О предельном поведении числа деревьев заданного объема в случайном непомеченном некорневом лесе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Карельского научного центра РАН № 1. 2013. С. 79-85

УДК 519.2

О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ЧИСЛА ДЕРЕВЬЕВ ЗАДАННОГО ОБЪЕМА В СЛУЧАЙНОМ НЕПОМЕЧЕННОМ НЕКОРНЕВОМ ЛЕСЕ

Е. С. Петрова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

Рассматривается множество Fn,u всех случайных лесов, состоящих из N упорядоченных некорневых деревьев и n незанумерованных вершин, на котором задано равномерное распределение вероятностей. Для таких лесов доказаны предельные теоремы о числе деревьев заданного объема при N, n ^ œ так, что n/N > 2.

Ключевые слова: случайные леса, число деревьев заданного объема, обобщенная схема размещения, предельные теоремы.

E. S. Petrova. ON THE LIMIT BEHAVIOUR OF NUMBER OF TREES OF A GIVEN SIZE IN A RANDOM UNLABELLED UNROOTED FOREST

We consider the set FN,n of all random forests consisting of N ordered unrooted trees and n unlabelled vertices with uniform probability distribution on this set. We prove limit theorems for the number of trees of a given size as N, n ^ œ so that

n/N > 2.

Key words: random forests, number of trees of a given size, generalized allocation scheme, limit theorems.

Введение

Изучение случайных лесов, состоящих из некорневых деревьев с незанумерованными вершинами, началось в работах [1] и [2] с помощью обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам, введенной и подробно изученной В. Ф. Колчиным (см., например, [4]). Были найдены предельные распределения таких важных характеристик случайного леса, как максимальный объем дерева и число деревьев заданного объема. В [1] рассматривалось предельное поведение случайной величины ^г, равной числу де-

ревьев, содержащих г вершин. Для случая (п — )/(Ь^)2/3 ^ —те, где константы

Ь и Ь1 будут определены ниже в (4), доказано, что предельными распределениями для являются нормальное при фиксированном г и распределение Пуассона при г ^ те. Настоящая статья завершает исследование предельного поведения в случае, когда (п — ЬЖ)/(Ь1^)2/3 ^ в > —те.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Обозначим ^^,п - множество случайных непомеченных лесов, состоящих из N

■®

некорневых деревьев, упорядоченных одним из N! возможных способов, с общим числом вершин п. Зададим на этом объекте равномерное распределение вероятностей.

Рассмотрим производящую функцию

Теорема. Пусть

Ж

¿(ж) = ^ ¿к жк, к=і

(1)

(4)

и,

= (к - Ыр,)/\Мрт(1 - р,),

где ¿к - число непомеченных некорневых деревьев, содержащих к вершин. Свойства функции (1) изучены в [5]. Показано, что начало этой суммы вглядит следующим образом:

¿(ж) = ж + х2 + х3 + 2ж4 + 3ж5 + 6ж6 + 11ж7 +...,

ее радиус сходимости К = 0, 3383219... Кроме того, функцию ¿(ж) можно разложить в ряд по степеням л/К — х :

¿(ж) = ао — а1(К — ж) + а2(К — ж) / + ..., (2)

где ао = ¿(К) = 0, 5628769... ,а1 = ¿'(К) = 3, 4127749...,а2 = 6,4243753 ..., а при

к ^ те

tk = а (Vк5/2) -1 + О ^(Vк7/2) , (3)

а = (3а2/4^Л) Е3/2 = 0, 5349485 ... Введем обозначения:

Ь = аіЕ/ао = 2,0512772 ...,

Ьі = а2Е3/2/(^2ао) = 1, 5881723 ...

Пусть независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины £1,..., £м имеют распределение следующего вида:

Рк = Р{£1 = к} = ¿иКка-1, к = 1,2,.... (5)

Обозначим т = Е £1, ст2 = Р £1. Заметим, что т = Ь.

