Неподвижные точки эндоморфизмов свободных метабелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 37-41.

УДК 512.5 Е.И. Тимошенко

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ЭНДОМОРФИЗМОВ СВОБОДНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП*

Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы 1А-эндоморфизм свободной метабелевой группы не имел нетривиальных неподвижных точек. Из этой теоремы получен ряд следствий.

Ключевые слова: метабелева группа, автоморфизм, неподвижные точки.

Введение

Пусть О - некоторая группа и О' = [О, О] - её коммутант. Рассмотрим некоторый эндоморфизм ф группы О . Так как О' является вполне характеристической подгруппой в О , то эндоморфизм ф индуцирует эндо-

О

морфизм ф абелевой группы ОаЬ =

О

Эндоморфизм ф называется 1А-эндоморфизмом, если ф - тождественный эндоморфизм группы ОаЬ .

Если ф - автоморфизм группы О, который одновременно является А-эндоморфизмом, то ф называется А-автоморфизмом.

Пусть ¥п - свободная группа конечного ранга п с базисом У = {у1,...,Уп} . Группа Мп = ¥п /[¥'] называется свободной метабелевой группой ранга п .

Рассмотрим естественный гомоморфизм групп ¥п ^ Мп, при котором элементы у отображается на элементы х группы Мп. Элементы X = {х15...,хп} образуют базис свободной метабелевой группы Мп .

Элемент g = О называется фиксированной (неподвижной) точкой эндоморфизма ф, если gф = g .

Неединичная фиксированная точка называется нетривиальной. В [1] сформулирован следующий вопрос:

Верно ли, что любой А-автоморфизм свободной метабелевой группы Мп имеет нетривиальные фиксированные точки?

Если ранг п группы Мп равен 2, то ответ утвердительный [2]. Однако при п > 3 можно указать А-автоморфизм группы Мп, у которого нет нетривиальных неподвижных точек. Такой пример приведен в [3].

В данной статье мы докажем теорему о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы А-эндоморфизм группы Мп, п > 2 , имел нетривиальные неподвижные точки. Из этой теоремы получаем ряд следствий. Одним из них является пример А-автоморфизма группы Мп, п > 3, отличный от примера из [3], который не имеет нетривиальных неподвижных точек. Заметим, что в [1] приведены и доказаны лишь достаточные условия для того, чтобы А-эндоморфизм группы Мп имел нетривиаль-ныефиксированные точки.

Данная статья может представлять интерес для специалистов, так как в ней дано короткое доказательство теоремы о неподвижных точках.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00084), а также Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 2014/138, проект 1052).

© Е.И. Тимошенко, 2014

38

Е.И. Тимошенко

Следует отметить, что неподвижные точки эндоморфизмов группы тесно связаны с классами скрученно сопряженных элементов относительно эндоморфизмов этой группы. Поэтому их нахождение и существование неединичных неподвижных элементов в метабелевом случае подробно изучено в работе Э. Вентуры и В.А. Романькова [4], причем для более широкого класса, чем эндоморфизмы, тождественные по модулю коммутанта, и для любой конечно порожденной метабелевой группы.

Предварительные сведения

Производные Фокса. При фиксированном базисе У = {у1,...,уп} свободной группы ¥п левые производные Фокса дг, 1 < г < п, однозначно определены на кольце X(¥п) условиями:

дУ = \, дг(му) = дг (и)е(У) + идг(У) ,

дг (и + V) = д,. (и) + д,. (V) , (1)

где и, V е X (¥п), е: X (¥п) ^ X - гомоморфизм тривиализации, д1 ^ - символ Кронекера. Из этих равенств получаем:

д.(1) = 0 , дг(и-1) = -и-1д и . (2)

Через [ g, к] обозначим коммутатор ^к-1 элементов g и к из группы ¥п . Полагаем gк = кgк— . Используя формулы (1) и (2), вычислим производные от коммутатора: д, [g,к] = (1 - ^ )д и + (g - [g,к])д к. (3) Для производных Фокса имеет место основное тождество:

дхи ■ (у -1) +... + дги ■ (Уп -1) = и - е(и),

и е X(¥п). (4)

Более полные сведения о производных Фокса можно найти в [5; 6].

Чтобы определить производные Фокса на свободной метабелевой группе, напомним вложение Магнуса, которое служит удобным инструментом для изучения разрешимых групп.

