О случайных деревьях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.

УДК 519.554 Павлов Ю.Л.

О СЛУЧАЙНЫХ ДЕРЕВЬЯХ

Получены предельные распределения ряда характеристик случайных корневых деревьев, производящая функция крторых удовлетворяет некоторым ограничениям.

В книге В.Ф.Колчина [1] показано, что для изучения графов, являющихся деревьями с помеченными вершинами, можно применять методы теории ветвящихся процессов. Рассмотрим множество ТР( 1) всех корневых деревьев, некорневые вервпны которых занумерованы числами 1,2,...,п, а корень имеет номер 0. Любая вершина дерева соединяется с корнем единственным путем. Назовем высотой вершины число ребер, образующих этот путь, а максимальную из высот вершин дерева нвзовем высотой дерева. Считая {зебра направленными от корня, назовем кратностью вершины число выходящих из нее ребер. Введем на Т„( 1 ) равномерное распределение вероятностей, тогда различные числовые характеристики дерева становятся случайными величинами. Обозначим число вершин выоты 1;, имеющих

кратность г, рт.(Т1|п) - число вершин кратности г, л(тУ)) -максимальную кратность вершины, т(Т„(1)) - высоту дерева,

ц(1,Т„(1 ’) - число вершин высоты I.

Вместе с 11 рассмотрим начинающийся с одной частицы однородный ветвящийся процесс С(1 * с дискретным временем, в котором число потомков каждой частицы имеет распределение Пуассона с произзольным параметром Л>0. Пусть означает число частиц в момент I, имеющих ровно г прямых потомков, а и(С(11) равно общему числу частиц за все время мюлюции процесса.*

Введем матрицы и.Т,!11 )|, | цг(г,СМ))|, г.г=0,1,... ,п,

и матрицу Н =!ег(1){ такого *е расмера, составленную из целых

неотрицательных чисел. В [1] получены теоремы о предельном поведении Т)(Т1|П), Т(ТПП)). ц(г,Т,11)) при п-ия.

Доказательство этих результатов опирается на то, что эти величины являются функциями от и на связь, которая

устанавливается между Т„(1 ) и См) в следующей лемме.

Лемма 1. Справедливо равенство Р(1 Мг(1,тпМ))| - м} = р (| к(г,с,1))В « м | у<с(1)) *а+1).

Этот подход в [1] использован и для изучения случайных деревьев с ограничениями на кратности вершин. Пусть Л - множество целых неотрицательных чисел, содержащее 0 и не совпадающее с (0,1}. Обозначим Т„5*} подмножество Т.51* тех деревьев, кратности Еершн которых принимают значения только из И. Рассмотрим твкже ветвящийся процесс С„(1 \ у которого число потомков каждой частицы может иметь значение только из И и имеет распределение, получающееся из распределения Пуассона с параметром К путем введения соответствующей нормировки. Обозначая характеристики » и С*1 1 аналогично предыдущему, нетрудно получить следующее утверждение.

Лемма 2 (1).

Если Р{у(С*(1})=п+1> > 0, то Р<1 ммЛ.*)! = М) - Р С1 Мг(г.с,{1>)| = м | v(Gll(t)) = п+1).

В статье [2] изложенный выше подход был применен для изучения плоских корневых дерзвьев с висячим корнем. В таких деревьях имеется фактически "сдвоенный" корень, поскольку вместе с корнем выделяется единственная вершина, смежная с ним. Пусть Т„(2) - множество всех таких деревьев, у которых число

"обыкновенных" некорневых вершин равно то есть общее число вершин равно п+2. Назовем высотой вершины число ребер, составляющих путь от этой вершины до "сдвоенного" корня, то есть до вершины, смежной с корнем. Остальные характеристики Тп(2) определяются аналогично Тп(1). Вместе с 21 введем ветвящийся процесс Гальтона-Вэтсока С(2) , в котором число потомков каждой частицы имеет геометрическое распределение с параметром А.. Сохраняя смысл принятых обозначений, сформулируем доказанныо в

[2] утверждения, подобные леммам 1 и 2.

Лемма 3. Справедливо равенству Р{| Мг(г,Тп(г,Ч « М> - Р {| м*и,С(2>)| = М | 1/<С(2>) = п+1}.

Лемма 4. Если Р^(С* 12 1 )=*п+1 > > 0, то Р{| Мг и.Тп(2>)| - М> * Р С| Цг (^ * С*}2 *) | - М | у(С„(2)) = п+1}.

