CC BY
64
Динамика конструкций и сооружений
О СОБСТВЕННЫХ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТУПЕНЧАТОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ С ПРИКРЕПЛЕННОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
МАССОЙ
А.Г. ХАКИМОВ, канд.физ.-мат. наук, вед. научный сотрудник Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра Российской академии наук (Имех УНЦ РАН) 450054, Россия, г. Уфа, пр. Октября, 71, hakimov@anrb.ru
Исследуются собственные изгибные колебания ступенчатой консольной балки с прикрепленной распределенной массой. Показано, что увеличение начальной координаты распределенной массы приводит к возрастанию собственных частот колебаний в рассматриваемом диапазоне параметров. Получено, что первая собственная частота колебаний с ростом отношения моментов инерции увеличивается, а вторая и третья собственные частоты уменьшаются. Решение обратной задачи позволяет определить по трем низшим собственным частотам изгибных колебаний начальную координату и величину прикрепленной распределенной массы к ступенчатой консольной балке, а также отношение моментов инерции.
Ключевые слова: ступенчатая балка, собственные частоты, изгибные колебания, начальная координата, прикрепленная распределенная масса.
Предлагается методика определения начальной координаты, величины прикрепленной распределенной массы и отношения моментов инерции ступенчатой консольной балки по трем низшим собственным частотам изгибных колебаний. Частотное уравнение изгибных колебаний для консольной балки и балки на шарнирных опорах с надрезом приводится в [1, 2].
Решению проблемы идентификации повреждений в стержнях, балках и более сложных, связанных структурах посвящено большое количество работ достаточно подробный анализ, которых изложен в обзорах [3-8].
В [3, 4] и ряде других работ трещина в стержне моделируется пружиной, повреждение балки, совершающей изгибные колебания— вращательной пружиной. Использование нелинейных резонансов для диагностики закрывающихся трещин в стержневых элементах рассматривается в [5]. В большинстве из этих работ исследования параметров повреждений и их местоположения в элементах конструкций были проведены с использованием ряда аналитических моделей [6]. В [7] представлен интегральный признак идентификации дефектов в элементах стержневых конструкций, позволяющий определять не только их наличие и местоположение, но и степень поврежденности. В [8] рассматриваются изгибные колебания неоднородной балки, имеющей трещины.
Рассматривается напряженно-деформированное состояние консольной балки. Предполагается, что балка длиной L имеет два участка с моментами инерции и площадями поперечных сечений Если начало координат расположить в заделке, то координата хс граница раздела этих участков (рис. 1). Также на втором участке к балке прикреплена распределенная масса интенсивности ml. Задача состоит в определении координаты хс, момента инерции и площади поперечного сечения балки на втором участке ./2, ¥2 и интенсивность ml распределенной массы по трем частотам изгибных колебаний в приближении гипотезы плоских сечений.
Обозначим через Е, р - модуль упругости, плотность материала балки, ~~ -прогиб балки. Уравнения изгибных колебаний балки имеет вид
EJk + тШ -~г = 0, = ВЯк, Jk — БИЦП, k= 1,2,
дх'
дг
где ^ - время, В, И - ширина и высота поперечного сечения балки, индексы «1» и «2» относятся соответственно к участкам 1 и 2.
Уравнение, определяющее форму изгибных колебаний, записывается как
-4™г л *4 ~ 4тг
-¿г ^.»* --
тц — рВИ1, т12 - рВИ2 + т1, Г -1,2,
(1)
где ю - частота. Отсчитывая координату х от точки крепления, запишем граничные условия
щ— 0,--1— 0 (х — 0), М2 —Q2—0 (х — Ь),
(2)
где М, Q - изгибающий момент и перерезывающая сила, которые определяются по формулам
2 ~ 3 ~
д ~Р д ~Р М — Ы, 0 — .
