CC BY
77
ГРАНУЛОМЕТРИЯ
УДК 519.21
А.В. Бирюков
О СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУРАХ
Большой класс случайных структур образуют дисперсные системы, состоящие из частиц различных размеров и форм. Их исследование составляет предмет аналитической гранулометрии, синтезирующей методы интегральной геометрии и геометрических вероятностей.
При случайном выборе частицы ее диаметр Х, площадь поверхности £ и объем V являются независимыми случайными величинами с непрерывными распределениями. Пусть /(х) -плотность распределения диаметра частиц, Мк -начальные моменты, равные интегралу от произведения хк /(х) в границах от 0 до х. Тогда отношение
Мк (х)
=■
М.
представляет собой функцию гранулометрического состава, значение которой равно содержанию фракции (-х) по характеристике, пропорциональной К-й степени диаметра частицы.
В частности, при К=3 эта функция дает описание гранулометрического состава по суммарному объему частиц. Нетрудно заметить, что при фиксированной верхней границе интегрирования с увеличением показателя степени у диаметра значение функции гранулометрического состава убывает.
Меры сферичности частиц, определяемые отношениями 5Ух2 и У/х3 , в силу экстремальных свойств шара имеют симметричные распределения с центром рассеяния соответственно п/2 и п/12 . Отсюда с учетом независимости
распределений получаем среднюю площадь поверхности частицы п/2-М2 и средний объем п/12-М3 . При этом удельная (на единицу объема) площадь поверхности частиц дисперсной системы, играющая важную роль в процессе дробления, составляет 6 М2/М3 .
Для получения эмпирических распределений и последующего построения аппроксимационных вероятностных моделей необходимо иметь репрезентативную выборку. Однако это чаще всего оказывается невозможным, поскольку измерениям бывают доступны лишь частицы на поверхности дисперсной системы, представленной укладкой частиц в некоторой трехмерной области. Это обстоятельство приводит к необходимости установления взаимосвязи между характеристиками всей дисперсной системы и множества
частиц на ее поверхности.
Обозначим через А множество всех частиц укладки, а через В - множество частиц на поверхности укладки. Пусть g(x) и Ык - плотность и моменты распределения диаметра частиц из множества В. Ввиду перекрытия одних частиц другими выборка из множества В дает заниженное содержание мелочи и, следовательно, завышенное содержание крупных частиц. Поэтому существует такое значение диаметра х0, для которого /х)<«(х) при х>х0 и/х)^(х) при х<х0.
Этому условию отвечает соотношение
/(х) = х1 g(х). Его интегрирование с учетом
х
свойства плотности распределения дает значение х = м = 1 . Отсюда искомая взаимосвязь:
0 1
/(х) = «М , м, = Нк-1
хИ
N
В частности, по измерениям на поверхности укладки частиц имеем значение удельной площади поверхности частиц всей дисперсной системы, равное 6 N^N2 .
Исследование дисперсных систем часто проводят с помощью анализа фотопланограмм. При этом источником ошибок здесь является несовпадение размера самой частицы с размером ее случайной проекции на фотопланограмме. Поскольку фотопланограмма содержит проекции частиц из множества В, то задача состоит в оценивании моментов N по измерениям на фотопланограмме.
В силу известного соотношения Коши площадь поверхности частицы приближенно равна учетверенной площади ее проекции. Переходя в этом соотношении к средним
7 8
значениям, получим N = 4Р или N =— Р,
2 2 2 7
где Р - средняя площадь проекции.
Для продуктов дробления геоматериалов типичным распределением диаметра частиц является экспоненциальный закон с плотностью
Кх) = Мі ехР
V М1У
и моментами Мк=К!М 1. В этом случае для частиц из множества В имеем
Гранулометрия
7
^1 ехр
Я (х) = ■ и, следовательно,
М і
N =
(к +1)!.
N -
Таким образом
Р_ 3л
1/2
3
-р
1/2
т.е. по измерениям площадей проекций частиц на фотопланограмме имеет оценку параметра распределения диаметра частиц всей трехмерной укладки.
