CC BY
8
Труды Карельского научного центра РАН № 7. 2018. С. 92-99 DOI: 10.17076/mat806
УДК 519.179.4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ВЕРШИНЫ В УСЛОВНОМ КОНФИГУРАЦИОННОМ ГРАФЕ
И. А. Чеплюкова
Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, ФИЦ «Карельский научный центр РАН», Петрозаводск, Россия
Рассматриваются конфигурационные графы с N вершинами, степени вершин которых являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими степенное распределение с положительным параметром т. Изучаются случайные графы при условии, что сумма степеней вершин не превосходит n, а параметр т есть случайная величина, равномерно распределенная на интервале [a,b], 1 ^ а < b < œ. Найдены предельные распределения максимальной степени вершины в различных областях изменения N, n ^ œ.
Ключевые слова: конфигурационный граф; предельное распределение; степень вершины.
I. A. Chepliukova. LIMIT DISTRIBUTIONS OF THE MAXIMUM VERTEX DEGREE IN A CONDITIONAL CONFIGURATION GRAPH
We consider configuration graphs with N vertices. The degrees of the vertices are independent identically distributed random variables following the power-law distribution with a positive parameter т. We study random graphs under the condition that the sum of vertex degrees does not exceed n and the parameter т is a random variable uniformly distributed on the interval [a, b], 1 ^ а < b < œ. We obtain the limit distributions of the maximum vertex degree for different relations between the parameters N and n tending to infinity.
Keywords: configuration graph; limit distribution; vertex degree.
Введение
В последнее время исследованию случайных графов, предназначенных для описания структуры и прогнозирования динамики развития сложных сетей коммуникаций, посвящено большое число работ (см., например, [8, 9]). Одна из наиболее известных таких моделей - конфигурационная модель с независимыми одинаково распределенными степенями вершин. Построение конфигурационных графов
можно разбить на два этапа. На первом этапе определяется степень каждой вершины в соответствии с некоторым распределением вероятностей. Из каждой вершины графа может выходить несколько полуребер [10], число которых равно степени данной вершины. Все вершины и полуребра различны. На втором этапе построения происходит образование ребер: на каждом шаге выбираются два ребра равновероятно и, соединившись, образуют ребро. Если
сумма степеней нечетна, то вводится вспомогательная вершина, степень которой равна 1. Очевидно, что при таком построении допустимы появления петель и кратных ребер.
Пусть N обозначает число вершин графа, а £1, £2,..., £м - случайные величины, равные степеням вершин с номерами 1, 2,..., N соответственно. Мы будем рассматривать модель конфигурационного графа, предложенную в [10]. В этой модели предполагается, что степени вершин являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, распределение которых имеет вид:
Рк = Р{£ = к} = к-т - (к + 1)"
(1)
г = 1,2,
М,
к = 1,2,
Многочисленные наблюдения за реальными сетями показали (см., например, [8]), что модели с распределением степеней вершин (1) адекватно описывают сети, при этом т € (1, 2). Однако исследования случайных графов при других значения параметра т также вызывают интерес. В последнее время стали появляться работы (см., например, [7]), в которых отмечается, что по мере развития сетей распределения степеней вершин могут меняться и даже носить случайный характер.
В [2] рассматриваются условные конфигурационные графы при условии, что сумма степеней вершин графа известна и равна п, а параметр т распределения (1) является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [а, Ь], 0 < а < Ь < те. Тогда из (1) следует, что случайные величины £1,..., £м, равные степеням вершин, имеют распределение
Р1 = Р{£ = 1}
=1
-1
- а) 1п2 \2а 2Ь
(2)
Рк = Р{£г = к} =
1
(Ь - а) 1пк \ка кЬ
1
(Ь - а) 1п(к + 1)1 (к + 1)а (к + 1)Ь
, (3)
где к = 2, 3,...; г = 1, 2,..., N. Нетрудно видеть, что при к ^ те
Рк
(Ь - а)ка+11пк'
(4)
В [2] получены предельные распределения максимальной степени вершины таких условных конфигурационных графов в различных зонах изменения параметров N и п, при N п ^ те. В основе доказательств этих
результатов лежит обобщенная схема размещения частиц по ячейкам [1]. В настоящей работе мы решаем подобную задачу для условных конфигурационных графов при условии, что сумма степеней всех вершин ограничена сверху.
