CC BY
25
130
Ю.В. Видин, Д.И. Иванов, П. А. Ясницкий
Действуя по аналогичной схеме, находим последовательно
/и2Ъ = 2,2791 ;^24 = 2,3978 и /и25 = 2,3610.
Табличное значение д2, соответствующее принятым данным, равно ^2=2,3695.
Из приведенных результатов видно, что сходимость последовательных приближений "снизу" и "сверху" сравнительно высокая. Она может быть усилена, если на третьем шаге брать средние арифметические значения из двух предыдущих.
Выводы
Произведен расчет собственных чисел в задаче нагрева теплопроводного тела с теплоизоляционным покрытием. Полученные аналитические зависимости обладают высокой точностью расчета, но значительно проще классических методов расчета.
Полученная методика совместно с разработанными ранее методами расчета собственных чисел [7-9] позволяет решать широкий спектр задач, связанных с нестационарным теплообменом плоских и цилиндрических тел малой кривизны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. МихайловМ.Д. Нестационарные температурные поля в оболочках. - М.: Энергия, 1967. - 120 с.
2. Видин Ю.В. Инженерные методы теплопроводности. - Издательство КГТУ, 1992. - 96 с.
3. Видин Ю.В. К расчету собственных чисел задачи теплопроводности двухслойной пластины. Теплофизика высоких температур. 1985 г. Т.23. №1. С. 200 - 201.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов - М.: Наука, 1965. - 608 с.
5. Grover Y.H. , Holter W.H. . Solution of ten Transient Heat.Coldultion Equation for an Insulated, Infinite Metal Slab yet propulsion, 1957, vol 27, №12.
6. Сегал Б.И. , Семендяев К.А. Пятизначные математические таблицы. - М.: Физматгиз, 1962. - 464 с.
7. Видин Ю.В., Иванов Д.И. Расчет собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при граничных условиях первого рода. - Вестник КузГТУ, 2012, №5. С. 85-86.
8. Видин Ю.В., Иванов Д.И. Расчет собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при граничных условиях 2-го рода. - Вестник ВолГАСУ, 2012, №4. С. 98-101.
9. Видин Ю.В., Иванов Д.И. Расчет собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при смешанных граничных условиях. - Вестник СибГАУ, 2013, №1. С. 15-18.
□ Авторы статьи:
Видин
Юрий Владимирович, канд. техн. наук, профессор каф. теплотехники и гидрогазодинамики теплоэнергетического факультета Сибирского федерального университета ( г. Красноярск).
E-mail: idi86@inbox.ru.
УДК 519. 21
Иванов Дмитрий Иванович, аспирант каф. теплотехники и гидрогазодинамики теплоэнергетического факультета Сибирского федерального университета ( г. Красноярск). E-mail: idi86@inbox.ru.
Ясницкий Петр Анатольевич, студент факультета энергетики Сибирского федерального университета
( г. Красноярск). E-mail: idi86@inbox.ru.
А.В. Бирюков ДРОБЛЕНИЕ ГЕОМАТЕРИАЛОВ
Результат дробления представляет собой дисперсную систему из частиц случайных размеров и формы.
Крупность частицы определяет ее диаметр (наибольший линейный размер), а форму - меры сферичности, равные отношениям площади поверхности и объема частицы к квадрату и кубу диаметра.
Пусть $ и V - математические ожидания площади поверхности и объема частицы, а т(к) математическое ожидание к -й степени ее диаметра. Тогда $ =ат(2), V =в т(3), где а и в - математические ожидания мер сферичности.
Отношение 8^ , равное суммарной площади
поверхности частиц в единичном объеме, играет основную роль в динамике дробления. При дроблении геоматериалов в дробилках и мельницах эта величина является монотонно возрастающей функцией времени. Однако из физических соображений ясно, что такое возрастание имеет конечный предел, после чего коэффициент полезного действия процесса становится равным нулю, а энергоемкость дробления - бесконечной.
В природе естественное дробление горных пород широко представлено породными массивами, которые рассечены трещинами на структурные блоки или естественные отдельности.
