О способе учета сжимаемости дозвукового потока в нестационарных нелинейных задачах аэродинамики Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 97

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 533.6

О СПОСОБЕ УЧЕТА СЖИМАЕМОСТИ ДОЗВУКОВОГО ПОТОКА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ АЭРОДИНАМИКИ

В.И. БУШУЕВ

Основное внимание уделено получению расчетных формул в явном виде для запаздывающих потенциалов диполей на плоской панели, расположенной под произвольным углом атаки в нестационарном потоке сжимаемого газа.

Настоящая работа является развитием известных для малых углов атаки подходов [1 - 4] к учету сжимаемости дозвукового потока применительно к произвольным углам атаки.

Пусть в сжимаемой идеальной среде с дозвуковой скоростью U0 движется тонкое плоское прямоугольное крыло-панель без скольжения. В момент времени t = 0 происходит скачкообразное изменение его угла атаки (а = 0° - 90°). Начало связанной с крылом прямоугольной системы координат OXY'Z' расположено в носке центральной хорды размером Ax', ось OX' направлена вдоль хорды к задней кромке крыла, ось OZ' - вдоль правого полуразмаха крыла, ось OY' - перпендикулярна указанным осям координат.

Полагая, что возмущенное панелью движение газа потенциально и что в момент t = 0 на ней возникло однородное распределение диполей с моментом r+(t) (при этом r+(t) - циркуляция скорости по замкнутому контуру в направлении от нижней поверхности панели к верхней), на основе теории запаздывающего потенциала Е.А. Красильщиковой и работ [1 - 3] можно записать выражение для потенциала скоростей j, индуцируемых в точке A0 (x0,y0,z0 ) в момент времени t рассмотренным слоем диполей:

M[(x'0 - x') cos а + (y'0 - y') sin а] r

f /2 ,Г [t +--------0-------------0----------------]

1 Э 1 °/2 Ax' +L ,2 ,2

г j г с ak ak ■, г /i\

j = — lim —; 1 dz J -----------------------------------------------------dx , (1)

4p y' ® 0 Эу' - l0 /2 0 R

где a - скорость звука в невозмущенном потоке, M = U^a,k = Vi - M2,

I " " " " 2 2 " " " " 2 2 " , 2

R = \ [(x 0 - x ) cos a + (y 0 - y ) sin a] + k [(y 0 - у ) cos a - (x 0 - x ) sin a] + k (z 0 - z ) ,

10 - размах панели (вдоль оси OZ') и Г+ ° 0 при

M[(x'0 - x') cos a + (y 0 - y') sin a] R

F = t + LV 0------------------------------—^——- --< 0. (2)

ak ak

Последнее условие позволяет определить границы "зоны слышимости" диполей в точке A0, например, вдоль оси OZ (где z = z'/b, b - характерный линейный размер) при x = x' */b = Ax'/(2b):

zj = z0 + (-1)j J( t M)2(1-M2sin2 a)+2t(y0 -y)sin a-(y0 -y)2 -(tcos a-x0 +Ax/2)2, (3)

где t = tU0/b, y = y'/b, j = 1, 2.

При использовании величин b = x0 - x, Г+ = U0br,

r = R/b = ^[b cos a + (y0 - y) sin a]2 + k2 [(y0 - y)cos a - b sin a]2 + k2 (z0 - z)2 (4)

и рекомендаций, содержащихся в работе [5] по учету влияния границы "акустической зоны" слоя диполей на пластине, выражение (1) преобразуется к виду:

j =

ипьг

где

значения

4р

PJ,z*,j = 1,2

Д Z2 b2dR Д Z2 Р2 1 Дг lim — fdz ídb + M — fdz f-lim— db

y®o Ду z* b z* b -y®0 Ду

выбираются в пределах панели

(5)

диполеи

(b j =t cos a + (-1)j^(t/M)2 (l - M2 sin2 a)+

^ у ^ ^ ^ ^)+ 2т(уо - y)sin а- (уо - у)2 - (гд - г)2 ), а величина Г(х, у,

г, т, М, а) постоянна в диапазоне расчетного шага по времени Ат по всей "зоне слышимости" и скачкообразно меняется лишь на границе "зоны слышимости" и при переходе к новому расчетному моменту при численном методе решения аэродинамических задач.