Рассмотрим условные конфигурационные графы, степени вершин которых имеют распределение, определенное в равенствах (2) и (3) при 1 ^ а < Ь < те, при условии, что сумма степеней всех вершин £1 + ... + £м ^ п. Пусть случайные величины П1,..., Пм равны степеням вершин с номерами 1,..., N в таком условном графе. Эти случайные величины зависимы и для целых к1,..., км ^ 1 таких, что к1 + ... + км ^ п, выполнено равенство
Р{П1 = к1,... ,пм = км} =
(5)
= Р{£1 = к1,... ,£м = км|£1 + ... + £м < п}. Совокупность двух наборов случайных величин (£1,...,£м) и (п1,...,пм), удовлетворяющих соотношению (5) и таких, что случайные величины £1,..., £м независимы и П1 + ... + Пм ^ п, в работе [5] названы аналогом обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам. Впервые такие условные конфигурационные графы с распределением степеней вершин (1) и фиксированным т были исследованы в [4]. А для рассматриваемых условных графов с распределением (2) - (3) степеней вершин в [3] получены предельные распределения числа вершин заданной степени в различных зонах изменения параметров N и п при N п ^ те.
Обозначим через П(м) случайную величину, равную максимальной степени вершины в рассматриваемом графе. Для этой характеристики степенной структуры графа ниже будут доказаны предельные теоремы при N и п, стремящихся к бесконечности. Во втором разделе сформулированы основные результаты (теоремы 1 и 2), в третьем разделе получены вспомогательные утверждения (леммы 2-7), с помощью которых в последнем разделе доказываются теоремы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Введем необходимые обозначения:
Вм =
(Ж/ 1п N )1/а
1 < а < 2; а = 2; а > 2,
т = Е£1, ст2 = Б£ь
1
1
1
а
H (x) = £
1
k=2
kx ln k
Справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Пусть n, N ^ те,
Na
(1 + o(1)), 0 < Y < те
Y(b - a) ln N и выполнено одно из условий:
1. a = 1, n/N ^ Ci > (b - H(b))/(b - 1);
2. a > 1, (n - mN)/Bn ^ -C2 > -те. Тогда
P{n(N) < r} = e-Y(1 + o(1)). Пусть
y = n - ((b - H(b))/(b - 1)+ q(N)) N y N/ ln N , (0)
где стремящаяся к нулю числовая последовательность q(N) задана условиями ниже сформулированной леммы 4.
Теорема 2. Пусть n, N ^ те, a = 1,r = N/(Y(b - 1)ln N)(1 + o(1)), 0 < y < те. Тогда при -те < C3 ^ y ^ C4 < те,
Р{П(м) < r}
i
_ . 1 2y(b - 1) 1
~ 1 + ( - arctan —-- + - | х
п п 2
( ( i)k £ ^ Jk(У),
k=i
k!
где
Jk(У) =
2k/2+1nk/2 ^b-1)
k- 1
ßk
(x1...xk) 2dx1...dxkdx п2 + 4(x - X1 - ... - xk)2(b - 1)2
Bk = {xi ^
1
,i = 1,...,k,
Y(b - 1) x1 + ... + xk ^ x}.
Вспомогательные результаты
Положим также
с^ = 6 +...+^, 4Г) = ~(г) +...+4Г),
рг = р{а > г}.
В [6] показано, что для случайной величины ) следствием из равенства (5) является следующее утверждение.
Лемма 1. Справедливо равенство
р{Ч(М) < г} = (! - Р)».
Учитывая, что предельные распределения суммы (ж получены в [3], из леммы 1 следует, что для оценки вероятностей Р{п(ж) ^ г} необходимо знать асимптотическое поведение суммы и вероятности Рг. Исследование этих величин приведено ниже в леммах 2-6.
Лемма 2. Пусть п, N ^ те,га = N0/(7(Ь - а) 1пN)(1 + о(1)),а ^ 1,0 < 7 < те. Тогда справедливо
NPr ^ 7.