В работе [2] показано, что справедливо равенство:

Р{П1 = кь...,пм = км} (6)

= Р{£1 = к1,... ,£м = км|£1 + ... + £м = п},

где П1,..., Пм - случайные величины, равные объемам деревьев леса из ^м,п. Это равенство означает, что для рассматриваемых случайных лесов выполнены условия обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам (см., например, [4]).

Справедливо следующее утверждение о предельном поведении числа вершин заданного объема .

а N п ^ те так, что

(п — Ь^/(Ь^)2/3 ^ в > —те.

Тогда для целых неотрицательных к равномерно относительно иг в любом конечном интервале:

1) при фиксированном г

,--------------1 иг 2

Р{^г = к} = л/2^рг(1 — Рг) е 2 (1+о(1));

2) при г ^ те

Р{^г = к} = к^Рг )к ежр{—^ }(1 + о(1)).

Ниже приводятся леммы 1-3, с помощью которых будет доказана сформулированная теорема.

Вспомогательные утверждения

Пусть г - натуральное число. Введем

/-(г)

независимые случайные величины , г = 1,..., N такие, что

Р{£(г) = к} = Р{£ = к|£г = г}. (7)

Положим

См = £1 +... + £м, сМг) = £(г) +... + £(Г).

Обозначим также тг = Е £(г), ст^ = Р £(г). Из (5) и (7) вытекают следующие соотношения:

т — грг

т, =

1 - Р ,

2 ^2 Л (т — г)

Тг = т; Т2 1 — р, — р, 2

(1 — Р,)2 V ст2

2

(8

Пусть ^(¿) и ^г(¿) означают характеристиче-

(г)

ские функции случайных величин £1 и £1 соответственно. Используя (1), (2), (4), (5) и (7), нетрудно получить, что

^(¿) = 1 — Ь(1 — ей) + ^2Ь1(1 — ей)3/2 + ...,

(9)

<£т (¿) =

^(¿) — рт бг*т

1 — Рт '

В условиях обобщенной схемы размещения, как показано в [4], удобно использовать следующую лемму, которая является следствием соотношения (6).

Лемма 1. Справедливо равенство Р |^т = к}

Ы ^ Ркр)М-к Р{СЙ-к = п кг} 0Рг ( Р) Р(См = п} •

Лемма 1 показывает, что для изучения асимптотики ^г достаточно изучить предельное поведение сумм независимых случайных

(г)

величин и (Дт и биномиальных вероятно-

М-к

Лемма 2. Пусть

N,n ^ те, 5 = N(1 — рг)(1 + о(1)).

Тогда для натуральных Н 'равномерно относительно V = (Н — тг5)/(Ь15)2/3 в любом конечном фиксированном интервале

(Ьі^)2/3 Р

= V} = £(^)(1 + °(1))

где д^) — плотность устойчивого распределения с характеристической функцией

/ф = ежр| — ^|3/2 1 — г. (10)

Доказательство. Обозначим ^г (¿) характеристическую функцию ((^г) — тг5)/(Ь15)2/3. Нетрудно видеть, что

Используя разложение ег* в ряд Тейлора при t ^ 0, из (9) получаем:

^(¿) = 1 — Ь^|3/2 + г + Ь^|3/2^ + О(^).

(11)

Отсюда, учитывая (8), получаем выражение

1п ^т (¿) = —

(Ьі5 )2/3(1 — Рт)

|*|3/2

гЫ г

откуда

^т(*) = ежР | — |*|3/2 1 — г|(1 + о(1))

(12)

По теореме 2.2.2 из [3] выражение ежр Н^3/2 (1 — г(г/|г|))} является характеристической функцией устойчивого закона распределения с показателем 3/2. Отсюда и из локальной предельной теоремы о сходимости распределений сумм независимых слагаемых (теорема 4.2.1 из [3] ) при фиксированном г следует утверждение леммы.