Выполнение необходимых операций и допущение о затухании возмущений на бесконечном удалении от крыла (панели) и его следа позволяет получить следующее соотношение:

Ф =

и0ЬГ 2 •

-°т Д(--)J

signy0signC1

E

■a-ctg-

(z-z0)

|yo|^k2 (z-Zo)2 +y2L+M2yoGoj sin2a+G2jE

z=zi

Myf

tE+M

yo sin a-M2 cos a(t cos a-xo +Ax/2)

2k2 -o,5M4 sin2 2a

EBJI M2Ly2 + k2B2 JE-o,25M6y2 sin2 2a

(6)

x a-ctg-

MCj

M2Ly2 + k2B2 JE-o,25M6y2 sin2 2a

где Cj = o,5M2yo sin2a + GojE, E = 1 - M2 sin2 a, L = 1 - M2 cos2 a, Goj =

fxoJ =

lxo -Ax,j = 2,

B = Jt 2E + 2M2 ty0 sin a-M2y2 - M2 (t cos a-x0 + 0,5Ax )2.

Вывод формулы (6) производился при Pj = x0 - Ax, p2 = x0 и при условии воздействия "зоны слышимости" на точку А0(х0, y0, z0) тогда, когда в эту зону попадает центр панели диполей. При сравнительно малых размерах панели вдоль оси OX' (Ax'/b<<1) и значительном расчетном времени (t >> 1) указанное допущение представляется физически целесообразным.

Дифференцирование по соответствующим координатам выражения (6) дает возможность получить формулы в явном виде для скоростей, индуцируемых в каждый момент времени в сжимаемой среде (М < 1) в любой точке пространства А0 произвольно ориентированной по углам атаки панелью диполей (замкнутым нестационарным вихрем).

В предельном случае, например, для панели бесконечного размаха (I о ® ¥ при времени т

--- ¥

в точке А0(х0, у0), безразмерные касательные (ух) и нормальные (уу) составляющие возмущенной ско-

— 1 Эф — и0 Г г

рости (Уп =-----, Уп =---------уп, п = {х, у}) представляются в виде:

Ь Эп 2p

2

1

j=1

2

yo

л/ї

M

2

vx = I (- 1)j+1--------------------

x y2 (1 - M2)+ [o,5M2yo sin2a + Goj (1 - M2 sin2 a)]

2

vy

I (-1)¡+1

j=1 yo

o

G

oj

■M2

2 (1 - M2)+ [o,5M2yo sin2a + Goj (1 - M2 sin2 a)]2

z=z

+

+

x

В частном случае при числе М = 0 данные выражения преобразуются к известным соотношениям (угол а - произвольный):

2 V 2 - Оп

= у (-1) ^------------------------Уо- V = у (- 1) ^

^ ,»2 ,г 2 ’ V V 2 + г 2 ’

j=1 Уо + О0] J=1 Уо + О0]

а при М Ф 0 и, например, у0 = 0 влияние сжимаемости существенно различно для малых и больших

2 . — ^ 1 — м2 2 . — 1

углов атаки: для а = 0°: vV = У (-1) ■’+1-------------------------—-, а для а = 90°: vV = У (-1) ',+1-

■М2 )

,3/2

°»і' у аОІ(і

что качественно согласуется с данными работы [8] по снижению несущих свойств профилей на больших углах атаки с ростом значений числа М (увеличение скосов потока от вихревых рамок с ростом а при заданном числе М соответствует уменьшению потребных значений напряженности вихрей, т.е. и нагрузки, для выполнения условия непротекания поверхности крыла при одном и том же приращении угла атаки).

