CC BY
22
УДК 514.762.3 Н. Е. Тришина
Российский химико-технологический университет им. Д.И.Менделеева, Москва, Россия 125047, Москва, Миусская пл., д. 9 e-mail: [email protected]
АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ И РАССЛОЕНИЕ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В статье рассматривается расслоение алгебры кватернионов на смежные классы по подалгебре комплексных чисел и ассоциированное с ним расслоение биаксиального пространства эллиптического типа прямыми линейной конгруэнции. Рассмотрена связность расслоения алгебры кватернионов и порождаемая ей нелинейная связность проективного расслоения. Исследованы деривационные уравнения адаптированного репера проективного расслоения.
Ключевые слова: алгебра кватернионов; расслоение; биаксиальное пространство; связность.
1. Векторное расслоение алгебры кватернионов
Рассмотрим ассоциативную алгебру
кватернионов А с базисом
{е0' е1' е2' е3}' е0 = 1
^2 _ 2 _ 2 _ е1 " е2 " е3 " -1,
0 1 12/-где а , а - слоевые, а и , и - базисные координаты.
Здесь
и1 + 1и2 е Р(1),
то есть (и1, и2) - стереографические координаты на Б2. Рассмотрим связность, определяемую горизонтальным распределением О. Введем поле адаптированных реперов:
e1e2 = _e2e1 = e3> e2e3 = _e3e2_eb e3e1 = _e1e3_e2.
В А можно ввести скалярное произведение:
ху + ух
(х,у) = —2—■
Подалгебра Я(е1) с базисом е0, е1 изоморфна алгебре комплексных чисел. Множество обратимых элементов А0 алгебры кватернионов - группа Ли по умножению. Множество обратимых элементов Я(е1) подалгебры Я(е1) есть ее подгруппа Ли.
Рассмотрим фактормножество А0/Я(е1) правых смежных классов. Оно диффеоморфно комплексной проективной прямой Р(1), то есть двумерной сфере Б2. Каноническая проекция
р:А0 ^ Р(х),
р(х0 + х1е1 + х2е2 + х3е3) = [(х0 + х11) : (х2 + х31)]
задает главное локально тривиальное расслоение, изоморфное расслоению Хопфа. Слоями этого расслоения будут 2-плоскости, натянутые на векторы х, у = 1х. В области
и = {х е А0 |х0 + х1е1 = 0}
зададим расслоенные координаты
0 0 11 а =х, а =х,
0 2,13 0 3 1 2
1 хх + хх 2 хх - хх и =--Т^Г, и =
(x0)2 + (x1)2 ' (x0)2 + (x1)2
еа = —, —-Г?—, а = 0,1,1 = 1,2.
а 5а а ди1 1 5аа
(1)
Здесь Г1а - коэффициенты линейной связности, §1 -горизонтальные лифты векторов натурального репера на Р(1), образующие локальный базис горизонтального распределения, ортогонального слоям. Тогда из равенств
(еа ,81) = 0
получим значения коэффициентов линейной связности в координатах:
^0 _ _ _ ^0 __и1_
А10 = Х20 = А11 = -^21 - к2 ^ 2^2 ^ ,
(и ) +(и ) +1
2
т-0 _т1 _т0 _ т1 _ и
1ц = 121 = 120 = -110" 12 / 2^2 ^ ■
(и ) +(и ) +1
2. Проективное расслоение биаксиального пространства
Пусть Л - группа гомотетий расслоения (А0, р, Р(1)). Тогда В3 = А0/Л - есть проективное расслоенное пространство над Р(1). Переход от расслоения (А0, р, Р(1)) к расслоению (В3, п, Р(1)) осуществляется с помощью морфизма I: А0 ^ В3 над Р(1) [4]. Тотальное пространство В3 является биаксиальным пространством эллиптического типа со структурным аффинором I и одновременно эллиптическим пространством, метрика которого порождается нормой на алгебре А. Слоями
расслоения (В3, п, Р(1)) будут прямые абсолютной линейной конгруэнции. Это расслоение является главным локально тривиальным расслоением со структурной группой Б1.
Рассмотрим область, в которой х0 Ф 0. Тогда расслоенные координаты проективного расслоения выражаются через координаты векторного следующим образом:
1
0 а а = и =
а
0
1 1 и = и .
В работе [4] было показано, что всякая линейная связность векторного расслоения индуцирует инфинетезимальную связность в проективном расслоении с локальными компонентами:
Та(а,и) = р1Ь(и)аааь + яЩц^ + ^(ц), (2)
р = г0 а = га оа г0 га = га р1Ь--11Ь Ч1Ь = 11Ь "«Ъ110, Г1 = 110,
где аЬ - слоевые, и1 - базисные координаты.
Пользуясь формулой (2), найдем значения
коэффициентов нелинейной связности расслоения
(В3, п, Р(1)) в координатах:
Т1 =
- и2(а2 +1)
(и1)2 + (и2)2 +1!
у = и1(а2 +1)
2 ' и2 , , 2\2
(и1)2 + (и2)2 + 1 Так как для любого х е В3: х2 > 0, то мы можем выбрать нормализацию Вейерштрасса. После введения криволинейных координат локально вектор касательного пространства определяет точку проективного пространства [3]. Рассмотрим адаптированный репер, /-связанный с репером (1). Zo = 1х, Zi = ^х - У^, 1, к,... = 1,2,
где
51 = ^ 5 = а° = а?
