О СПЕЦИФИЧЕСКОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Димитров Б. О числе отказов системы из п нагруженных элементов // Изв. Матем. ин-та Болгар. АН. 1970. 12. 205-210.

4. Sarmah P., Dharmadhikari A.D. Estimations of parameters of 1-out-of N:G repairable system // Communs Statist. Theory and Meth. 1984. 12, N 11. 1365-1374.

5. Vijakumar A., Gopalan M.N., Radhakrishnan R. Stochastic analysis of n-unit repairable system with slow switch // Stochast. Anal, and Appl. 1984. 2, N 4. 459-470.

6. Lipsky L. Queueing theory. A linear algebraic approach. N.Y.: Springer, 2009.

7. Mehdi J. Stochastic models in queueing theory. Amsterdam, Boston, London, etc.: Academic Press, 2003.

8. Hsu Yunq-Lin, Ke Jau-Chuan, Lin Tzu-Hsin. Redundant systems with general form recovery, delay in restart, failure of switching's and unreliable repair device. Statistical point of view // Math, and Comput. Simul. 2011. 81, N 11. 2400-2413.

9. Азарсков B.H., Джассим Мухаммед Касми, Стрельников В.П. Использование порядковой статистики в задачах оценки надежности резервированных систем // Матем. машины и системы. 2005. № 4. 152-156.

10. Болтянский В.Г., Виленкин И.Я. Симметрия в алгебре. М.: МЦНМО, 2002.

Поступила в редакцию 26.02.2020

УДК 517.968.72

О СПЕЦИФИЧЕСКОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

С. Искандеров1, Е. А. Комарцова2

Устанавливаются достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейного однородного вольтеррова интегродифференциальпого уравнения четвертого порядка в случае, когда любое ненулевое решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка не является асимптотически устойчивым. Приводится иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: интегродифференциальное уравнение типа Вольтерры четвертого порядка, асимптотическая устойчивость, специфический признак.

Sufficient conditions for asymptotic stability of solutions to a homogeneous fourth order linear integro-differential Volterra equation are established in the case when any nonzero solution to the corresponding homogeneous fourth order linear differential equation is not asymptotically-stable. An illustrative example is presented.

Key words: integro-differential equation of Volterra type of the fourth order, asymptotic stability, specific feature.

Все фигурирующие функции и их производные являются непрерывными, соотношения имеют место при t ^ to, t ^ т ^ to; J = [to, то); под асимптотической устойчивостью решений линейного интегродифференциальпого уравнения (ИДУ) четвертого порядка понимается стремление к нулю при t ^ то всех его решений и их производных до третьего порядка включительно.

1 Искандеров Самандар — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. теории интегродифференциальных уравнений Инта математики НАН Кыргызской Республики; проф. Кыргызско-Турецкого ун-та "Манас", e-mail: mrmacintosh@list.ru.

2Комарцова Елена Алексеевна — ст. преп. Кыргызско-Российского Славянского ун-та; асп. Ин-та математики НАН Кыргызской Республики, e-mail: komartsovnmQmail.ru.

Iskandarov Samandar — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Laboratory of Theory of Integro-Differential Equations, Institute of Mathematics of NAS of Kyrgyz Republic; Professor, Kyrgyz-Turkish Manas University.

Komartsova Elena Alekseevna — Senior Lecturer, Kyrgyz-Russian Slavic University; Postgraduate, Institute of Mathematics of NAS of Kyrgyz Republic.

Задача. Установить достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейного однородного ИДУ четвертого порядка вида

ж(4)(Ь) - аз(Ь)ж'''(Ь) + а2(Ь)ж''(Ь) + а1(Ь)ж'(Ь) + ао(Ь)ж(Ь) +

+ / [0)(Ь,т)ж(т) + ^1(Ь,т)ж'(т) + д2(^,т)ж''(т)+ дз(Ь,т)ж'''(т)]Жг = 0, Ь ^ ¿0, (1)

при условии

аз(Ь) ^ 0, (аз)

т.е. в случае, когда любое ненулевое решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка

ж(4)(Ь) - аз(Ь)ж'''(¿) + а2(Ь)ж''(Ь) + а1(Ь)ж'(Ь) + ао(Ь)ж(Ь) =0, Ь ^ ¿о,

не является асимптотически устойчивым, что подтверждается формулой Остроградского-Лиувилля. Известно, что такие условия называются специфическими.

