Идентификация продольного надреза балки по ее собственным частотам Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.113

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОДОЛЬНОГО НАДРЕЗА БАЛКИ ПО ЕЕ СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ

© А. М. Ахтямов

Институт механики Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

E-mail: [email protected]

Исследовано поведение собственных частот балки с продольным надрезом (трещиной) и балки без надреза (бездефектной балки). Выявлено, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для однозначной идентификации глубины и ширины продольного надреза; доказано, что при некоторых значениях глубины надреза в балке, собственные частоты изгибных колебаний балки с надрезом совпадают с собственными частотами колебаний балки без надреза. Изучена зависимость поведения собственных частот при изменении глубины надреза. Для идентификации глубины и ширины предложено использование двух спектров частот (вокруг разных осей). Показано как по двум собственным частотам, взятым из разных спектров (вокруг разных осей), идентифицировать глубину и ширину надреза балки.

Ключевые слова: диагностика, обратная задача, собственные частоты, балка.

Введение

Стержни и балки являются деталями многих механизмов и конструкций, в которых часто образуются трещины. Для предотвращения аварий и поломок возникает задача их ранней диагностики. Часто для выявления трещины в стержне и его местоположения используют собственные частоты его колебаний [1-5]. В отличие от традиционных работ [1-5], в настоящей статье для восстановления искомых параметров используются не один, два или три спектра частот одного вида колебаний балки (с разными видами краевых условий), а спектры изгибных колебаний относительно разных осей одной и той же балки с неизменными условиями закрепления.

Известно, что собственные частоты поперечных колебаний стержня с раскрытой поперечной трещиной, как правило, ниже собственных частот колебаний сплошного (бездефектного) стержня [15]. Характерна ли эта закономерность и для продольных трещин? В настоящей работе показано, что при увеличении глубины продольного надреза собственные частоты балки с надрезом могут быть как выше, так и ниже собственных частот балки без надреза. Выявлена глубина надреза, при которой собственные частоты балки с надрезом и без надреза совпадают.

Доказано, что идентификация рассматриваемого надреза в стержне только по одному спектру частот его изгибных колебаний (вокруг одной из осей) невозможна. Однако если использовать дополнительно еще один спектр частот (вокруг другой оси), то такая идентификация становится возможной. Показано как по двум собственным частотам, взятым из разных спектров (вокруг разных осей), идентифицировать глубину Н и ширину Ь надреза балки.

1. Постановка задачи Рассмотрим колебания призматической балки и призматической балки с надрезом, который проходит по всей длине стержня. Поперечное сечение балки с надрезом изображено на рис. 1.

На рис. 1 через В и Н обозначены ширина и высота сечения призматической балки, через Ь и Н -ширина и глубина надреза, а через 2 - нейтральная ось сечения балки.

Будем считать, что модули упругости Е и плотности р балки с разрезом и без разреза совпадают и являются константами. Через /1, ^ обозначим соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения балки без надреза (Ь = Ь = 0), а через /2, ^2 - момент инерции и площадь поперечного сечения балки с надрезом.

Для начала зафиксируем Ь. Будем считать его неизменным.

b

—► <

А h Л І. г і 1 H Z г

B

Рис. 1. Поперечное сечение балки с надрезом.

* автор, ответственный за переписку

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2012. Т. 17. №2

841

Собственные частоты изгибных (вокруг оси Z) колебаний балки без надреза будем обозначать через О * (І = 1,2,...), а собственные частоты балки

с надрезом - через О2 . Для данных балок выберем

следующий вид закрепления: левый конец жестко закреплен, правый конец свободен (консольный стержень).

Уравнение колебаний балки с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид [6]:

EJ

д4u(x, t) dx4

+ pF

д2u(x, t) dt2

= 0,

где и(х, ї) - прогиб текущей оси стержня, Е

[кг/м2] - модуль упругости, ] [м4] - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, р [кг/м3] - плотность стержня,

¥ [м2] -площадь поперечного сечения балки.