(г)

При г ^ те £1 , му серий, поэтому применить известные достаточные условия сходимости (см., например, [3]) нельзя. Докажем локальную сходимость, следуя стандартному алгоритму доказательства предельных локальных теорем. Используя формулу обращения, получаем, что

, ^От) образуют схе-

Р

¿т) — тт 5 (Ьі5 )2/3

1

2п(Ьі5 )2/3

п(Ьі5)

2/3

У е ^т (—)^—

-п(Ь1^)2/3

Отсюда и из (12) следует, что плотность распределения / (у) функции ^г (¿) имеет вид

/(У) = 2П / ежр{ —¿У— — |—13/2(1 — г|—)

^—.

Таким образом, разность = 2п

(Ьі5 )2/3

можно представить в виде суммы четырех интегралов:

где

А

л = у е-

-А

До = А + ^2 + /3 + ^4,

■0т (и)

(13)

І2 =

ежр < —|и|3/М 1 — ¿ —

I V | —|

е-теи 0(т)(—)^и,

^—,

А<|м|^є(Ьі5)

2/3

/3 = J е 0г (и)^и,

е(Ь15)2/3<|м|<п(Ь15)2/3

/4 = — ^ ежр<!

А<|и|

Покажем, что выбирая положительные постоянные А и е, каждый из этих интегралов

У ежр| —¿V— — |—13/2 ^ 1 — ^ |^—.

81

V

X

можно сделать сколь угодно малым при достаточно больших 5.

Поскольку

СЮ

|/4| < 2 I е-и3/2 йи,

А

величина | /41 может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно большого А.

Из (12) следует, что при достаточно малом е для 0 ^ |^ ^ е справедливо неравенство |0г(¿)| ^ е-&1|*|3/2, где 0 < Ь1 < 1. Отсюда получаем, что

| /21 ^ / 1^г (и)|Йи

А<|м|<е(Ь15)2/3

е(Ь1^)2/3

< 2 ! е-б1“3/2 йи.

А

Из сходимости последнего интеграла следует, что величину | /2 | выбором достаточно большого А можно сделать сколь угодно малой.

При фиксированном А, согласно (12), интеграл /1 ^ 0. Запрещение случайным вели-(г) (г)

чинам £1 ,...,£5 принимать значение г не изменяет их максимального шага, а поскольку максимальный шаг равен единице, то при е ^ |^ ^ п справедлива оценка

шах |^у(¿)| = д < 1.

Тогда

|/3| < 2пд5(Ь15)2/3,

где величина д1 < 1, следовательно, /3 ^ 0.

Итак, разность К5 из (13) при Б ^ те стремится к нулю равномерно относительно V. Лемма доказана. □

Лемма 3. Пусть N п ^ те так, что п/Ж > Ь, (п — ЬЖ)/Ж2/3 ^ те.

Тогда для Б = N(1 — рг)(1 + о(1))

р{С^Г) = п} = (а/ао) Б(1 — Рг)-1

х (п — тгБ)-5/2 (1 + о(1)). Доказательство. Обозначим

/ б2/3 \1/3

^ = (п—тз) ■ (14)

р = 7(п — тг Б), £ = 7-1Б2/3.

Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины

(г)

£* = £ — тг, г = 1,...,Б и их сумму

= с5г) — Бтг. Представим искомую вероятность в следующем виде:

Р {С5 = п — тг Б} = Р + БР2 + Р3, (15)

где

Р = Р{С5 = п — тг Б; £* ^ р, г = 1,...,Б} ,

Р2 = Р {(5 = п — тг Б;

£* ^ а г =1,..., Б — ^ £,5 > р} ,

р3 = р < С5 = п — тгБ; и{£* > P, £7 > Р}

Покажем, оценивая последовательно эти вероятности, что основной вклад в сумму (15) дает второе слагаемое.

