О случайных структурах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

В. М. Волков, Е. А. Волкова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТОЧНИКА В КВАЗИЛИНЕИНОМ УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассмотрим в области

Э(Г,Хо)={хо < х < да, 0 < £ < Т}

для уравнения

иг = их + ^(u, х)

краевую задачу

и

I=о = ^(х - х0 )х0 - х <

и

=х = ф(і)0 - і - Т,

х=х,

(1)

(2)

(3)

и пусть относительно ограниченного решения этой задачи известна в точке Х=Х0 функция

их\х=Хо = I(,х0)о < £ < Т ' (4)

Теперь предположим, что Хо изменяется от нуля до бесконечности, тогда наша задача состоит в определении функции о(п,х) по известной функции /(£, Хо) .

Определение. Будем говорить, что функция

о(п,х) принадлежит классу функций 0[^1,^2], если

с(и,х )е

С2,3 ((,^2 ]х [0,да))и С((- да,да)х [0,да)) и выполнены следующие условия а(и,х)-и<0 при и^0, о'х(и,х)<0 при и>0 .

Теорема. Если функция

р(х)е Н 3+а([0,да)),ф(£) С 2 (0,Т ],

1 + а

/(,Х0) Н +2 (0,Т]

при любом фиксированном Хо, и удовлетворяют условиям

(р(х)> 0, р'(х)< 0, 0 < х <да , (5)

ф'()>а^, 0 < х < Т, (6)

1 (,х0) < а2, 0 < £ < Т, 0 < Х0 < да, (7)

где а1 и а2 - строго положительные постоянные,

а также условиям согласования

ф(0) = р(0),/ (0,х0 )=р(0), то решение обратной задачи единственно в классе функций с(и,х)е0[0,ф(Т)] и совпадающих между собой в области 0 < и < ф(0), 0 < х < да .

Доказательство. Прежде чем приступить к не-

посредственному доказательству теоремы, мы докажем несколько предварительных утверждений.

Лемма 1. Пусть и(х£ - ограниченное решение задачи (1) - (3) в области О(Т,Х0) , причём о(и,х) - ограниченная функция, и выполнено условие о(и,х) и<0, при и^0. Тогда для и(х£ справедлива оценка

0 < и(х, £) < ф(£),

0 < £ < Т,Х0 < х <да.

Доказательство. Для доказательства леммы применяем стандартный приём, используемый при получении принципов максимума в [2] и [4]. Аналогичное утверждение доказано в [1], в предположении, что о(и,х) не зависит от х и Х0=0 .

Лемма 2. В предположениях теоремы существует точка х* < да, такая , что в области {х0 + х* < х < да, 0 < £ < Т}

выполнено неравенство и(х, £) < ф(0).

Доказательство. В [2] приведено доказательство, что условиях, наложенных на функции р(х), ф(£) и о(и,х) , существует единственное ограниченное решение

, а

2+а,1+—, , чч

и(х,£)е Н 2 ( (Т,х0 ))

задачи (1) - (3). Пусть и(х£ - искомое решение. Тогда а(и(х,£),х) - известная функция. Сделаем в задаче (1) - (3) замену переменных х=ц+х0, £=£. получим задачу

и, = ипп + с(и,П + Х0 ),

(п,£)е (0, да)х (0,Т] и[=0 = р(^), 0 < п < да,

иП=0 = ф()’0 < £ < Т .

Для полученной задачи доказательство леммы приведено в [1].

Лемма 3. При выполнении условий теоремы, в

области

{*0

- X - X , 0 - і - Т} для решения

задачи (1) - (3) справедлива оценка

и„\х

(х, і)- -с < 0 .

Доказательство. Обозначим их^.. Тогда для v(x,t) после дифференцирования и замены х — х0 = п, £ = £ получим следующую задачу

V = vп +си(,п + Х0 +

+

сп(,п + х0) (n,£)е С0,да)хС0,Т]

к=0

V

п=0

= р'(^), 0 < п < да, = /(£, Х0 ) < £ < Т.

Решение полученной задачи выписывается в следующем интегральном виде

( ) г л да[7(п^,£,т)—7(п,—^,£,т)]х у(п,£)=] Т

+

0 0 хсДм(^,т),^+х0 )

+ ] 7^ (п,0, £, т)/ (, Х0 )т +

0

да

] [ (п, £ £ ,0)—7 £ ,0)] P'(^)d^,

(8)

где фундаментальное решение 7(х,£, £, т), полученное после чётного продолжения си (, п + х0) по п при п<0 , представимо в виде [2]

7 (х,£, £,т) =

(х -#)2

24п(£ -т) 6ХР|^-Т

+1"./да 2/пТ^л/ exp{Тт—Л

а функция 2(.У, £, Л, т) определяется из уравнения Вольтера второго рода

Л да

в(у,£,Ат) + 1 К (у,п,в,т)-д(п,^,в,т)с1п

т -да

+ К (у,^,Л,т) = 0 с ядром и правой частью следующего вида К(У,%Л,Т) = си(u,У + х0)х