дх2 дх3
(3)
/
/ /
/ /
о
И1
х
В
/ /
/ /
/
И2
т1
х
Ь
Рис. 1
Условия стыкования решений на границе участков (условия равенства перемещений, углов поворота, изгибающих моментов, перерезывающих сил) :
д~~2 д~~1
~~ 2 — ~~1,
— ^,М2 —М1, Q2 —01, х —хс,
(4)
дх дх
Условия (4) с учетом (3) записываются в виде
~~2 —~~1, д~~2 — ~ Щ — Щ ^, Щ — Щ ^ х —хс, (5)
дх дх
дх
дх
2
дх
3
дх'
3
Пользуясь в дальнейшем обозначениями
~~ Г
Ц — , Щ—^Г, п— ^,8 —-
Ь
Ь
Ь
Щ Ь
представим (2), (5) в виде 58
д— д2 д2 — д3— 2 д3— н2 „ д£, д£, д^2 д^2 д^3 д^3 Н3
Прогиб балки на двух участках представляется в виде [3]
-С1 У11 + С2У21 + С3У31 + С4У4Ь —2 -С5У12 + С6У22 + С7У32 + С8У42^
cos^¿ ^ + сМ^ 2 smX к 2 + sh^ к 2
где Лк =-2-• у2к--2-•
- cos^k2 + - + shXk 2
у3к --2-• У4к --2-•
2
^к4<4¿4- ПЩ-, к-1,2, л- 4(т1/3 + ,)/т\
ЕН12 -ВН1
линейно независимые решения уравнения (1) [3], удовлетворяющие условиям
У11 (0) = 1,У11'(0) - о,У11''(0) - 0,У11'''(0) - о,
У21 (0) - 0, У21' (0) - ^ У21'' (0) - 0, У21''' (0) - 0, У31 (0) - 0,У31'(0) - 0,У31"(0) - Я,2,У31'''(0) - 0, У41 (0) - 0,У41'(0) - 0,У41''(0) - 0,У41'''(0) -Функции У1к, У2к, У3к, У4к связаны между собой соотношениями
у1к ' - ^ку4к ^У2к ' - ^кУ1к ^ У3к ' - ^кУ2к ^ У4к ' - ^кУ3к ^
У1к '' - ^2У3к ^ У2к '' - ^ У4к ^ У3к '' - ^2У1к ^ У4к '' - ^2У2к ^
У1к "' - ^кУ2к ^ У2к "' - ^кУ3к ^ У3к "' - ^кУ4к ^ У4к "' - ^кЛк. Граничные условия и условия (6) в развернутом виде записываются
С1 - 0,С2 - 0,С5У12 ''(1) + СбУ22 ''(1) + С7У32 ''(1) + С8У42 ''(1) - 0, С5У12 ''' (1) + СбУ22 ''' (1) + С7 У32 ''' (1) + С8У42 ''' (1) - 0,
С5У12 (^с ) + С6У22 (^с ) + С7У32 (^с ) + С8У42 (^с ) - С3У31 (^с ) + С4У41 (*>о ) ^ С5У12 '(^с ) + С6У22 '(^с ) + С7У32 '(^с ) + С8У42 '(^с ) - - С3У31'(^с ) + С4У41'(^с )^ т (С5У12 ''(2с ) + СбУ22 ''(2с ) + С7У32 ''(2с ) + С8У42 ''(2с )) -
-С3 У31 '' (2с ) + С4 У41'' (2с ), т (С5 У12 ''' (2с ) + Сб У 22 ''' (2с ) + С7 У32 ''' (2с ) + С8 У42 '"(2с )) -
-С3 У31''' (2с ) + С4 У41"'(^с ). Эти уравнения с учетом вышеприведенных соотношений принимают вид
59
С5Л2 (1) + ^6>42 (1) + С7 >12 (1) + СУ22 (1) — 0, С5>22 (1) + Сб>32 (1) + С7 >42 (1) + ^8>12 (1) — 0, С5>12 (Ъс ) + С6>22 (Ъс ) + С7>32 (Ъс ) + С8>42 (Ъс ) — С3>31 (Ъс ) + С4>41 (Ъс ), п(С5>42 (Ъс ) + С6>12 (Ъс ) + С7>22 (Ъс ) + С8>32 (Ъс )) — — С3>21 (Ъс ) + С4>31 (Ъс ), тП2 (С5>32 (Ъс ) + С6>42 (Ъс ) + С7>12 (Ъс ) + С8>22 (Ъс )) — — С3>11 (Ъо )+ С4>21 (Ъо ),
тП3 (С5>22 (Ъс) + С6>32 (Ъс)+ С7>42 (Ъс) + С8>12 (Ъс)) — — С3>41(Ъс) + С4Л1(Ъо).(7)
Для того, чтобы С3 -г- С8 не были равны нулю одновременно, необходимо, чтобы следующий определитель основной матрицы был равен нулю. Это условие дает частотное уравнение, которое здесь не приводится.
Таким образом, в приведенной простейшей модели фигурируют: отношение моментов инерции ступенчатой балки т, начальная координата распределенной массы Ъс и ее интенсивность q.
Отметим частные случаи.
1. Ступенчатая балка. Интенсивность q распределенной массы равна нулю.
2. Координата Ъс = 0. Равномерно распределенная масса на всей длине балки.
3. Координата Ъс = Ь. Простая балка.
4. Ступенчатая балка, подвергшаяся равномерной коррозии на втором участке.