Отметим, что такая задача ранее исследована в [1, 2], при этом в [1] аз(Ь) = 0 и установлены достаточные условия экспоненциальной устойчивости (стремления к нулю при Ь ^ ж всех решений и их производных до третьего порядка включительно по экспоненциальному закону).

Настоящая работа продолжает исследования [1, 2] для новых классов ИДУ (1), что достигается главным образом развитием нестандартного метода сведения к системе [3], метода возведения уравнений в квадрат [4, с. 28], метода частичного срезывания [5], развитием преобразований по схеме А ^ В ^ С из [4, с. 149-151], применением леммы Люстерника-Соболева [6, с. 393-394; 7] и теоремы 460 Э. Ландау [8, с. 425]. Мы используем также метод преобразования уравнений В. Вольтерры [9, с. 194-217] и метод интегральных неравенств Ю. А. Ведя, 3. Пахырова [10]. Приступим к получению основного результата. В ИДУ (1) сделаем нестандартную замену [3]:

ж''(Ь) + рж' (Ь) + дж(Ь) = W (Ь)у(Ь), (2)

где р, д — некоторые вспомогательные параметры, причем р > 0, д > 0; 0 < W(¿) — некоторая весовая функция; у(Ь) — новая неизвестная функция.

Тогда ИДУ четвертого порядка (1) сводится к следующей эквивалентной системе:

ж''(Ь) + рж' (Ь) + дж(Ь) = W (Ь)у(Ь), у''(Ь) - Ьз(Ь)у'(Ь) + Ы%(Ь) + ЫЬ)ж'(Ь) + Ьо(Ь)ж(Ь)+

+ / [Ро(Ь,т)ж(т) + Р1 (Ь,т)ж'(т)+ Р2(Ь,т)у(т)+ К(Ь,т)у'(т)]йт = 0,

(3)

-1

+ (Ь) - pW(Ь)]'(W(Ь)) 1 + р2 - д,

где Ьз(Ь) = аз(Ь) + р - 2W '(Ь)(W(Ь)) Ь2(Ь) = а2(Ь) + аз(Ь) W'(Ь)(W(Ь))-1 -р

Ь1(Ь) = [а1(Ь) -ра2(Ь) - (р2 - д)аз(Ь) + 2рд - рз] )W(Ь))-1,

Ьо(Ь) = [ао(Ь) - ^(Ь) -рдаз(Ь) + д2 - др2]^(Ь))-1,

Ро(Ь, т) = (W(Ь))-1 [^о(Ь, т) - д^(Ь, т) + р^з(Ь, т)],

Р (Ь, т) = (^(Ь))-1 [^(Ь, т) - р^2(Ь, т) + (р2 - д)^з(Ь, т)],

Р2(Ь,т) = (W(Ь))-1 [^2(Ь,т)W(т) + ^з(Ь,т(т) -pW(т))],

К (Ь,т) = (W (Ь))-1^з(Ь,т ^ (т).

Следуя статье [7], сначала проведем преобразования отдельно для каждого уравнения системы (3), затем их сложим.

Для произвольно фиксированного решения (х(г),у(г)) первое уравнение системы (3) возводим в квадрат [4, с. 28], интегрируем в пределах от ¿о до г, в том числе по частям, и получаем следующее тождество:

щ(г) = / (х''(в))2 + (р2 - 2д)(х'(в))2 + д2(х(в))'

йв + р{х' (г)) 2+

+2дх(г)х' (г) + ря{х(г))2 = т(го) + ^ (в))2 (у(в)) 2йв.