Другая интегрально-геометрическая задача заключается в восстановлении геометрических характеристик частиц по их сечениям случайной плоскостью. С такой задачей связано исследование дисперсной системы, погруженной в твердую непрозрачную среду (как, например, при анализе петрографических шлифов).
Для частиц произвольной формы этот вопрос является открытым. Вместе с тем для сферических частиц получены точные соотношения между моментами Мк и моментами распределения диаметра сечения Бк. В частности,
М1 =7, М 2 = Р1
что совпадает соотношениями
3Д л Б-1
с полученными
выше
N
N-1
для частиц из множества А и В. Это обстоятельство подтверждает правомерность исполь-
зования полученной формулы м =
N.-1 N-1
при
анализе случайных сечений дисперсной системы. Отметим существенное преимущество этой формулы: она получена для частиц со случайной вариацией формы.
Имея картину сечений дисперсной системы, можно также получить оценку плотности укладки частиц. Пусть И(г) и Л(г) - соответственно число частиц в единичном кубе с диаметром из интервала (1; 1) и число сечений в единичном квадрате с диаметром из того же интервала. Тогда функцию И(г) можно найти интегрированием
- 2
л
Я'(и)
(и2 - г2)1/2
по параметру и в границах г от 0 до 1. При этом, если г2 - плотность укладки сечений, то,
например, для аппроксимации Я(г)=Я(0)(1-г2)
г2
получим соотношение г = —.
1 3
С каждой дисперсной системой связано случайное множество точек. Если число точек в области с единичной мерой есть случайная величина со средним значением X, то это среднее значение называется плотностью множества. В том случае, когда вероятность встретить в
X" ехр(-2)
единичной области п точек равна
и!
множество называется пуассоновским.
Пусть с каждой частицей дисперсной системы каким-либо образом связана точка, которую назовем центром частицы (центр тяжести, центр вписанного шара и т.д.), и пусть X - плотность полученного точечного множества. Обозначим через Е объем области, занимаемой дисперсной системой, а через Ж - суммарный объем всех
/ 7
частиц. Тогда число частиц равно Ж/ —М3 и,
12 3
х 12Ж й
следовательно, X =---------- или при известной
7М 3 Е
Ж . 127-
плотности укладки г = — получим X =---------------.
Е лМ3
Поскольку для экспоненциального распределения 2Г
М3=6М31, то X =---------.
лМ 13
Аналогичным путем можно получить плотность центров крупных частиц с диаметром х>х0: Х(х0) = [1-¥0(х0)]. Здесь ¥0(х0) - содержание фракции (+х0) по числу частиц. Для пуассоновского множества центров вероятность того, что в области с объемом О нет крупных
частиц, равна ехр
-^( х0) О
Дисперсными системами с плотной упаковкой частиц (г = 1) являются случайные разбиения области пуассоновским множеством плоскостей, т.е. таких плоскостей, для которых
соответствующее множество точек
параметрического пространства является
пуассоновская с некоторой плотностью X. Здесь параметр X равен среднему числу плоскостей, пересекающих линейный отрезок единичной длины и произвольной ориентации.
Таким образом некоторая область пространства разбивается на выпуклые
многогранники. Пусть С0, С1, С2 - среднее число вершин, ребер и граней многогранника, а Ь, Б, V -средние значения его суммарной длины ребер, площади поверхности и объема. Тогда С0 = 8, С1 = 12, С2 = 6,
24 „ 6
і = 12, х=.
У =-
X лХ1 л£
Если т - число многогранников, а т0, т1, т2 - их суммарное число вершин, ребер и граней, то Шо = т, т1 = т2 = 3 т. Сравнивая суммарную длину ребер с их количеством, находим, что средняя
длина ребер равна 1 /X .
