CC BY
45
УДК 621.39
О стационарном распределении вероятностей состояний модели мультисервисной сети с тройной услугой
И. А. Гудкова
Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
Современные мультисервисные сети неразрывно связаны с коммерческой концепцией «тройная услуга», при которой пользователю по высокоскоростному каналу одновременно предоставляются три услуги — телефония, телевидение и передача данных Интернет. Трафик, генерируемый этими услугами, можно также разделить на три типа — одноадресный (unicast), многоадресный (multicast) и эластичный (elastic). В статье построена модель звена мультисервисной сети с тройной услугой, получена приближенная формула для стационарного распределения вероятностей состояний и предложен точный алгоритм для расчёта характеристик при помощи снижения размерности решаемой задачи.
Ключевые слова: тройная услуга, звено сети, потоковый трафик, одноадресный трафик, многоадресный трафик, эластичный трафик, стационарное распределение, приближенный метод, точный алгоритм.
1. Введение
В настоящее время происходит процесс конвергенции сетей, а инфокоммуни-кационные компании разрабатывают новые стратегии для успешного предоставления новых услуг в сетях следующих поколений. Процесс такой конвергенции связан с коммерческой концепцией «тройная услуга» («triple play») [1], подразумевающей предоставление в одной сети одним провайдером услуг, которые можно разделить на три крупные категории — «голос», «видео» и «данные». Каждая категория фактически является пакетной услугой: «голос» — IP-телефония, Skype, SIP-телефония; «видео» — IPTV, видео по запросу, потоковое видео поверх одноранговых сетей P2P; «данные» — передача файлов, электронная почта, обмен мгновенными сообщениями.
Трафик, генерируемый столь разнообразными услугами, пользующимися различной степени популярностью, различается не только по объёму, но и чувствительностью к потерям пакетов, побитовой скоростью, временем передачи и пр. Потоковый трафик — это трафик реального времени с фиксированным временем передачи, тогда как для эластичного трафика важна передача блоков данных заданного объёма, причём время передачи может варьироваться в зависимости от загрузки сети. В табл. 1 показаны типы трафика, основные режимы передачи и примеры соответствующих услуг. Используя табл. 1, можно говорить о трёх типах трафика — «одноадресный потоковый трафик», «многоадресный потоковый трафик» и «эластичный трафик», причём эластичный трафик может использовать оба режима передачи, но в статье рассматривается только одноадресный режим.
С точки зрения анализа математических моделей, теория телетрафика развивается последовательно, шаг за шагом. Изначально специалисты предлагали модели только с одним типом трафика, например, как в [2-4]. Отметим, что модели только с эластичным трафиком описываются в терминах систем массового обслуживания (СМО) с дисциплиной разделения процессора (Processor Sharing, PS), а в обзоре С.Ф. Яшкова [5] даётся подробный анализ большинства из этих
Статья поступила в редакцию 27 июля 2011 г.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-07-00487-а).
Автор выражает благодарность д.т.н., профессору, заведующему кафедрой систем телекоммуникаций РУДН К.Е. Самуйлову за постановку задачи, полезные советы в процессе исследований и неоценимую помощь при подготовке статьи.
СМО. Позднее проводился анализ попарных комбинаций трафика — одноадресного и многоадресного [2,6,7], одноадресного и эластичного [8-10]. Для моделей с однородным трафиком были найдены аналитические решения и разработаны рекуррентные алгоритмы, чего нельзя сказать о моделях совместного обслуживания одноадресного и эластичного трафика, для которых пока известны лишь приближенные методы. Модель, учитывающая все три типа трафика, впервые была построена в [11], но точные алгоритмы там также предложены не были. В данной статье разработаны как приближенный метод (раздел 3), так и точный алгоритм (раздел 4) для анализа и расчёта модели звена сети с тремя типами трафика.