Доказательство. Из (2), (3) и (4) получаем, что при г ^ те
((
1
^ V(b - a) ln k Vka kb
k=r+1 vv ' v
1
1
1
1
1
(b - a) ln(k + 1) V (k + 1)" (k + 1)b
1
- a)(r + 1)" ln(r + 1)
1
1
(r + 1)(b-a)
= 1 + o(1) .
(b - a)r" lnr Отсюда и следует утверждение леммы. Введем обозначения
□
E(t,Y ) =
1
b1
exp{ity} -1 dy, (7)
1o(x) =
1/(Y(b-1))
2(b - 1)
y2
п2 + 4(b - 1)2x2'
Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины 4 1 ,..., , распределение которых имеет вид:
Р{~(Г) = к} = Р{6 = к|41 < г},
к = 1,2,..., г = 1,2,..., N.
Ik (x) =
2(k+2)/2пk/2
(b - 1)k-1 (x1■■■xk)-2dx1...dxk
Bk
п2 + 4(b - 1)2(x - x1 - x2 - . . . - xk)2
(9)
где k = 1,2,... и Bk определены в теореме 2.
94
а
rsj
X
X
У
X
X
Лемма 3. Пусть N ^ те, а = 1, г = N(7(Ь -1) 1п N)(1 + о(1)), 0 < 7 < те. Тогда распределение случайной величины
zN -(^ + )) ^ N
b- 1
N '
с плотностью
g(x) = ee(0'7) £ Щ-Ifc(x).
k=0
При доказательстве этой леммы мы будем использовать лемму 3 [3]. Сформулируем ее в следующем утверждении.
Лемма 4. Пусть N ^ те, а = 1. Тогда распределение случайной величины
. b - Я(b) , Л \ ln N
zn - , () + q(N) n
b1
N
чины
^ Ч ^ + q(N)) n" ln N
b1
N
где стремящаяся к нулю числовая последовательность определена в лемме 4. Через <^(и) и (и) обозначим характеристические
функции случайных величин £1 и £1 соответственно. Тогда
^(u) - Е eiukPk
^r (u) =
k>r
1 - Pr
(10)
Отсюда и из леммы 4 получаем, что для любого фиксированного и
Фг(и) =
_. (<b - я(b))/jb -1) + q(N))N a; x
N/ ln N
x(1 - Pr)
-N
u
r) l
u ln N
N/ ln N
exp <j i
k>r
N
N
= (1 - Pr)-N exp<J -
где - стремящаяся к нулю последова-
тельность, слабо сходится к распределению
п|и| 2(b-l)
1
v-^ I u ln N
1 - (1 + o(1)^2_y Pk exp<j г—T^fc
k>r
N
N
(11)
Рассмотрим ^ pk exp {iuk ln N/N} . Заменяя
k>r
y = k ln N/N и переходя к интегрированию, из (4) находим, что
I u ln N, ] 1 + o(1) 2_^Pk exp <i г—T^k} = —-— x
k>r 00
1/(Y(b-1))
N J b - 1
exp{iuy}lnN (ln y + ln N - ln ln N)Ny2
dy =
где ) - стремящаяся к нулю последовательность, слабо сходится к распределению Коши с характеристической функцией ехр {-п|*|/(2(Ь - 1))}.
Теперь докажем лемму 3. Доказательство. Пусть Фг (и) обозначает характеристическую функцию случайной вели-
1 + o(1)
(b - 1)N
( NЕ
V/(7(b-1))
exp{iuy} ln Ndy (ln y + ln N - ln ln N)y;
+
+
exp{iuy}lnN
N e
(ln y + ln N - ln ln N)y2
dy | , (12)
где в некоторая положительная постоянная, выбор которой будет ясен из дальнейшего. Нетрудно видеть, что при достаточно малом в
N е
exp{iuy}lnN
1/(Y(b-1))
(ln y + ln N - ln ln N)y2
dy
N e
1/(Y(b-1))
exp{iuy}1 + °(1) dy y2
<
N e
<
1/(Y(b-1))
I±°i2dy = -7(b - 1)+ o(1) y2
exp{iuy}lnN
Ne
(ln y + ln N - ln ln N)y2
dy
<
<
Ne
exp{iuy} -1 dy y2
= o(1).
k
X
и
Следовательно, интеграл
1/(7(Ь-1)) сходится и равен
ехр{гиу} 1п Ndy (1п у + 1п N - 1п1п N)у2
I ехр{гиу} -1 ^у.