Из суммарного объема многогранников 6т
лЛ
находим плотность множества вершин, равную
лЛ Д й
■. Для вершин, лежащих на каждой плоскости
6
разбиения, имеем значение
яяя
12
Рассмотрим теперь другой класс случайных структур, подставленный случайными графами А (и, к) с и вершинами и к ребрами. Пусть вероятность смежности двух вершин равна 0,5. Поскольку у полного графа число ребер равно и(и -1)
2
то у случайного графа с данной
вероятностью смежности среднее число ребер
составляет
n(n -1)
4
Характеристикой алгоритмической сложности случайного графа служит его энтропия,
определяемая следующим образом. Рассмотрим у случайного графа все его подграфы третьего порядка (рис.1), число которых составляет п(п-1)(т-2)/6. Среди них неизоморфными являются цикл, цепь из двух звеньев, ребро и вершина, три попарно несмежных вершины
о
,0
,0
о
о----О О--------0 0 0 0 0
Рис./1
Если относительные частоты (оценки вероятностей) каждого из приведенных подграфов равны P1, P2, P3, P4, то энтропию данного распределения
H = P1 log2 P1 + P2 log2 P2 + P3 log 2 P3 + P4 log. P4
2
назовем энтропией случайного графа. Очевидно, что H=1 имеет графы с равномерным
распределением P1= P2= P3= =P4=1/4.
Пусть имеется случайный граф A(6, 7) с числом ребер, составляющим половину числа ребер соответствующего полного графа.
Количество таких графов равно 24. Вычисление их энтропии дает следующие результаты:
0,96 0,92 0,92 0,92 0,91 0,90 0,90 0,90
0,89 0,84 0,84 0,84 0,80 0,80 0,80 0,80
0,80 0,72 0,70 0,70 0,69 0,68 0,58 0,36
Первые и последние три графа из этой серии представлены на рис.2.
Полученная выборка из 24 значений энтропии имеет среднее 0,80, стандарт 0,132 и размах 0,6.
Отношение размаха к стандарту, равное 4,54, принадлежит критическому интервалу (3,3; 4,7)
при проверке выборки на нормальность. Следовательно, полученные значения энтропии можно считать принадлежащими нормально распределенной генеральной совокупности.
о
О-
V
Рис.2
Класс планарных графов порождают случайные разбиения плоскости на выпуклые
многоугольники. Рассмотрим, в частности,
упаковку плоскости правильными треугольниками. В этом случае степени всех вершин графа равны 6. Для области, содержащей п вершин,
Р =- 12 - 54
(n - 1)(n - 2)
P. =
(n - 1)(n - 2)
P3 =
18(n - 8) , P4=1-(P 1 + P2+ P3).
(n - 1)(n - 2)
Например, для п= 20, 50, 100, 500, имеем: рг 0,03 0,00 0,00 0,00
р2 0,16 0,02 0,01 0,00
р3 0,63 0,32 0,17 0,04
Р4 0,18 0,66 0,82 0,96
Н 0,72 0,55 0,36 0,11
Аналогичная картина соответствует разбиению плоскости на квадратные ячейки. Здесь степень каждой вершины графа равна 4. При этом
P1=0,
P2 =
72
(n - 1)(n - 2)
P3 =
12(n - 8)
(n - 1)(n - 2)
Р4=1-(Р2+Р3). Для тех же значений п получим:
Р2 0,21 0,03 0,01 0,00
Р3 0,42 0,21 0,11 0,02
Р4 0,37 0,76 0,88 0,98
Н 0,76 0,47 0,29 0,08
В обоих случаях асимптотическое поведение энтропии одинаково: при стремлении числа
вершин графа к бесконечности его энтропия стремится к нулю. Это свойство энтропии сохраняется при разбиениях пространства любой размерности, поскольку число ребер графа
пропорционально числу его вершин. Так,
например, в трехмерном случае для кубической решетки и соответствующего графа А(и, 3п)
Рі=0, Р =. 18(и -10)
P3 =
18(n -10) (n - 1)(n - 2)
’ P4 = 1 -
(n - 1)(n - 2) 36(n -11)
(n - 1)(n - 2)
□Автор статьи
Бирюков Альберт Петрович -докт.техн.наук, проф.,зав.каф.
высшей математики
