CC BY
22
Труды Карельского научного центра РАН № 1. 2013. С. 112-116
УДК 519.2
О СЛУЧАЙНЫХ ПУАССОНОВСКИХ ЗАПОЛНЕНИЯХ ЯЧЕЕК
Е. В. Хворостянская
Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН Петрозаводский государственный университет
Рассматривается модель заполнения N различных ячеек частицами, в которой случайные величины ni,... ,Vn, равные числу частиц в ячейках, независимы и имеют распределение Пуассона. Для подмножества реализаций такой схемы, удовлетворяющих условию ni +... + Vn ^ n, при N ^ то получены предельные распределения числа ячеек лr, содержащих ровно r частиц.
Ключевые слова: размещение частиц по ячейкам, предельное распределение, число ячеек заданного объема.
E. V. Khvorostyanskaya. ON RANDOM POISSON ALLOCATION TO CELLS
We study a model for particle allocation to N different cells in which the random variables пъ ..., nN equal to the number of particles in cells are independent and have a Poisson distribution. For a subset of realizations of such a scheme satisfying ni + ... + nN ^ n limit distributions of cell number лr with exactly r particles are obtained as N ^ то.
Key words: particle allocation to cells, limit distribution, number of cells with a given size.
Пусть п различных частиц независимо одна от другой размещаются по N ячейкам, занумерованным числами от 1 до N, так, что каждая частица с вероятностью N-1 попадает в одну из ячеек. Такая схема размещения частиц по ячейкам носит название классической схемы размещения, и ее изучению посвящено множество работ (см., например, [2, 3]). Хорошо известно, что совместное распределение заполнений ячеек в классической схеме совпадает с условным распределением N независимых пуассоновских случайных величин при условии, что их сумма равна п. Используя это свойство, при N ^ те и всех возможных значениях п, г были, в частности,
получены предельные распределения числа ячеек, содержащих ровно г частиц.
В настоящей статье рассматривается следующая модель. Пусть случайные величины П1,..., Пм, равные числу частиц в ячейках с номерами 1,..., N соответственно, независимы и имеют распределение Пуассона:
Рк = Р{п = к} = “к! е-\ к = 0,1,2,...,
г = 1,...,^ Очевидно, что число всех
возможных реализаций такой схемы бесконечно. Далее будем рассматривать подмножество реализаций, удовлетворяющих
0
условию П1 + ... + Пм ^ п. Ясно, что в этом случае случайные величины П1,..., Пм не являются независимыми. Пусть вероятностная мера на этом подмножестве индуцируется совместным распределением П1,..., Пм. Тогда для целых неотрицательных чисел к1,..., км таких, что к1 + ... + км ^ п, справедливо равенство
Р{Пі = кі,... ,Пм = км} = (
дкі+...+к^ 0—ЛМ
к1!... км!
і
\
Е Е
Лге
і=0 іь ..., іи ^ 0
Іі + ... + Іи = і
їі! ...їм!
/
Введем независимые одинаково распределенные по закону Пуассона с параметром Л случайные величины Сі,..., См• Легко видеть, что
Р{Сі = кі,..., См = км| Сі + ... + См ^ п}
Лкі+...+к^е—лм ^ ™ (лж)е—лм'
Ї!
і
кі!... км!
чг=0
Отсюда и из полиномиальной формулы следует, что выполнено соотношение
Р{П1 = к1,... ,пм = км}
= Р{6 = к1,..., См = км| £1 + ... + См ^ п}.
Эта модель является частным случаем схемы, рассмотренной в [4] и основанной на идеях обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам [2]. Заметим, что в [4] нет конкретных примеров, удовлетворяющих условиям этой схемы.
Обозначим через случайную величину,
равную числу ячеек, содержащих ровно г частиц, и пусть
п - А^ (А - г)2р
у = -ТАГ’ /г(А) = -^Т-■
Справедливы следующие утверждения.
Тогда
Р К = к} = е-мрг (1 + о(1))
равномерно относительно целых неотрицательных к, для которых (к — Npr) /у^рг лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Теорема 2. Пусть N ^ те, 0 <А1 ^ А ^
А2 < те, г ^ 0 фиксировано и выполнено одно из следующих условий:
1) у ^ +те;
2) |у| ^ С< те, г — А ^ 0;
3) у ^ —те, г—А ^ 0 так, что у(г — А) ^ 0,
у2/л/Ж ^ 0.
