О СПЕЦИАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ РАССЛОЕНИЯ Б 3,(П 2,π) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Akhmedov R.

( n \

Um akU"

W = F

Common decisions of equation

k=1

In the article for one class of the linear equation of a high order with over singular point is given common decision of representation through decisions of a special class of generalized system Koshi-Riman with over singular point and established formula of reference. Further established the formula of transferring, with which help in case if the given decision of the examining equation from reviewing class will be determined uniquely m general decisions of the generalized system of Koshi-Riman. Main tool of the investigation is special integral operator which in appliance to free uninterrupted given function determines quotient decision of multiple system of Koshi-Riman on over singular point.

Шойимкулов Махмудбек -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и моделирования ТГУПБП

О СПЕЦИАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ РАССЛОЕНИЯ Б 3 ( П2 ТГ )

Биаксиальное пространство эллиптического типа характеризуется абсолютной инволюцией, инвариантной при движениях матрицы, которая задается в виде

(£*)=[-£ о](А>В=Т^)> С1)

где Е - единичная матрица второго порядка. Это абсолютная инволюция, т.е. биаксиальная инволюция с осями - абсолютными прямыми

относит ко всякой точке с однородными координатами ^ точку = ",

сопряженную данной. Прямые, соединяющие эти точки, называются особыми. Проективный репер, в котором матрица абсолютной инволюции имеет вид (1), называется каноническим.

Если точки биаксиального пространства имеют однородные координаты М ( * : ' < " ), в которых матрица аффинора абсолютной

инволюции имеет вид (1), то, поделив на первую координату £ * О, можно

перейти к неоднородным координатам М уг й) — М (.1 [ VI ¿},

Для трехмерного биаксионального пространства эллиптического типа предложена классификация подгрупп его группы движения [1]. В статье [2] найдены (в локальных координациях х, у, 2) аффинные связности без

кручения в пространстве Бд допускающие подгруппы

группы Gz параллельных переносов и подгруппы

полной группы движения С7 этого пространства в качестве группы аффинных коллинеаций. Эти подгруппы характеризуются тем, что они переводят в себя мнимый сфероид 1+Ж" + V* + Z1 = 0. Этот сфероид

назовем абсолютным.

В этой статье выделим те проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связностей для этих подгрупп, у которых геодезические линии изображаются прямыми пространствами Б-. Назовем такие связности специальными. Всякие такие проективно-евклидовы связности определяются соответствием между точками и плоскостями пространства , не проходящими через эти точки. Это соответствие дает возможность рассматривать биаксиальное пространство В- как нормализованное пространство N (Б3) в смысле А. П. Нордена [3]. Изучается проектируемость выделенных специальных проективно-евклидовых связностей из ЕЦ. на базу П- в смысле K.M. Егиазаряна [4].Проекции этих связностей на базу приводят нас к связностям нормализованного биаксиального пространства, рассматривавшегося А.П.Широковым [5].

Характерным свойством специальных проективно-евклидовых связностей является то, что в неоднородных координатах x, y, z они имеют компоненты вида

(2)

^ = Р sa+ Р^З ( ff, £ Г =1,3)

а) Выделенные специальные проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связностей [2] для подгруппы {îEj — li^ Щ + имеют вид

I II III

^т=ХГ«+цГ«+УГ« (3)

где X, Ц, V — произвольные постоянные; Tfßy — начальная (неевклидова) связность рассматриваемой подгруппы, которая возникает, когда точке X(l'.X'.y'.Z ) сопоставляется ее поляра 'Ц (1 *JE у 1 г)

I

относительно абсолюта 1+.Гг 4 Jr

'. Тензорные поля TßY, TßY, T,

II III

a r-p а r-p а

ßY ßY ßY

выражаются через базисные тензоры аффинной деформации следующим образом [2]:

Т? = СЙ1 Т«^ = 9,10,15; с, = 1, с10 = 2, с15 = -1)

а ру

и

а ру

ш

а

РУ «з ру \ з

Выделенные специально проективно-евклидовы связности в локальных координатах .V1 ■ а;, .V" — ат® — я имеют компоненты

TßJ = С„2 Tß"(a2 = 8,11,14; с8 = -1, с„ = 2, с14 = -l)

