О СОХРАНЕНИИ СОВПАДЕНИЙ У ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПАР МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА ЗАМФИРЕСКУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Искандаров С., Жапарова З.А. Специфическая экспоненциальная устойчивость решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Вестн. КНУ им. Ж. Баласагыпа. Сер. 3. Естеств.-техп. науки. Математика. Информатика. Кибернетика. Вып. 4. Бишкек: КНУ, 2010. 27-37.

2. Жапарова З.А. Специфическая асимптотическая устойчивость решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 45. Бишкек: Илим, 2012. 25-33.

3. Искандаров С. О новом варианте метода нестандартного сведения к системе для линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 37. Бишкек: Илим, 2007. 24-29.

4. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. Бишкек: Илим, 2002.

5. Искандаров С1., Шабданов ,7. 11. Метод частичного срезывания и ограниченность решений неявного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 33. Бишкек: Илим, 2004. 67-71.

6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

7. Искандаров С. Об одном нестандартном методе исследования асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка / / Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Вып. 44. Бишкек: Илим, 2012. 44-51.

8. Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ИЛ, 1948.

9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с фр., под ред. Ю. М. Свирежева. М.: Наука, 1976.

10. Ведь Ю.А., Иахыров 3. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифферен-циальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. Вып. 9. Фрунзе: Илим, 1973. 68-103.

11. Иманалиев М.И., Искандаров С. Специфический признак устойчивости решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Докл. РАН. 2009. 425, № 4. 447-451.

Поступила в редакцию 23.02.2020

УДК 515.124, 515.126.4, 515.126.83

О СОХРАНЕНИИ СОВПАДЕНИЙ У ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПАР МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА ЗАМФИРЕСКУ

Ю.Н. Захарян1, Т.Н. Фоменко2

Недавно авторами было введено понятие пары многозначных отображений метрических пространств типа Замфиреску и доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Было показано, что эта теорема является обобщением теоремы К. Няммани и А. Кевхао (Kritsana Neammanee, Annop Kaevkhao, 2010) о неподвижной точке многозначного отображения Замфиреску. В настоящей работе основным

1 Захарян Юрий Норикович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yuri.zakharyanQgmail.com.

2 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex.ru.

Zakharyan Yuriy Norikovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Topology and Geometry.

Fomenko Tatiana Nikolaema — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.

результатом является теорема о сохранении существования точек совпадения у одпопа-раметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску в заданном открытом множестве метрического пространства. Показано, что этот результат выводится из теоремы авторов о сохранении существования нулей у параметрического семейства (а, в)-нонсковых функционалов, введенных ранее Т. Н. Фоменко. Рассматривается связь полученного результата с теоремой Гранаса и Фригон (A. Granas, М. Frigon, 1994) о сохранении существования неподвижных точек у сжимающего семейства многозначных отображений.

Ключевые слова: пара отображений типа Замфиреску, точка совпадения, неподвижная точка, сжимающее семейство, поисковый функционал.

Recently, a concept of a pair of multi-valued Zamfirescu type mappings between metric spaces was introduced by the authors. As well, a coincidence existence theorem was proved for such pairs of mappings. It was shown that this theorem is a generalization of the fixed point theorem for a multi-valued Zamfirescu mapping by Kritsana Neammanee and Annop Kaevkhao (2010). In this paper, the main result is the theorem on the preservation of coincidence point existence in some open set, for a parametrized family of pairs of multi-valued Zamfirescu type mappings. It is shown that this result follows from the theorem on the preservation of zero existence, for a family of (a, e)-search functional introduced earlier by T. N. Fomenko. In addition the connection of this result with the theorem by Granas and Frigon (1994) on the preservation of fixed point existence, for a contracting family of multi-valued mappings, is considered.

Key words: pair of Zamfirescu type multi-valued mappings, coincidence point, fixed point, contracting family, search functional.

1. Введение и предварительные сведения. В 1972 г. Т. Замфиреску (Т. Zamfirescu) в работе [1] ввел следующий более широкий класс отображений, чем сжимающие отображения, и доказал теорему о неподвижной точке.

Определение 1. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Отображение T : X ^ X называется отображением Замфиреску, если и только если для него существуют числа a, b, c, удовлетворяющие неравенствам для любых х, у € X выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(z1) d(T(x),T(y)) < ad(x,y);

(z2) d(T(x),T(y)) < b[d(x,T(x)) + d(y,T(y))];

(z3) d(T(x),T(y)) < c[d(x,T(y)) + d(y, T(x))].