у2
1/(7(Ь-1))
Отсюда и из соотношений (7), (11) и (12) находим, что
п|и|
ФГ(и) = (1 - Рг)-" ехр|- 2(ь - 1)
х(1 - (1 + о(1)^-1Е(и,7)Г(1 + о(1)). (13) Кроме того, легко показать, что
1
Рг = ^Е (0,7)(1 + о(1)). Отсюда и из (13) получаем, что
(14)
Фг (и) = ехр < -
п|и|
2(Ъ - 1)
- Е(и,7) + Е(0,7)} (1 + о(1)). (15)
Из (7) следует, что Е(и, 7) является преобразованием Фурье функции
есть плотность суммы случайных величин + + ... + ^+1, где V! имеет плотность распределения Коши:
#1(ж) =
2(Ъ - 1)
п2 + 4(Ъ - 1)2ж2'
а случайные величины ^з,..., ^+1 независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью /(ж), определенной в (16).
Используя формулу свертки для к слагаемых, получаем, что Фг(и) сходится к характеристической функции распределения с плотностью:
5(ж) = еЕ(°-) £ 4,
к=0
где заданы соотношениями (8) и (9), что и завершает доказательство леммы. □
Лемма 5. Пусть N ^ те, 1 < а < 2, г = (N0/(7(6 - а) 1п N))1/а(1 + о(1)), 0 < 7 < те. Тогда распределение случайной величины
-( 1 +
Н(а) - Я(Ъ)\
Ъ — а
N
1п N \1/а N ;
слабо сходится к устойчивому закону с характеристической функцией
^ ;, у ^ 1
/(у) = ^у2' '< .
I 0 у< 7(Ь-1) .
(16)
Разлагая ехр{-Е(и,7)} в ряд по степеням Е(и, 7), из (7) и (15) находим, что
Фг (и) = ве(0'7)х
" П|и| 1 (— 1)^(1+ 0(1)).
к!
£ ехр
к=0
2(Ъ - 1)
Согласно формуле обращения плотность такого распределения имеет вид:
#(ж)
= 1 + 0(1) еЕ(0>7) ^ (-Ц
= 2п е ¿-к! х к=0
х / ехр < гиж -
п|и| 2(Ъ - 1)
Ек(и, 7)^и.
Учитывая формулу обращения, нетрудно видеть, что
те
ехр г
п|и| I , ,
1 гиж - тттт—тт ^ Е (и, 7)аи 2(Ъ - 1)
ехр
(Ъ - а)(а - 1)
Г(1 - а) (сов Па) |Сх
, . £ па
х| 1 - г щ 'апт
Доказательство. При доказательстве леммы 4 [3] показано, что при и ^ 0
,.(„) = ! + ш,! + ЖаЬН(Ъ))
Ъа
1
(Ъ - а)(а - 1)
Г(1 - а) (сов Па)
и
2) 1п(1/|и|)
и па
х ' 1 - 2 Н ^ап у ) (1 + о(1)).
(17)
Из леммы 2 и соотношений (4), (10) и (17) находим, что при и ^ 0
&(и) = (^(и) - Рг + 0 (^)) х
х (1+NN (1+0(1))) =
а
X
_1 - Л H(a) - Hиз леммы 2, соотношений (4) и (10) находим,
— I + iU I I +--;- I — „
у b — a у что при и ^ 0
-1-Г(1 — a) feos ™) -М^ х & (и) — Ыи) — £(I + ¿(fc))p J —
(b — a)(a — I) ( 4 2^ln(I/|u|) V k> / 1 — P
k>r
= (1 + ium - u2(ct2 + m2)/2 + O(u3) - Pr + X (1 - гRtan т) (1 + 0(1)). (18) + O(u £ kpk))(1 + Y/N(1 + o(1))) =
k>r
Отсюда следует, что для любого фиксиро- = 1 + ium - u2(ct2 + m2)/2 +
ванного i + о (u/N + u3) + o (1/N).
