О соотношениях и модулях соотношений разрешимых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 18-20.

УДК 512.5 Е.И. Тимошенко

О СООТНОШЕНИЯХ И МОДУЛЯХ

W __

СООТНОШЕНИИ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП*

Доказано, что в свободной группе F ранга четыре существуют такие элементы, как gt, i = 1, ..., 4, что для любого n нильпотентные фактор группы F/<g_1, g_2, g_3, g_4>ynF и F/<g_1, g_2, g_3 g_4>ynF изоморфны между собой, но метабелевые факторы группы F/<g_1, g_2, g_3, g_4>F(2) и F/<g_1, g_2, g_3 g_4>F(2) не изоморфны. Здесь <L> означает нормальное замыкание L в группе F, ynF обозначает n-й член нижнего центрального ряда в F, F(2^- второй коммутант группы F.

Ключевые слова: модуль соотношений, вложение Магнуса, представление группы, нильпотентный фактор, метабелев фактор.

1. Введение

Пусть F - свободная группа, R - ее нормальная подгруппа, R' - коммутант подгруппы R. В комбинаторной теории групп значительное внимание уделяется группам вида F/R' и соответствующим таким группам модулям соотношений R/R'. Важное значение имеют различные числовые характеристики, связанные с представлениями групп и модулями соотношений. Часто эти характеристики имеют отношение друг к другу, поэтому представляет интерес вопрос об их совпадении или различии. Например, при рассмотрении классической и усредненной функций Дена, соответствующих представлению группы через порождающие элементы и определяющие соотношения, оказалось, что уже в случае абелевых групп значения этих функций могут существенно различаться между собой (см. [1]).

Вложение Магнуса позволяет рассматривать группы вида F/R' как подгруппы групп матриц над групповыми кольцами Z(F/R') (Z - кольцо целых чисел). Особенно продуктивным показал себя подход с использованием этого вложения при изучении структур и элементарных теорий разрешимых групп. Так же он оказался полезным при изучении разрешимости уравнений над разрешимыми группами. См. по этому поводу [2-4].

В [5] рассмотрен вопрос о наименьшем числе соотношений некоторых групп в заданной системе порождающих. Этот вопрос связан с проблемой скачка соотношений. Проблема состоит вследующем. Пусть F - свободная группа конечного ранга и R - некоторая ее нормальная подгруппа, порожденная как нормальная подгруппа конечным числом элементов. Обозначим минимальное число нормальных порождающих R (т. е. порождающих ее как нормальную подгруппу) через dF(R). Пусть R' - коммутант группы R. Группа F/R' содержит нормальную абелеву подгруппу R/R', которая является модулем над кольцом Z(F/R'). Элементы группы F/R' действуют на данном модуле сопряжением. Так как элементы из R/R' действуют при этом тождественно, то R/R' можно рассматривать как модуль над групповым кольцом фактор-группы F/R' по R/R', изоморфной F/R, то есть R/R'является также Z(F/R)-модулем. Если подгруппа R конечно порождена как нормальная подгруппа в F, то Z(F/R)-модуль R/R' также конечно порожден. Обозначим наименьшее количество порождающих этого модуля через dF/R (R/R'). Очевидно, что dF/R(R/R') ^ dF(R). Возникает вопрос: верно ли, что для любой нормальной подгруппы R из F, для которой dF(R) конечно, имеет место равенство dF/R (R/R') = dF(R)? В этом состоит проблема скачка соотношений.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 15-01-01485, а также Министерства образования и науки (государственное задание № 2014/138, проект 1052).

© Тимошенко Е.И., 2016

О соотношениях и модулях соотношений разрешимых групп

19

Заметим, что аналогичный вопрос можно исследовать не только для конечно порожденной свободной группы F, но и для любой группы G. Итак, пусть G - произвольная группа, N - ее нормальная подгруппа, имеющая конечное число нормальных порождающих. Группа N/ЛГ' является Z(G/N)-модулем. Определив йс (Щ и (ШЩ, как раньше спросим, для каких групп G равенство йв/к(Щ/Щ') = йс (Щ) справедливо для любой нормальной подгруппы N группы G, если йс (Щ) конечно? В работе дается ответ на этот вопрос для разрешимой группы &

Так же в работе дается ответ на вопрос из [1], точная формулировка которого приводится ниже.

