CC BY
3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Научная статья
УДК 517.982.3+517.983.22
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-96-101
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЮАМЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
Павел Александрович Иванов
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия piv@sfedu.ru
Аннотация. Пусть Q - полиобласть в CN, содержащая точку 0; H(Q) - пространство всех голоморфных в Q функций с топологией равномерной сходимости на компактах Q. В топологическом сопряженном H(Q)' к H(Q) введено и исследовано умножение ( Оно определяется по правилу свертки с помощью сдвигов, ассоциированных с системой операторов частного обратного сдвига. С операцией ( пространство H(Q)' является унитальной ассоциативной и коммутативной алгеброй. Получены реализации алгебры (H(Q)',@) c помощью преобразований Коши и Лапласа и ее представление в H(Q). Посредством преобразования Лапласа введенное умножение (реализовано как многомерное произведение Дюамеля в соответствующем пространстве целых функций экспоненциального типа.
Ключевые слова: пространство голоморфных функций, алгебра, оператор обратного сдвига, произведение Дюамеля
Для цитирования: Иванов П.А. Произведение Дюамеля в пространствах целых функций экспоненциального типа // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 96-101.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
THE DUHAMEL PRODUCT IN SPACES OF ENTIRE FUNCTIONS
OF EXPONENTIAL TYPE
Pavel A. Ivanov
Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia piv@sfedu.ru
Abstract. Let Q be a polydomain in CN containing the point 0; H(Q) be the space of all holomorphic functions on Q with the compact open topology. In the dual H(Q)' of H(Q) a multiplication (is introduced and investigated. It is defined by the convolution rule with the help of shifts which are associated with the system of partial backward shift operators. The realizations of the algebra (H(Q)', () with the help of the Cauchy and the Laplace transformations and its representation in H(Q) are obtained. By means of the Laplace transformation the introduced multiplication ( is realized as the many-dimensional Duhamel product in the appropriate space of entire functions of exponential type.
Keywords: space of holomorphic functions, algebra, backward shift operator, Duhamel product
For citation: Ivanov P.V. The Duhamel Product in Spaces of Entire Functions of Exponential Type. Bulletin ofHigher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):96-101. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
© Иванов П.А., 2022
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Введение
В настоящей работе исследуются проблемы, связанные с системой операторов частного обратного сдвига в пространстве Фреше Н(П) всех функций, голоморфных в полиобласти П в См, содержащей точку 0. Эти операторы для N > 2 введены в статье [1]. Основное внимание уделено умножению © в топологическом сопряженном Н(П)' к Н(П), задаваемому по правилу свертки с помощью ассоциированных операторов сдвига. Показано, что алгебра (Н(П)',©) является топологической, если Н(П)' наделить сильной топологией. Следуя [2], изучаем реализации алгебры (Н(П)',©) с помощью преобразований Коши и Лапласа. Первое реализует ее как поточечное умножение (с дополнительным множителем ^ ... , где - независимые переменные), что влечет ассоциативность и коммутативность алгебры (Н(П)',©). Второе является изоморфизмом (Н(П)',©) на некоторую алгебру целых функций экспоненциального типа, умножением в которой является произведение Дюамеля. В одномерной ситуации в пространствах голоморфных функций произведение Дюамеля введено и изучено в [3]. В многомерной ситуации (в пространстве Харди НР(Д), 0 < р < от, на открытом единичном поликруге Д) оно определено в [4]. Алгебры с произведением Дюамеля довольно интенсивно исследуются в последнее время и имеют достаточно много приложений (см., например, статью [5]). Полученное ранее в [1] описание коммутанта Х(Д0) системы операторов частного обратного сдвига в алгебре всех линейных непрерывных в Н(П) операторов позволило построить естественное представление (Н(П)',©) в Н(П).
Предварительные сведения
Зафиксируем N е М, положим Рм: = {1, Пусть Пу, _/ е Рм, - односвязные области в С,
содержащие точку 0; П := П х—х Пм. Через Н(Л) обозначим пространство всех функций, голоморфных в с топологией равномерной сходимости на компактах
дт *т Ч ^ ^ СТ
Для г е С, а определим точку е С: = [г к е а
Если ст = {/}, то ¿у,2: = Для _/ е Рм оператор частного обратного сдвига !)у,0 определяется равенством Яу,0(/)(0 = /(0-/(^о),/ е Я(П).
Согласно [1, лемма 2.1], !)у,о линеен и непрерывен в Н(П). С системой {Дуо
: у е Р„}, следуя
[6], ассоциируем операторы сдвига Т/2(/)(0 = 2 е см,_/ е Рм, / е Н(П), которые
£г2;
линейны и непрерывны в Н(Л) [1, определение 2.2]. Полагаем Г2 := Г12 ••• ГМ2, г е См. Отметим полезное свойство операторов Г2.