Вложение Магнуса. Пусть Я - нормальная подгруппа свободной группы ¥п,

¥п = ¥п / Я, Т - свободный левый X(¥п) -модуль с базисом {?!,...,tn}. Образ элемента V е ¥п в группе ¥п при естественном гомоморфизме ¥ ^ ¥п обозначим через V .

Отображение свободных порождающих

'У ^

о 1,

продолжается до гомоморфизма группы ¥п в группу матриц

Г ¥ т Л

Л- У г ^

1 < г < п,

Гомоморфизм /и называется гомоморфизмом Магнуса. Ядро / совпадает с коммутантом Я'. Таким образом, группа ¥ / Я' вложена в группу матриц (5). Это вложение называется вложением Магнуса.

При гомоморфизме Магнуса элемент V е ¥п отображается в матрицу

V/л =

v ■ ^ +... + дпУ ■ ^

0 1

Л

(6)

где д^ означает образ производной Фокса д^ в кольце X (¥п) при естественном гомоморфизме X (¥п) ^ X (¥п) .

Из вложения Магнуса следует, что значения производных Фокса от элементов g е Я' в кольце X(¥п /Я) равны нулю. Поэтому для любого элемента g е ¥п / Я' однозначно определены образы производных д^ в кольце X(¥п / Я) . Мы будем называть эти образы значениями производных Фокса д^ в кольце X(¥п / Я).

При Я = ¥' получаем левые производные Фокса на кольце X(Мп / М'п) . Отметим, что значения производных д^ от элементов g е Мп вычисляются в коммутативном кольце X (Мп / М'п ) .

Известен следующий критерий вхождения элементов из группы матриц (5) в подгруппу ¥пи (см., например, [7]): матрица

■v а +...+ал

0 1

0 1

где а е X(¥п ) , принадлежит ¥п/ тогда и только тогда, когда

а (У -1)+... + а (У -1) = V -1 (7)

в кольце X (¥п ) .

Пусть Ап - свободная абелева группа ранга п с базисом {а1,...ап} . Она изоморфна группе Мп /М'п . Изоморфизм задается отображением

а ^ х М'п.

Используя вложение Магнуса, можем считать, что Мп - подгруппа группы матриц

Ч т 0 1

где Т - свободный левый модуль над кольцом многочленов Лорана X[а1±1,...,а±] с базой {^1,..Хп} .

Для более полного знакомства с вложением Магнуса см., например, [7; 8].

М ^

(8)

Критерий существования нетривиальных неподвижных точек и егослед-ствия

Теорема. Пусть Мп - свободная метабе-лева группа с базисом {х15.. хп} , п > 2 , с15...,сп - элементы из коммутанта Мп, А = Мп /Мп - свободная абелева группа с базисом {а1;..ап} , согласованным с базисом X . Тогда и только тогда А-эндоморфизм

ф= {х1 ^ сх, г = 1,...,п} имеет нетривиальную неподвижную точку, когда для некоторого элемента а е Ап система уравнений

—1 д 1 С1 + —2 д 1 С2 + . . . + Уп д 1 С п = 0

У1дп- 1Сп-1 + У2дп-1С2 + ... + Vп дп-1Сп = 0 (9)

У1(а1"1) + у2(а2-1) + ... + Уп (ап -1) = а-1

имеет ненулевое решение (у1;...,уп) е е (2 (Ап ))п.

Доказательство. Пусть (у1;..., уп ) е е (2(Ап ))п - ненулевое решение системы уравнений (9) и а - элемент из группы Ап . Из последнего уравнения и критерий вхождения элементов из группы матриц

(А ТЛ

V 0 1 У

(10)

в подгруппу М п следует, что найдется элемент g е Мп, для которого У { = д{g в кольце 2(Ап) при г = 1,...,п . Элемент g не равен единице в группе Мп , так как ему соответствует неединичная матрица при вложении Магнуса группы Мп в группу матриц (10). Вычислим образ элемента g по действием эндоморфизма ф .

Пусть g = g(Х1,...,Хп) . Тогда

gф = g(С1 Х1,..., СпХп ) .