Рассмотрим Р1. Положим

К(-ш) =

ежр{(к — тг)-ш} Р{£' = к — тг}. (16)

к^р+тг

Из (3) и (5) следует, что при к ^ те

Рк = (а/ао)к-5/2(1 + о(1)). (17)

Используя это соотношение, построим оценки для следующих сумм при достаточно большом I:

___ /* Ю

V Рк <С1 / у-5/2йу = С21 3/2, (18)

к>1 71

/* Ю

У] (к — тг)Рк <с^ У-3/2йу = С41-1/2,

(19)

V (к — тг)2Рк < С5 / у-1/2йу = Сб11/2, (20) к^1 "'1 здесь и далее символы С1, С2,... означают некоторые положительные постоянные.

Из (14) следует, что при выполнении условий леммы

р-3/2 = о(1/Б). (21)

Пусть ш = р-1. Учитывая, что при 0 < у ^ 1 справедливо равенство еу = 1 + у + ¿(у), где ¿(у) ^ у2/2, из (7), (16), (18) - (21) получаем соотношение

К (р-1) = (1 — Рг)-1 (1 + о (Б-1)) . (22)

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины £/(7),..., £5(7), имеющие распределение вероятностей вида:

Р{£/ (7) = к — тг }

Р{£/ = к — тг }еж^ (к — тг )р-1} (23)

-1

где к ^ р + тт.

Положим (О(7) = ЄІ (7) + ...£0(7). Тогда Рі имеет следующее представление:

Разобъем интеграл из равенства (26) на сумму двух интегралов по следующим областям: |*| ^ є(Ьі5)2/3 и є(Ьі5)2/3 < |*| < п(Ьі5)273, где є достаточно мало. По свойству характеристических функций решетчатых распределений с максимальным шагом, равном единице, при є < |*| ^ п выполняется неравенство следующего вида:

|р(*)| ^ ежр{—С9},

(29)

а из (9) при достаточно малом є для |*| ^ є справедливо:

Рі = [Д(р і)]0ежр{ —7 1} х Р{С0(7) = п — тт5}.

(24)

|р(*)| ^ ежр{—Сіо|*| 3/2}.

(30)

Оценим последний множитель данного равенства. Обозначим р7(¿) характеристическую функцию случайной величины £/ (7). Получим для нее выражение, используя (16):

Тогда из (26)-(30) следует, что при достаточно больших Б и п :

Р{С5 (7) = п — тг Б} ^ с 1 1Б-2/3. Отсюда, из (14), (22) и (24):

Р7 (*)

(25)

По формуле обращения вероятность Р{Со(7) = п — тт 5} имеет вид

(31)

Оценим теперь вероятность Р2. Очевидно,

Р{Со (7) = п — тт 5}

п(Ьі^)2/3

что

Р2 = ^ Р{£0 = п — тт — к}

(32)

М

2п(ЬlБ)27з

ежр < —

-п(Ьі^)2/3

г*(п — тт5Н х Р{С0?-і = к—тт(5—1),£ < р,г = 1, •••,Б—1},

(Ь^)273 /

1 где множество

РЧ (ЬlБ)27з

Если к ^ р + тт, то

(26)

ежР{(к — тг)р ^ ^ 1 + 2(к — тг)р 1,

поэтому из (16), (18), (19) и (21) получаем, что

|К (р-1 + г^ | ^ (1 — Рг)|рТОг(¿)| + о(Б-1), (27)

где ртг (¿) - характеристическая функция £/.

Из определения величины £1, следует, что Ртг (¿) = ежР{—гтг¿}рг(¿), где рг(¿) - характеристическая функция случайной величины

£(г). Тогда из (9), (22), (25) и (27) получаем такую оценку:

*

(Ьі5 )2/3

= С8

Р

(ЬlБ)27з

(28)

М = Б — 1 ^ к< (п — тг) — р.

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины £/(и), г = 1, ...Б, такие, что

Р{£'(и) = к — тг} = Р{£' = к — тг|£' ^ и}.