Лемма 1 [1, лемма 2.4]. Для функции / е Н(П), точек г е П таких, что ¿у ^ гу, _/ е Рм,
выполняется равенство Г2(/)(0 = ^-^^ср^-!)1^^/^).
При этом г1 := П7=12;', z е См. Для ст С символ |ст| обозначает число элементов множества ст. Считаем, что |0| = 0.
Умножение © в Н(П)'
Символ Н(П)' обозначает топологическое сопряженное к Н(П) пространство; Я(П)^, - сильное сопряженное к Н(П). Следуя [2, §1], введем бинарную операцию ©: для ^ е Н(П)'
(р © ^)(/) = <р2 (У(Ш))),/ е ЖП). (1)
Нижний индекс у функционала показывает, по каким переменным он действует.
Докажем, что © является умножением в Н(П)', и с этим умножением Н(П)' - унитальная топологическая алгебра. Предварительно выберем последовательности односвязных областей @у,п, п е М, в Пу таких, что их замыкания 0/,п в С - компакты в Пу, их границы 3@у,п - спрямляемые жордановы кривые и 0 е @у,п С т^у^^ п е М, Пу = ипем 0/,п, 7 е Рм.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Символ intÇ обозначает внутренность множества Ç Ç С в С. Положим Çn := Ç1n х—х @Nn,
п£М. Последовательность норм ||/||n = max|/(z)|, / е Я(П), задает топологию Я(П). При __z£Qn
этом Qn - замыкание Çn в Cw. Пусть ||<р||п = SUP 1<Р(/)1,Р е Я(П)' (величина ||<р||п может рав-
H/llnS1
няться и +œ).
Определим пространства ЯП(П)' := (р е Я(П)': ||<р||« < +от), п е М. Выполняется равенство Я(П)' = U пеМЯп(П)'. Поскольку Я(П) рефлексивно, то из [7, предложение 8.4.18] Я(П)$, является индуктивным пределом последовательности банаховых пространств (ЯП(П)', |H|^), п е М, относительно их вложений в Я(П)'. Отсюда следует, что топологическое произведение Я(П)$, х Я(П)$, является индуктивным пределом последовательности топологических произведений (ЯП(П)', |Н|«) х (ЯП(П)', ||• Пи), п е М, относительно отображений вложения.
Далее Гп := ô@1n х—х ôÇWn,n е М, - остов полиобласти Çn. Вследствие принципа максимума модуля голоморфной (в области С) функции выполняется равенство ||/||n = max|/(z)| ,
zern
/еЯ(П), пе М [8, гл. 1, § 3].
Теорема 1. (i) © - бинарная операция в Я(П)'.
(ii) Я(П)$, с умножением © - унитальная топологическая алгебра.
Доказательство. (i) Из [1, лемма 2.3 (iv)] для / е Я(П) функция z ^ ^(7Z(/)) голоморфна в Q. Значит, выражение (р © ф)(/) в (1) определено для любых р, ф е Я(П)'. Покажем, что линейный на Я(П) функционал р © ф непрерывен. Существуют ^еМит>^ такие, что
|№<+™. |Ж|тт<+~и
|<Pz (ф(Ш))) | < M* • max№OZ(/))l < M|fc • MTn sup sup |7Z(/)(t)|. (2)
Отметим, что для любых z е rfc, i е Гт, a Ç PN точка iff z принадлежит Qm. Поэтому равенство в лемме 1 влечет существование постоянной С > 0, для которой
sup sup|7Z(/)(t)|<C||/m, (3)
Z£rfc ££Гт
где / е Я(П).
Из неравенств (2) и (3) следует, что |(р ©ф)(/)1 < М|кМТТС||/|Ц, / е Я(П). Значит, р © ф е Я(П)'.
(ii) Как и при доказательстве утверждения (i), получим, что для любого п е М существует постоянная Сп > 0 такая, что |(р © ф)(/)| < С„ИФИ^И/!«, р.ф е ЯП(П)', / е Я(П). Отсюда следует, что ||р ©ф||п < Сп||<р||;||ф||;,р,ф е Яп(П)'.
Последнее неравенство показывает, что отображение ( р, ф) ^ р © ф непрерывно из Я(П)$, х Я(П)$, в Я(П)$,. Значит, (Я(П)$,,©) - топологическая алгебра. Единицей в ней является дельта-функция <50(/) = /(0).
Реализации алгебры (Я(П)',©)
Реализация © посредством преобразования Коши. Положим СП :=
(C\Hi) х-х (С\П„), где
С - расширенная комплексная плоскость. Пусть Я0(СП) - пространство всех функций, голо-
—N
морфных на СП, т.е. голоморфных в некоторой открытой окрестности СП в С и равных нулю
—N N 1
на С \С . Введем функции /s(z) := ———. Преобразование Коши задается равенством
(s-z)
К(<р)(0 = е Я(П)',£ е (СП)ncN.