Теорема 1 [1]. Пусть (X, d) — полное метрическое пространство, T : X ^ X. Если T является отображением Замфиреску, то оно имеет единственную неподвижную точку.

Будем использовать следующие обозначения. Пусть P, Q — замкнутые ограниченные подмножества в X; d(p, Q) := infq&Q d(p, q) — расстояние от точки p до множества Q; d(P, Q) := inf {d(p, q) | p € P, q € Q} — расстояние от множества P до множества Q; h(P, Q) := suppep d(p, Q) — отклонение множества P от множества Q; H(P, Q) := max{h(P, Q), h(Q, P)} — расстояние Хаусдорфа между множествами P и Q; CB(X) — совокупность всевозможных непустых замкнутых ограниченных подмножеств множества X. Символ ^ означает многозначное отображение.

В 2010 г. в работе [2] было введено понятие многозначного отображения Замфиреску и получена теорема о неподвижной точке для такого отображения (без единственности) с оценкой расстояния от начальной точки до некоторой неподвижной точки.

Определение 2 [2]. Пусть (X, d) — метрическое пространство, T : X ^ CB(X) — многозначное

T

реску тогда и только тогда, когда существуют такие числа a, b, c с условия ми 0 ^ a< 1, 0 ^ b< 0 ^ с < что для любых х, у € X верно хотя бы одно из неравенств:

(¿1) H(T(x),T(y)) < ad(x, y);

(z2) H(T(x),T(y)) < b[d(x,T(x)) + d(y,T(y))];

(¿3) H(T(x),T(y)) < c[d(x,T(y)) + d(y,T(x))].

Теорема 2 [2]. Пусть (X, — полное метрическое пространство, Т : X ^ СВ(Х) — многозначное отображение Замфиреску. Тогда, для, любой точки ж0 € X и любой точки ж1 € Т(ж0) существует итерационная последовательность {жп}пем от,обра,жения Т, которая удовлетворяет условию жп+1 € Т(жп), п = 0,1, 2,..и которая сходится, к неподвижной точке и отображения Т, причем для некоторой константы а < 1 верны следующие оценки (п = 1, 2,...):

ап а й{хп,и) ^ --(1(х0,х 1), й{хп,и) ^ --й{хп- 1,Хп).

1 — а 1 — а

Недавно авторы в работе [3] ввели следующее понятие пары многозначных отображений типа Замфиреску и рассмотрели более общую задачу о точках совпадения для такой пары отображений.

Определение 3 [3]. Пусть (X, р), (У, — метрические пространства, Т, Б : X ^ СВ(У). Пара (Т, 5) называется парой типа Замфиреску, если Т(X) С Б^) и при некоторых А, В, С, таких, что 0 ^ Д < 1, 0 ^ В, С < для любых точек х', х" € X выполнено одно из следующих условий:

(/¿1) Н(Т(ж'),Т(ж'')) < А^(Б(ж'), 5(ж''));

(/¿2) Н(Т(ж'),Т(ж'')) < ВДТ(ж '), Б(ж')) + (ж ''), 5(ж''))];

(/¿3) Н(Т(ж'),Т(ж'')) < С[<Т(ж '), Б(ж'')) + (ж''), 5(ж'))].

Доказано следующее утверждение.

Теорема 3 [3]. Пусть (X, р) (У, суть полные метрические пространства; Т, Б : X ^ СВ(У) — пара отображений типа Замфиреску. Пусть график СгарИ(Б) замкнут, и для, некоторого 7 ^ 1 и для, любыхж',ж'' € X верно р(ж',ж '') ^ 7^(Б(ж'),Б(ж'')). Тогда, существует точка совпадения ТБ

Ранее Т. Н. Фоменко было предложено несколько версий принципа каскадного поиска нулей так называемых (а, в)-поисковых функционалов [4-7]. Приведем необходимые определения и формулировки.

Определение 4. Пусть (X, — метрическое пространство, Ф : X ^ М+ — многозначный функционал на X. Будем говорить, что график СгарИ(Ф) = {(ж, с) € X х М+ | с € Ф(ж)} функционала Ф является {0}-полньш, если всякая фундаментальная последовательность {(жп, сп)} С СгарИ(Ф), такая, что сп ^ 0, сходится к некоторому элементу (£, 0) € СгарЬ(Ф), т.е. 0 € Ф(£).