При известных в каждый момент времени значениях ф(хо, уо, г0, х, М, а) и

V (х о, у о, 2 о, X, М, а) с помощью численного метода, структурно аналогичного способу решения нелинейной нестационарной задачи в несжимаемой среде на основе замкнутых вихревых рамок [6], выполняя условие непротекания на крыле и выстраивая за крылом вихревой след, в каждый расчетный момент времени г можно найти безразмерные интенсивности диполей Гг (циркуляции замкнутых вихрей). Затем на основании интеграла Коши-Лагранжа [7] (массовые силы отсутствуют, нет теплообмена, завихренность потока сосредоточена внутри тонких слоев, сходящих с кромок крыла)

Р - Р¥ =

^*2 ^2 Эф

2

2

Э1

где Р =

7 *

р '■'р ■* *

---------, у * =-------показатель адиабаты, р - давление, р - плотность, W = И0 (нет вра-

7* -1 Р ^

щения крыла), Wo = Wa - И0, Wa = Уф, получим соотношения для безразмерных коэффициентов давления ср. = р; /(у*р¥М2/2) на верхней (ср1) и нижней (ср2) поверхностях панели в каждый расчетный момент времени г (при этом х = Ахт):

г

с =

Рі

7 М

I *

(7* - і)м" 1 ------------

1 +

г ( ¥+1 Г

соэ а + V, + (- 1) ------

2Дх

і \і+1 ЭГ1 ЭФ*

(- 1) -------------+ 2----------

Эф*

Эх

Эх

7*/(7* -1)

і = 1, 2.

Здесь V, = £ (г • -Г--1 )vX, Э

2— •=! ЭХ

ЭГ! гг -Г

г-1

Дх

Эфг = Эф

Эх •=1 Эх

при этом ф = иоЬф* .

Производная

Эф

Эх

определяется дифференцированием по времени выражения (6), что выполня-

ется аналитически без затруднений.

Таким образом, найденное в работе аналитическое выражение для потенциала скоростей ф(хо, уо, 2о, х, М, а) дало возможность определить в любой момент времени х > о составляющие возмущенных скоростей от панели диполей (замкнутой вихревой рамки) и нагружение крыла - панели с учетом сжимаемости среды в дозвуковом потоке газа, набегающем на крыло под произвольным углом атаки.

2

г

2

+

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Франкль Ф. И., Карпович Е. А. Газодинамика тонких тел. - М.: Гостехиздат, 1948.

2. Белоцерковский С. М., Колесников Г. А. Расчет воздействия порыва на крыло сложной формы в плане при дозвуковых скоростях. - М.: Известия АН СССР, МЖГ, 1969. - № 6.

3. Бушуев В. И. Математическое моделирование нестационарного обтекания несущей поверхности с рулями при большой дозвуковой скорости. - М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1985.

4. Бушуев В. И. Исследование численными методами аэродинамики рулевых поверхностей самолетов // В сб.: Труды XI Международного симпозиума "МДОЗМФ - 2003". - Харьков - Херсон, 2003.

5. Общая теория аэродинамики больших скоростей; Под ред. У. Р. Сирса. - М.: Воениздат, 1962.

6. Апаринов В. А., Дворак А. В. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками // Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского. - М., 1986. - Вып. 1313.

7. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. - М.: Физматгиз, 1963.

8. Коржнев В. Н., Пешков С. И. Расчет обтекания тонких профилей дозвуковым потоком газа // Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского. - М., 1986. - Вып. 1313.

ABOUT CALCULATION METHOD OF SUBSONIC STREAM COMPRESSIBILITY IN NON-STABLE NONLINEAR AERODYNAMICS PROBLEM

Bushuev V. I.

The main attention is given to obtaining of design formulas in a manifestative view for retarded potentials of dipoles on a plane panel disposed under an arbitrary angle of attack in a unsteady flow of a compressible gas.

Сведения об авторе

Бушуев Валерий Ильич, 1938 г. р., окончил ВВИА им. Н.Е. Жуковского (1968), доктор технических наук, профессор кафедры аэродинамики ВВИА им. Н. Е. Жуковского, автор более 100 научных работ, область научных интересов - аэродинамика, математическое моделирование обтекания летательных аппаратов при использовании традиционных и нетрадиционных органов управления и механизации.