Заметим, что методы доказательства результатов о Тп(П и Тп(г), использовашше в (1] и 12], сходны, а предельные распределения характеристик этих деревьев в большинстве случаев отличаются лишь значениями параметров. Это обстоятельство делает целесообразной г.опытку получения обших результатов, справедливых для различных классов деревьев. Аналогичные соображения имеют место и для лесов, поскольку существует сходство между лесаки, составленными из деревьев типа Т,!1* (см., например, [3]), и

лесами, составленными из деревьев типа Т^2) [4].

В статье [5] были получены некоторые результаты о корневых деревьях, производящая функция Г(г) которых удовлетворяет соотношению Г(г) = Г(Г(г)), где Г - некоторый оператор. В [5] рассматривались удовлетворяющие этому соотношению помеченные деревья (Т^п), плоские деревья с висячим корнем (Т«12)). плоские бинарные деревья с висячим корнем (Т^) при Я»={0,2}, а также . деревья с непомеченными вершинами и рекурсивные деревья.

Для получения результатов о корневых деревьях, обобщающих полученные ранее в работах (1,2], рассмотпим процесс Гальтона-Ватсона, в котором число потомков £ каждой частицы имеет следующее распределение:

р(е=к} = р* , к=0,1,2...... (1)

а производящая функция имеет вид

Пг) - Е р» 2к. к=о

Обозначим ц,. (1,С) число частиц в момент г, имеющих товно г прямых потомков, v(G) - общее число частиц, существовавших в С до его вырождения, т(С) - момент вырождения, Цг(С) - число частиц, имеющее ровно г прямых ПОТОМКОВ.

Мы будем говорить, следуя [1], что процесс в обладает свойством А, если существует процесс С#, у которого число потомков каждой чэстицы имеет распределение

РЦ„ =к> - е1^ ✓ У(0). к=0,1,2............ (3)

где 0>О таково, что Р(0) = в?' (0) и в точке 0 конечна левая производная Г' (0)'. Процесс Ов в этом случае является критическим с конечной дисперсией числа потомков одной частицы, равной В* -(0)/Е(0). Характеристики процесса Св оудем означать аналогично соответствующим процессу С случайным величинам с указанием в скобках С».

Рассмотрим множество Т„ всех корневых деревьев некоторого класса с п некорневыми вершинами (об ограничениях на классы деревьев будет сказано ниже). Введем на Т„ равномерное распределение вероятностей и обозначим, по аналогии с предыдущим, ^(г.Тп), мт„), Т](Т„), т(Т„), ц(г,т„) случайные величины, равные соответственно числу вершин высоты г и кратности г, гаслу вершин кратности г, максимальной кратности вершин, высоте дерева, числу вершин в слое г.

Введем матрицы |Мг,С)|, - 0,1.....п, и

матрицу Н - Цшг(()| такого же размера, составленную из целых неотрицательных чисел. Предположим, что для рассматриваемых деревьев из множества Тп справедливо соотношение Р{| Мг(1,Тп)Ц = М} = Р{| ц, (1,С)| - М | у(С) - п+1}. (4)

Легко видеть, что различные классы корневых деревьев, рассмотренные в леммах 1-4, являются частными случаями Т„. Мы будем далее рассматривать такие клвссы корневых деревьев, для которых существуют ветвящиеся процессы, обладающие свойствами А и (4).

Рассмотрим IV (Т„). Пусть £(г) - случайная величина, имеющая распределение: «

Р{£(г)«к} - РЦ-к| ^г>, к=0,1........... (5)

и пусть б - максимальный шаг распределения (1), а б, - максимальный шаг распределения (5). Обозначим также

б,2 = рг (1-р^-а-Рг )2рг / В, ). (6)

Теорема 1. Если рг > 0, то при в-*» равномерно относи-

тельно целых к, для которых и * (кбг/б -прг )/(ЪгУ1х') любом конечном интервале, п =• сб, ,

лежтг в

ббг/ 2101

е 2;1+ 0(1)).

Доказательство. В силу леммы 2.2.3 книги [11 р{| Иг<г.С)| = М| у(С) « ПИ) «

- Р{| ц, (1,с„)в = И | v(G,) - п+1>.