Прямая задача. Решение частотных уравнений проведено численно для следующих данных: Е = 2.0^ 1011 Па, р = 7800 кг/м3, длина стержня Ь = 2 м, ширина поперечного сечения стержня В = 0,1 м, И = 0,1 м, И2 = 0,095 м, хс =0,2 м, т1 = 1 кг/м. Собственные частоты изгибных колебаний консольной балки / = 19,300 Гц, /2 = 131,516 Гц, /3 = 364,899 Гц. Для балки без ступени (т = 1) и нулевой интенсивности распределенной нагрузки (тг = 0) собственные частоты изгибных колебаний равны / = 20,449 Гц, /2 = 128,156 Гц, /3 = 358,841 Гц.
На рис. 2 приводятся собственных частот изгибных колебаний балки /¡, /2, /3 от начальной координаты распределенной нагрузки £,с для параметра т = 0,95 и различных q. Видно, что с увеличением £,с в рассмотренном диапазоне изменения этого параметра происходит возрастание собственных частот колебаний. На рис. 3 приводятся зависимости собственных частот изгибных колебаний балки /1, /2, /3 от параметра т для начальной координаты распределенной нагрузки £,с = 0.1 и различных q.
Первая собственная частота колебаний с ростом т также увеличивается, а вторая и третья уменьшаются. На рис. 4 приводятся зависимости собственных частот изгибных колебаний балки /¡, /2, /3 от интенсивности распределенной нагрузки q для начальной координаты распределенной нагрузки £,с = 0,1 и различных значений параметра т.
Обратная задача. Решение прямой задачи для Е = 2.0-1011 Па, р = 7800 кг/м3, длина стержня Ь = 2 м; И\ = 0,1 м; И2 = 0,095 м; хс = 0,2 м; тг = 1 кг/м (т = 0,857375; 0,1; q = 0,0641025641) дает, что собственные частоты изгибных колебаний консольной балки /1 = 19.11777939 Гц, /2 = 131.5696126 Гц, /3 = 364,7524757 Гц. Если частотное уравнение записать для трех частот свободных изгибных колебаний, то из полученной системы уравнений определяются координата параметры т и q в указанных интервалах поиска. Решение обратной
задачи проведено для заданных трех низших частот f1 = 19,117 Гц; / = 131,570 Гц; / = 364,753 Гц дает, что 0,0995; т = 0,8569; q = 0,0628. /1,Гц
20
19.75
19.50
19.25
/1,Гц
20
2 ^—" 19.5-
3___
19
0.1
Хс
1 .................................
0.2 0.90
0.95
а
т
/2,Гц 130
129.5-
129
128.5-
3 -"1
/
0.1 б
Хс
/2,Гц 130.5
130
129.5
129
128.5
1 \
0.2 0.90
0.95 т 1 б
/3,Гц 366
364 362 360
3/ /
/ /2
0.1
Хс
0.2
/3,1 ц -
362
361
360
359 "
Чк
N
0.90
0.95 т 1
Рис. 2. Зависимости собственных частот изгибных колебаний балки /1, /2, /3 от координаты надреза для параметра т=0,95 и различных q (кривая 1-0; 2-0.1; 3-0.2)
Рис. 3. Зависимости собственных частот изгибных колебаний балки /1, /2, /3 от параметра т для координаты надреза 4=0,1 и различных q (кривая 1-0; 2-0.1; 3-0.2)
0
1
а
0
0
в
в
/2,Гц
130 129.5
129 128.5
/3,Гц
362
361
360 359
т
0.1 ч 0.2
б
1
2
3
0.8635 0.8630
364.7530 364.7535 /3, Гц
б
ч
0.088 0.086
0.084
0.1 ч 0.2
364.7530 364.7535 /3, Гц
а
а
0
0
Рис. 4. Зависимости собственных частот изгибных колебаний балки /1, /2, / от интенсивности нагрузки ч для начальной координаты нагрузки ^с=0.1 и различных т (кривая 1-0.90; 2-0.95; 3-1.00).
Рис. 5. Зависимости координаты параметров т и ч от третьей частоты изгибных колебаний балки/3 для/2 =131.569 Гц (кривая 1), /2 =131.570 Гц (кривая 2), /2 = 131.571 Гц (кривая 3) при /1 = 19.117 Гц.
На рис. 5 приводятся зависимости координаты £,с (фрагмент а), параметров т (фрагмент б) и ч (фрагмент в) от третьей частоты изгибных колебаний балки /3 для/2 =131.569 Гц (кривая 1),/2 =131.570 Гц (кривая 2),/2 =131.571 Гц (кривая 3) при /1 = 19.117 Гц. Таким образом, проведенные исследования показывают, что по трем частотам свободных изгибных колебаний можно определить координату £,с, параметры т и ч.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00293_a, 11-01-97003_поволжье).