Определение 5. Пусть (X, — метрическое пространство, Ф : X ^ М+ — многозначный функционал на X. Будем говорить, что график СгарИ(Ф) является {0}-замкнутым, если для всякой последовательности {(жп, сп)} С СгарЬ(Ф), сходящейся к некоторому элементу (£, 0), верно, что ({, 0) € СгарЬ(Ф), т.е. 0 € ф({).

Отметим, что фундаментальность и сходимость последовательностей элементов графика рассматриваются относительно метрики О : (X х М+)2 ^ М+, где О((ж',с'), (ж'', с'')) := ^(ж',ж'') + |с' — с' '|.

{0} {0}

странство (X, полное, то из {0}-замкнутости следует {0}-полнота.

Определение 6. Пусть (X, — метрическое пространство, 0 ^ в < а. Многозначный функционал Ф : X ^ М+ называет ся (а, в)-поисковым-, если для люб ой точки ж € X и любого значения с € Ф(ж) существуют точка ж' € X и значение с' € Ф(ж'), такие, что выполнены неравенства с1{х,х') ^с и с' ^

Теорема 4 (см. [4-6]). Пусть (X, — метрическое пространство, Ф : X ^ М+ — многозначный (а, в)-поисковый функцио нал, на X с {0}-полньш графи ком, 0 ^ в < а. Тогда, для, каждой точки графика, (жо, Со) € СгарЬ(Ф) существует точка £ € X, такая, что 0 € Ф(£) и й{Хо,0 ^ ¡^гд •

В настоящей работе будет использована следующая модификация определения 6.

Определение 7. Пусть (X, — метрическое пространство, У С X — подмножество в X, 0 ^ в < а. Многозначный функ ционал Ф : У ^ М+ называет ся (а, в)-поисковым на, У, если для любой точки ж € У и любых таких с € Ф(ж) и г > 0, что В(х,г) С У и с ^ (а — /3)г, существуют такая точка ж' € У и такое значение с' € Ф(ж'), что й{ ж, ж') ^¿с и с' ^ ^с.

Определение 8. Пусть задано однопараметрическое семейство многозначных функционалов Ф = {Ф*}4е[о;1^ Ф* : X ^ М+, и в : [0; 1] ^ М — непрерывная возрастающая функция. Будем

говорить, что семейство Ф является 0-непрерывньш, если для любого x € X и любых t, t' € [0; 1] верно, что для любого с € $t(x) существует такое значение с' € (x), что |c — c'| ^ |0(t) — 0(t')|.

Для целей данной статьи потребуется следующая небольшая модификация определения 3.

Определение 9. Пусть (X, р), (Y, d) — метрические пространства и U С X — некоторое открытое подмножество в X. Пусть Т : U —> CB(Y), S : X —> CB(Y) — два многозначных отображения. Пару отображений (Т, S) будем называть парой типа Замфиреску na U, если T(U) С S(X) и при некоторых А, В, С, таких, что 0 ^ А < 1, 0 ^ В, С < для любых точек х', х" € U выполнено одно из условий (/z1)-(/z3) определения 3.

Отметим, что при U = X определение 9 совпадает с определением 3.

В недавней работе авторов [8] доказано следующее утверждение.

Теорема 5 [8]. Пусть (X, d) — метрическое пространство, U С I ~ некоторое открытое подмножество X. Пусть задано в-непрерывное однопараметрическое семейство Ф = : U M+}t€[o;i] многозначных (а, /3)-поисковых на U функционалов, причем для каждого t € [0; 1] график Graph($t) является {0}-полным. Предположим также, что множество М = Ми(Ф) := {(x, t) € U х [0; 1]10 € Ф;^)} непусто и замкнуто. Тогда, если существует элемент вида, (0,xo) € M, то существует и элемент вида (1,xi) € M.

Нам понадобятся следующие два несложных вспомогательных утверждения.

Лемма 1 [8]. Пусть A, B — замкнутые ограниченные множества в метрическом пространстве (X, d) и A = B. Тогда, для, любого q > 1 верно, что для каждой точки x € A существует такая точка y € B, что d(x,y) ^ qH(A, B).