(7)

а для критического процесса С„ мы можем применить теорему 2.3.1 [11, поэтому, учитывая, ЧТО Иг(Т„) есть функция от цг(1,Т„), утверждение теоремы 1 следует из (4).

Из теоремы 1 легко получить результаты о предельном поведении IV (Т„ ) для Т„ =Т„( 11 к ТП=Т„(2) .

Заметим, ЧТО ДЛЯ критических ветвящихся процессов б=бг =1, В„-1 для распределения Пуассона и В„=2 для геометрического. Отсюда следует теорема 2.5.1 [11 для цг(Т„(1)), а для ^(Т,,*2*) получаем следующий результат.

Следстпие 1. Пусть ц.«2_(141В„*2.

Если п-ко, то для любого фиксированного г равномерно относительно

целых к=пр> +ибг /Г. для которых и лежит в любом конечном интервале,

Для изучения поведения т}(Т„) заметим, что из (4), (7) и

леммы 2.2.2 [1) следует, что распределение т)(Т„) совпадает с распределением максимального заполнения ячеек в обобщенной схеме размещения п частиц по п+1 ячейке, которой соответствует последовательность независимых одинаково распределенных случайных иеличин £,,0), ^0), ..., имеющих распределение (3). Подробно

такая схема размещения рассмотрена в [ 11. Для Т„( 11 эта схема «•водится к классической задаче равновероятного размещена, поэтому для Т1(ТП(1)) справедлива теорема 2.5.2 из [1]. Анмогвгшо для Т^21 ми приходим к схеме размещения п одинаковых частиц по

Р ( цИТ.!2*) - Ю =

1

е-иг/ 2 (1+ 0Ц)Ь

пИ разным ячейкам. Отсюда следует теорема 2 [2] о предельном

поведении 'П(Т1|2)). Результат для Т)(Т„ ) будет получен в другой

работе автора.

Из (4) и (7) следует, что для получения результатов о случайных величинах ц(г,Т„) и т(Т„) достаточно

воспользоваться доказанными в 111 теоремами о предельном поведении ц(г,с») и т(С,) при условии у(С,)=п+1. Отсюда легко видеть, что если распределение (3) имеет максимальный шаг Л, то в силу теорем 2.4.3, 2.3.2, 2.3.3 и 2.4.5 из [1] огоаведливы

следующие утверждения.

Теорема 2. При целых з-*» в п=з<1 для любого фиксированного х>0 2 2

Р((В,/п)1/2т(Тп)<х}= > (1-к2х2)е~к х /2(1+0(1)).

к^-оо

Теореш 3. Для любых фиксированных целых положительных к,,...,к, , кратных Л, при п=э(1 - ®

Р{ц(1,Тп) = к........Ц^.Т* )=к, > - к, Р{£,(0 '=к, > «

•РЦ,(0)+...+ е£0‘»к,> ... РЦ,(0>+...* Е^0)=к,} .

Теорема 4. При пд - оо, ъ/у п - 0 для любого фиксированного х>0

Р{2ц(1,Т„)/Р*1 $ X} -» і- е~* -хе_і.

Теорема 5. Если пД - а> так. чтс г(В(Ь/п)п/*’ -» (3, где 5 -положительная постоянная, то при любых фиксированных х, <х2

Их,* ;^1(г,т„)/ь,д ^ х,і - Р(х,,ха), где

х, о

и функция рк'пределения С*(х,у) имеет характешстическу»

функцию

Кг,,*,)Л _12

» а н -/-і"- ) »

Р У-1їг /2

Очевидно, что из теорем 2-5 следуют соответствующие утверждения

для Т,}1* и Т,!2» , полученные в [1], а также доказанные в {2]

результаты для Ti2) и Tj2,}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колчин В.Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1934.

2. Павлов Ю.Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим

корнем //Дискретная математика. 1992. T.4. Вып.2..С.61-65.

3. Павлов Ю.Л. Предельные распределения высоты случайного леса//

Теория вероятностей и ее применения. 1983. Т.28. Вып.З. С.449-457.

4. Земляченко В.Н., Павлов Ю.Л. Леса из плоских посаженных

деревьев и ветвящиеся процессы // Труды Петрозаводского университета. Серия прикладная математика и информатика. 1992. Вып.1. С.130-135.

5. Heir A., Moon J.W. On the altitude of nodes In random trees // Can. J. Math.. 1978. V.30. N5. P.997-1015.