CC BY
31
УДК 536.24
Ю.В. Видин, Д.И. Иванов
РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 1-ГО РОДА
С использованием аналитических зависимостей разработан аналитический приближенный метод расчета собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при граничных условиях первого рода. Показано, что высокая точность расчета может быть достигнута с помощью доступных математических преобразований, т.е. не прибегая к сложным специальным функциям Бесселя.
Теплопередача, нестационарный процесс, цилиндрическая стенка, температурное поле, аналитический метод
Yu.V. Vidin, D.I. Ivanov CALCULATION OF EIGENVALUES OF THE OF NON-STATIONARY HEAT TRANSFER PROBLEM THROUGH A CYLINDRICAL WALL WITH THE 1-ST CLASS BOUNDARY CONDITIONS
Using analytical dependences of the developed analytical approximate method for calculating the eigenvalues of the non-stationary heat transfer problem through a cylindrical wall with boundary conditions of the first class. It is shown that high accuracy of calculation can be achieved using the available mathematical transformations, i.e., without reference to complex special Bessel functions.
Heat transfer, non-stationary process, cylindrical wall, temperature field, analytical method
Аналитический расчет процесса нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку связан с задачей нахождения собственных чисел на основе сложного характеристического уравнения [1]
Bix j0М+м(м) = Bi2J(ym)
BiiYo(m)+myi(m) BiY(ym)-mYi(ym) ’
где Bi1=a1R1/^, Bi2=a2R2A, - безразмерные числа подобия (числа Био); ^=r/R1 - безразмерная радиальная координата (1<у<у*); ^*=R2/R1.
В связи с большим числом параметров в зависимости (1) составить таблицу корней весьма затруднительно.
Поэтому первоначально имеет смысл установить возможные пределы для искомых чисел цп. С этой целью рассмотрим частный случай уравнения (1), а именно примем, что Ы1=>да и Ы1=>да, т.е. на внутренней и внешней поверхностях полого цилиндрического тела действуют граничные условия первого рода. Тогда формула (1) вырождается в соотношение
J0 (м)_ J0 (ум)
7(м) 7(у* м)
(2)
Если предположить, что искомые корни цп > 3, то допустимо аппроксимировать функции Бесселя 10(ц), У0(ц), ,Т0(у*ц) и У0(у*ц) следующими приближениями [2]:
1 (м) = -^ /оС08^о, (3)
70 (м) = I— /0 8-*-п в0 ,
4м
(4)
где в> описывается выражением
( 3 1
в0 =м-0,78539816 - 0,04166392 --0,00003954
+0,00262573
Г
М)
г 3 14
м)
0,00054125 3
ГпЛ6
+0,0001358
м)
\е\ <7 -10
М)
+ £,
0,00029333
Г -12 МУ
(31
Му
+
+
1-8
10 (У* М ) = ~г== У* С08 в0*,
л/у*М
70 (¥* М) =
1 г* • п*
Л, 81пв0,
(5)
(6) (7)
/1*
В зависимостях (6) и (7) величины в0 рассчитываются по формуле, аналогичной (5), в которой необходимо только ц заменить на комплекс у*ц.
С учетом (3), (4), (6) и (7) уравнение (2) запишется в виде
С08в0 _ СО8 &0
81п в0 81п в0
Согласно [3], зависимость (8) эквивалентна выражению Отсюда вытекает, что
81п(в0* -в0) = 0,
(8)
(9)
в0-в0 = пп, п = 1,2,3,... (10)
Подставив в (10) вместо в0 соотношение (5) и аналогичное для в0 и ограничиваясь в них первыми тремя слагаемыми, составим квадратное уравнение для вычисления цп
(11)
¥ -1 ¥
Решая это уравнение, находим
пп
-+
М2п -
Мп
2(у*-1) \
2 2 п п 0,125
4 (у¥ -1)2 * ¥
(12)
В таблице приведены значения первых трех собственных чисел цп для у*=1,1; у*=1,2 у*=1,5; у *=2,0, рассчитанные по описанной выше методике и приведенные в [2].
Таблица 1
Корни характеристического уравнения |Jn
J1 J2 J3
Расчет по методике [2] Расчет по формуле (12) Расчет по методике [2] Расчет по формуле (12) Расчет по методике [2] Расчет по формуле (12)
ф*= 1,1
31,41232 31,41231 62,83004 62,83004 94,24657 94,24657
ф*= 1,2
15,70136 15,70133 31,41261 31,41261 47,12168 47,12168
ф*= 1,5
6,26998 6,26989 12,55978 12,55974 18,84515 18,84513
ф*= 2,0
3,12303 3,12157 6,27344 6,27322 9,41821 9,41814
Из таблицы видно, что расхождение проявляется лишь в 3-м знаке после запятой, даже для собственных чисел ц, близких к 3.
В статье показано, что высокая точность расчета собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при граничных условиях первого рода на внешней и внутренней поверхностях цилиндрического тела может быть достигнута с помощью приближенного решения поставленной задачи. При этом точность расчета повышается с уменьшением толщины стенки рассматриваемого цилиндра (с уменьшением параметра у*) и увеличением порядкового номера корня характеристического уравнения цп.
Процесс нахождения собственных чисел упрощается за счет:
1) уменьшения числа параметров в уравнении;
2) использования вместо сложных Бесселевых функций известного приближения [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.
2. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
3. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1965. 608 с.
Видин Юрий Владимирович -
кандидат технических наук, профессор кафедры «Теплотехника и гидрогазодинамика» Сибирского Федерального университета
Иванов Дмитрий Иванович -
аспирант кафедры
«Теплотехника и гидрогазодинамика» Сибирского Федерального университета
Yury V. Vidin -
Ph. D., Professor
of the Department Heat Engeneering and
Fluid Dinamics
Siberian Federal University
Dmitry I. Ivanov -
Postgraduate
of the Department Heat Engeneering and Fluid Dinamics Siberian Federal University
Статья поступила в редакцию 12.09.12, принята к опубликованию 06.11.12