Согласно [9, лемма 12.5], К - линейный изоморфизм Я(П)' на Я0( СП). Теорема 2. Для любых р,ф е Я(П)' выполняетсяравенство
К(р © = екшокша f е (сп)ПС" 1
Доказательство. По [1, лемма 2.3 (iii)] 7Z(/f) = S u/f,^ е (СП)ПС^г е П. Поэтому для
( s z)
f е ( СП)П^
К(р © ф)(0 = (р © ^)(/f) = PzOKW?)))=Pz (ф (¿г/?)) = • К(ф)(0.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Следствие 1. Алгебра (Я(П)',©) ассоциативна и коммутативна.
Реализация © посредством преобразования Лапласа. Рассмотрим случай преобразования Лапласа. Положим e^(z) := е<я,2>, < Я, z >= ^у^Яугу, A,z6 Для ^ е Я(П)' определим 3(^)(Я) = <р(А) = ^(ея),Я е
Пусть := 3(Я(П)'). Преобразование Лапласа 3: Я(П)' ^ - линейный изоморфизм «на» [10, §1]. В введем локальную выпуклую топологию так, что 3: Я(П)' ^ является и топологическим изоморфизмом.
Определим функционалы ¿я ¿я(/) = /№,/ е Я(П). Все они линейны и непрерывны
на Я(П). Отметим, что ¿я = ед, Я е П. Определим произведение Дюамеля * : для g, h е H(CW),
t е <cw * h)(t) = J0£l- J0tw5(i - 0h(0^i ••• d^.
Ясно, что g * h е H(£w) для любых функций g,hеЯ(£w). Кроме того, отображение (g, h) i—> g * h непрерывно из топологического произведения H(CW) х H(CW) в H(CW). Ниже мы покажем, что g * h е Р^ для любых g, h е Р^.
Теорема 3. Для любых ^ е Я(П)' выполняется равенство © ^ = * Доказательство. Вычислим (5д © 5^)(t) для Я, ^ е П таких, что Яу ^ ,у е Pw, t е £w. Учитывая лемму 1, получим
(<5Я^)(0 = (<5Я © 5ii)(et) = (5я)2 (5M(rz(et))} =
= (5я)2 ((<Уи (^ZffçPw(-1)|ff|<ze<£'u->}) = <яе<£^> (4)
Найдем (ея * e^)(t), где Я,^ е П, Яу ^ ,у е Pw, t е :
(ея * = ^ t - -С е<^Ч>е<М> dfi ... dfr =
ati-atw(e fo — J0 e a<-...a<w} (e ц;=-
Из (4) и (5) следует, что
ФТ©^ = ея * Я,^ е П, Яу ^ ^у,у е PN. (6)
Так как отображение Я ^ ¿я непрерывно из Ов Я(П)$, и пространство Р^ непрерывно вложено в H(CW), то вследствие теоремы 1 равенство (6) выполняется для любых Я, ^ е П. Поскольку множество { <5я: Я е П} полно в Я(П)^, то^>©^ = <р*$ для любых ^ е Я(П)'. Теорема доказана.
Следствие 2. g * h е Р^ для любых g, h е Р^.
Представление (Я(П)',©) в Я(П). Для е Я(П)' определим оператор B<p(/)(z) = ^(Tz(/)), z е П,/ е Я(П), линейный и непрерывный в Я(П). Пусть X(D0) - множество всех линейных непрерывных в Я(П) операторов В таких, что BDy0 = ûyj0B на Я(П) для всех у е Pw. С операцией композиции отображений X(D0) - алгебра. По [1, теорема 3.1] линейное отображение р: Я(П)' ^ X(D0), р(<р) = В<р сюръективно. Поскольку В<р(/)(0) = £>(/), f е Я(П), <р е Я(П)', то р инъективно, а значит, биективно. Отметим равенство (<р © ^)(/) = ^(В^(/)), ^ е Я(П)', / е Я(П).
Положим S(M, tf) = {Г2(/): / еМ,ге^}дляМс Я(П), ÎÇfl.
Лемма 2. Для любого компакта ^ в П, любого ограниченного множества M в Я(П) множество сдвигов S(M, ограниченно в Я(П).
Доказательство. Зафиксируем пе S. Найдется m > п, для которого ^ Ç Qm. Поскольку M
ограниченно в Я(П), то Cm = sup^/^m+1 < +œ.
/ем
Пусть dj = dist(ôQmy, 3Çm+1,y),y е Pw; d = d1 — dw (все числа dy положительных). По лемме 1
1 2W
mj < J Cm.
zg^ /ем " "
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Значит, множество S(M, ограниченно в Я (А).
Лемма 2 усиливает результат из [1, лемма 3.1] (в [1] это утверждение доказано для множества М, состоящего из одной функции).