(33)

Пусть, кроме того, СО (и) = £' (и) + ... + £5 (и). Ниже будем рассматривать случаи, когда и = р и и = ¿.

Используя (18), (21), (32) и (33), нетрудно получить, что

р2 = (1 + о(1)) V Р{£5 = п — тг — к} (34)

м

х Р{С^-1(р) = к — тг(Б — 1)}.

Обозначим через рр(^ характеристическую функцию случайной величины £/(р). Используя (3), (5), (7)-(9), (14), (21) и (33), находим, что при любом фиксированном t

(1 + о(1)).

= / (*)(1 +

(35)

1

*

х

О

*

где / (¿) - характеристическая функция устойчивого закона с показателем 3/2, заданная в

(10). Отсюда

Р{С5(р) < у(Ь1Б)2/3} ^ / д(ж)йж. (36)

</ -Ю

Далее покажем, что при достаточно больших Б, п

Р{С5-1(р) > ¿} < с1373/2(1 — Рг)-1. (37)

Учитывая (33) и то, что р > ¿, для искомой вероятности находим следующее неравенство:

Р{&-1(р) ^} < (Б — 1) Р{£/(р) ^}

1 — Р{£/ ^}х5-1

+

1 — р{£/ > р}

Р{ ^(¿) >¿1

(38)

Из (18) и (33) нетрудно получить соотношения:

(Б — 1) Р{£/(р) > ¿} < С1473/2(1 — Рг)-1, (39)

Р {(^(¿) > ¿} < С1573/2(1 — Рг)-1. (40)

Также из (18) и (21) следует равенство:

' 1 — р{£/ >¿}х5-1

1 — р{£/ >р}

= 1 + о(1).

Поэтому из (38)-(40) получим оценку (37).

Учитывая (34), представим вероятность Р2 в виде суммы

р2 = К1 + К2 + К3 + К4, (41)

где

К* = (1 + о(1)) V Р{£5 = п — тг — к}

К

х р{<^_ 1(р) = к — тг(Б — 1)},

К1 = {к : Б — 1 ^ к ^ —¿ + тг(Б — 1)} ,

К2 = {к : —¿ + тг(Б — 1) < к

^ ¿ + тг(Б — 1)} , К3 = {к : ¿ + тг(Б — 1) < к

^ (п — тг) — 7-1/2р} ,

К4 = {к : (п — тг) — 7-1/2р < к

^ (п — тг) — р} ,

при этом, как нетрудно видеть, область К может быть пустой. Заметим, что

Р{£5 = п — тг — к} = (1 — Рг )-1 х Р{£5 = (п — тгБ) + тгБ — к, £5 = г}.

Из (17) при к € К2 нетрудно получить, что Р{£5 = п — тг — к}

= (а/ао)(1 — Рг )-1(п — тг Б)-5/2(1 + о(1)). Отсюда с помощью (14) и (36) получаем:

К2 = (а/ао)(1 — Рг )-1 (п — тг Б)-5/2 (1 + о(1)).

(42)

Из (14) и (17) ясно, что при к € К1 Р{£5 = п — тг — к} ^ с15(п + ¿ — тгБ)-5/2.

Отсюда, с учетом соотношения 7 ^ 0, из (36) видим, что

К1 = о((п — тг Б)-5/2). (43)

Используя (14), (17) и (37), нетрудно получить выражения:

К3,К4 = о((п — тг Б )-5/2). (44)

Из представления (41) и оценок (42)-(44), делаем вывод, что

Р2 = (а/ао )(1 — Рг )-1(п — тг Б )-5/2(1 + о(1)).

(45)

Оценим вероятность Р3. Заметим, что Р Б (Б — 1)

Р3 = ^^~

• V Р{Сб’-2 = к — тг (Б — 2)}

к<(п-2тг)-2р х Р{£5'-1 + £3 = п — 2тг — k, £/>’— 1 > А £3 > р}.