(4)

Теперь преобразуем второе уравнение системы (3). Для этого аналогично [4, 5] введем обозначения: ф(г) — некоторая срезывающая функция, м(г) = к(г,г)(ф(г)) 2, т(г,т) = к(г,т)(ф(т)) \ т.е. применим метод частичного срезывания [5]. Тогда, согласно лемме из [5], справедливо следующее преобразование двойного интеграла:

2 /' У'(в)

К (в, т )у' (т )йт

По

йв = м (г){ у (г,го))2 -

- Гм' (в){у (в,го))2йв - 2 Г у' (в)

Jtо -'¿о

По

Т'(в,т )у (т,го)йт

йв,

(5)

где

у (г,го) = Ф(п)у' Шп-

■По

Заметим, что соотношение (5) лежит в основе метода частичного срезывания и ядро Т(г, т) называется частично срезанным [5].

Для произвольно фиксированного решения (х(г),у(г)) системы (3) ее второе уравнение умно-

у (г) го г

вводим функции М(г),т(г,т),у(г, го) И используем преобразование (5). В результате имеем следующее тождество:

П2(г) = (уу'(г))2 - 2 СЬз(в)(у'(в))2йв + Ь(г)(у(г))2 - ГЬ2(в)(у(в))2йв+

■'¿о -Но

+2 [ у'(в){Ьг(в)х'(в) + Ьо(в)х(в)+ I [Ра(в,т)х(т)+ Рх(в,т)х'(т) + Р2(в,т)у(т)]йт\йв + ■¡¿о К Jtо J

+м(г)(у(г,го))2 - Гм'(в)(у(в,го))2йв - 2 IV(в

■'¿о -'¿о

ТТ(в,т )у (т,го )йт

йв = П2(го). (6)

Пусть

член

w'(г) < о. ^)

Тогда Ьз(г) > 0,Ьз(г) ^ р > 0 и в тождестве (6) присутствует неположительный интегральный

t

2 (7)

I(г) = -2 [ Ьз(в)(у(в))2йв,

■По

который не позволяет применить лемму 1 работы [10] об интегральном неравенстве. К этому "плохому" интегралу применим преобразования, аналогичные преобразованиям (3.108)^(3.113) [4, с. 1 И) 151] или преобразованиям (9)—(12) [11].

В (7) введем срезывающую функцию ф(г), интегрируем по частям и получаем следующий аналог преобразования (9) из работы [11]:

I(г) = -2 [ Ьз(в)(ф(в)) 1 у'(в)ф(в)у'(в)йв = -2 [ а(в)у'(в)йзу(в, го) =

Jtо ¿¿о

= -2а(г)у' (г)у (г, го)+ 2 [ [а (в)у' (в) + а(в)у"(в)] у (в, го)йв,

(8)

где а (г) = Ьз (г)( ф(г)) 1.

В соотношении (8) заменим у''(в) на ее выражение из второго уравнения системы (3):

I(Ь) = -2а(Ь)у'(Ь)Г(Мо) + 2 / [а'(в) + Ьз(в)а(в)]у'(в)Г(в,Ьо)^в-

■Ьо

р з

-2 а(в)Г(в,Ьо) / К(в,т)у'(т- 2 а(в)Г(в,Ьо){Ы«)у(в) +

о tо ¿¿о ¿¿о

+Ь1(в)ж'(8)+ Ьо(в)ж(в)+ /" [Ро(в,т)ж(т) + Р1(в,т)ж'(т)+ Р2(в, т)у(т)]^т(9)

Jtо

Далее преобразуем первый и второй интегралы из соотношения (9). Вводя функцию ^(Ь) и интегрируя по частям, аналогично (11) из [11] имеем следующее преобразование для первого интеграла из (9):

л /• t

2 [а'(8) + Ьз(в)а(в)]у'(в)Г(8, ^ = 2 [а'(в) + Ьз(в)а(в)] (^(в))- ^(в)у'(в)Г(8, ^ =

^0

'¿о

= Гв^^Г(Мо))2 = в(Ь)(Г(Ь,Ьо))2 - /V(в) (Г(Мо))Х (10)

■/ tо ¿о

где в(Ь) = [а'(Ь) + Ьз(Ь)а(Ь)] (^(Ь))-1.