Точки х, z0, z1 образуют проективный репер.
Проективная связность определяется
горизонтальным распределением Н, ортогональным слоям, поэтому, умножая z1 на z0 и приравнивая полученные выражения нулю, имеем
^ = —, (3) 1 р
р1 = z0), Р = р0= Zo ). Компоненты метрического тензора
GAB=ZAZв, А,В = 0,1,2,
в адаптированном репере имеют вид:
(
(оав) =
С(и1)2+(и2)2+1)2 О О
ссиУ+си2)^!)2;
Коэффициенты римановой связности имеют вид:
рА = р0 =0
10В 1АВ 0,
= Г-22 Г/1 =
" Г12 Г22 = Гл =
2и1
(и1)2 + (и2)2 + 1:
2и2
(и1)2 + (и2)2 + 1'
Так как компоненты метрического тензора зависят только от базисных координат, то справедлива следующая теорема.
Теорема. Метрический тензор САВ является Н -проектируемым в смысле Егизаряна [2]. Следовательно, соответствующая риманова связность также Н - проектируема.
Запишем деривационные уравнения
проективного репера:
д ^ = А^к + В;;Х + С^
Г1
к
1Г0'
&1 = А1 Zk + В1Х + ClZo, р!х = zl + Р1г:0, [5х = PZo,
1^0 = Р^к + 01х + &0 = 0х + Rzo.
Введем тензоры:
§4=^ Ьу=(51х' д В однородных координатах
Ь^ = (д 1х, д JIx) = -(^Ь, д ^х) = -ЬJl,
поэтому тензор Ъ кососимметричен. Будем использовать тензоры GAB и для поднятия и опускания соответствующих индексов.
Умножая правую и левую части деривационных уравнений на zA и х, получим выражения некоторых коэффициентов через и Ьц. Тогда деривационные уравнения перепишутся в виде:
(4)
а Jzi = Ak■Zk - - Ь1JZ°
= л к А1 zk >
р!х = zl +Plz0 ,
[5х = Pzo,
[^0 =
1^0 = -рх.
Выясним смысл коэффициентов. Для этого рассмотрим преобразование расслоенных координат:
а = Да^и1'), и1 = ^(и1'). (5)
Тогда
5' = Р(уд, дц =р10!5+р\дь
где
0 г 1 г
ра' = , Р1' = —
5иА ' " 5ц1 При преобразовании координат (5) коэффициенты деривационных уравнений преобразуются следующим образом:
Aj =Рк (5j'Pk+ pApj'AjA), =pík'p8'pj'Akb, (Ajk0=Ak), p, =pa>Pa, p' = p°'P, bj'j' =pj'p}bjj, gj'j' = pj,p^j'gjj-Следовательно, по отношению к преобразованиям (5), величины A^ образуют линейный объект, Ako - смешанный тензор, gjj, bjj -тензоры, pA - ковектор. Величины
= Ak _^kAi, Aj = Ais есть коэффициенты некоторой связности с кручением.
Рассмотрим условия интегрируемости уравнений (4). Тогда мы получим:
5[lA|i|j] " Ai[jAkil] " j] " bi[jbj] = 0, Aj^jgi]k -3[igj]j + bj[jPi]=0, Ak[jgl]k - gj[jpl]-5[lb|j|j] = 0,
5[0A|i|j] + Ai[jA|s|0] = 0,
ръч -^Ву + А^^ = 0,
Рви -аъц+АкЪк| = 0,
Ам +Р[1ък]=0, ъИ -5цР1]=0>
Ак -ръГ,
51Р-5Р1 =0,
^+ъ[1Акш-р[1бк]=0, Ъ[1Ъ|ки] = 0, 5ък + ъ[Ак + Р8к
Из этих условий имеем:
ъч= a[jpi], Ак = рък, авч = 0, аъц = 0, ъ[ъ[= -5к.
Третье и четвертое из этих условий означают Н -проектируемость тензоров g1J и Ъ1J в смысле Егизаряна. Следовательно, их можно рассматривать как тензоры на Б2, причем Вщ - метрический тензор сферы.
Тришина Наталия Евгеньевна, к.ф.-м.н., доцент Высшего химического колледжа РАН РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Литература
1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами: учеб. пособие. Казань: Изд-во Казанского унив., 1985. 262 с.
2. Егизарян К.М. Спроектированные инвариантные аффинные связности // Труды геометрического семинара. Т. 12. - Казань: Изд-во Казанского унив., 1980. - С. 27-37.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
4. Шапуков Б.Н. Проективные расслоения и проективные связности // Известия высших учебных заведений. Математика. 1995. № 5. С. 83-90.
Trishina Natalia Evgenyevna
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia e-mail: [email protected]
THE QUATERNION ALGEBRA AND THE BUNDLE OF BIAXIAL SPACE OF ELLIPTIC TYPE
Abstract
In this paper, we consider the bundle of quaternion algebra and the bundle of biaxial space of elliptic type. We consider the connection of the bundle of quaternion algebra and nonlinear connection of the bundle of the biaxial space.
Key words: quaternion algebra; bundle; connection; biaxial space.