Имеет место следующая формула (см., например, формулу 1.1.7 в [7]):

gф = g(с1 Х1,...,спхп) = (Х1,...,Хп) . (11)

Заметим, что элемент

cдlg Сдп"

1п

равен единице. Для этого достаточно вычислить от него производные Фокса и убедиться, что они равны нулю в кольце. Так как для с = М'п и к е Мп имеем в кольце 2(Ап)

дг (Ск) = к др ,

где к - образ элемента к при естественном гомоморфизме Мп ^ Ап = Мп / М'п, то

д г (с1д1" ) = д1 gд гС1 + ... + д ngд Рп = = У1дгС1 + ... + Упд Рп = 0 для г = 1,...,п -1 на основании (9).

Итак, из (11) получаем, что gф = g . Таким образом, эндоморфизм ф имеет нетривиальную неподвижную точку g .

Обратно, предположим, что g - нетривиальная неподвижная точка эндоморфизма ф , указанного в условии теоремы. Тогда выполняется (11). Вычисляя значения производных Фокса от этого равенства, получим, что ненулевой набор

(д^,...,дng) е (2(Ап))п удовлетворяет первому (п -1) -му уравнению системы (9). Из тождества (4) получим, что данный набор удовлетворяет и последнему уравнению, если в качестве а взять образ элемента g в группе Ап при естественном гомоморфизме Мп на Ап . Теорема доказана.

Из доказательства теоремы получаем следующее следствие.

Следствие 1. Если система (9) имеет ненулевое решение для некоторого а е Ап , то некоторый прообраз g элемента а в группе Мп при естественном гомоморфизме Мп ^ Ап является неподвижной точкой эндоморфизма ф . И наоборот, если g е Мп -неподвижная точка эндоморфизма ф, то система (9) имеет ненулевое решение для элемента а е Ап , который является образом g при естественном гомоморфизме Мп на Ап .

Как уже отмечалось во введении, любой А-автоморфизм свободной метабелевой группы ранга два имеет нетривиальную неподвижную точку. Однако для А-эндомор-физмов ситуация иная. Из теоремы легко получаем следующее следствие.

Следствие 2. Существует А-эндомор-физм свободной метабелевой группы М2 ранга два без нетривиальных неподвижных точек.

Доказательство. Пусть эндоморфизм ф задан своим действием на базисе

ф = {х1 ^ [x2, х1]х 1, Х2 ' ^ Х2 [Х1,Х2]} .

Система уравнений (9) примет вид:

У1 (а2 -1) + у2 (1 - а2) = 0,

У1 (а1 -1) + у2 (а2 -1) = а -1.

Определитель этой системы

(а2 - 1)(а1 + а2 - 2) Ф 0 . Поэтому а Ф1. Так как система совместна над 2 (А2), то элемент

у = (а -1)(1 - а2) 1 —

(а2 - 1)(а1 + а2 - 2) обязан принадлежать кольцу 2(А2), но это не так.

40

Е. И. Тимошенко

Прежде чем получить еще одно следствие из теоремы, сформулируем следующую лемму.

Лемма. Пусть Ап - свободная абелева группа ранга п, а - некоторый элемент из кольца X(Ап) . Существует алгоритм, позволяющий ответить на следующий вопрос: найдется ли элемент и натуральное число т такие, что ат -1 делится на а в кольце

X (Ап) ?

Доказательство этого, по-видимому известного, факта приведем схематично. Используя результаты из [9] (§ 42), легко показать, что аналогичный вопрос решается в кольце целочисленных многочленов X [ х ], т. е. существует алгоритм, позволяющий выяснить, является ли данный многочлен /(х) е X[х] многочленом деления круга. Затем вопрос о существовании алгоритма в кольце X(Ап) легко свести к кольцу многочленов X [х].

Теперь докажем, что алгоритмически разрешима задача о существовании неподвижных точек для М-эндоморфизмов свободной метабелевой группы.

Следствие 3 (см [1]). Пусть Мп - свободная метабелева группа ранга п с базисом X = {х^...,хп} . Вопрос о существовании у М-эндоморфизма

р ={х! ^ сх, с е М'п, г = п} группы М п нетривиальных неподвижных точек решается алгоритмически.

Доказательство. Требуется указать алгоритм, позволяющий ответить на вопрос: существует ли элемент а е Ап , для которого система (9) имеет ненулевое решение?

Если определитель Д системы равен нулю, то при а = 1 однородная система имеет ненулевое решение в кольце X(Ап ) .