2. Результаты

Итак, докажем, что в случае разрешимой группы ответ на поставленный выше вопрос о равенстве (Щ/Щ') = йс (Щ положительный.

Утверждение 1. Пусть G - разрешимая группа и N - нормальная подгруппа из G, допускающая конечное число нормальных порождающих. Тогда йс (Щ)= с1е/ю (Щ/ Щ').

Доказательство. Пусть элементы г;,...,гп порождают нормальную подгруппу N по модулю N. Достаточно доказать, что тогда нормальное замыкание М-элементов г;, .., гп в группе G совпадает с N. Для любого натурального числа I пусть N обозначает 1-й коммутант группы N. Имеем МИ' = N. Отсюда для любого I > 2 получим равенства

N = M[MN', MN'] = M Ы(2)= ...= MN(l). (1)

Так как в силу разрешимости группы N для некоторого 1 (ступени разрешимости) группа N тривиальна, то М=К Утверждение доказано.

Заметим, что в [6] найдены необходимые и достаточные условия, при которых группа, совпадающая со своим коммутантом и порожденная конечным множеством классов сопряженных элементов, не совпадает с нормальным замыканием одного элемента. Если G - такая группа, то очевидно, что йс >1, но Св/в, = Однако как отмечает автор

[6], вопрос о существовании таких групп G остается открытым.

Как обычно, обозначим коммутатор любых элементов д, Н из некоторой группы G через [д, Н] = д~1Ъ~1дН Через ^ = 1, 2, ... ) обозначим г-й член нижнего центрального ряда, а через С(1) - г-й член ряда коммутантов группы G.

В [5] авторы рассмотрели в свободной группе F ранга 4 со свободными порождающими элементами х, у, г, t две ее нормальные подгруппы: М, порожденную как нормальная подгруппа элементами хр,гч и [х, у][га также N порожденную как нормальная подгруппа элементами хр,гч,[х, у] и [г, где р, д

взаимно простые натуральные числа, большие 1. Они доказали следующее утверждение:

Предложение 1 (Бардаков, Нещадим

[5]).

Для всякого натурального числа Э имеет место равенство ¥^/Му3 = F/NYS(F).

В [5] сформулирован следующий вопрос.

Можно ли предложение 1 обобщить на случай метабелевых групп? Иными словами, справедливо ли равенство F/MF(2 = F/NF(2^?

Ответ на этот вопрос отрицательный даже без предположения, что р и д взаимно просты, и вытекает из следующего утверждения.

Утверждение 2. При любых р, д >1 коммутатор [х, у] не принадлежит подгруппе М.

Доказательство. Рассмотрим вложение-Магнуса р свободной метабелевой группы F/Р(2 в группу матриц М, полагая

им=е; ъ им=& 0)

и<*>=с; =с: п

Здесь штрих означает образ элемента изгруппы F в свободной абелевой группе А= F/К', элементы ..., е: образуют базис свободного правого Z(A)-модуля Т. Необходимые сведения о вложении Магнуса приведены, например, в [2-3].

Нетрудно вычислить образы элементов хр,гч, [х,у][г, ^ в группе матриц М:

и(хр > =(

;

е;(1 + х' + ••• + х ;) ( г'4

и(^> = (в;(1+г' + - + г'ч-;)

1>

и([х,у][7,1]> = ( 1 0)

(е;(у' -1)+ в2(1 - х') + в;(? -1) + еА(1 - г') 1).