(N/ lnN )V'
N , t \ Отсюда следует, что для любого фиксирован-
ln & г»,/,- .щ/„ = ного t
ti(in -/• Л + HíabHW) — ln ^ ( otñ)
b — a
, / t A ¿ímvN í2 ln —--+ o(I),
r \ay/NJ а 2
лемма 7 доказана.
аГ(1 - а)|£|" / па\ / £ па\ - (ь - а)(а - 1) - г|£| 1апу1 х Доказательства теорем
Пусть выполнены условия теоремы 1. Из х(1 + о(1)). лемм 1, 3 и 4 получаем, что при а = 1
Лемма 5 доказана. □ Р{п(м) ^ г} =
Аналогично лемме 5, используя явный вид у
характеристической функции <^(и), получен- ^ д(х)ах
ный при доказательстве леммы 5 [3], нетрудно = (1 - Рг)м —р-(1 + о(1)), (19)
получить следующее утверждение. ^ д1(х)^х
—р
Лемма 6. Пусть N ^ те, а = 2, г =
(2^(7(Ь - 2) 1п N))1/2(1 + о(1)), 0 < 7 < те. где у определено в (6), плотность д(х) задана
Тогда 'распределение случайной величины в лемме 3 и д1(х) - плотность распределения
Коши:
/_, ^ ч ,__. . 2(Ь - 1)
(См0 - т^ /^Шь^ д1(х) = п2 + 4(Ь - 1)2Х2.
Согласно условию теоремы 1 в этом случае
слабо сходится к нормальному закону с характеристической функцией п ь — Н(Ь)
— ^ С1 > ( )
ехр{-£2/(Ь - 2)}.
Лемма 7. Пусть n, N ^ те, а > 2,r =
N 1 b - 1 ' тогда из (6) нетрудно получить, что n
(aN/(7(Ь - а) 1п ^)1/а(1 + о(1)), 0 < 7 < те. у =( п - Ь^НШ.^^ 1п N ^ те, Тогда распределение случайной величины \N Ь - 1 у
ГЯ^) _ /(аУ^) Отсюда, из леммы 2 и соотношения (19) следу-
V м ) ет утверждение теоремы 1 при а = 1. Осталось
доказать теорему 1 для случая а > 1. Из лемм слабо сходится к стандартному нормальному 1, 2, 5 и леммы 4 [3] следует справедливость закону. теоремы 1 при 1 < а < 2. Из лемм 1, 2, 6 и
леммы 5 [3] вытекает утверждение теоремы 1 Доказательство. Используя равенство при а = 2.
Пусть а > 2. Из лемм 1, 7 и центральной етк = 1 + ¿(к), |^(к)| < ки, предельной теоремы получаем, что
97
< г} = (1 - Р-(1 + 0(1)),
f
—те
где х = (п - шЖ),
а р(я)— плотность стандартного нормального распределения. Отсюда и из леммы 2 следует утверждение теоремы 1 для случая а > 2. Теперь теорема 1 доказана полностью.
Пусть выполнены условия теоремы 2. Вычисляя интегралы, стоящие в правой части (19), находим, что
y
= — arctan J п
2y(b - 1) + 1
п +2
y
У g(x)dx = — arctan
2y(b - 1)
+
п
1 œ (_—)fc
+ — ^^^ I Jk (X)dX fc=1 '
где Е(0,7) и (ж) определены в соотношениях (8) и (9) соответственно. Отсюда и из (14), (19) вытекает утверждение теоремы 2.
Финансовое обеспечение исследований осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН) и при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00005а).
Литература
1. Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984. 209 с.
