CC BY
46
Прикладная математика
77
8) 5X1 + 3X2 + 4Х3 > 7.
Размерность задачи по принятому критерию близости градиента и нормали грани области допустимых решений понижается на единицу после исключения Х3 из ограничения 4). Новая двухмерная задача имеет вид:
минимизировать линейную форму Д X) =-10/3X1 - 5/3Х 2 + 8
при ограничениях
1) Х1 > 0; 2) Х2 > 0; 3) 2Х1 + Х2 < 3;
5) -X + 7Х2 < 30; 6) Х1 -4X2 > 0; 8) Xl -X2 <3.
Одномерная задача свелась к минимизации
L(X) = 3 при ограничениях 4/3<Х\ <3/2.
Соответственно, min L( X) = 3 при
4/3 <Х\ < 3/2,Х2 = 3-2Х\,Х3 = Х4 = 0.
Достаточным условием применения векторного алгоритма, как следует из его процедуры, является включение в область допустимых решений всех ограничений. Например, когда все ограничения (3) имеют один знак неравенств и один знак правых частей. К таким задачам, в частности, относится задача о распределении ресурсов и задача
о смесях. Число операций симплекс-метода имеет
3
порядок m , число операций векторного алгорит-
2
ма - порядок mn
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данциг Д. Линейное программирование, его применение и обобщение. М.: Прогресс, 1966, 600с.
2. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании. Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 1980, 20:1, с 51-68.
3. Дикин И.И. Метод внутренней точки в задачах линейного и нелинейного программирования. Издательство: Эдиториал УРСС, 2010, 120 с.
Автор статьи:
Г оголин Вячеслав Анатольевич, докт.техн.наук, проф. каф. математики КузГТУ Email: inna-e@inbox.ru
УКД 519.21
А.В. Бирюков, Е.В.Гутова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРАНУЛОМЕТРИЯ
Рассмотрим дисперсную систему из частиц случайных размеров и формы. Размер частицы определяет ее диаметр х, распределенный с плотностью f(х) и начальными моментами т(к), равными математическому ожиданию к-ой степени диаметра.
Форму частицы характеризуют ее меры сферичности
р=8/х2 , , д=У/х2 где 5, V — площадь поверхности и объем частицы.
Обозначим через 5, V, р, Ц математические ожидания. Тогда
5 = рт, V = цт.
Величина §/V равна суммарной площади поверхности частиц в единичном объеме. Она является основным параметром динамики дробления. Любая частица имеет геометрическую или физическую характеристику, пропорциональную к — ой степени ее диаметра.
Интегрируя отношение хк[(х)/ т(к) в границах от 0 до х, получим гранулометрическую функцию £ (х, к), которая дает описание фракционного состава дисперсной системы по заданной суммарной характеристике частиц.
В частности, при к = 3 она дает описание фракционного состава по суммарному объему частиц, что чаще всего востребовано инженерной практикой.
Частицы могут быть погружены в твердую среду, как при петрографическом анализе шлифов. В этом случае измерениям доступны лишь сечения частиц плоскостью.
Если т{к)и п(к) — моменты распределения диаметра частиц и их степеней, то
т(1)=10 / п(-1)’ ; т(2)=2п(1) / п(-2)’ где п(-1) - среднее гармоническое диаметров сечений.
Эти формулы получены регрессионным анализом результатов лабораторных исследований.
В горном деле дисперсные системы представлены результатами дробления пород и полезных ископаемых. Диаметр их частиц обладает тем свойством, что плотность его распределения монотонно убывает. При этом законом распределения диаметра в большинстве случаев является треугольный закон с плотностью
/ М = 2 (1 —х), где за масштабную единицу принята правая гра-
78
А.В. Бирюков, Е.В.Гутова
ница значении диаметра. Для этого закона
т (к) = ■
2
(к + 1) (к + 2) ’ г(х, к) = (к + 2)хк+1 — (к + 1)хк+2.
Для продуктов дробления меры сферичности частиц по результатам измерений имеют центры рассеяния р = 3, ц = 1/3. Следовательно, для треугольного закона
5 5
V т(1)
Среднюю крупность частиц дисперсной системы можно характеризовать их средневзвешенным диаметром
т(к + 1)
™ (к) =--------у——,
т (к)
или с учетом треугольного закона 3 (к + 1) т(1)
w(к) = ■
к + 3
Основой поиска закона распределения диаметра служит репрезентативная выборка, содержащая результаты измерений. Но измерения обычно проводят лишь на поверхности трехмерной области, содержащей дисперсную систему. Это не дает репрезентативную выборку и требует соответствующей корректировки.
Обозначим через / (х), т(к) и ц(х), п(к) плотность и моменты распределения диаметра частиц всей дисперсной системы и частиц на ее поверхности.
Очевидно, существует такое значение диаметра х = г, для которого /(х) > ц(х) при х < г, и [(х) < ц(х) при X > 2. Этому условию удовлетворяет равенство
/ СО =- я СО.
Интегрируя это равенство по всем значениям диаметра, получим искомую взаимосвязь в виде ш(к)=п(к-\) / п(-1)’ . _Дх)=д(х) / хп(-1)’ где п (—1) есть среднее гармоническое диаметров частиц на поверхности дисперсной системы.
В частности, п(1) = т(2)/т(1), и для треугольного закона
т 3т(1) п( 1 )^-г- ,
т.е. средний диаметр частиц на поверхности в полтора раза превосходит средний диаметр всех частиц.
В природе дисперсные системы представлены породными массивами, рассеченными естественными трещинами на структурные блоки. Массивы осадочных пород угольных месторождений обычно имеют три системы трещин. Направление с наибольшей частотой трещин определяет один из векторов
а + Ь — с, а — Ь + с,
—а + Ь + с,
имеющий наибольший модуль, где а, Ь, с — векторы, ортогональные системам трещин и по модулю равные частоте трещин в системах. В этом направлении сейсмическая волна максимально теряет свою скорость и амплитуду.
Если число систем трещин в массиве больше трех, то он становится практически изотропным. В изотропном массиве диаметр структурных блоков по результатам измерений распределен по экспоненциальному закону, т.е.
т(к) = [т(1)]к • к\, а меры сферичности блоков имеют центры рассеяния
1
Таким образом
р = 3, q =4.
S
4
V т(1)'
Эта величина характеризует трещинную пус-тотность и фильтрационные свойства массива.
В заключение отметим, что этот эмпирически полученный результат совпадает с результатом исследования разбиения пространства на многогранники пуассоновским полем плоскостей.
Авторы статьи
Бирюков Гутова
Альберт Васильевич, Елена Владимировна,
докт.техн наук, ст. преподаватель
профессор КузГТУ. каф. математики КузГТУ
Email: bav.vm@kuzstu.ru Email: elenagutova@mail.ru
