CC BY
6
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Научная статья
УДК 517.982.3+517.983.22
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-102-108
О СОПРЯЖЕННОМ К ПРОСТРАНСТВУ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ НА ЗАМКНУТОМ ПОЛИДИСКЕ, С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СВЕРТКОЙ
Ольга Александровна Иванова1, Сергей Николаевич Мелихов
'■2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, Россия 'ivolga@sfedu.ru 2 snmelihov@sfedu. ru^
Аннотация. Изучена алгебра аналитических функционалов на замкнутом единичном полидиске D± в £N. Охарактеризованы операторы адамаровского типа в пространстве Н(Р1) всех ростков функций, голоморфных на D±. Получено представление упомянутой алгебры в Н(Р1) в виде алгебры операторов адамаровского типа. Описаны мультипликативные функционалы на ней, ее радикал Джекобсона и идемпотенты.
Ключевые слова: оператор адамаровского типа, алгебра, мультипликативная свертка
Для цитирования: Иванова О.А., Мелихов С.Н. О сопряженном к пространству функций, голоморфных на замкнутом полидиске, с мультипликативной сверткой // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 102-108.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
ON THE CONJUGATE TO THE SPACE OF FUNCTIONS THAT ARE HOLOMORPHIC ON A CLOSED POLYDISK WITH MULTIPLICATIVE CONVOLUTION
Olga A. Ivanova1, Sergej N. Melikhov2^
'2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia 'ivolga @sfedu.ru 2snmelihov @sfedu.ru^
Abstract. The algebra of analytic functionals on the closed unit polydisk Di in £N is studied. The Hadamard type operators are characterized in the space H(Di) of all germs of holomorphic on Di functions. We obtain the representation of mentioned algebra in H{Di) as the Hadamard type operators algebra. The multiplicative functionals on it, its Jacobson radical and idempotents are described.
Keywords: Hadamard type operator, algebra, multiplicative convolution
For citation: Ivanova O.A., Melikhov S.N. On the Conjugate to the Space of Functions That are Holomorphic on a Closed Polydisk with Multiplicative Convolution. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):102-108. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
© Иванова О.А., Мелихов С.Н., 2022
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Введение
В настоящей работе исследуется алгебра аналитических функционалов на замкнутом единичном полидиске в CN с мультипликативным умножением. Ранее оно было введено и изучено в пространстве £' всех обобщенных функций на c компактным носителем [1]. Рассмотренная мультипликативная свертка задается действием линейного непрерывного функционала на заданном локально выпуклом пространстве на оператор композиции, определяемый покоординатным умножением переменных. Интерес к конструкции подобного рода вызван, в частности, тем, что она во многих случаях является адамаровским произведением и описывает операторы адамаров-ского типа. Так называются линейные непрерывные операторы в локально выпуклом пространстве, содержащем все многочлены, для которых любой моном является их собственной функцией. В последнее время адамаровские операторы интенсивно изучаются в пространствах вещественно аналитических, бесконечно дифференцируемых функций и распределений [1-11]. В пространствах всех голоморфных функций в областях Q в €N они подробно исследованы только в случаях одной переменной [12-15] и й = CN [16]. В данной статье мультипликативная свертка ® определяется и исследуется в топологическом сопряженном Нф-)' к пространству ростков всех функций, голоморфных на замкнутом единичном полидиске D - в CN. Характеризуются ада-маровские операторы в H(Dстроится представление алгебры (Нф-)',®) в Нф-). (Образом соответствующего гомоморфизма является алгебра адамаровских операторов в Нф1).) Исследованы ее различные характеристики: описаны мультипликативные функционалы на ней, ее радикал Джекобсона и идемпотенты. Основным используемым методом является привлечение пространств последовательностей тейлоровских коэффициентов функций, моментов функционалов из рассматриваемых пространств и соответствующей техники.
Сведения из теории локально выпуклых пространств и пространств последовательностей, используемые здесь без ссылок, можно найти в [17-19].