Таблица 1
Типы трафика и режимы передачи «тройной услуги»
Трафик Одноадресный режим «точка - точка» Многоадресный режим «точка - много точек»
Потоковый Видео по требованию, IP-телефония, голосовая почта, онлайн прослушивание аудио-файлов, индивидуальные и групповые игры, обмен информацией бизнес-приложений с хранилищем данных Вещательное телевидение IPTV, вещательное телевидение высокого качества HDTV, телевидение с оплатой за просмотр (pay per view), видеоконференции, широковещательное и потоковое радио
Эластичный Поиск каналов IPTV, предварительная загрузка аудиофайлов для МР3-плееров, факс-приложения, оповещения службы мониторинга, передача гипертекста в формате HTML, обмен сообщениями SMS Групповые игры с предоплатой лимита времени, приложения электронной коммерции, удалённое управление и мониторинг в домашней сети, обмен мгновенными сообщениями, рассылка электронной почты
2. Построение модели для отдельного звена сети с
тройной услугой
Аналогично мультисервисным моделям, построенным в [2-4, 6, 7], рассматривается звено сети c С условными единицами канального ресурса (ЕКР), например, ЕКР = 1 бит/с. Также как и в [11], по звену передаётся одноадресный (u := unicast), многоадресный (m := multicast) и эластичный (e := elastic) трафик. Нагрузочные параметры модели определены в табл. 2. Предполагается, что входящие потоки являются пуассоновскими с интенсивностями А&, а длительности обслуживания распределены по экспоненциальному закону со средними ft-1, причём запросы каждого типа трафика требуют bk ЕКР, к £ {u, m, e}. В случае одноадресного и многоадресного трафика число выделяемых для каждого соединения ЕКР не меняется, тогда как блоки эластичных данных всегда занимают всю оставшуюся ёмкость звена. В исследуемой нами модели каждый блок требует как минимум be ЕКР, в противном случае запрос на передачу блока данных будет потерян. Основное отличие между тремя типами трафика заключается в дисциплине их обслуживания. Запросы на установление одноадресных соединений обрабатываются по дисциплине FCFS (First Come — First Served). Запросы на
установление многоадресного соединения обслуживаются по принципу «прозрачных заявок» [7], т.е. bm ЕКР занимаются единожды при установлении соединения на все его время, пока хотя бы один запрос продолжает обслуживаться. Наконец, блоки эластичных данных разделяют все свободные ЕКР звена с дисциплиной EPS (Egalitarian PS) [5].
Таблица 2
Нагрузочные параметры модели
Параметр
Тип трафика
Описание
Afc
к = u к = m к = e
Интенсивность потока запросов на установление одноадресных соединений. Интенсивность потока запросов на установление многоадресного соединения Интенсивность потока запросов на передачу блоков эластичных данных
^fc1
к = u к = m к = e
Среднее время занятия одноадресного соединения [с]
Среднее время занятия многоадресного соединения [с]
Средняя длина блока эластичных данных [бит]
Рк := Afc
1
к = u к = m к = e
Предложенная нагрузка одноадресного трафика [Эрланг]
Предложенная нагрузка многоадресного трафика [Эрланг]
Предложенная нагрузка эластичного трафика [ЕКР]
Ьк
к = u к = m к = e
Требование к ЕКР одноадресного соединения Требование к ЕКР многоадресного соединения Требование к ЕКР блока эластичных данных
Пк
к = u
к = m
к = e
Число установленных одноадресных
С
соединений nu Е { 0,
Состояние многоадресного соединения: пт = 1 обслуживание запроса(ов), пт = 0 в противном случае Число передаваемых блоков эластичных С
данных ne Е \ 0
Ье
u _
Из изложенного следует, что пространство состояний модели звена сети с тройной услугой имеет вид
^ := < (пи,пш,пе) : 0 < ^ пк Ък < С>. (1)
^ &б{и, т, е} ^
Функционирование рассматриваемой системы описывает марковский процесс над пространством состояний X, и, учитывая [11], можно получить систему уравнений равновесия (СУР) в виде
Р (Пи,Пш,Пе) I ^ ^ ^ 1 {(«и,Пш,Пв)£ Б&} +
\fceju, е}
+ Аш • 1 {(Пи,Пш,Пе) </ Бш л Пт = 0} + Пи^и + Аш (еРт - 1)-1 • 1 {Пш = 1} + + С (Пи, Пш) ^е • 1 {«е > 0} = р («и - 1, Пш, Пе) • Аи • 1 {«и > 0} +
+ р (Пи, 0, Пе) • Аш • 1 {«ш = 1} + Р (Пи, Пш, «е - 1) • Ае • 1 {«е > 0} + + р (Пи + 1,Пш,Пе) • (Пи + 1) ^и • 1 {(Пи,Пш,Пе) / Би} +
+ р (Пи, 1,Пе) • Аш (еРт - 1) 1 • 1 {(Пи,Пш,Пе)</ Бш Л Пш = 0} +
+ Р (Пи,Пш,Пе + 1) • С (Пи,Пш) ^е • 1 |(Пи,Пш,Пе) ^ Бе} , (Пи,Пт,Пе) . (2)
Здесь величина с (пи,пш) := С - пиЬи - пшЬш является числом ЕКР, не занятых потоковым трафиком и Б&, к £ {и, т, е} множества блокировок, определяемые формулами:
Бк (ии,Пш,Пе) : Ь^ + Ък >с\, к £ {и, е} ,
^ ш, е}
ш
(^и,Пш,Пе) : пзЬз + >С Л Пш = 0 I.