Пусть Я - нормальная подгруппа из М, порожденная матрицами

а=ео 0),с=е; ?)• / 1 0\

Р = ( е;(1+х' + - + х'р-;) 1);

«=(

1

е;(1 + г' + - + г'ч-;) V =

ш=|

е1(у' -1) + в2(1 - х') + в;(? -1) + е4(1 - г') 1

При вложении Магнуса элемент [х,у] отображается в матрицу

=( е;(у' -1) + в2(1 - х') 0).

Докажем, что эта матрица не принадлежит Знак <.. .> означает нормальное замыкание в М. Имеем

<а, с, р, д, у> = <а>< С><р,д,у>= = < а> [а, м]<с> [с, м] <р,д,у>.

Так как АС = СА, то < А, С, Р, д, У> = = <А>< С> [А,М][С,М]<Р,д,У>.

Если матрица Ш принадлежит нормальной подгруппе Я, то она принадлежит под-

р

х

1

0

20

Е.И. Тимошенко

группе [A,M][C,M] <P,Q,V>. Произведением-коммутаторов [A, f в степенях 1 и -1,f е M, является матрица вида

Вычитая из (8) равенство (9), получим ра-

( 1 0

((1 - х'р)т:

0) 1 1)'

где т1 eT.

Аналогично любая матрица из [C,M] имеет вид

1(1 -

1)'

где т2 еТ.

Из вхождения W в R следует, что найдутся элементы а, в, у еZ(A), т1,т2 е T такие, что

ег(у' - 1) + в2(1 - х') = (1-х'Р)т1 + + (1 - г'ч)т2+ е1(!+х'+ ... + х'р 1) а +е3(1+г'+ ... + г'4-1) р+е1(у'-1) у + е2(1-х') у + + вз (^-1) у + е4(1-г') у. (2)

Пусть

т1=е1а1+ е2а2+ е3а3 + е4а4,т2=

= е1@1+ е2^2+ езРз + е4р4. (3)

Из (2) и (3) получаем

у'- 1 = (1 - х'р)а1+(1 - г'«)р1+

+ (1 + х' + ... + х'р 1)а + (у'-1) у,

(4)

1-х' = (1-х'р)а2+ (1-2'ч)$2+ (1-х') у, (5) 0 = (1 - х'р)а3+(1-г'4)Р3+ (1+г'+ ... + г'«-1) р +

+ (? - 1)у, (6)

0 = (1-х'р)а4 + (1 - г'«)р4 + (1-г')у. (7) Из (5) следует, что р2 = (х'-1)Р2' для некоторого р2'е Z(A). Значит,

1 = (1 + х ' + ... + х 'р-1)а2 + (1 - г'а )Р2' + у. (8) Из (7) аналогично получим равенство

0 = (1 - х 'р)а4' + (1 + г ' + ... + г'ч-1)Р4 + у. (9)

для некоторого а4' еЪ (А).

венство

(1 + х' + ... + х'р 1)р +

(10)

+ (1 + z' + ... + z'q-1)v = 1 для некоторых р, veZ (A).

Пусть £1 - корень уравнения 1 + х' + ... + + х'р-1 = 0, а s2 - корень уравнения 1 + z' + ... + + z'q-1 = 0. Подставляя £1 и г2 в (10), получаем противоречие.

Утверждение доказано.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кукина Е. Г., Романьков В. А. Субквадратич-ность усредненной функции Дена для свободных абелевых групп // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. № 4. С. 772-778.

[2] Тимошенко Е. И. Эндоморфизмы и универсальные теории разрешимых групп. Монографии НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. 328 с.

[3] Roman'kov V. Equations over groups // Groups, Complexity, Cryptology. 2012. Vol. 4. № 2. P. 191239.

[4] Ремесленников В. Н., Соколов В. Г. Некоторые свойства вложения Магнуса // Алгебра и логика. 1970. Т. 9. № 5. С. 566-578.

[5] Бардаков В. Г., Нещадим М. В. О числе соотношений свободных произведений абелевых групп // Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53. № 4. С. 591-599.

[6] Ларин С. В. Об одном вопросе из «Коуровской тетради» // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 3. С.119-125.