Задача об изгибных колебаниях консольной балки длины Ь заменой и(х,ї)= у(х)с080 сводится к следующей спектральной задаче [6]:

у(4) (х) = Л4 у(х), у(0) = 0, у'(0) = 0, /(Ь) = 0,

р¥а> , о - частотный пара-

y (L) = 0, где л4 =-

метр.

EJ

Задача сводится к исследованию того, при каких значениях параметра Н выполняется соотношение О =1. Ввиду формулы 44 = р¥О и тоО * Е]

го, что Е, р , ] 1, ¥1, ]2, ¥2 не зависят от переменной х , последнее соотношение равносильно

следующему: = 1^-. Требуется найти значения

¥1 ¥г

Н , при которых это соотношение имеет место.

2. Значения глубины надреза, при которых спектры частот балки с разрезом и балки без разреза, совпадают

Площадь поперечного сечения и момент инерции балки без надреза имеют вид: ¥1 = ВН ,

J1 =

BH

12

. Площадь поперечного сечения балки с

надрезом равна *2 = ВН — Ьк. Момент инерции балки с надрезом найден в [7, с.141] Б(Н-Ь)3+(Б-Ь)Ь3

12

- + B(H-h) x

ҐB(H-h)2 + (B-b)h(2H-h) H h\2

2 + 2 J +

2B(H - h) + 2(B - b)*h

+ (B-b)h

h + H B(H-h)2 +(B - b)h (2H-h)Л2 y- 2 - 2B(H -h) + 2(B-b)h ,

Решив уравнение !± = 1а. относительно к , *1 *2

получим четыре корня, из которых в интервале (0, Н) лежит лишь один:

(-Ь + 4В -^(Ь2 - 16ЬВ + 16В2)Н

Н = Н0 =±----------^,

0 2Ь

таким образом, при Н = Н0 собственные частоты

колебаний балок с надрезом и без надреза совпадают.

лх ^ 2

Из уравнения — =--------- находится также ре-

¥1 ¥2

шение уравнения относительно Ь из интервала

(0;В): Ь = 2ВНН 2Н), причем это значение 0 (Н + Н)Н

неотрицательно только при 2Н > Н . Для малых

Н его просто не будет.

3. Зависимость отношения

т

т

от

h

Заметим, что отношение

т

т

не зависит от i

для всех І =1,2,3,4, ... Последнее следует из форму-

= ЩК, і = 1,2,3,...

Р¥, І р: ¥2

лы: _т_

т

EJ 2. Я

PF2

На рис. 2 изображен график, показывающий зави-

симость отношения

т

т *

при H = B = 0.1, b = 0.002 i = 1,2,3, ...

от значений параметра h произвольных

Рис. 2. Зависимость О от значений параметра Н при

т

*

произвольном номере І.

Из рис. 2 видно, что когда глубина надреза находится в интервале (0; 0.05) собственные частоты балки с надрезом ниже собственных частот балки без надреза. При Н = Н0 = 0.05 собственные частоты балок с надрезом и без надреза совпадают, а при Н є (0.05; 0,1) собственные частоты балки с надрезом выше собственных частот балки без надреза. При других значениях Н, В, Ь получим дру-

*

*

x

гое значение глубины Н0 , при которой собственные частоты балок с надрезом и без надреза совпадают. Так, при Н = В = 0.3, Ь = 0.2 получаем

Н0 = 0.21.

При Н = В = 0.1, Н = 0.09 , имеем Ь0 = 0.094; для Ьє (0;Ь0) (для Ьє (Ь0; В))

собственные частоты балки с надрезом выше (ниже) собственных частот балки без надреза. Для

Н = В = 0.1, Н = 0.02 такое Ь0 отсутствует

(все собственные частоты балки с надрезом ниже собственных частот балки без разреза).