ш, е} ^
Заметим, что в отличие от классических моделей [2], решение СУР (2) не является мультипликативным, что связано с зависимостью интенсивности •с (пи, пш) передачи блоков эластичных данных от состояния системы. Следовательно требуется разработка приближенных и точных методов расчёта стационарного распределения вероятностей состояний модели, что и сделано в следующих двух разделах статьи.
3. Приближенная формула для оценки стационарного распределения вероятностей состояний
Введём Р {пе = ге | пи,пш} условную вероятность того, что в некоторый момент времени по звену сети передаются ге блоков эластичных данных при условии,
что установлено пи £ |0,..., | одноадресных и пш £ {0, 1} многоадресных
соединений. Обозначим Рш (пи) вероятность того, что многоадресное соединение может быть установлено при условии, что установлено пи одноадресных соединений, и пусть Ри (пи, пш) — вероятность того, что одноадресное соединение может быть установлено при условии, что установлено пи одноадресных и пш £ {0, 1} многоадресных соединений. Сформулированные ниже без доказательства леммы определяют формулы для распределения вероятностей р (пи,пш,пе) состояний модели с тремя типами трафика.
Лемма 1. Условное распределение числа блоков эластичных данных вычисляется по формуле
Р {«е = «е | Пи,«ш} =
(-*— У
ус (Пи, Пш) /
¿е = 0,...,
С (Пи, Пш)
с (Пи,Пш)
I ,пт) I С (Пи, ПшН Ье -1 (С (Пи , Пш) - Ре)
С (Пи,Пш^^ - ,1 ^^ '
Ье
, Пи = 0, . . .
С - ПшЬ„
, Пш = 0, 1. (3)
е
Ь
и
Лемма 2. Маргинальное распределение состояний одноадресных и многоадресного соединений вычисляется приближённо по формуле
- £ ]
Р {Пи = Ъи, Пт = Ът} : = Е Р (¿и, «т, к)
¿е=0
С
-1
(Ут - 1Гт ртт ы) (
¿„ — 1
ртт (ги)) ^ п ри (ш
3=0
ги = 0,...
С — ЪтЬп
гт = о, 1, (4)
Ь
и
где
I-£J ¡„ «и-1
I. \
° := £ тгП ри и, о)+ £ ((е'т -1) рт Ы) • РгП ри и, 1)
«и!
¿„=0 j=0
¿„=0
($ П р. <,ч),
(5)
I] I С(п„,1) I
Р Ы ) := V Р {п = i \ п 0\= С (Пи' 0) Ье (с (п0) -ре)
гт (^и) := Р = ¿е 1 п., 0} = : , С(„„,1) | +
¿е=0
[ « ]+1 -р[ ^ +1
с( пи, 0)
I °("„,0) I
с( пи, 0^ ье -1( С ( пи, 0) -Ре)
I с(п„,0) |+1 I °(",„,0) 1+1
с(пП'0^+1 -ре Ье ]+
п. = 0,...
(6)
X
X
и
I с(гс„ + 1,Пт) I - Ье J
Ри (Пи,Пт):= £ Р {Пе = ^ I Пи,Пт} =
¿е = 0
I с(^„ + 1,Пт) I I с(п„ ,пт) I
с( Пи,Пт^ Ье (с(пи,пт) - Ре) с(пи,пт^ Ье -1(с(Пи,Пт) - £е)
Пи = 0,...
С - птЪт
, Пт = 0, 1. (7)
и
Теперь стационарное распределение состояний модели звена сети с тройной услугой может быть вычислено по формуле:
Р (^u, Ъе) Р ^е 1 ^и ^и, ^т ^т} • Р {^и ^и, ^т ^т} ,
(г.,гт,ге) . (8)
Заметим, что приближенное решение СУР (2) может быть найдено несколькими способами (см., например, [8-10]), но проведённые автором данной статьи численные исследования показали, что только распределение, вычисленное по формулам (3)-(8), подходит для расчёта основной характеристики модели — среднего времени передачи блока эластичных данных, при этом относительная погрешность вычислений составляет менее 1%.