1

2^ л(Л-т) 4(Л - т )]

Из приведённых формул можно получить

'(у-#)2

следующие оценки

(

7Дп,0, £,т)>

Сп

3 - С1

ехР

Сп2

£ - Т

7 (п,#,£,0)-7 (//,-£, £,0)>| С - С, 77

ехр{- {íп\—ехр{ (+п>

4£ I 1 I 4£

|

Так как в (8) все три слагаемых не положи

тельны, что можно доказать с помощью принципа максимума, то отбрасывая первое и оценивая два оставшихся слагаемых, получим следующее нера-

венство

v{п, £ )< тт

(

С

Л

п

• еХР1

( • С - С11 - ехр-]-

Сп

Отсюда видно, что при достаточно большом значении п получим у(п, £) <- С , где С , вообще говоря, зависит от п. Теперь покажем, что при достаточно большом п0 > х * в области

{х0 < х < х0 + п0, 0 < £ < Т} справедлива оценка у(п, £) < - С . Фиксируем п0 > х *, такое что

v(п(), £ )<-С . Сделав замену V = —, получим задачу

а

а =апп —

а

-си (и,п + х0 )а-

-Сп(и,п + Х0), 0 <п<п, 0 < £ < Т,

а на границе области а(п,£)>-С,. Тогда из принципа максимума имеем оценку во всей области а(п, £ )>- С2. Возвращаясь к функции

Чп£), получим требуемое.

Перейдём к доказательству теоремы. Предположим, что существуют два решения задачи (1) - (4)

{о-! (и,, х), и, (х, £)} и { {и,, х), и, (х, £)}, причём с, (и,,х) и с2(и2,х )еП[0,ф(Т)]. Положим V = и, - и2, С(м, х) = с, (м, х) - <с2 (м, х). Тогда для V и о(м2,х) получим следующую задачу

V = ^ + A(x, £) v + C(u2, х)

(х, £)е 0(Т, Х0 ) ,

^=0 = 0, Х0 < х < да,

vx=х = 0, 0 < £ < Т,

V«! = 0,0 < £ < Т,

где

М, - м0 и, + м0 | 7

—--------2 ■ 5 + —-----------, х ш

2

2

Сделаем в полученной задаче замену переменных х - х0 = п, £ = £ , тогда

vt = vxx + А(х, £) • V + <г(м2, х), (х, £) е ^(Т, х0)

(9)

£

£

х=х

0

х

х

и

^ = 0, х0 < х < да, (10)

^х=Х0 = 0,0 < £ < Т, (11)

VI = 0, 0 < £ < Т. (12)

Х1Х=Х0

После чётного продолжения А( + х0, £),

У + х0£) по п при п<0 , решение задачи (9),

(10), (12) выписывается в виде [2]

I ^

v(п, £ )=| Ат{

0 0

Я - + я+

2д/п(, -т)

Г(2,# + х0 )€ +

еХР1

(п - У)2

+

| dтJ Ау |

0 0 т -да

2т]п{ - Л)

где

Я= ехр{-( п)21, Я+=ехр{- (^ + п)2

I 4(£ -т)

ехр1

4(£-т)1

0* = €, Л т)+ Л Т/(u2 , € + Х0 )

Используя условие (11), получим уравнение для определения с(м2, х)

€

£ »ехр1 4(£ -т)|

лЛУ -т)

г(м2,€ + Х0 )й€ +

+

£ да £ да

| йТ | Ау | АЛ |

ехр1

У

4(£ -Л)

2 * А€ = 0

0 0 т — да 2л/п(£ - Л)

Переходя от переменных (€, Т) к новым переменным (€, Т), что возможно в силу справедливости приведённых выше лемм, по формулам

Т = Т , 5 = ф— (2( + х0,т)), и используя условие о (м2, х)= 0 при и2 е [0,ф(0)], приведём уравнение к виду

£ Т

| Ат| К, (£, 5,т, Х0)

фу),

€(фТ Ы-

ф'Т )Й5 = 0,

0 < £ < Т, 0 < х0 < да,

где

К! {, 5,Т, Х0 ) =

ехр<

€ ТТ )т) '1 4{ - т) I

+

лПУ -т) • м2€ м2€

£ да

—.и

ехр<

У

т -да

. 4{ -т)

2л/пт—Т)

2(у,€(фУ ),т),л,т)+

+ 2(у,-#(ф{* ),т),л,т).

ф.