Отсюда следует, что Р3 < сюБ2

• V Р{С/>-2 = к — тг (Б — 2)}

к<(п-2тг)-2р (46)

X

Р{£5’-1 = г} Р{£3 = п — к — г},

С

где С = {г : р < г < п — к — р}. Из (17) следует, что при г > р

р{£0-1 = г} = р{£(г-1 = г + тг} < С16р-5/2.

Используя (17) и (18), получаем, что

V Р{£/?-1 = г} Р{£5 = п — к — г}

С

< С17р-5/2(1—Рг)-1 Р{£0 > р} < С18(1— Рг)-1р-4, и в силу (46),

Р3 < С18(1 — Рг)-1Б2р-4,

а отсюда:

Р3 = о(Б(п — тг Б )-5/2). (47)

Утверждение леммы следует из соотношений (15), (31), (45) и (47). □

Доказательство теоремы

Npr (1 — pr) ^ те. Тогда

В работе [2] было показано, что для суммы См при условиях, что п/Ж > Ь и (п — Ь^ДЬЧ)^3 ^ те

Р {(м = п} = (а/аоЧ(п — LN)-5/2(1 + о(1))

(48)

равномерно относительно п, а для натуральных Н равномерно относительно V = (Н — LN)/(ЬЧ)2/3 в любом конечном фиксированном интервале

(Ь1~)2/3 Р {= V} = «М(1 + о(1» ■

(49)

При выполнении условия 2 теоремы Рг ^ 0, поэтому, как известно, для целых положительных к

)р? (1 — Рг )м-к = е-мрг (1 + о(1))

(50)

равномерно относительно (к — ^г )/у^рг в любом конечном интервале. Рассмотрим случай, когда (п — ЬN)/(Ь1 N)2/3 ^ т, где т -некоторая постоянная. Для оценки вероятности р| сМг- к = п — кг| используем лемму 2,

полагая Б = N — к и Н = п — кг. Заметим, что

к = Npг+uгv'/NpT, N—к = N (1— рг )(1+о(1)),

(51)

где иг ^ С < те. Тогда, используя (8) и соотношение (49), получаем, что

P{CN-к = n — kr}

P{Zn = n}

1.

(52)

В случае, когда п/^ > Ь,

(п — ЬN)/(ЬЧ)2/3 ^ те, также выполняется (52) в силу леммы 3, замечания (51) и соотношения (48).

При выполнении условия 1 теоремы, мы используем нормальное приближение для биномиального распределения, справедливое при

N

Рк(1 — Pr)

N-k

1 + o(1)

л/ 2n Npr (1 — Pr)

x exp < —

(k — Npr )2 2Npr (1 — Pr)

равномерно относительно

(к — )/л/^г (1 — Рг)

в любом фиксированном конечном интервале. Нетрудно видеть, что и в этом случае, как и выше, из лемм 2 и 3 вытекает (52).

Утверждения теоремы следуют теперь из лемм 1, соотношений (50), (52) и (53).

Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития на 20122016 гг. «Университетский комплекс ПетрГУ в научно-образовательном пространстве Европейского Севера: стратегия инновационного развития».

Литература

1. Берникович Е. С. О числе деревьев заданного объема в случайном непомеченном некорневом лесе // Труды Карельского научного центра РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. 2011. Вып. 2, № 5. С. 4-9. С. 148-157.

2. Берникович Е. С., Павлов Ю. Л. О максимальном объеме дерева случайного непомеченного некорневого леса // Дискретная математика. 2011. Т. 23, № 1. С. 3-20.

3. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 424 с.

4. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физмат-лит, 2000. 256 с.

5. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977. 326 с.

k

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Петрова Елена Сергеевна

аспирант

лаб. теории вероятностей и компьютерной статистики Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: bern@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218

Petrova, Elena

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences

11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: bern@krc.karelia.ru tel.: (8142) 781218