Для второго интеграла из (9), вводя срезывающую функцию ^(Ь) во внутреннем интеграле, используя обозначения а(Ь), М(Ь), Т(Ь, т) и интегрируя по частям, получаем следующее соотношение:

-2 / а(в)Г(в,Ьо) / К(в,т)у'(т=

•^0 ^о

= -2 / а(в)Г(в,Ьо) /^(в,т)(^(т)) ^(т)у'(т^

./ ¿о Ь ./¿о

= -2 [ а(в)Г(в,Ьо) / Т(в,тКГ(т,Ьо)

-'¿о [./¿О

= -2 [ а(в)Г(в,Ьо) Т(в, в)Г(в,Ьо) - / ТТ(в,т)Г(т,Ьо)^т

■1 ¿о ■'¿о

^ =

^ =

^ =

ТТ(в,т )Г (т, Ьо)^т

/¿о

/•t /•t = -2 Ьз(в)М(в)(Г(в,Ьо))+ 2 / а(в)Г(в,Ьо)

■/¿о -'¿о

Учитывая преобразования (10) и (11), из (9) будем иметь

/■ t

I(Ь) = -2а(Ь)у'(Ь)Г(Ь, Ьо) + в(Ь) (Г(Ь *о))2 - [в'(в) + 2Ьз(в)М(в)] (Г(в, Ьо))2^+

■По

(11)

+2 / а(в)Г(в,Ьо)

■По

тТ(8,т )Г (т,Ьо)йт

/¿о

-2 а(в)Г (в,ЬоН Ь2(в)у(в) + Ь1(в)ж' (в) + Ьо(в)ж(в)+

'¿о

+ / [Ро(в,т)ж(т) + Р (в,т)ж'(т)+ Р2(в,т)у(т)]йт

■По

С учетом преобразования (12) тождество (6) примет вид

И2(Ь) = (у' (Ь))2 - 2а(Ь)у' (Ь)Г (Мо)+ А(Ь)(Г (Ь, Ьо ))2 - Г В (в) (Г (Мо))2^ + ЫЬ)(у(Ь))2 =

Ьо

з

= U2(io)+ / (s)(У(в))2 + 2a(s)Y(s, toMs)y(s)]ds+

/io

+2 Г [y'(s) - a(s)Y(s,to)]

Jto

'to

T;(s,r )Y (r,io)dr

ds+

+2 / [a(s) Y(s, to) - y'(s)] {fei(s)X(s) + bo(s)x(s) +

to

+ f [Po(s,r)x(r) + Pi(s,T)x'(t) + P2(s,r)y(r)]dr}ds,

to

(13)

где А(Ь) = М(Ь) + в(Ь), В(Ь) = М'(Ь) + в'(Ь) + 2Ьз(Ь)М(Ь).

Сложим тождества (4) и (13). Тогда получаем следующее окончательное энергетическое тождество:

2 ~ Ч/ // ч\2 , 2 / / ч\2] , , ( ,,,чч2

(й); + (Г

^о

)2 ( )2 ( )2

u(t) = / [(x''(s))2 + (p2 - 2q)(x'(s))2 + q2(x(s))2]ds + p(x'(t))2+

to

+2qx(t)x'(t) + pq(x(t))2 + (y'(t))2 - 2a(t)y'(t)Y(t,to) + A(t)(Y(t,to))2-

/■t /" t -/ B(s)(Y(s,to))2ds + &2(t)(y(t))2 = u(to)+/ [(W(s))2(y(s))2+

to to

+b2(s) (y(s))2 + 2a(s)Y(s, to)&2(s)y(s)]ds + 2 f * [y'(s) - a(s) Y(s, to)] x

tT(s,t )Y (r,to)dr

to

ds + 2 jf [a(s)Y(s, to) - y'(s)]{bi(s)X(s)+

+Ьо(в)ж(в) + £ [Ро(в,т)ж(т) + Р1(в,т)ж'(т)+ Р2(в,т)у(т)]Жг}йв. (14)

Переходя от тождества (14) к интегральному неравенству и применяя лемму 1 [10], аналогично теореме из [7] доказываем следующую теорему.