Адамаровские операторы в пространстве функций, голоморфных на замкнутом единичном полидиске
Мультипликативное умножение, о котором пойдет речь ниже, естественным образом связано с адамаровскими (диагональными) операторами. Опишем такие операторы в пространстве ростков всех функций, голоморфных на замкнутом единичном полидиске.
Зафиксируем N Е Ш; для г > 0 положим Dr ■= {z Е CN : Izjl < r,1 < j < N}, Dr ■= {z Е CN: \zj \ < r,1 < j < N}. Для множеств Q,R Q CN введем их покоординатное произведение Q •R ■= {(tjZj)^: t Е Q,z Е R}.
Отметим, что для любых r,p > 0 выполняется равенство Dr • Dp = Drp.
Пусть H(Dr) - пространство всех голоморфных функций в Dr с топологией равномерной сходимости на компактах Dr. Символ H(D1) обозначает пространство ростков всех функций, голоморфных на D-, т.е. голоморфных в некоторой открытой окрестности DИмеет место алгебраическое равенство Нф-) = UnEN^(D1+1/n). Введем в Нф-) топологию индуктивного предела последовательности пространств Фреше H(D1+1/n), п Е N, относительно их естественных вложений в Нф-).
Далее £(Нф-)) - пространство всех линейных непрерывных операторов в Нф-). Пусть Ш0 ■= NU{0}; fa(z) = z* ■= Zlai ••• znŒn, a Е М%,гЕ CN.
Оператор A Е £(Нф-)) называется адамаровским (оператором адамаровского типа), если для любого a Е М^ найдется ca Е С, для которого A(fa) = cafa. Через £ъ(Нф-)) обозначим множество всех адамаровских операторов в Нф-). Оно является подпространством £(Нф-)) и подалгеброй £(Нф-)) с операцией композиции в качестве умножения.
Полагаем \a\ = Ylj=1ai, a! = aJ ••• aN\ для a Е N^.
Для п Е N определим банаховы пространства последовательностей
Мщ ■= {с = (Ca)aeN^ Е СШ°: ||c||n = ^е^Ы (l + 1)lal < +от) и положим М1 ■= UneN^n-
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Введем в Мг топологию индуктивного предела последовательности пространств (М1п, |Н|П), пеЫ, относительно их вложений в М1. Из неравенств Коши [20, гл. 1, §4] следует, что отобра-
{/(а)(0)\ _
жение / ——* (-) является линейным топологическим изоморфизмом Нф-) на М—.
V а! ¿аемЯ
Для п> 2 введем также банаховы пространства последовательностей
{м / 1\1а1 )
с = (са)аем$ Е : Рп(с) '■= (1 — < +от) и определим I— ■ Ппеш^г,п.
В Ь— зададим локально выпуклую топологию набором норм рп, п£М. С ней Ь— является пространством Фреше. Ниже Нф-)' - сильное сопряженное к Нф-). Отображение V ^ (ф(1аУ)аЕЦ^ является линейным топологическим изоморфизмом Нф-)' на Ь—.
Положим аЬ ■= (о-а^сдаем^ для а,Ь Е . Отметим, что Ь— совпадает с множеством мультипликаторов ^(М—) ■= {а Е аЬ Е Мг для любого Ь Е М—}. Кроме того, (т^а))аем% Е ^(М—)
для любой непрерывной на Нф-) преднормы т.
Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:
(Г) А Е £ь(Н(Е—)). _
(и) Существует функционал ф Е Нф-)' такой, что
А(ГЩ — Е НО—). (1)
Для любого А Е ^(Нф-)) функционал ф, как в (и), единствен.