Предположим, что Д ф 0 . Пусть Д, - определитель, полученный из Д заменой г-го столбца столбцом свободных членов. Так как Д, = (а - 1)Д' для некоторого Д'е X(Ап), то вопрос сводится к следующему: для данных элементов а1,...,ап нужно выяснить, существует ли элемент а е Ап , а ф 0, такой, что а -1 делится на все а в кольце X(Ап) ? По лемме есть алгоритм, дающий ответ на этот вопрос.

Следствие 4 (см. [3]). Пусть Мп - свободная метабелева группа ранга п, п > 3, с

базисом X = {х^...,хп} . Существует М-авто-морфизм группы М п без неподвижных точек.

Доказательство. В качестве примера рассмотрим М-автоморфизм, заданный на-базисе X отображением

р = {х1 1 > [х2, х1 ]х1,..., хп-1 1 > [хп, хп-1 ]хп-1,

х ^ [х,х2, х ]х } .

п 1-1? п J п >

Вычислим определитель Д = Д(а1,..., ап ) системы (9) при

С1 = [х2, х1], С2 = [хз, х2],..., Сп-1 = [хп , хп-1],

Сп = [ xГ2, хп ].

Д( а1, а2,_, ап)

а2 -1 0 1 - а1 а3 -1

По формулам (3) получим

) =

0 (1 -ап )а2

0 (1 - ап )(1 - а,)

0

0

а1 -1 а2 -1

ап -1

ап-1 - 1

0

а -1

Отметим, что все элементы этого определителя принадлежат фундаментальному идеалу кольца X (Ап ) . Поэтому определитель п лежит в п -й степени фундаментального идеала кольца X (Ап ) .

Вычислим определитель Д при ai = 1 для г = 2,3,...,п -1. Получим

Д(') a1_l,1, а, ап ) =

= ±(ап -1)

(а - 1)(а2 - 1)...(ап -1)

(а, -1)

при подходящем выборе знака.

Обозначим через Дп определитель, полученный из Д заменой последнего столбца на столбец свободных членов системы уравнений (9). Ясно, что Дп = = (а - 1)(а2 - 1)(а3 - 1)...(ап -1) . Для элемента vn из кольца X(Ап), принадлежащего решению системы (9), имеем

V,,Д = Дп. (12)

В этом равенстве положим аг = 1 для г = 2,...,п -1. Получим УпД(г) = 0 . Так как Д(1) ф 0, то Уп делится на произведение а - 1)...(ап-1 -1). Пусть \п = - 1)...(ап-1 -1) для некоторого ^ е X(Ап) . Подставим это выражение в (12). Имеем:

^(а2 - 1)...(ап-1 - 1)Д = = (а - 1)(а2 - 1)(аз - 1)...(ап -1). Значит,

wA = (a - 1)(ая -1). (13)

Определитель Д принадлежит n -й степени фундаментального идеала, причем n > 3. Правая часть равенства (13) лежит в n -й степени фундаментального идеала лишь при a = 1. Но при a = 1 система (9) имеет лишь нулевое решение. Значит, эндоморфизм q> не имеет неподвижных точек. Следствие доказано.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Shpilrain V. Fixed points of endomorphisms of a free metabelian group // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1998. Vol. 123. № 75. Р. 75-83.

[2] Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 118. P. 93-114.

[3] Kassabov M. An automorphism of a free metabelian group without fixedpoints // Communications in Algebra. 2004. Vol. 32. № 9. Р. 3297-3304.

[4] Вентура Э., Романькова В. А. Проблема скрученной сопряженности для эндоморфизмов метабелевых групп // Алгебра и логика. 2009. Т. 48. № 2. С. 157-173.

[5] Кроуэл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов, М. : Мир, 1967, 348 с.

[6] Gupta N. D. Free group rings // Contemp. Math. Am. Math. Soc. 1987. Vol. 66. 129 р.

[7] Ремесленников В. Н., Соколов В. Г. Некоторые свойства вложения Магнуса // Алгебра и логика. 1970. Т. 9. № 5. С. 566-578.

[8] Тимошенко Е. И. Эндоморфизмы и универсальные теории разрешимых групп. Новосибирск, 2011. 327 с.

[9] Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М. : Наука, 1976. 648 с.