Тогда
Р {^- = к} =
1 + о(1)
л/2пЖрг (1 - р-)
3—«2/2
равномерно относительно и = (к — Npr) / РУ в любом конечном фиксированном интервале. Утверждение теоремы остается справедливым, если выполнены условия теоремы 1 и Npr ^ те, а также в случае, когда г = 0, у ^ те, N ^ те, А ^ 0 так, что А^ ^ те.
Теорема 3. Пусть г = 1, п ^ 1 фиксировано, А ^ 0, N ^ те так, что NА ^ С < те. Тогда для целых неотрицательных к
Р {^- = к} =
(ЖЛ)к е
к „-мл
к!
Е
чг=0
(ЖЛ)* е
мЛ
і
(1 + о(1))
Теорема 1. Пусть N ^ те, у2\/Рг7^ + у2/г(А) ^ 0 при у ^ —те и выполнено одно из следующих условий:
1) г ^ 0, А ^ те;
2) г ^ те, 0 < А1 ^ А ^ А2 < те;
3) г ^ 2, А ^ 0;
4) г = 1, у ^ те, А ^ 0 так, что А2N ^ те.
при 0 ^ к ^ п и Р {^г = к} = 0 при к > п.
Замечание 1. Нетрудно видеть, что для нашей модели теорема 1 имеет значительно более общий характер, чем теорема 9 работы [4], поскольку в ней условия 1), 2), 4) не рассматривались, а условие 3) требует дополнительных ограничений. Теорема 2 о сходимости к нормальному закону также охватывает существенно более широкую зону изменения параметров по сравнению с теоремами 4 и 5 [4].
Согласно теореме 3 [4], для к = 0,1,..., N справедливо равенство
Р {^г = к}
(1)
"к (1 - г- )м—к
Р
(г)
м—к
113
X
X
где
См = £1 + ... + £м, См^-к = £1 ^ + ... + к,
/-(г) ^(г)
независимые случайные величины £1 ,..., £м имеют распределения
Р {С(г) = к} = Р {£1 = к| £1 = г} ,
г = 1,..., N. Для доказательства теорем 1, 2 с помощью (1) нам потребуются вспомогательные утверждения, которые приводятся ниже в леммах 1, 2.
Лемма 1. Пусть N ^ те и АN ^ те. Тогда
2/2^.
■ См-АЖ ^ 1 = 1 + о^ Г е—^2
л/т
Р
где
о>\/і
тг
Е Сі
\/2П
(г) Л грг
1 - Рг :
е ^2/2^г,
(2)
ог
О Сі
(г)
Л (1 - Рг - /г (Л))
(1 - рг)2
Доказательство. При Л — 0, Л -то, г ^
2 и 0 <Лі ^ Л ^ Л2 < то слабая сходимость распределения ^С«г) - тгі^ / (ог/і)
к стандартному нормальному закону получена в [1], [3]. Учитывая явный вид характеристической функции случайной величины (С«г) — тгв) /оу/в, можно показать, что утверждение леммы остается в силе и в оставшихся случаях. □
Докажем теорему 1. Поскольку рг ^ 0, выполнено соотношение
N
к)рг
рк (1 - Рг)м—к = е—мрг (1 + 0(1))
к!
Доказательство. Обозначим через ^>(£), ^(£) характеристические функции случайных величин £1, (См — АN) /\/А^. Легко видеть, что
<р(£) = ел(е*‘-1),
•0(£) = ехр | — г£/АЖ| ^м ^//ж).
Используя формулу Тейлора, при любом фиксированном £ получаем, что
1п ^) = —г£/АЖ + АN (ег*/^лм — 1)
= —£2/2 + о(1).
Отсюда и из теоремы непрерывности следует утверждение леммы. □
Лемма 2. Пусть в ^ те, Ав ^ те и при А ^ 0, г = 1 выполнено условие А2в ^ те. Тогда
(3)
равномерно относительно к, для которых и = (к — Npr) /у^Т лежит в любом конечном фиксированном интервале.
Пусть выполнено одно из условий теоремы и, кроме того, АN ^ те. С помощью лемм 1, 2 получаем, что
(г)
(4)
Р -І ОТ—к ^ п - кг Р {См < п}
/ е ^2/2^г
-----------(
у '
/ е—г2/2^
-(1 + 0(1)),
где
хг =
п - кг - тг (Ж - к)
оу \/ N - к ’
тг, оу определены в (2). Для выбранных значений к несложно показать, что
хг =
п - ЛЖ + и(Л - г)/Жрг/ (1 - рг)
/лж (1 - і—л)і/2( 1 - и/—2м)
При условиях 1)-3) теоремы /г(Л) — 0 и
Л , /г(Л) + и^Рг/Ж Хг = У 1 + --------^^--------------- + 0 (/г(Л))
2(1 - рг)
р7\' \ . -у/(Л) 8ИП(Л - г)
+0І,/^ 1 +
1 - рг
(5)
(1 + 0(1)).