Доказательство. (Г) ^ (ii). Пусть А(^) — са^,а Е М^. Тогда для любой функции f — ^aeШ%aafaЕH(D1) выполняется равенство А^) — ааса^ (последний ряд абсо-
лютно сходится в Нф-)) и ас Е М—. Значит, с Е ^(М—) — Ь—. Существует функционал ф Е Нф-)', для которого ф^а) = са, а Е М^. При этом А(^)(г) — Фt(fa(tz)) для любых а Е М^, г Е £м. Введем оператор В^)(г): — Ф^&я))^ Е Нф--) (г принадлежит некоторой открытой окрестности Эъ зависящей от /). Он линеен и непрерывен в Нф-) и В(п — ааСа!а — Щ) для любой функции f Е Нф-).
(и) ^ (г). При доказательстве импликации (г) ^ (и) уже отмечено, что оператор f ——> ф^^г)) линеен и непрерывен в Нф-). Ясно, что он адамаровский.
Так как для функционала ф в представлении (1) выполняются равенства А(/а) — ф(fa)fa, а Е , и множество всех многочленов плотно в Нф-), то функционал ф, как в (1), единствен. Теорема доказана.
Мультипликативная свертка в Нф-)'
Следуя [1], определим мультипликативное умножение (свертку) для ф,ф Е Нф-)' (ф ® ШП ■= <Рг Г Е Нф—).
Положим А^^)(г) ■■ ^t(f(tz)), f Е Нф-) (г принадлежит некоторому полидиску Ог, где г > 1 зависит от /). По теореме 1 оператор А^ линеен и непрерывен в Нф-). Поэтому ф — фАф - линейный непрерывный функционал на Нф-) для любых ф,ф Е Нф-)'. При этом произведение ф выражается через моменты функционалов ф и Именно для любой функции f — £аеМм Е Нф-) выполняется равенство
0 (<Р®Ф)(Л = Ъаем%<Р(/«ШЬ)а«. (2)
Введем функционалы ■■ /(а)(о),/Е Нф—),а Е М^.
Ясно, что 80 Е Нфг)' , о. Е Отметим, что для любого ф Е Н(Е)--)' ф — —при-
чем последний ряд абсолютно сходится в Нф-)'.
Замечание. Сильная топология в Нф-)' задается последовательностью преднорм
/ 1\М _
Гп(<р) ■ !аем»Ша)\(1 — —) , <РЕ нф-)', п>2.
Часто вместо нее удобно использовать другие семейства непрерывных преднорм, определяющих сильную топологию в Нф-)', а именно
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
qd(<P)=ZaeN»\(P(fa)\\da\,<PЕH(lCÏУ,dЕМl■,qd(<P) = sup (\da\\<p(fa)\), d Е M-.
0 aeN»
Изучим свойства введенного умножения ®. Символ Lh(H(D-L))p обозначает пространство Lh(H(D-i)) с топологией поточечной сходимости. Пусть Т(Нф-У) - множество всех непрерывных на H(D-) преднорм. Топология в Lh(H(D-L))p задается семейством преднорм
srJ(A) ■= r(A(f)),r Е P(H(D-)) , f Е H(DÏ).
Для f Е H(D-) полагаем aa(f) ■= ^ ^(!), a Е Mq.
Теорема 2. (i) (Нф-)',®) - унитальная коммутативная и ассоциативная топологическая алгебра.
(ii) Отображение x(p) ■= Av, p Е H(D-)', является изоморфизмом алгебры (H(D-)',®) на алгебру lh(H(D-)). _ _
(iii) х - линейный топологический изоморфизм Нф-)' на Lh(H(D--))p.
Доказательство. (i) Коммутативность и ассоциативность умножения ® следуют из равенства (2). Покажем, что е = ^авш^ — йо - единица алгебры (Нфг)',®). Прежде всего, ряд в определении е абсолютно сходится в Нф-)'. Зафиксируем p Е Нф-)'. Поскольку для любого aЕN» (p® е)(fa) = pz(et(taza)) = p(fa) (Z^n»-5!!(fa)) = p(fa), то p ® e = p.