2. Павлов Ю. Л. Об условных конфигурационных графах со случайными распределениями степеней вершин // Труды Карельского научного центра РАН. 2016. № 8. С. 62-72. doi: 10.17076/mat313
3. Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. Об асимптотике степенной структуры конфигурационных графов с ограничениями на число циклов // Дискретная математика. 2018. Т. 30, вып. 1. С. 77-94. doi: 10.4213/dm1445
4. Павлов Ю. Л., Хворостянская Е. В. О предельных распределениях степеней вершин конфигурационных графов с ограниченным числом ребер // Математический сборник. 2016. Т. 207, вып. 3. С. 93-110. doi: 10.4213/ms8512
5. Чупрунов А. Н., Фазекаш И. Аналог обобщенной схемы размещения. Предельные теоремы для числа ячеек заданного объема // Дискретная математика. 2012. Т. 24, вып. 1. С. 140158. doi: 10.4213/dm1178
6. Чупрунов А. Н., Фазекаш И. Аналог обобщенной схемы размещения. Предельные теоремы для максимального объема ячейки // Дискретная математика. 2012. Т. 24, вып. 3. С. 122129. doi: 10.4213/dm1203
7. Bianconi G, Barabasi A.-L. Bose-Einstein condensation in complex networks // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 5632-5635. doi: 10.1103/PhysRevLett.86.5632
8. Faloutsos M., Faloutsos P., Faloutsos Ch. On power-law relationships of the internet topology // Computer Communications. 1999. Vol. 29. P. 251-262. doi: 101145/316194.316229
9. Hofstad R. Random Graphs and Complex Networks. Volume One. Cambridge University Press, 2017. 337 p.
10. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55, no. 4. P. 3-23. doi: 10.1016/S0155-53/6(3)00097-x
Поступила в редакцию 05.03.2018
и
References
1. Kolchin V. F. Random mapping. Springer. New York, 1986.
2. Pavlov Yu. L. Ob uslovnykh konfiguratsionnykh grafakh so sluchainymi raspredeleniyami stepenei vershin [On conditional configuration graphs with random distribution of vertex degrees]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2016. No. 8. P. 62-72. doi: 10.17076/mat313
3. Pavlov Yu. L., Cheplyukova I. A. On the asymptotics of degree structure of configuration
graphs with bounded number of edges. Discrete Mathematics and Applications (in print).
4. Pavlov Yu. L., Khvorostyanskaya E. V. On the limit distributions of the degrees of vertices in configuration graphs with a bounded number of edges. Sbornik: Mathematics. 2016. Vol. 207, iss. 3. P. 400-417. doi: 10.1070/ms8512
5. Chuprunov A. N., Fazekas I. An analogue of the generalised allocation scheme: limit theorems for the number of cells containing a given number of particles. Discrete Mathematics and Applications.
®
2012. Vol. 22, iss. 1. P. 101-122. doi: 10.1515/dma-2012-008
6. Chuprunov A. N., Fazekas I. An analogue of the generalised allocation scheme: limit theorems for the maximum cell load. Discrete Mathematics and Applications. 2012. Vol. 22, iss. 3. P. 307-314. doi: 10.1515/dma-2012-020
7. Bianconi G, Barabasi A.-L. Bose-Einstein condensation in complex networks. Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 5632-5635. doi: 10.1103/PhysRevLett.86.5632
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
Чеплюкова Ирина Александровна
старший научный сотрудник, к. ф.-м. н., доцент Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, Федеральный исследовательский центр «Карельский научный центр РАН» ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: [email protected] тел.: (8142) 781218
8. Faloutsos M., Faloutsos P., Faloutsos Ch. On power-law relationships of the internet topology. Computer Communications. 1999. Vol. 29. P. 251262. doi: 101145/316194.316229
9. Hofstad R. Random Graphs and Complex Networks. Vol. 1. Cambridge University Press. 2017. 337 p.
10. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks. Performance Evaluation. 2004. Vol. 55, no. 4. P. 323. doi: 10.1016/S0155-53/6(3)00097-x
Received March 5, 2018
CONTRIBUTOR:
Cheplyukova, Irina
Institute of Applied Mathematical Research,
Karelian Research Centre,
Russian Academy of Sciences
11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk,
Karelia, Russia
e-mail: [email protected]
tel.: (8142) 781218