4. Точный алгоритм для снижения размерности решаемой задачи
В данном разделе получен точный алгоритм для расчёта ненормированных вероятностей д (пи, пш, пе) состояний модели звена сети с тремя типами трафика. Алгоритм, сформулированный в лемме 3, выписан в предположениях 6е < 6и и &е < &ш, которые основаны на реальных исходных данных для сетей с тройной услугой (см. книгу [1]).
Лемма 3. Ненормированные вероятности состояний модели звена сети с тройной услугой вычисляются по формулам
д (0, 0, 0) = 1,
(Пи, 0, 0) = ХПц,о, Пи = 1,... д («и, 1, 0) = ХПц,1, Пи = 0,...
С_
ьии
С - Ьш
(9) (10) (11)
и
I £ \
<? (Пи, Пш, Пе) = «00 (Пи, Пш, Пе) + ^ («и, Пш, Пе) • +
¿=1
I. \
+ X] (Пи,«ш, Пе) • Ха, (Пи,Пш,Пе) , Пе > 0. (12)
¿=0
В формуле (12) коэффициенты ац (пи,пш,пе) вычисляются по рекуррентным соотношениям:
{ощ (Пи,Пш,Пе) , Пе > 0, |Ии - Ъ - 3 | < Пе, 1, Пе = 0, г = Пи, 3 = Пш,
0, в противном случае,
(Пи,Пш,Пе) {
1
- с (Пи,Пш)
+ Аш • и Пш = 0 Л 1
(Ли^
С - ПшЬш - (Пе - 1) Ье
> пЛ +
С - Пи Ьи - (Пе - 1) Ье
> 0^ = и+ Ае +
+ Пи^и + Аш (еРт - 1) 1 -1 {Пш = 1} + С (Пи, Пш) ^е -1 {^ > 2} j -О^ (Пи, Пш, Пе - 1) -- Аи • 1 {Пи > 0} • а^ (Пи - 1, Пш, Пе - 1) - Аш • 1 {Пш = 1} • ац (Пи, 0, Пе - 1) -
- Ае • 1 {Ие > 2} • ац (Пи, Пш, Пе - 2) - (Пи + 1) ^и X
1
С - ПшЬш - (Пе - 1) Ье
> пЛ • О^ (Пи + 1, Пш, Пе - 1) - Аш (еРт - 1) 1 X
хч Пш = 0 Л 1
С - ПиЬи - (Пе - 1) Ье
>} = 1}
> 0^ = П • агу (Пи, 1,Пе - 1)
(13)
В формулах (10)-(12) величины Хц являются решением системы линейных уравнений:
и
ш
и
ш
Ш L J
ft 00 (Пи ,Пт) + Z fti0 (Пи, Пт) ' ХЮ + ^ (Пи, Пт) ' ^¿1 = 0,
¿=1
¿=0
Пи = 1, . . .
Л пт = 0, пи = 0,...,
С- bm
Л Пт = 1,
ftij (Пи,Пт) = ( Пи^и + Ат (ePm - 1) 1 ■ 1 {Пт = 1} + С (Пи,Пщ) Ре X
1
с( Пи,Пт ) Ье
| ^ ■ о^ (г
X ац Пи - 1,ПГ
> 0
с( Пи, пт)
с(Пи, Пт) Ье
- Лт ■ 1 («т = 1} ■ «ij «и, 0
- Ли ■ 1 (Пи > 0} X
с( Пи, 1)
-Ае -1
С(Пи, Пт) Ье
)| ■ ац ^г
> 0 ^ ■ aij Пи,Пт,
с(Пи, Пт) Ье
- 1 . (14)
После нормировки величин д (п.,пт,пе) получаем искомое стационарное распределение р (пи ,пт,пе) вероятностей состояний модели.
Следствие 5. Алгоритм леммы 3 снижает размерность задачи (2) со значе-
ния
1*1 =
L £ J
Z
пц=0
С - ПиЪи
+
до значения
+
С- Ьт
L J
z
nu=0
+ 1.
С - ПиЬи - bm
С С - Ьт
+ А. + Ьи _
+ 2 (15)
Например, для близких к реальным исходных данных из [1] размерность исходной системы составляет порядка 107, а число уравнений в получаемой после применения алгоритма СУР — всего около 102. Заметим, что для частного случая модели звена сети с тройной услугой — модели с многоадресным и эластичным трафиком — система линейных уравнений (13)-(14) вырождается в одно уравнение, решение которого, следовательно, получается в явном виде.
