CC BY
36
Геотехнология
59
его центра (пересечение диагоналей) обозначим через т, т = (г2 +у2)/2 .
Рассмотрим критические случаи: х < г / 2 и х>т. В первом случае р = жх2/гу, т.е. О<р< лт/4у . Во втором случаер= 1.
Если же г/2 < х <т, то линейная аппроксимация вероятности имеет вид р=к/ (х-т)+1. где ,4 V - я-г „
£ =-.. В частности для квадратной сетки
2т-г
скважин примем длину стороны квадрата за единицу масштаба. Тогда
Автор статьи:
Бирюков Альберт Васильевич, д.т.н., проф. каф. математики КузГТУ, тел. 8-3842-58-46-80
>/2-1
Как и прежде, имеем два критических варианта: 0 < х < 0,5 и х
В первом случае 0 < р < л/А « 0,78, во втором р = 1.
Если же
0,5 <>/2/2,
то линеиная аппроксимация вероятности имеет вид /? = 2,1(*->/2/2) + 1«2*-0,4.
Ниже приведен фрагмент таблицы значений вероятностей в зависимости от радиуса круга. х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 р 0,03 0,12 0,28 0,50 0,78 0,87
УДК 519.21
А.В. Бирюков, Т.С. Жирнова
АНИЗОТРОПИЯ ОСАДОЧНЫХ ПОРОД И УСРЕДНЕНИЕ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ
В осадочных породах угольных месторождений обычно развиты три системы трещин, включая трещины между слоями осадконакопления.
Сейсмическая волна при переходе через трещину теряет часть своей скорости и амплитуды. Эта потеря будет максимальной в направлении наибольшей частоты трещин, равной числу трещин на единицу длины. Задача состоит в поиске этого направления, которое назовём осью анизотропии.
Обозначим через векторы, орто-
гональные системам трещин и по модулю равные частоте трещин в системах по направлению этих векторов.
Рассмотрим векторы
достигается в направлении векторов Ык и равен модулю этих векторов. Следовательно, выбирая Ык с наибольшим модулем, получим искомое направление оси анизотропии.
В геометрической интерпретации эта картина представляет собой симметричное тело, у которого поверхность состоит из частей сфер. При этом расстояние от центра до точки поверхности равно частоте трещин в направлении радиус-вектора этой точки.
Пример. Пусть векторы имеют
координаты:
Тогда векторы Ык имеют координаты
Остальные комбинации получаются при одновременном изменении направлений векторов на противоположные, что не изменяет модулей векторов Ык
Частота трещин в заданном направлении равна проекции вектора Ык на это направление. Поэтому наибольшая частота трещин достигается в том случае, когда заданное направление совпадает с направлением вектора Ык.
Таким образом, все направления в пространстве разбиваются на четыре конуса, в каждом из которых локальный максимум частоты трещин
Модули векторов Ык равны соответственно
. Наибольший модуль имеет вектор Ы4 который и направляет искомую ось анизотропии. Частота трещин в этом направлении равна
В полевых условиях для каждой системы трещин измеряют значения трёх параметров: частоту трещин системы Я, угол наклона системы к горизонтальной плоскости а и азимут простирания системы При этом декартовы координаты векторов имеют вид у = Я г = Я
60
А.В. Бирюков, Т.С. Жирнова
Рассмотрим дисперсную систему из частиц случайных размеров и формы. Обозначим через х, s, V диаметр, площадь поверхности и объём частицы, а через х(к), з(к), \(к) - средние значения к-ой степени этих величин.
Форму частицы определим её мерами сферич-
/2 /3
ности р=$/х , q =У/х со средними значениями р(1), q(1). Тогда суммарные площадь поверхности и объём частиц равны пх£(1) = пхр(х)х(2), пхУ(1) = пхд(1)х(3), где п - число частиц.
В продуктах дробления диаметр частиц распределён либо по экспоненциальному закону с
плотностью -/х(1) и моментами х(к)=
, либо по треугольному с плотностью-и моментами х(к)=-, где
с - правая граница наблюдаемых значений диаметра.
В первом случае пх5(1) =
Авторы статьи:
Бирюков Альберт Васильевич, д.т.н., проф. каф. математики КузГТУ, тел. 8-3842-58-46-80;
пхУ(1) = ,
а во втором случае
пх5(1) = ,
пхУ(1) = /10.
Операция усреднения состоит в воображаемой замене реальной дисперсной системы такой, в которой все частицы имеют одинаковый диаметр 2, называемый средним диаметром. При этом инвариантами усреднения являются либо п и п5(1), либо п и пу(1). Для экспоненциального закона либо 2 = х(1), либо 2 . Для тре-
угольного закона либо 2= —, либо 2= —=.
Другой конструкцией среднего диаметра является средневзвешенный диаметр - ,
где весами служат значения к-ой степени диаметра. В частности, при к= 2 и 3 имеем для экспоненциального закона либо х = х(1), либо 2= . Для треугольного закона г=0/6 или 1.5
с..
Жирнова Татьяна Сергеевна, к.т.н., доцент каф. математики КузГТУ, email: zhirnova.tatvana2013@vandex.ru.
УДК 519.21
А. В. Бирюков, С. И. Протасов, П. А. Самусев ДИСПЕРСНЫЕ СИСТЕМЫ ГОРНОГО ДЕЛА
Эффективность открытых горных работ в значительной степени определяется качеством дробления горных пород при ведении массовых взрывов. Результатом дробления горных пород является совокупность частиц случайных размеров и формы. Назовем ее дисперсной системой.
Размер частицы определяет ее диаметр , распределенный с плотностью и начальными моментами , а форму - меры сферичности, равные отношениям площади поверхности и объема частицы к квадрату и кубу ее диаметра.
Если S, V, C, P - математические ожидания площади поверхности, объема и мер сферичности частицы, то
(1)
Отношение S/V равно суммарной площади поверхности частиц в единичном объеме и является основным параметром динамики процесса дробления.
У породного массива, рассеченного трещинами на структурные блоки, отношение S/V характеризует трещинную пустотность массива и его фильтрационные свойства.
Каждая частица дисперсной системы имеет геометрическую или физическую характеристику,
пропорциональную к-ой степени диаметра.
Интегрируя отношение в грани-
цах от нуля до х, получим гранулометрическую функцию 1(х, к), которая дает описание фракционного состава дисперсной системы по заданной суммарной характеристике частиц. В частности, при к=3 эта функция дает описание фракционного состава по суммарному объему частиц, что чаще всего востребовано инженерной практикой.
Дисперсные системы горного дела обладают тем свойством, что плотность распределения диаметра частиц монотонно убывает, а вероятностной моделью в большинстве случаев является треугольный закон с плотностью
(2)
где за масштабную единицу принята правая граница наблюдаемых значений диаметра. Для этого закона
т(к)=2 / {(к+1)(к+2)} (3)
^х,к)= (к+2)х к+1 -(к+1)х к+2 (4)
Анализом результатов измерения мер сферичности частиц установлено, что центры их рассеяния составляют
С=3 , Р=1/3 (5)