Пусть

4(фУ )€(фУ),т) + х0 ) =

5

= I с(фУ ),€(фТ ),т) + х0 )ф'(£ )dt,

0

тогда для 4(фУ ),т)+ х0 ) имеем следую

щее уравнение

£

I К, У, Т, Т, Х0) •• д(ф(т\ )0 )йт -

(13)

£ Т

I ёт]

дК, (£, 5,т, х0)

д5

0 0 х ^(ф(5), €(ф(5), Т) + Х0 ^ = 0,

0 < £ < Т, 0 < Х0 < да. Ядро К, (£ ,т,т, Х0 ) имеет особенность

У - т)-^2, поэтому уравнение (13) можно свести к уравнению Вольтера второго рода, применяя приём Абеля [3]. Для этого умножим уравнение

(13) на (х - £)— >2, проинтегрируем его в пределах от нуля до х, и меняя в получившемся интеграле порядок интегрирования, находим

Х (и/Т\к1tíiТ£0- л -

0

X X 1 £

I I

А - Л1 Л I п

4х—£

дК, (£, 5,т, х0 )

55 = 0,

0 Т ^ 10 х ^(ф(5{ € ((5), т) + Х0 )ф

при 0 < х < Т, 0 < Х0 <да.

Стоящая в первом слагаемом под знаком интеграла функция

Н1(х,Т) = }

К,(£,т, т, х) д/х — £

й£

имеет конечное значение, отличное от нуля при Т=х . Тогда, полагая

2(фУ ),€(ф(5 ),т)+х0 ) =

5

= I ч{фУ {€(фУ )т)+ х0

0

для функции 2(ф(х),Х0) получим уравнение Вольтера второго рода, ввиду интегрируемости

функций дН1(х,т) и дН2{хТ5),

дт д5

где

Н

{х,Т,5) = Х) -^ .

_ д5 V х — £

Следовательно, уравнение (13) сводится к уравнению Вольтера второго рода, которое, как известно, имеет единственное решение. Таким образом, теорема единственности доказана.

1

х

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волков, В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// В сб.: Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений, Новосибирск, 1981. - С. 27-36.

2. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа/ О.А. Ладыженская, В. А. Солонников, М. Н. Уральцев. - М.: Наука, 1967.- 736 с.

3. Музылёв, Н. В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности// Журн. вычислит. мат. и мат. физ., 1980.- Т. 20.- № 2.- С. 386-398.

4. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики/ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский.- М.: Наука, 1966.- 735 с.

□ Авторы статьи:

Волков Владимир Матвеевич

- канд.физ.-мат.наук, доц. каф.математики КузГТУ, тел. 8-3842-37-43-16

Волкова Екатерина Анатольевна

- канд.физ.-мат.наук, доц. каф.математики КузГТУ, тел. 8-3842-37-43-16

УДК 519. 21

А.В. Бирюков О СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУРАХ

Многие геометрические структуры природного и технологического происхождения являются случайными. В качестве типичного примера рассмотрим сети трещин, которые рассекают массивы горных пород на структурные блоки. Обычно выделяют три основных вида таких сетей -системные, хаотические и полигональные. Геометрической моделью сетей первого вида является разбиение пространства тремя попарно ортогональными системами параллельных плоскостей. В каждой из них расстояние между соседними параллельными плоскостями есть случайная величина х с плотностью распределения

/ {Х)= 6 Х{Х0 - х) /х0,

где Хо - набольшее значение величины х. Моменты этого распределения равны

М]=0.5 Хо, М2= М. 12=0.3 Хо2 ,

Мз= 1.6М]3=о.2 хо3

Пусть х и V - площадь поверхности и объем структурного блока. Важную роль при изучении фильтрационных свойств породного массива играет отношение СМ21М3 , где е=Х5Ы — мера сферичности блока. Случайная величина С имеет незначительную вариацию с центром рассеяния С =8, поэтому среднее значение отношения сМ2/ М3 равно 6/ М1 .

Объемное содержание блоков с линейными размерами от 0 до х дает значение гранулометрической функции ¥(х) получаемое интегрированием отношения х/(х)/М3 в границах от 0 до х: F(х)= 6(х/Х0)5 -5(х/Х0)6.

Геометрической моделью хаотической сети трещин является разбиение пространства пуассо-

новским множеством плоскостей. Случайное множество плоскостей, заданных уравнениями вида Ах+Ву+С2=1 , называется пуассоновским, если случайные точки с координатами (А,В,С) имеют распределение Пуассона, т. е. вероятность попадания п точек в область единичного объема

равна Лп / п!еЛ. Отметим, что параметр Л равен среднему числу плоскостей, пересекающих единичный отрезок произвольной ориентации. При таком разбиении пространства структурные блоки являются выпуклыми многогранниками, для которых найдены средние значения основных геометрических характеристик [1]. В частности,

Е (5 ) = 24 / пЛ2, Е (52 )= 240Л4,

Е {V) = 6 / пЛ3, Е (V 2 )= 48 / Л6,

где Е - математическое ожидание величины.

