. 1700-1709.

9. Borodin O. V., Ivanova A. O. Describing 4-stars at 5-vertices in normal plane maps with minimum degree 5 // Discrete Math. 2013. V. 313, N 17. P. 1710-1714.

10. Borodin O. V., Ivanova A. O., Jensen T. R. 5-Stars of low weight in normal plane maps with

minimum degree 5 // Discuss. Math. Graph Theory. 2014. V. 34, N 3. P. 539-546. Статья поступила 15 ноября 2014 г.

Иванова Анна Олеговна, Никифоров Дмитрий Владиславович Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск, 677000, Республика Саха (Якутия) [email protected] [email protected]