Аналитическая гранулометрия Текст научной статьи по специальности «Физика»

118

А.В. Бирюков

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519. 21

А.В. Бирюков АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРАНУЛОМЕТРИЯ

Рассмотрим дисперсную систему из частиц случайных размеров. Пусть х — наибольший линейный размер или диаметр частицы, который как случайная величина распределен с плотностью Ах), моментами т(к), равными математическому ожиданию k —й степени диаметра.

Форму частицы характеризуем мерами сферичности а и Д, равными отношениям площади поверхности и объема частицы к квадрату и кубу диаметра. В силу экстремальных свойств шара а <л, Д< л/6.

Без ущерба для точности гранулометрических расчетов меры сферичности частицы можно считать постоянными. В этом случае математические ожидания площади поверхности и объема частицы имеют вид а m(2) и Д т(3).

Отношение этих величин s=а т(2) / Д т(3) равно суммарной площади поверхности частиц в одиночном объеме и играет основную роль в процессах дробления.

При дроблении геоматериалов энергоемкость дробления е равна количеству энергии, затрачиваемой на образование единицы площади новой поверхности. Поэтому энергия дробления материала единичного объема равна е s.

Каждой частице дисперсной системы поставим в соответствие ее количественную характеристику ^х) =cxk , c=const. Тогда содержание в дисперсной системе фракции с диаметрами частиц, меньшими х, равно результату интегрирования отношения хк /(х)/ m(k) в границах (0, х ).

Полученную в результате интегрирования гранулометрическую функцию обозначим через ц(х,к). Эта функция монотонно возрастает с увеличением х и монотонно убывает с увеличением к. При значениях k , равных 0,1,2,3, она дает описание фракционного состава дисперсной системы соответственно по числу частиц, по их суммарной длине, суммарной площади поверхности и суммарному объему.

Некоторые вопросы гранулометрии связаны с поиском закона распределения случайной величины ^х) =схк . При известной плотности распределения диаметра частиц А(х) плотность распределения ^характеристики частиц нетрудно найти. Она имеет вид g(t) =А\([/о)^1к] / ск(^с)^~^/к .

Отсюда при к, равном двум и трем имеем плотности распределения для площади поверхности и объема частицы с заменой параметра с на меры сферичности а и Д.

Большинство дисперсных систем является неоднородными по той причине, что мелкие частицы под действием силы тяжести просеиваются в нижнюю часть трехмерной области, содержащей частицы.

Обозначим через А множество всех частиц дисперсной системы, а через В — множество частиц на ее поверхности. Выборка, полученная измерениями частиц из В, не является репрезентативной для частиц множества А. Поэтому возникает необходимость в установлении взаимосвязи между гранулометрическими характеристиками частиц множеств А и В.

Пусть А(х) и g(x) — плотности распределения диаметра частиц множеств А и В, а т(к) и п(к) — математические ожидания к —й степени диаметра частиц этих множеств. Поскольку содержание частиц в В превосходит их содержание в А, то существует такое значение диаметра частиц х0, для которого А(х)> g(x) при х<х0 и А(х) ^(х) при х>х0. Этому условию удовлетворяет соотношение А(х)=(х0/х)'g(x) , где р - параметр, определяемый экспериментально.

Интегрирование этого равенства по всем значениям диаметра частиц дает искомую взаимосвязь п(к) = т(к+р) / т(р) . Так, для экспоненциального закона содержание фракции х>т(1) в А и В равно соответственно гхр(-\) ~0.39 и ехр(-1/(р+1)). Для р= 1,2,3 содержание этой фракции

в В составляет 0,63; 0,72; 0,78.

Крупность частиц дисперсной системы иногда удобно характеризовать средней величиной. Операция усреднения состоит в мысленной замене реальной совокупности частиц гипотетической, в которой все частицы имеют одинаковый диаметр и, называемый средним диаметром. Если инвариантами усреднения являются число частиц и их

характеристика, то уравнение

к

суммарная t

усреднения имеет вид ик=т(к) .

Другой средней характеристикой крупности частиц служит средневзвешенный диаметр и(к),

Прикладная математика

119

равный интегралу от произведения диаметра x на дифференциал функции <p(x,k). В этом случае u(k)= m(k+1) / m(k).

Эмпирирические распределения диаметра частиц во многих случаях адекватно аппроксимирует симметричное бета - распределение с плотностью f(x)=6x(1-x), xe(0,1), где за масштабную единицу принято наибольшее значение диаметра. При этом m(k)=6/(k+2)(k+3), q(x,k)=(k+3)xk+2 -(k+2)xk+3 .

В природе дисперсные системы широко представлены массивами горных пород, рассеченными естественными трещинами на структурные блоки.

Если трещины в массиве располагаются хаотически, то геометрической моделью является разбиение пространства пуассоновским множеством плоскостей с параметром X, равным среднему числу плоскостей пересекающих единичный

□ Автор статьи:

Бирюков Альберт Васильевич, докт.техн.наук, проф.каф. высшей математики КузГТУ.

Email: bav. vm@kuzstu. ru.

отрезок прямой произвольного направления.

Для такой модели Майлз нашел математические ожидания площади поверхности и объема структурного блока, равные 24 /л А2 и 6 /лА,3 . Их отношение s=4X равно суммарной площади поверхности структурных блоков в единичном объеме.

Таким образом, энергия естественного дробления породного массива, отнесенная к единичному объем, составляет 4Хе . Эмпирически установлено, что энергоемкость дробления горных пород е пропорциональна пределу их прочности при одноосном сжатии. Причем, если единицами измерения энергоемкости дробления и предела прочности являются килоджоули на квадратный метр и мегапаскали, то коэффициент пропорциональности равен единице.