Если выполнено условие 4) теоремы, то /і (Л) — 1 и
- •' ■ - /-Лі Г (■ - - €?
-1/2
(6)
-и^ /і(Л)(1 + о(1)) = /==(1 + о(1))
Поскольку (4) справедливо при любых сколь угодно больших значениях хг и у, учитывая (5), (6), находим, что если у ^ те, то ^ те и
Р -І См—к ^ п - кг Р {(м < п}
= 1 + о(1).
(7)
Если |у| ^ С < то, то из (4) получаем, что
Р -І См"—к ^ п - кг Р {См < п}
1+
V
+І
/ е—22/2^г
-у
(1 + о(1)),
и, поскольку из (5) следует соотношение хг — у ^ 0, легко видеть, что выполнено (7).
Нетрудно проверить, что при любом а > 0
І е—^2/2^г ^ а2 | е 2/ = а 2 е—“2/2.
.] .] г2 1 + а2
а а
Используя эти неравенства и (5), получаем оценки
—І
— е—^2/2^г
Г е—22/2^г
|у|
^ 1 + у2 е—(хГ—у2)/2, УХг
где
/ е г2/2^
|Хг 1_________ > уХг е—(хГ—у2)/2
о° 1 + ™2 ,
Г е—*2/2^г 1 + х
|у|
1+^ = (1 + 1/у2) (1+ 0(1)),
^(! + «С1)),
1 + 1 + 1/у2
х2 — у2 = у2 (/г(А) + и^РТТж) (1 + о(1)).
Отсюда и из (4) следует, что при у ^ —те и
у2/г(А) + у2л/РгТ^ ^ 0 справедливо (7).
Пусть теперь АN ^ а, где а - некоторая неотрицательная постоянная. Очевидно,
что распределение суммы См сходится к закону Пуассона с параметром а. Для характеристической функции ^ (£) случайной величины >(г)
См-к выполнено соотношение 1п (£) = ^ — к) 1п
еЛ(е^* —і) - е^гРг 1 - Рг
= NА (ей — 1)(1 + о(1)),
и по теореме непрерывности распределение (г)
С(^_к сходится к закону Пуассона с параметром а. Поскольку Npr ^ 0, получаем, что к = 0 и справедливо равенство (7).
Утверждение теоремы 1 следует из (1), (3),
(7).
Для доказательства теоремы 2 положим к = + иу^рг (1 — рг). Пусть 0 < А1 ^
А ^ А2 < те, г ^ 0 фиксировано. С помощью лемм 1, 2 находим, что выполнено равенство (4), где
= (у (1 - Рг) + и^/г(Л) (1 - Рг) 8ИП(Л - г))
х (1 - Рг - /г(Л)) —і/2 .
у^1 - Рг - и^Рг (1 - Рг) /Ж
Аналогично доказательству теоремы 1 можно показать, что справедливо соотношение (7).
При Л — 0, г = 0 находим, что Л3(Ж - к) = Л4Ж(1 + о(1)) — то, и из лемм 1, 2 следует (4), где х0 = \/2у/Л(1 + о(1)). Очевидно, что если у — то, то Х0 — то и выполнено (7).
При Жрг (1 - Рг) — то имеет место равен-
ство
Ж
к
Рк (1 - Рг)
м—к
1+ о(1)
л/2пЖрг (1 - Рг)
е—“2/2.
Отсюда и из (1), (7) получаем утверждение теоремы 2.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 8 [4].
Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития Петрозаводского государственного университета на 2012-2016 гг.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колчин А. В. Предельные теоремы для обобщенной схемы размещения // Дискретная математика. 2003. Т. 15, № 4. С. 148-157.
2. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физмат-лит, 2000. 256 с.
115
3. Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976. 159 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
Хворостянская Елена Владимировна
старший научный сотрудник, к. ф.-м. н.
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: [email protected] тел.: (8142) 781218
4. Чупрунов А. Н., Фазекаш И. Аналог обобщенной схемы размещения. Предельные теоремы для числа ячеек заданного объема // Дискретная математика. 2012. Т. 24, № 1. С. 140-158.
Khvorostyanskaya, Elena
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia
e-mail: [email protected] tel.: (8142) 781218