Лемма 2 [8]. Пусть (X,d) — метрическое пространство, U С X — некоторое открытое подмножество в X. Пусть задано в-непрерывное однопараметрическое семейство Ф = {Ф^ : U K+}¿g[o;i] многозначных (а, /3)-поисковых на U функционалов, где график СгарЬ(Ф4) является {0}-полным для каждого t € [0; 1]. Тогда, если Мди(Ф) = 0, то множесmeo Mu(Ф) замкнуто.

2. Основной результат и некоторые следствия. В настоящей работе рассматривается вопрос о сохранении на некотором открытом подмножестве метрического пространства существования точки совпадения у однопараметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть (Х,р), (Y, d) — метрические пространства, U Cl - открытое подмножество в X. Пусть заданы, однопараметрические семейства отображений Т = {Tt | Tt : U —> CB(y)}t€[o;i], S = {St I St : X —>■ CB(F)}ie[0;i]. Пусть для, некоторых 0 ^ A < 1, 0 ^ B,C < ^ при любом t € [0; 1] пара отображений (Tt,St) является парой многозначных отображений типа Замфиреску на подмножестве U, для, любого t € [0; 1] график Graph(St|fj) = {(х,у) € U х Y \ у € St(x)} полон, для всякой фундаментальной последовательности {жп}пен С U любая последовательность вида {yri}raeN; где уп € St(xn),n = 1,2,... , также фундаментальна и Tt(U) С St{X). Пусть для некоторого y > 1, любого t € [0; 1] и любых x',x'' € X верно, что p(x',x'') ^ Yd(St(x'), St(x'')). Предположим также, что для некоторой непрерывной возрастающей функции в : [0; 1] —> R, для любого х € U и любых t',t" € [0; 1] выполнено неравенство H(Tt'(x),Tt"(x)) + H(St>{x), St»{x)) ^ |0(t'') — 0(t')|. Пусть, кроме того, для любого t € [0; 1] на границе dU множества U нет точек совпадения отображений Tt и St, т.е. Coin(Tt,St) П dU = 0.

Тогда если Coin(T0, S0) П U ф 0, то Coin (Ti, Si) П U ф 0. _

Доказательство. Проведем рассуждения, основываясь на теореме 5. Рассмотрим на U для каждого t € [0; 1] многозначный функционал Ф^ : U R+, задаваемый по следующему правилу:

Ф/; (x) = {d(y, z) | y € Tt(x),z € St(x)}.

Выбор конкретного значения с € влечет выбор некоторых точек y € Tt(x) и z € St(x), для

которых с = d(y,z). Ясно, что 0 € тогда и только тогда, когда существует n € Tt(x) П St(x),

что эквивалентно условию x € Coin(Tt, St)•

Покажем, что для любого t € [0; 1] функционал Ф^ имеет {0}-полный график. Пусть {хп} С U — фундаментальная последовательность, Сп € Фí(xn), n € N, и cn — 0. Каждому cn соответствует некоторая пара yn € Tt(xn) и zn € St(xn), для которых cn = d(yn,zn) — 0. Из условий теоремы следует, что тогда последовательность {zn} также фундаментальна. Следовательно, фундаментальна последовательность {{xn,zn)} С Graph (¿>t|;j). Так как график Graph(5t|{j) по условию полон,

то существует пара (£, ?у), такая, что (хп,гп) —> (£, ?у) и ({,??) € Огар^й*^). В частности, гп —> г]. Далее, поскольку сп = ^(у n, ¿п) ^ 0 ТО И уп ^

Оценим (С)). Применяя неравенство треугольника, имеем

¿(П,Т4(С)) < ¿(п,Уп) + ¿(Уп,Т*(жп)) + Н(Т*(жп),Т*(С)) = ¿(п,Уп) + Н(Т4(жп),Т4(^)).

Если для пары точек (жп, С) выполнено условие (/¿1), то получим

¿(п, Т(С)) < ¿(п, Уп) + МБ(жп), Б*(С)) < ^(п, Уп) + Афп, п). Если для пары (жп, С) выполнено условие (/¿2), то

¿(п,Т*(С)) < ¿(п,Уп) + ВИСТ(жп),Б(жп)) + <Т(С),Б(С))] < ¿(п,Уп) + В[^(уп,^п) + ¿(п,Т*(С))],

откуда с1(г],Т¿(0) < 1=5^(77,2/„) + тгвФпА).