Теорема. Пусть 1) выполняется условие (аз); 2) р > 0, д > 0, W(Ь) >0 вие А(Ь) = А1(Ь) + А_2(Ь^ А1(Ь) > 0 А2(ь) ^ 0; 3) р2 - 2д > 0; 4) существует число

е € (0,1) такое, что (а(Ь)) ^ (1 - е)А2(Ь); 5) существует функция В*(Ь) € ¿1(7, такая, что В(Ь) ^ В*(Ь)А1(Ь^ 6) Ь2(Ь) ^ Ь2о > 0, существует функция Ь2(Ь) € Д+), такая, что

т^ътт; 7) + («с*)!^^)+ [1 ч- |«С01 | ч-

Jt0 (Pkftr)) 2dT

+ /t0 |P2(t,r)|d^ € L1(J,R+\{0}) (k = 0,1).

(15)

(16)

[1 + (a(t)) (Ai (t))"1] (6fc(t)(2 +

Тогда для любого решения (x(t), y(t)) системы (3) справедливы утверждения:

x(k)(t) € L2(J,R) (k = 0,1, 2),

y(k)(t) = 0(1) (k = 0,1).

Пусть, кроме того, 8) W'(t) — 0, t — го. Тогда, для, любого решения x(t) ИДУ четвертого (1)

lim x(k)(t) = 0 (k = 0,1, 2, 3),

t—^^o

(1)

Отметим, что из утверждений (15), согласно лемме Люстерника-Соболева [6, с. 393-394; 7] (если x(k)(t) € L2(J, R), k = 0,1, то x(t) — 0 при t — го), получаем, что x(k)(t) — 0, k = 0,1, t — го. Так как W(t) — W(ro),t — го чт0 следует из условия W(t) > 0 условий (W) и (W(t))2 € L1(J, R+ \{0}),

то на основании теоремы 460 Э. Ландау [8, с. 425] заключаем, что справедливо предельное соотношение W(t) — 0,t — то. Тогда из замены (2) в силу x(k^(t) — 0,k = 0,1,t — то и y(t) = 0(1) имеем x''(t) — 0,t — то. Далее остается продифференцировать замену (2) и воспользоваться соотношениями x'(t) — 0, x"(t) — 0, W(k\t) — 0, k = 0,1, при t — то и утверждением (16). В результате получаем x (t) - 0, t - то

четвертого порядка (1) асимптотически устойчиво.

Заметим, что при доказательстве теоремы используются следующие факты:

I) условие 3 теоремы обеспечивает выполнение соотношения p{x' (t)) +2qx(t)x'(t)+pq(x(t)) ^ 0;

II) (y'(t))2 = (1-e)(y'(t))2+t(y'(t))2 и условие 4 теоремы обеспечивает выполнение соотношения

(1 - e)(y'(t))2 - 2a(t)y'(t)Y(t,to) + Ä2(t)(V(t,to))2 > 0;

III) для любых чисел tk € (0,1), Dk > 0 имеют место следующие соотношения:

et о rt

2 [ [a(s)Y(s,t0) - y'(s)}bk(s)x^k\s)ds = [ [a(s)Y(s, to) - yl{s)]bk{s)^/7^D'kx^\s)ds <

Jt0 V ekDk Jt0

< ekDk f {x^(s))2ds + ^- f [a{s)Y{s,to)-y'{s)]2{bk{s))2ds^ekDk f [x^{s))2ds+ Jt0 ek Dk Jt0 Jt0

fi(a(s))2{Y(s,to))2 + (y'(s))2] (bk(s))2ds, к = 0,1,

где D0 = q2, D\ = p2 — 2q\

IV) с помощью неравенства Коши-Буняковского устанавливается неравенство

2 Î [a(s)Y(s, to) — y'(s)} Î Pk(s,t)x(k\r)drds <

Jtn Jto

{x^k){T))2dT

J Uto

Пример. Для ИДУ четвертого порядка

to •'to

t г rs

I (Pk(s, t))2dT I '(t))"dT ds, к = 0,1.