Покажем, что рассматриваемая алгебра является топологической. Так как для любого d Е М1 мультипоследовательность J\d\ ■= (V\da\)aeMw принадлежит M1, то для любых p,^ Е H(D{)',
d Е М1 0
qd(p®V) = sup (\da\\(p ® ^)(fa)\) = sup (\da\\p(fa)\\Wa)\) < aeN» aeN»
< ' '
suP iJ\da\\(P(fa)\) • suPi-J\da\\*P(fa)\) =
aeN" aeN" v v
Значит, отображение (p^ p непрерывно из H(D-i}' X Нф^)' в H(D-i}'.
Утверждение (ii) следует из равенства (2).
(iii) Покажем, что Х'-Нф-^)' ^ Lh(H(D-i))p непрерывно. Действительно, для любых Т е Р(Нф-)), f е HD), для d = (\aa(f)\T(fa))aeN% e М1
Z aeN%\p(fa)\\aa(f)\T(fa) = 4d((p),p е H(Dlï-
Покажем теперь, что X-1'Lh(H(Di))p —> H(D-l)' непрерывно. Зафиксируем d е М1. Положим h = Zaern" dafa, т(9) = sup g е HiD).
0 ßeN" p!
Тогда т - непрерывная на H(D-) преднорма, h e H(D-) и 4d(P)= suP (ldß\lp(fß)\) = suP \-1(SaeN"P(fa)dafa)iß) (0)
ßeN" ßeN"y
= T (ZaeN" P(fa)dafa) = * (¿cpW) = ST,h(Ap),p e H(DD~^)'.
Теорема доказана.
Обратимся к ситуации, близкой к рассмотренной. Пусть Lh(H(D1)) - множество всех адамаровских операторов, линейных и непрерывных в H(D1). Как и теорема 1, доказывается
Теорема 3. Следующие утверждения равносильны:
(i) Ae£h(H(Di)). _
(ii) Существует функционал p e H(D-)' такой, что A(f)(z) = pt(f(tz)), z e D1, f e H(D1).
Для любого A e Lh(H(D1)) функционал p, как в (ii), единствен.
Замечание. Способом, описанным выше для H(D-y, нельзя ввести мультипликативное умножение в H(D1)', топологическом сопряженном к H(D1). Действительно, в теореме 3 оператор A действует в H(D1), а функционал p выбирается из сопряженного к H(D-l) пространства.
Мультипликативные функционалы на (H(D-)',®). Побудительным мотивом этой части работы является [3, §3]. Для f e H(D{) положим Uf(p) = p(f), p e H(D-y.
Выясним, для каких f e H(D-) функционал Uf мультипликативен на алгебре (H(E--i)',®).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Теорема 4. Следующие утверждения равносильны для ненулевой функции f Е Нф-):
(г) Функционал пу мультипликативный.
(и) Существует а Е М^, для которого f — fa.
Доказательство. (и) ^ (г). Для любого а Е М^, любых ф,тр Е Нф-)'
пГа(<Р ®Ф) — ъ(М?*га)) = пГа(ф) • пГа(ф).
с й
(Г) ^ (и). Пусть функционал Пг мультипликативен. Для ф — , тр — Е
j мул^шшикатьсн. для ф - LafENN — u0 , ip — —
толняется равенство
Поэтому
__Q d
е Нф-) выполняется равенство ф ® гр — .
Т.аеМ»С-^Г(а)(°) —ЪаеМ^/(а)(°) • Т.аеМ^Г(а)(°). (3)
Предположим, что существуют а,/ Е М^, а Ф /, для которых /(а)(0) Ф 0 и /(^(0) Ф 0. Возьмем с ■■ и ( ■■ ($ар - символ Кронекера). Тогда в (3) слева стоит 0,
а справа - —/(а\0) • —/(^(0) Ф 0. Получено противоречие. Поэтому существует а Е Мд' такое, что /(^(0) — 0, если /З Ф а. Значит, / — С/а, С Е С. Ясно, что С — 1. Теорема доказана.