И, наконец, если для пары (жп, С) выполнено условие (/¿3), то

¿(п,Т(С)) < ¿(п,Уп)+с[^(Т4(жп),б*(С))+¿(Т*(С),Б(жп))] < ^(п,уп)+с[фп,п)+4п,¿п)+4п, Т(С))], откуда следует, что

1 + С С

Поэтому во всех трех СЛучаях ^(п, Т*(С)) ^ ^п, где

1 В

Ип = тах{с1(г], уп) + г?), у„) +

1 + С С

Т^Т^ДУп) + ^п) } ^ 0.

Отсюда ясно, что ^(п, Т(С)) = 0 следовательно, п € Т*(С). Итак, для любого £ € [0; 1] график функционала Ф* {0}-полон.

Теперь покажем, что для любого £ € [0; 1] функционал Ф^ является (ск, /3)-поисковым на С/ для некоторых а, [3, 0 ^ /3 < а. Зададим какое-нибудь число д > 1. Пусть х € II, с € Фг(ж) и г > 0 такие, что В (ж, г) С С/ и с ^ (а - /3)г. Выбранному значению с соответствует некоторая пара (у, г), у € Т4(ж) St(x), для которой с = (1(у, г). Поскольку Т4([/) С то существует точка ж' € X,

для которой у € <§4(ж'). Тогда по условию р(х,х') ^ ¿^(ж')) ^ 7с1(г,у) = 7с. Заметим, что

при о; = ^ будем иметь р(ж, ж') ^ ^ ^ г. Следовательно, ж' € С/ и определено множество Т^(ж'). Тогда в силу леммы 1 для У € Т*(ж) существует такая точка у' € Т(ж') (а значит, существует с' = (¿(у',у) € Ф4(ж')), что с' = й{у',у)£ дН(%(х'),%(х)).

Если при этом для точек ж, ж' € С/ выполнено условие (/<г1), то

с' < 9Н(Т*(ж'),Т(ж)) < дА^(Б4(ж),Б4(ж')) < дАф,у) = 9Дс.

Если для точек ж,ж' € С/ выполнено условие (/<г2), то с' < 9Н(Т*(ж'),Т*(ж)) < ^ВКТ(ж), Б*(ж)) + й(Т*(ж'),Б*(ж'))] < 9В[¿(у,*) + ¿(у',у)] = 9В[с + с'],

откуда с' ^

Если для ж, ж' € и выполнено условие (/-гЗ), то

с' < 9Н(Т*(ж '),Т*(ж)) < 9С[¿(Т*(ж), Б*(ж')) + 4Т(ж'),Б*(ж))] < < 9СНу, у) + ¿(у', ¿)] < 0 + 9С[¿(у', у) + ¿(у, ¿)] = 9С[с' + с],

откуда с ^ 1_дсс-

В итоге получаем, что если 1 < д < ¿7}, то тах{дА, 1яВдВ, } < 1, откуда имеем

с' ^ тах{дА, }с. Поэтому для любого í € [0; 1] и для о; = /3 = ^тах{дД,

функционал Ф^ является (ск, /3)-поисковым на II.

Покажем, что семейство Ф = {Ф4}*€[0;1] является ^-непрерывным. Пусть ж € U, t',t" € [0; 1] и с' € Ф^ (ж) Значению с' соответствуют элементы y' € Tt' (ж) z' € St' (ж) для которых с' = d(y',z'). Тогда в силу леммы 1 найдутся такие элементы y '' € Tt«(ж), z'' € St»(ж) что d(y',y'') ^ qH(Tt'(ж),Т4»(ж)) и d(z',z'') ^ qH(St'(ж),54»(ж)) Следовательно, имеется значение с'' € Ф^«(ж), где с'' = d(y'',z'') Тогда по условиям теоремы

|с'' - с'| = |d(y'', z'') - d(y', z')| < d(y', y'') + d(z', z'') <

< q[H(Tt'(ж),Т<"(ж)) + H(St'(ж), St''(ж))] < q|e(t'') - e(t')|.

Итак, семейство Ф = {Ф^е[0;1] является дв-непрерывным.

Наконец, из условия теоремы, что для любого t € [0; 1] на границе U нет нулей функционала Ф^, с учетом леммы 2 следует, что множество М = Ми (Ф) замкнуто.