to to

< 2 [la(s)HY(s,to)l + |y'(s)l}

to

ap)(t) - x"'it) + —^"(t) + [7 + — + e-2\Smt)ï]x>(t) + [5 + — + f^]x(t) + + Г { [e"4"^ + e"t+t(i + t + l)"4(cos# + Q3(î,t)]s(t)+

■' tn v

+ [2e_i+r(t + r + l)"4(cos ф + + 3 Qs(t,r)]x\r)+

С + С \ 2

+ [e-t+T(t + T + l)~4(cost)l +3Q3(t,T)]xll(T)+Q3(t,T)xm(r)^dT = 0, t > (U)

где Qs{t,T) = 25e_i+llr\J4 + (t — r)e_20i, выполняются все 8 условий теоремы при р = 2, q = 1, W(t) = е~К Здесь t0 = b3(t) = 5, b2(t) = 3 + ¿j, h(t) = e'^sini)è, b0(t) = P0(t,T) =

= P2(t,r) = K(t,r) = 25e10rд/4 + (t — т)е~ш, ф(t) = еш, T(t,r) =

25л/4 + (t — т)е~ш, M(t) = 50е~ш, a(t) = 5е~ш, f3(t) = -25е~ш, A(t) = 50е~ш - 25е~ш, A^t) = е~ш, A2(t) = 49e_10i - 25e"20i, e = f, B(t) = 500e"2OÎ, B*(t) = 500е"ш. Следовательно, любое решение приведенного ИДУ четвертого порядка (1*) асимптотически устойчиво.

Для ИДУ (1*) имеем T|(i, г) = ^ _2оt ^ ®т0 03начает) чт0 частично срезанное ядро

T(t,T) ^е удовлетворяет условию TT(t,r) ^ 0 метода весовых и срезывающих функций [4], откуда следует, что нет смысла срезать ядро K (t, r ) и по первому аргу менту t.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Искандаров С., Жапарова З.А. Специфическая экспоненциальная устойчивость решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Вестн. КНУ им. Ж. Баласагыпа. Сер. 3. Естеств.-техп. науки. Математика. Информатика. Кибернетика. Вып. 4. Бишкек: КНУ, 2010. 27-37.

2. Жапарова З.А. Специфическая асимптотическая устойчивость решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 45. Бишкек: Илим, 2012. 25-33.

3. Искандаров С. О новом варианте метода нестандартного сведения к системе для линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 37. Бишкек: Илим, 2007. 24-29.

4. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. Бишкек: Илим, 2002.

5. Искандаров С1., Шабданов Д. 11. Метод частичного срезывания и ограниченность решений неявного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 33. Бишкек: Илим, 2004. 67-71.

6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

7. Искандаров С. Об одном нестандартном методе исследования асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 44. Бишкек: Илим, 2012. 44-51.

8. Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ИЛ, 1948.

9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с фр., под ред. Ю. М. Свирежева. М.: Наука, 1976.

10. Ведь Ю.А., Пахыров 3. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифферен-циальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. Вып. 9. Фрунзе: Илим, 1973. 68-103.

11. Иманалиев М.И., Искандаров С. Специфический признак устойчивости решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Докл. РАН. 2009. 425, № 4. 447-451.

Поступила в редакцию 23.02.2020

УДК 515.124, 515.126.4, 515.126.83

О СОХРАНЕНИИ СОВПАДЕНИЙ У ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПАР МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА ЗАМФИРЕСКУ

Ю.Н. Захарян1, Т.Н. Фоменко2

Недавно авторами было введено понятие пары многозначных отображений метрических пространств типа Замфиреску и доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Было показано, что эта теорема является обобщением теоремы К. Няммани и А. Кевхао (Kritsana Neammanee, Annop Kaevkhao, 2010) о неподвижной точке многозначного отображения Замфиреску. В настоящей работе основным

1 Захарян Юрий Норикович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yuri.zakharyanQgmail.com.

2 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex.ru.

Zakharyan Yuriy Norikovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Topology and Geometry.

Fomenko Tatiana Nikolaema — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.