Из предыдущей теоремы вытекает, что радикал Джекобсона алгебры (Нф-)',®) тривиален. Действительно, согласно [21, гл. 4, §4.3, предложение] радикал Джекобсона J алгебры (Нф-)',®) является пересечением всех ее максимальных идеалов. Поскольку ядра Кег функционалов , а Е ЭД(У, являются максимальными идеалами алгебры (Нф-)',®) и Кег — {0}, то
J={0}. Получили
Следствие 1. Радикал Джекобсона алгебры (Нф-)',®) - нулевой.
Идемпотенты. В структурной теории алгебр и модулей над алгебрами важную роль играют идемпотенты. Опишем все идемпотенты (Нф-)',®), т.е. функционалы ф Е Нф-)' такие, что ф ® ф — ф. Отметим, что таким функционалам ф по теореме 2 соответствуют проекторы Ар Е £к(Нф—)). _
Теорема 5. Функционал ф — 'Еавм^^^о Е Нф-)' является идемпотентом тогда и только тогда, когда са — 0 или са — 1 для любого а Е Мд'.
с2
Доказательство. Утверждение является следствием равенства ф ® ф — и един-
ственности разложения элементов Нф-)' в ряд по системе { 5$: а Е М^}.
По [21, §6.4] идемпотент д алгебры Л называется примитивным, если в Л не существует идемпотента f такого, что fФ0,fФдиfд — дf — f.
Следствие 2. Любой функционал —Зо, а Е М^, является примитивным идемпотентом алгебры (Нф-)',®). Всякий примитивный идемпотент (Нф-)',®) совпадает с некоторым функционалом — Зо , а Е .
Список источников
1. Vogt D. £' as an algebra by multiplicative convolution // Funct. Approx. Comment. Math. 2018. Vol. 59, № 1. P. 117-128.
2. Domanski P., Langenbruch M. Representation of multipliers on spaces of real analytic functions // Analysis. 2012. Vol. 32. P. 137-162.
3. Domanski P., Langenbruch M. Algebra of multipliers on the space of real analytic functions of one variable // Studia Math. 2012. Vol. 212. P. 155-171.
4. Domanski P., Langenbruch M. Hadamard multipliers on spaces of real analytic functions // Adv. Math. 2013. Vol. 240. P. 575-612.
5. Domanski P., Langenbruch M. Multiplier projections on spaces of real analytic functions in several variables // Comp. Var. Elliptic Equ. 2017. Vol. 62. P. 241-268.
6. Domanski P., Langenbruch M. Surjectivity of Hadamard type operators on spaces of smooth functions // Revista de la Real Acad. de Ciencias Ex. Fis. Y Naturales Serie A-Mat. 2019. Vol. 113. P. 1625-1676.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
7. Domanski P., Langenbruch M., Vogt D. Hadamard type operators on spaces of real analytic functions in several variables // J. Funct. Anal. 2015. Vol. 269. P. 3868-3913.
8. Vogt D. Hadamard type operators on spaces of smooth functions // Math. Nachr. 2015. Vol. 288. P. 353361.
9. Vogt D. Hadamard operators on D'RN // Studia Math. 2017. Vol. 237. P. 137-152.
10. Vogt D. Hadamard operators on D'Q. // Math. Nachr. 2017. Vol. 290. P. 1374-1380.
11. Vogt D. Hadamard type operators on temperate distributions // J. Math. Anal. Appl. 2020. Vol. 481, № 2. Р. 123499.
12. Линчук C.C. Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения. Актуальные вопросы теории функций. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1987. С. 118-121.
13. Братищев А.В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов // Докл. РАН. 1999. Т. 365, № 1. С. 9-12.
14. Братищев А.В. Об операторах обобщенного дифференцирования Гельфонда - Леонтьева // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее приложения: темат. обзор. 2018. Т. 153. С. 29-54.
15. Trybula M. Hadamard multipliers on spaces of holomorphic functions // Int. Equ. Oper. Theory. 2015. Vol. 88. P. 249-268.