Таким образом, для семейства функционалов {Ф^ выполнены все условия теоремы 5. И по теореме 5 если Coin(T0,S0) = Coin(T0,S0) П U = 0, т.е. существует (ж0,0) € М, то существует (ж1,1) € М, т.е. Coin(Ti,Si) = Coin(Ti,Si) П U = 0 □

В качестве следствия из теоремы 6 получается следующий результат о сохранении существования на открытом подмножестве метрического пространства неподвижной точки у однопараметри-ческого семейства многозначных отображений Замфиреску при изменении параметра.

Теорема 7. Пусть (X, р) — метрическое пространство, U Cl ~ открытое подмножество X. Пусть задано однопараметрическое семейство Т = {Tt \ Tt : U —> CB(X)}te[0;i] многозначных отображений. Пусть для некоторых 0 ^ А < 1, 0 ^ В,С < ^ при любом t € [0; 1] отображение Tt является многозначным отображением Замфиреску. Предположим также, что для некоторой непрерывной возрастающей функции в : [0; 1] —> R при каждом, ж € U и любых t',t" € [0; 1] верно, что H(Tt'(ж),Т^'(ж)) ^ |$(t") — e(t')У Пусть, кроме того, для, любого t € [0; 1] на границе dU множества U нет неподвижных точек отображения Tt; т.е. Fix(Tt) П dU = 0.

Тогда если Fix(T0) П U = 0, то Fix(T1) П U = 0.

Легко видеть, что многозначное сжимающее отображение является одним из частных случаев многозначного отображения Замфиреску, поэтому из теоремы 7 вытекает в качестве частного случая следующее утверждение.

Теорема 8 (М. Frigon, A. Granas [9, 10]). Пусть {Х,р) — полное метрическое пространство, U С X — открытое множество в X. Пусть Т = {Tt : U —> СВ(Х)}щ0;ц — а-сжимающее семейство многозначных отображений, т.е. для некоторого а, 0 ^ а < 1, и для любого t € [0; 1] и любых х',х" € U верно H(Tt(x'),Tt(x")) ^ ар(х',х") и для, любого ж € U и любых t',t" € [0; 1] справедливо неравенство H(Tt'(ж),Т^'(ж)) ^ |0(t'')—e(t'где в : [0; 1] ^ R — некоторая непрерывная возрастающая функция. Пусть, кром,е того, для любого t € [0; 1] на грани це dU множества U Tt T0

U Ti U

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zamfirescu Т. Fixed point theorems in metric spaces // Arch. Math. (Basel). 1972. 23. 292-298.

2. Neammanee K., Kaevkhao A. Fixed point theorems of multi-valued Zamfirescu mappings //J. Math. Res. 2010. 2, N 2. 150-156.

3. Захарян Ю.Н., Фоменко Т.Н. О точках совпадения для пары многозначных отображений типа Замфиреску // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 6. 26-33.

4. Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств // Матем. заметки. 2009. 86, № 1. 110-125 (Fomenko T.N. Approximation of coincidence points and common fixed points of a collection of mappings of metric spaces // Math. Notes. 2009. 86, N 1. 107-120).

5. Фоменко Т.Н. К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений // Матем. заметки. 2009. 86, № 2. 304-309 (Fomenko Т. N. Cascade search of the coincidence set of collections of multivalued mappings // Math. Notes. 2009. 86, N 1-2. 276-281).

6. Fomenko T.N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problem of n one-valued or multi-valued mappings // Topol. and its Appl. 2010. 157. 760-773.

7. Fomenko T.N. Functionals strictly subjected to convergent series and search for singularities of mappings // J. Fixed Point Theory and Appl. 2013. 14. 21-40 (DOI: 10.1007/sll784-014-0155-6).

8. Захарян Ю.Н., Фоменко Т.Н. Сохранение существования нулей у семейства многозначных функционалов и некоторые следствия // Матем. заметки. 2020. 108, № 6. 837-850.

9. Frigon М., Granas A. Resultáis du type de Leray-Schauder pour des contractions multivoques // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1994. 4. 197-208.

10. Frigon M. On continuation methods for contractive and nonexpansive mappings // Recent Advances on Metric Fixed Point Theory / Ed. by T. Dominguez Benavides. Vol. 48. Seville, Spain: University of Seville, 1996. 19-30.

Поступила в редакцию 08.09.2020