По первым двум моментам распределений случайных величин 5 и V можно легко вычислить их коэффициенты вариации ■(б) и м>(у):

н,2(5) = 4 и ^2 (V))=12,

что позволяет найти аппроксимации этих распределений в классе гамма-распределений с параметром формы 1Ш .

Суммарная площадь поверхности блоков в единичном объеме, характеризующая трещинную пустотность и фильтрационные свойства породного массива, равна

Е {5 ) / Е {V) = {24 / пЛ2 )/ {6 / пЛ3 ) = 4 Л.

Отметим также, что средняя длина секущих выпуклого тела, равная 4v/5, в рассматриваемом случае принимает значение 1/Л . Этот факт с несколько иной позиции проясняет смысл Л..

Полигональные сети трещин обычно ограни-

122

А.В. Бирюков

чены одним породным слоем и ортогональны к нему. В этом случае вместо разбиения пространства на блоки достаточно рассматривать соответствующее разбиение плоскости на многоугольники, которые называются многоугольниками Вороного. Для них известны первый и второй моменты распределения площади [2]:

E(s ) = 1 / Я, E (s 2 )= 1,28 / Я2,

где Я - плотность пуассоновского поля центров многоугольников. Отсюда непосредственно получается значение коэффициента вариации случайной величины s : w(s)=0.529 . Это значение практически совпадает с коэффициентом вариации (w=0.523) случайной величины, распределенной по закону Рэлея с плотностью

f (s) = пЯ2s • exp(- 0,5жЯ2s2)

Экспериментальную оценку параметра Я можно получить, измеряя расстояние от случайно выбранного центра до ближайшего из центров соседних многоугольников: Я=1 / TW2, где г2 -средний квадрат расстояния. Функция распределения площади многоугольников (доля многоугольников с площадью, меньшей s ) имеет вид

F (s) = 1 - exp(- 0,5пЯ2 s 2 )

Гранулометрический анализ обычно проводится на основе репрезентативной выборки, содержащей результаты измерений частиц дисперсной системы, но измерение частиц не всегда возможно. Так, если частицы погружены в твердую среду, то измерениям доступны лишь их сечения случайной плоскостью (например, при анализе петрографических шлифов).

Восстановление свойств трехмерных объектов по их случайным сечениям является в общем виде нерешенной проблемой. Здесь получены результаты лишь для некоторых частных случаев. Для шаров случайного диаметра, между моментами распределения диаметра шаров Mk и распределения диаметра сечений Nk выполняются следующие соотношения [3, с. 251]:

Mi=n/2N-i, M2=2Ni/N.i, M3=3nN2/4N-i

Рассмотрим дисперсную систему, состоящую из частиц случайных размеров и формы, располо-

женных в некоторой трехмерной области П так, что каждая частица касается других частиц. Пусть А - множество всех частиц дисперсной системы и В - множество частиц, лежащих в ее граничном слое (т.е. видимых частиц). Обычно в основе гранулометрического анализа лежит выборка, содержащая результаты измерений частиц из множества В. Но поскольку мелкие частицы просеиваются внутрь области П, эта выборка не репрезентативна, что ведет к ошибкам при оценке гранулометрических характеристик дисперсной системы.

Обозначим через /(х) и g(x) плотности распределения диаметра частиц из множеств А и В, а через Мк и N - моменты порядка к этих распре -делений. Так как доля крупных частиц во множестве В больше, чем в А, существует значение Хо диаметра частиц, для которого /(х) < g(x) при х>хо и /(х) ^(х) при х<хо

Этим условиям соответствует простейшая модель вида

/ (х )=(х0/ х У • g (х)

где значение параметра р зависит от формы области П и от физических свойств дисперсной системы. Интегрируя обе части этого соотношения между плотностями распределений, получаем

х0 = !/ М- Р, Мк = Мк - р / М- р,

/ (х )= g(х )х - Р / N - р.

Как показывают результаты экспериментов с варьированием числа частиц в множествах А и В, значения параметра р лежат в интервале [1,2]. Если р=1 , то Мк = Мк—, / N—1 и в частности,

М, = 1/М—1, М2 = М,/ М—1.

Отметим, что эти формулы аналогичны приведенным выше соотношениям моментов для системы шаров и ее сечения случайной плоскостью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Miles R.E. The random division of space. // Advances in Appl. Probability Suppl., 1972. - P. 243-266.

2. Meijtring J.L. Interface area, edge length and number of vertices in crystal aggregates with random nu-cleation. // Philips Research Rept., 1953. - V. 8. - P. 270-290.

3. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. - М.: Наука, 1983. - 358 с.

□ Автор статьи:

Бирюков Альберт Васильевич

- докт.техн.наук, проф.каф. высшей математики КузГТУ Тел. 8-3842-39-63-19