16. Иванова О.А., Мелихов С.Н. Операторы почти адамаровского типа и оператор Харди - Литтлвуда в пространстве целых функций многих комплексных переменных // Мат. заметки. 2021. Т. 110, № 1. С. 52-64.
17. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 257 с.
18. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1983. 144 с.
19. КоробейникЮ.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1983. 160 с.
20. ВладимировВ.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 411 с.
21. Пирс Р. Ассоциированные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.
References
1. Vogt D. £' as an algebra by multiplicative convolution. Funct. Approx. Comment. Math. 2018;59(1):117-128.
2. Domanski P., Langenbruch M. Representation of multipliers on spaces of real analytic functions. Analysis. 2012;32:137-162.
3. Domanski P., Langenbruch M. Algebra of multipliers on the space of real analytic functions of one variable. Studia Math. 2012;212:155-171.
4. Domanski P., Langenbruch M. Hadamard multipliers on spaces of real analytic functions. Adv. Math. 2013;240:575-612.
5. Domanski P., Langenbruch M. Multiplier projections on spaces of real analytic functions in several variables. Comp. Var. Elliptic Equ. 2017;62:241-268.
6. Domanski P., Langenbruch M. Surjectivity of Hadamard type operators on spaces of smooth functions. Revista de la Real Acad. de Ciencias Ex. Fis. YNaturales Serie A-Mat. 2019;113:1625-1676.
7. Domanski P., Langenbruch M., Vogt D. Hadamard type operators on spaces of real analytic functions in several variables. J. Funct. Anal. 2015;269:3868-3913.
8. Vogt D. Hadamard type operators on spaces of smooth functions. Math. Nachr. 2015;288:353-361.
9. Vogt D. Hadamard operators on D'(RN). Studia Math. 2017;237:137-152.
10.Vogt D. Hadamard operators on D'(D). Math. Nachr. 2017;290:1374-1380.
11. Vogt D. Hadamard type operators on temperate distributions. J. Math. Anal. Appl. 2020;481(2):123499.
12. Linchuk S.S. Diagonal operators in spaces of analytic functions and their applications. Topical problems offunction theory. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 1987:118-121. (In Russ.).
13. Bratishchev A.V. On linear operators whose symbol is a function of the product of its arguments. Dokl. RAN = Reports of the Russian Academy of Sciences. 1999;365(1):9-12. (In Russ.).
14. Bratishchev A.V. On Gelfond-Leontiev operators of generalized differentiation. Results of science and technology. Modern mathematics and its applications. Thematic overview. 2018;153:29-54. (In Russ.).
15. Trybula M. Hadamard multipliers on spaces of holomorphic functions. Int. Equ. Oper. Theory. 2015;88:249-268.
16. Ivanova O. A., Melikhov S. N. Operators of Almost Hadamard-Type and the Hardy-Littlewood Operator in the Space of Entire Functions of Several Complex Variables. Math. Notes. 2021;110(1):61-71.
17. Robertson A.P., Robertson V.J. Topological vector spaces. Moscow: Mir Publ.; 1967. 257 p. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
18. Dragilev M.M. Basises in Kothe spaces. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 1983. 144 p. (In Russ.).
19. Korobeinik Yu.F. Shift operators on numerical families. Rostov-on-Don: Rostov State University Press; 1983. 160 p. (In Russ.).
20. Vladimirov V.S. Methods in the theory of functions of several complex variables. Moscow: Nauka Publ.; 1964. 411 p. (In Russ.).
21. Pierce R. Associated algebras. Moscow: Mir Publ.; 1986. 543 p. (In Russ.).
Информация об авторах
О.А. Иванова - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа и геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича. С.Н. Мелихов - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
Information about the authors
O.A. Ivanova - Candidate of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Department ofMathematical Analysis and Geometry, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science. S.N. Melikhov - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University; Leading Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.
Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.