4. Диагностирование местоположения и размеров надреза

Идентификация рассматриваемого надреза в стержне только по одному спектру частот его из-гибных колебаний (вокруг оси 2) невозможна. Действительно, так как О2 = _____142, то по собствен-

І \р¥2 4

ным частотам идентифицируется отношение І1.,

¥2

которое может быть одинаково при различных Н и Ь . Однако если использовать дополнительно еще один спектр частот (вокруг оси У, проходящей через центр масс перпендикулярно к оси 2), то такая идентификация становится возможной. Действительно, в этом случае из формулы оу = \Е^у 4

І і р¥г І

для собственных частот изгибных колебаний (во-

У

круг оси У) по любой из собственных частот ОІ

ГА 1 Л П ^У В3Н — Ь3Н г,

найдем [6, с. 141]: —L =----------Зная же

¥2 12 (ВН — ЬН)

^ у ^ 2 і і

---- и —, глубина Н и ширина Ь надреза балки

¥2 ¥2

легко находятся.

ПРИМЕР. Для стержня с параметрами Н = В = 0.1 м, Ь = 1 м, р = 7850 кг/м3,

Е = 2.1 -1010 кг/м2, первые собственные частоты изгибных колебаний вокруг осей и равны

О12 = 163 .45 ^ рад^, О1У = 1693.12 ^ рад | соответственно. Задача (1)-(2) имеет следующее собственное значение [6, с. 195]: 4 = 1.875. Требуется

найти глубину Н и ширину Ь надреза.

Из формул rnz = ejlл

V pF 2

ejy

PF2

^Л2 на-

j 2 2

ходим -А = 1237.б24 м и = 11.334 м . Отсю-

' 2 1 2 да и из выражений для моментов инерции и площади через глубину к и ширину Ь надреза получаем

систему двух уравнений от двух неизвестных. Решив ее, находим Н = 0.01 м и Ь = 0.02 м.

Выводы

1. Проведенное исследование показывает, что при определенных размерах продольного надреза, проходящего по всей длине балки, спектр собственных частот изгибных колебаний балки с надрезом совпадает со спектром собственных частот колебаний соответствующей балки без надреза.

2. Аналитически выявлено значение размеров надреза, при которых спектр частот изгибных колебаний (вокруг оси 2) балки с надрезом совпадает с соответствующим спектром частот балки без надреза.

3. Для глубины надреза Н существует интервал, при котором изгибные собственные частоты (вокруг оси 2) балки с надрезом выше собственных частот балки без надреза; существует также интервал для значений глубины надреза Н , при котором собственные частоты (вокруг оси 2) балки с надрезом ниже собственных частот балки без надреза.

4. Показано, что одного спектра частот из-гибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров надреза. Для идентификации надреза предложено использовать собственные частоты из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). По двум собственным частотам, каждая из которых взята по одной из спектров частот изгибных колебаний вокруг разных осей, можно однозначно идентифицировать глубину Н и ширину Ь надреза.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и АН Республики Башкортостан (проекты 11-01 -00293-а, 11-01-97002-р_поволжье_а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Gladwell G. M. L. Inverse Problems in Vibration. 2nd ed. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004. (перевод: Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 608 с.)

2. Gladwell G. M. L. On the scattering of waves in a nonuniform Euler-Bernoulli beam Proc. Inst. Mech. Eng. 1991. Vol. 205. PP. 31-34.

3. Ахтямов А. М., Аюпова А. Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия, 2010. №5. с. 29-33.

4. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия, 2009. №5. С.83-89.

5. Ильгамов М.А. Диагностика повреждений вертикальной штанги. // Труды Института механики УНЦ РАН, 2007. С. 201-211.

6. Вибрации в технике: Справочник под. ред. В. В. Болотина. Т. 1. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

7. Рудицын М. Н., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск: Вы-шэйшая школа, 1970. 630 с.

Поступила в редакцию 29.12.2011 г.