Л и т е р а т у р а
1. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом. Дефектоскопия. 2009. Том 45. № 6. - С. 83-89.
2. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений балки на шарнирных опорах. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010 . № 2 . -С. 42-47.
3. Biscontin G., Morassi A., Wendel P. Asymptotic separation of spectrum in notched rods // J. Vibr. and Control. - 1998. - V. 4, N. 3. - P. 237-251.
4. Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration. - Dordrecht, Boston, London: Kluver Academic Publishers, 2004. -608 с.
5. Бовсуновский А.П., Бовсуновский O.A. Использование нелинейных резонансов для диагностики закрывающихся трещин в стержневых элементах // Проблемы прочности. 2010. № 3. С. 125 - 141.
6. Shevtsov S., Akopyan V., Rozskov Е. Damage identification in the rod-like structure on the basis of Timoshenko beam model // Proc. of the 5-th Intern. Symp. on Defect and Material Mechanics. Sevilia, 2011. P. 92 - 98.
7. Акопьян В.А., Черпаков А.В., Рожков Е.В., Соловьев А.Н. Интегральный диагностический признак идентификации повреждений в элементах стержневых конструкций // Контроль. Диагностика. 2012. № 7. С. 50-56.
8. Mazanoglu K., Sabuncu M. Flexural vibration of non-uniform beams having double-edge breathing cracks // Journal of Sound and Vibration. 2010. Т. 329. № 20. С. 4181-4191.
9. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3. Под общей редакцией И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968, 568 с.
R e f e r e n c e s
1.Ilgamov M.A., Khakimov A.G. Diagnostika povrezhdeniy konsolnoy balki s nadrezom// Defek-toskopiya. - 2009. - 45(6). - P. 83-89.
2 Ilgamov M.A., Khakimov A.G. Diagnostika povrezhdeniy balki na sharnirnih oporah// Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. - 2010. - №2. - P. 42-47.
3 Biscontin G., Morassi A., Wendel P. Asymptotic separation of spectrum in notched rods // J. Vibr. and Control. - 1998. - V. 4, N. 3. - P. 237-251.
4 Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration. - Dordrecht, Boston, London: Kluver Academic Publishers, 2004. - 608 с.
5. Bovsunovskiy A.P., Bovsunovskiy O.A. Ispolzovanie nelineynih pezonansov dlyz diagnostiki za-krivayuschichsya treschin v sterzhnevih elementah// Problemi prochnosti. - 2010. - №3. - P. 125-141.
6. Shevtsov S., Akopyan V., Rozskov Е. Damage identification in the rod-like structure on the basis of Timoshenko beam model // Proc. of the 5-th Intern. Symp. on Defect and Material Mechanics. Sevilia, 2011. P. 92 - 98.
7. Akopyan V.A., Cherpakov A.V., Rozskov E.V., Soloviyov A.N. Integralniy diagnosticheskiy priznak identifikatsii povrezhdeniy v elementah sterzhnevif konstruktsiy// Kontrol. Diagnostika. - 2012. - № 7. - P. 50-56.
8. Mazanoglu K., Sabuncu M. Flexural vibration of non-uniform beams having double-edge breathing cracks // Journal of Sound and Vibration. 2010. Т. 329. № 20. С. 4181-4191.
9. Prochnost, ustoychivost, kolebaniya. Spravochnik v tryoh tomah. Tom 3/ Pod obschey redakt-ziey I.A. Birger, Ya.G. Panovko. - M.: Mashinostroenie, 1968. - 568 p.
ON NATURAL FLEXURAL VIBRATIONS IN A STEPWISE CANTILEVER BEAM WITH AN ATTACHED DISTRIBUTED MASS
Khakimov A.G.
Institut Mechaniki im. R.R. Mavlyutova Ufimskogo nauchnogo Tzentra RAN
Consideration is given to natural flexural vibrations in a stepwise cantilever beam with an attached distributed mass. The research shows that an increase in the initial coordinate of the distributed mass results in greater natural vibration frequencies within the parameter range in question. It has been found that as the ratio of the moments of inertia becomes greater, the first natural vibration frequency increases and the second and third ones decrease. The solu-
tion of an inverse problem allows one to determine the initial coordinate, the magnitude of the attached distributed mass and also the ratio of the moments of inertia using three lowermost natural frequencies of flexural vibrations.
KEY WORDS: stepwise beam, natural frequencies, flexural vibrations, initial coordinate, attached distributed mass.