Трещиноватость породных массивов по геометрии сетей трещин делят на хаотическую и сис-
Прикладная математика
131
темную. Эмпирические распределения диаметра структурных блоков массива с хаотической трещиноватостью адекватно аппроксимирует экспоненциальный закон с плотностью Хехр(-Хх) и моментами т(к) =к! /Хк , где параметр X равен частоте трещин, измеренной на любом обнажении породного массива.
Измерениями установлено, что форма структурных блоков характеризуется отношением а / в = 1.2. Поскольку т(2) = т(3) = Х/3 , то $ /V = 4Х. Эта величина характеризует трещинную
пустотность породного массива и его фильтрационные свойства.
Структурным аналогом массива с хаотической трещиноватостью является разбиение пространства на многогранники множеством плоскостей с параметром X, равным среднему числу точек пересечения плоскостями единичного отрезка произвольной ориентации.
При исследовании такого разбиения пространства были найдены математические ожидания площади поверхности и объема многогранников. [1]
Они оказались равными $= 24 /пХ2, у=6 /пХ3 и, следовательно, $ / V = 4 X .
Такое совпадение результатов эмпирического и теоретического исследования объектов одинаковой структуры говорит о правомерности использования методов вероятностного моделирования при решении задач гранулометрии.
Системная трещиноватость, присущая осадочным породам угольных месторождений, характерна тем, что эмпирические плотности распределения расстояния х между соседними трещинами в каждой системе обладают ярко выраженной симметрией. Они хорошо аппроксируютсят параболическим бета-распределением с плотностью 6х(г-х)/ъ3 и моментами т(к) =6ък /
(к+2)(к+3), где 2 - наибольшее из наблюдаемых значений случайной величины х.
Принимая в качестве диаметра структурного блока расстояние х в системе с минимальной частотой трещин, для форм структурных блоков по эмпирическим оценкам имеем а / в =8. Но поскольку т(2)/т(3)<3/2ъ, то $^ =12/г=6/т(1).
При технологическом дроблении пород и по-
лезных ископаемых все эмпирические плотности распределения диаметра частиц монотонно убывают. Их аппроксимацией является треугольное распределение с плотностью 2(г-х)/ъ2 и моментами т(к) =2гк / (к+2)(к+3), где ъ - наибольшее из наблюдаемых значений диаметра х.
Измерения формы частиц дают значение а / в =9. При этом площадь поверхности частицы определялась как учетверенная площадь ее случайной проекции (формула Коши), а
объем - взвешиванием при известной плотности материала.
Поскольку (2) / т(3) =5/ 3г, то при а / в =9 имеем $^ =15/г=5/т(1).
В заключение рассмотрим дробление породного массива взрывом скважинных зарядов. Баланс энергии представим в виде AF/GQ, где А -энергоемкость дробления, равная энергии образования единицы площади новой поверхности; F=5/m(1) - суммарная площадь поверхности частиц взорванной горной массы в единичном объеме; Q - удельный расход взрывчатых веществ; G - энергетический потенциал взрывчатых веществ, равный в среднем 1000 килоджоулей на килограмм; Н - коэффициент полезного (дробящего) действия взрыва.
Лабораторными исследованиями установлено, что энергоемкость дробления горных пород пропорциональна пределу их прочности Р при одноосном сжатии. Причем А=0.1Р, если единицами измерения величин А и Р являются килоджоули на метр квадратный и мегапаскали.
Установившаяся практика ведения буровзрывных работ на угольных разрезах характеризуется отношением Р / Q =100, где единицами измерения величин Р и Q являются мегапаскали и килограммы на метр кубический.
Таким образом, Н=1/20т(1). Но при Р / Q =100 имеем т(1)=0.2 м. Следовательно, коэффициент полезного действия взрыва составляет 25 %.
ЛИТЕРАТУРА
1. Miles R.E. The random division of space. - Advances in Appl. Probability Suppl., 1972, P. 243-266.
□ Автор статьи:
Бирюков Альберт Васильевич, докт техн. наук, проф. каф. высшей математики КузГТУ. Email: bav.vm@kuzstu.ru