5. Заключение
Таким образом, в статье построена модель звена мультисервисной сети с тройной услугой — тремя дисциплинами обслуживания одноадресного, многоадресного и эластичного трафика. Предложены два метода расчёта стационарного распределения вероятностей состояний модели. Первый метод (раздел 3) основан на приближенном вычислении маргинального распределения числа одноадресных и многоадресных соединений. Метод, предложенный в разделе 4 статьи, позволяет значительно снизить размерность задачи и представить её решение в виде линейной неоднородной комбинации вероятностей с рекуррентно рассчитываемыми коэффициентами.
и
и
е
е
е
и
и
Литература
1. Hens F. J., Caballero J. M. Triple Play: Building the Converged Network for IP, VoIP and IPTV. — Johns Wiley & Sons Ltd., 2008. — P. 416.
2. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина, И. А. Гудкова. — Москва: Академиздатцентр
«Наука» РАН, 2009. — С. 16-28. [Novihyj ehtap razvitiya matematicheskoyj teorii teletrafika / G. P. Basharin, K. E. Samuyjlov, N. V. Yarkina, I. A. Gudkova. — Moskva: Akademizdatcentr «Nauka» RAN, 2009. — S. 16-28. ]
3. Gaidamaka Y, Samouylov K. Analytical Model of Multicast Network and Single Link Performance Analysis // Proc. of the 6-th International Conference on Telecommunications ConTEL-2001. — Zagreb, Croatia: 2001. — Pp. 169-175.
4. Samouylov K. E., Gudkova I. A. Recursive Computation for a Multi-Rate Model with Elastic Traffic and Minimum Rate Guarantees // Proc. of the International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems ICUMT-2010. — Moscow, Russia: 2010. — Pp. 1065-1072.
5. Яшков С. Ф. Математические вопросы теории систем обслуживания с разделением процессора. — Москва: ВИНИТИ, 1990. — Т. 29. — С. 382. [Yashkov S. F. Matematicheskie voprosih teorii sistem obsluzhivaniya s razdeleniem processora. — Moskva: VINITI, 1990. — T. 29. — S. 3-82. ]
6. Samouylov K., Yarkina N. Blocking Probabilities in Multiservice Networks with Unicast and Multicast Connections // Proc. of the 7-th International Conference on Telecommunications ConTEL-2005. — Zagreb, Croatia: 2005. — Pp. 423-429.
7. Gudkova I. A., Plaksina O. N. Performance Measures Computation for a Single Link Loss Network with Unicast and Multicast Traffics / Ed. by S. Balandin, R. Dunaytsev, Y. Koucheryavy. — Germany, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. — Vol. 6294. — Pp. 256-265.
8. Bonald T., Proutière A. On Performance Bounds for the Integration of Elastic and Adaptive Streaming Flows // Proc. of the Joint International Conference on Measurement and Modeling of Computer Systems Sigmetrics-Performance-2004. — Vol. 32, No 1. — New York, USA: 2004. — Pp. 235-245.
9. Admission Control for Differentiated Services in Future Generation CDMA Networks / H.-P. Tan, R. Nunez Queija, A. F. Gabor, O. J. Boxma. — Elsevier Science, 2009. — Vol. 66, No 9-10. — Pp. 488-504.
10. Karray M. K. Analytical Evaluation of QoS in the Downlink of OFDMA Wireless Cellular Networks Serving Streaming and Elastic Traffic. — 2010. — Vol. 9, No 5. — Pp. 1799-1807.
11. Gudkova I. A., Samouylov K. E. Approximating Performance Measures of a Triple Play Loss Network Model / Ed. by S. Balandin, R. Dunaytsev, Y. Koucheryavy. — Germany, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. — Vol. 6869. — Pp. 360-369.
UDC 621.39
On the Stationary Probability Distribution for a Multi-Service Model of the Triple Play Network
I. A. Gudkova
Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, Russia
Modern multi-service networks are inseparably linked with the commercial concept "triple play" that implies simultaneous provisioning of telephony, television and data transmission over a single broadband connection. These services generate traffics of three types — unicast streaming, multicast streaming and elastic traffics. In this paper, we propose a multi-service model of a triple play single-link network; we obtained an approximate formula for the stationary probability for the model; and finally, we find an exact algorithm for calculating performance measures by reducing the dimension of the problem.
Key words and phrases: triple play, single-link, streaming traffic, unicast traffic, multicast traffic, elastic traffic, stationary probability distribution, approximation, exact algorithm.