ш ( \ TßY= Ca3 TßY(a3 = 3,5; c = 2, c5 = 1)

fn = p,«t * pY'f

где

P

- x + Ày + yz + ц - y - Àx + - y - z + À - py - Yz

1 + x +y + z 1 + x + y + z 1 + x +y + z'

- ковектор. Эти связности Бд определяются соответствием х^ П, дающим нормализацию пространства в смысле А.П. Нордена [3]. Здесь П- плоскость, натянутая на точки уа = даХ — 1аХ, где = —

нормализатор [6], или на линейные комбинации уа точек уа Точки уа находятся следующим геометрическим построением. Возьмем точку ее сопряженную л" относительно абсолютной инволюции

*

*

пространства Б^ Построим поляру прямой (относительно абсолютного

сфероида 1 + X2 + + = 0; Пер&СвКйЯ эту поляру полярной плоскостью точки х относительно комплекса абсолютного пучка

ЬАв (Ь11 = 1, Ь22 = 1, Ьзз = 1, Ь44 = 1 остальные Ьав = 0), т.е.

плоскостью — 1г—г:НЭЙдем ! —1}- Берем

ее сопряженную V" относительно абсолютной инволюции Б; . Тогда точки

* * 1~ * * . можно взять в виде У1 = X--X, у 2 = у--у , у 3

X ц

/ * * *

1

x--у.

X

Плоскость

у 1 у 2 у 3

V

биаксиального пространства Б- будет

искомой плоскостью.

Пусть имеется расслоение Б^. (ПчУГ^ с базой П-.и проекцией 71, слоями которого служат особые прямые пространства Б^ (П; — ЭТо

вещественная модель комплексной проективной прямой). Возникает вопрос о проектируемости выделенных специальных проективно-евклидовых

связностей в расслоении Б3 (П2п). Проектирование этих связностей из Бз на П2 вводится с помощью горизонтальных площадок

, (4)

которые ортогональны в смысле неевклидовой метрики особым прямым, проходящим через точки М (х, у , ъ) пространства Б- Эти горизонтальные площадки (4) в являются полярами точек М относительно нуль - системы, определяемых циклическим комплексом САВ. (- С- С2 £34= £43=1, остальные = 0), присоединенным к мнимому сфероиду

1+ЗГ- + у-+22=0.

Построим в трубчатой окрестности над областью карты базы Л; с локальными координатами Т}1 горизонтальные векторные поля —

К — связанные С ПОЛЯМИ &/&Цс натурального репера на Ид, т.е

*(->)= ¿/а?'.

Выделенные специальные проективно - евклидовы связности называются проектируемыми в смысле К. Егиазаряна [4], если в разложении

'а

величины постоянны вдоль слоев, т. е. являются функциями на базисном многообразии П^ относительно натурального репера Связности

на базе П£ определяются, исходя из формулы

Спроектируем выделенные для подгруппы

— Н= ; ;-Н3 4 Н-} специальные проективно - евклидовы

связности Цру из Е-. на Г)-, Связности (3) при Л- Ф¡1 * 0 не проектируются на базу. При л = |Е = 0 получим однопараметрические связности Б^:

o

а

III

па=у

,у

(5).

Проектируя связности (5) из Б- на П-, получим

„01 02 02 Ли = Ли =-П21 =

п02 = 01 =_Л 02 =

22 21 11

2л1

1+(л1 )2 + (Л2 )2

2п2

1+(Л1 )2+(Л2 )2

отвечающей

Эта связность на базе является римановой связностью, линейному элементу

Мы приходим к геометрии эллиптической плоскости Лобачевского в интерпретации Пуанкаре. Абсолют ?/*=0 этой интерпретации отвечает

сфероиду [1 Е^у1)" + в проекции Я: Б- ГЬ.