Далее ®(Я(А)) обозначает множество всех ограниченных подмножеств Я (А). Пусть X(D0)b -пространство X(D0) с топологией ограниченной сходимости. Она задается семейством пред-
норм sup||B(/)||n, М е В(Я(П)),п6 N.
/ем
Теорема 4. (i) Отображение р(<р) = В<р, ^ е Я (А)', является изоморфизмом алгебры (Я (А)',©) на алгебру X(D0).
(ii) р - линейный топологический изоморфизм Я(А)$, на X(D0)b.
Доказательство. (i) Вследствие [1, лемма 2.3 (v)] = для любых z е Cw, 1 е Я (А)'. Поэтому для всех <р, 1 е Я (А)', z е А, / е Я (А)
р(<Р © 1)(/)00 = (/)(*) = (<р ® 1)(Ш)) = <KVW))) = (rz (В^С/))) =
Значит, р(<р © 1) = р(^)р(1) для любых <р, 1 е Я (А)'. Кроме того, отображение р линейно. (ii) Докажем, что непрерывно отображение р: Я(А)$, —> X(D0)b. Для любого ограниченного множества М в Я (А), п е N, <р е Я (А)'
sup||B<p(/)L = suPmax|<p(rz(/))| < sup
/ем п /ем z£Qn ае5(м,с„)
Поскольку по лемме 2 множество S(M, Qn) ограниченно в Я (А), то р непрерывно.
Покажем, что отображение р-1:Х(Д0)й —> Я(А)$, непрерывно. Для ограниченного множества М в Я (А) вследствие 0 е Q1 и <р(/) = Вр(/)(0) получим
sup|^(/)| = sup |V/)(0)l < supmax|S<p(/)(z)|, е Я (А)'. /ем /ем /ем z£Qi
Поэтому р-1 непрерывно из ^(^0)ь,0 в Я(А)^, и тем более из X(D0)b в Я(А)^,. Теорема доказана.
Список источников
1. Ivanov P.A., Melikhov S.N. Pommiez Operator in Spaces of Analytic Functions of Several Complex Variables // J. of Math. Sciences. 2021. Vol. 252, № 3. Р. 345-359.
2. Иванова O.A., Мелихов С.Н. Алгебры аналитических функционалов и обобщенное произведение Дюамеля // Владикавказский мат. журн. 2020. Т. 22, № 3. С. 72-84.
3. Wigley N. The Duhamel product of analytic functions // Duke Math. J. 1974. Vol. 41. Р. 211-217.
4. Merryfield K., Watson S. A local algebra structure for H of the polydisc // Colloquium Mathematicum. 1991. Vol. 61. Р. 73-79.
5. Караев М.Т. Алгебры Дюамеля и их приложения // Функц. анализ и его приложения. 2018. Т. 52, вып. 1. С. 3-12.
6. Binderman Z. Functional shifts induced by right invertible operators // Math. Nachr. 1992. Vol. 157. Р. 211-224.
7. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.
8. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.
9. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.
10. Trutnev V.M. Convolution equations in spaces of entire functions of exponential type // J. Math. Sci. (N.Y.). 2004. Vol. 120, № 6. Р. 1901-1915.
References
1. Ivanov P.A., Melikhov S.N. Pommiez Operator in Spaces of Analytic Functions of Several Complex Variables. Journal of Math. Sciences. 2021;252(3):345-359.
2. Ivanova O.A., Melikhov S.N. Algebras of analytic junctionals and the generalized Duhamel product. Vla-dikavk. matem. zhurn. = Vladikavkaz Mathematical Journal. 2020;22(3):72-84. (In Russ.).
3. Wigley N. The Duhamel product of analytic functions. Duke Math. J. 1974;41:211-217.
4. Merryfield K., Watson S. A local algebra structure for H of the polydisc. Colloquium Mathematicum. 1991;61:73-79.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
5. Karaev M.T. Duhamel algebras and applications. Functional Analysis and its Applications. 2018;52(1):1-8.
6. Binderman Z. Functional shifts induced by right invertible operators. Math. Nachr. 1992;157:211-224.
7. Edwards R. Functional analysis. Theory and applications. Moscow: Mir Publ.; 1969. 1072 p. (In Russ.).
8. Shabat B.V. Introduction to complex analysis. Moscow: Nauka Publ.; 1969. 576 p. (In Russ.).
9. Napalkov V.V. Convolution equations in multidimensional spaces. Moscow: Nauka Publ.; 1982. 240 p. (In Russ.).
10. Trutnev V. M. Convolution equations in spaces of entire functions of exponential type. J. Math. Sci. (N. Y.). 2004;120(6):1901-1915.
Информация об авторе
П.А. Иванов - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the author
P.A. Ivanov - Postgraduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.