Изучим вопрос о проектируемости геодезических линий выделенных специальных проективно - евклидовых связностей пространства Б; на базу П-. Проектирование ведется с помощью особых прямых [1] пространства Б?.. Геодезические линии связности (5) не проектируются на геодезические линии спроектированной связности т.е. они проектируются на произвольные

окружности базы [7]. Чтобы выяснить, какие прямые пространства Б3 проектируются на геодезические линии связности базы, выберем в качестве модели П: плоскость у=0, содержащую особую прямую £"=0, £3=0. Приходим к тому результату, что и в статье [8], т.е. на геодезические линии связности ту^., которые принадлежат циклическому комплексу

присоединенному к мнимому сфероиду 1+х* 4-

б) Выделенные специальные проективно - евклидовы связности для подгруппы {ы^ — щ ; 1Ц + й-} образуют однопараметрическое

III 0 а ~ а ,. Т7 а I

семейство ^ßy = v 1 ßy + nßy •

Эта связность определяется соответствием x—f П. Плоскость легко определяется: начальная связность ifjy точки х ставит в соответствие

относительно абсолюта 1+.V + Г"+2*"=0 ее поляру lf(l:X:y:f) В пучке П + УП выберем плоскость, соответствующую значению параметра V = V ; это и будет искомая плоскость П (l — Vy : x — Vz, y + Vz : z + Vx ). Проектируемость связностей и их геодезических линий будет такая же,

как и у связности (5) подгруппы {'Е£г — И^ I Ид ; Mg + «*}

Ключевые слова: эллиптический, абсолют, подгруппа, специальные связности, проектируемость, база, расслоение, нормализация, геодезические линии. Key words: elliptic, absolute, subgroup, special connectivity, projection, base, normalization, geodetical lines.

Список использованной литературы:

1. Широков А.П. Классификация групп движений биаксиального пространства эллиптического типа//Учен. зап. Казанск. ун-та.-1963.-Кн.123.-№1.-С.208-221.

2. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства. - У11-Казань,1983.-17с.-Деп. В ВИНИТИ АН СССР 28.10.83, №5872-83.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности.- М: Наука, 1976.- 432 с.

4. Егиазарян К.М. Спроектированные инвариантные аффинные связности// Тр. геометрич. семин. - Казань,1980. Вып.12-С.27-37.

5. Широков А.П. Об одной биаксиальной модели главного расслоенного пространства // Учен. зап. Казанск. ун-та.-1968.-Кн.128. -№3.-С.158-165.

6. Широков А.П. О нормализациях в проективном пространстве с заданным расслоением //Изв. вузов. Математика. - 1974.-№ 5.-С. 216-221.

7. Норден А.П., Симонов Ю.Б. Об одной интерпретации унитарного пространства постоянной кривизны // Изв. вузов. Математика. - 1969. -№ 2.-С. 63-71.

8. Шойимкулов М. О геодезических аффинных связностях, согласованных со структурой биаксиального пространства. VI. - Казань, 1984.-17 с. - Деп. В ВИНИТИ АН СССР 31.06.84 №5566-84.

Шойимкулов М.

О специальной связности расслоения Б j ^ ГТо 7?" }

В работе выделены специальные проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связностей для трёхчленной подгруппы группы параллельных переносов и для четырёхчленной подгруппы группы полных групп движений биаксиального пространства эллиптического типа. Биаксиальное пространство

эллиптического типа Е^ рассматривается как расслоённое пространство I ■ ■ I ■ ■ .■ ■' !. Возникает вопрос о проектируемости специальных

проективно-евклидовых связностей из Б3 на базу П g i.

Изучена проектируемость этих связностей на базу, которая является вещественной моделью комплексной проективной прямой. А также изучены геодезические линии этих связностей и их проектируемость. Проектируя эти связности, приходим к результатам эллиптической плоскости Лобачевского в интерпретации Пуанкаре.

Пространство Б- рассматривается как нормализованное пространство N в смысле Нордена, с помощью этих связностегt построено соответствие N

Shoyimqulov M.

About special connectivity Layer (П-о ^ j

Work is allocated special connectivity from found connectivity for three stage subgroups of GB and also connectivity for four stage subgroups of the full of group G7 bioksyll space of the elliptic type. It is stading of projecting these connectivity from B3 to P2, it is shown, that projecting of these connectivity of an elliptic plane of lobacheusley. Biaksional space of elliptic type g ^ is reviewed as stratified space ^ ^ П о tt У

Will raise a question concerning designing of special connectivity of g^ to base п ^