CC BY
46
Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 89-93
УДК 519.2
СГОРИТ ЛИ ДЕРЕВО ПРИ ПОЖАРЕ В СЛУЧАЙНОМ ЛЕСЕ?
Ю. Л. Павлов, Е. В. Хворостянская
Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН
Рассматривается множество Fn,N всех возможных лесов, состоящих из N ^ 2 упорядоченных некорневых деревьев и n помеченных вершин, на котором задано равномерное распределение вероятностей. При n/N ^ то получены предельные теоремы для числа несгораемых вершин одного дерева в модели распространения огня в случайном лесе из Fn,N.
Ключевые слова: случайный лес, случайное дерево, модель лесного пожара, плотность несгораемых вершин.
Yu. L. Pavlov, E. V. Khvorostyanskaya. WHETHER A TREE WILL BURN IN A FIRE IN RANDOM FOREST?
We consider the set Fn,N of all possible forests, consisting of N > 2 ordered non-root trees and n labeled vertices. We specify the uniform distribution on FN,n. When n/N ^ то limit theorems were obtained for the number of fireproof vertices of one tree in a forest fire model on a random forest taken from Fn,N.
Key words: random forest, random tree, forest fire model, density of fireproof vertices.
В последние годы в теории случайных графов появилось новое направление - разработка и исследование моделей лесных пожаров (в англоязычной литературе они получили название "forest fire models"). Такие модели используются не только в ландшафтной экологии с целью определения наиболее устойчивой к пожарам топологии лесных насаждений (см., например, [1, 7]), но также в статистической физике [5-7] и в экономике, где с их помощью пытаются понять природу кризисов банковских систем и найти способы минимизации их последствий [1].
В статье [4] предложена одна из возможных моделей такого типа. В ней рассматривается случайный процесс распространения огня по ребрам некорневого дерева с помеченными вершинами. Пусть Tn - множество всех
таких деревьев, имеющих п вершин. Хорошо известно, что Тп содержит пп-2 различных деревьев. Это значит, что равномерное распределение вероятностей на Тп приписывает каждому дереву меру п2-п. Ребра случайного дерева могут находиться в одном из трех состояний: воспламеняемое, огнеупорное или сгоревшее. Введем случайную величину т, имеющую распределение Бернулли:
Р{т = 1} = 1/ (1 + п-а) ,
(1)
Р{т = 0} = п-а/ (1 + п-а) ,
где а - некоторое положительное число. Процесс распространения огня происходит следующим образом. До начала пожара все ребра являются воспламеняемыми. В первый
■©
момент времени одно из ребер дерева выбирается равновероятно, и считается, что именно на нем начинается возгорание (это можно интерпретировать как «удар молнии»). Новое состояние ребра определяется с помощью случайной величины т. Если т = 1, то ребро навсегда становится огнеупорным и в дальнейшем процессе не участвует. Поэтому такое ребро можно считать удаленным, и, следовательно, исходное дерево распадается на два поддерева. Если же т = 0, выбранное ребро считается сгоревшим, и вместе с ним сгорает все дерево. Таким образом, продолжение процесса возможно, только если первое ребро стало огнеупорным. В этом случае второй шаг состоит в равновероятном выборе одного из воспламеняемых ребер, содержащихся в двух поддеревьях, и его дальнейшее состояние, как и в случае первого ребра, определяется с помощью т по той же схеме. Следующие шаги процесса происходят аналогично, и он закончится, когда в исходном дереве не останется воспламеняемых ребер.
Вершина дерева называется несгораемой, если после окончания процесса все инцидентные ей ребра начального дерева огнеупорны. Обозначим через £ случайную величину, равную числу несгораемых вершин случайного дерева из Тп, и пусть $(ж) - плотность распределения вероятностей, имеющая вид:
9(х) =
1
л/2пх(1 — х)3
ехр< —
х
2(1 — х)
каждом дереве такого случайного леса пожар происходит независимо от других деревьев. Рассмотрим одно из деревьев, например, первое (это возможно, поскольку деревья упорядочены), и пусть £1 - число несгораемых вершин этого дерева. Ниже изучается предельное поведение этой случайной величины в двух случаях: п ^ то, N фиксировано и п, N ^ то так, что n/N ^ то. Обозначим
о(1) = 2
У» =
N-1
те N — 1 ікі —2
Е ЕП ^
N Ь!
і=0 Кі j=1 •'
= (2(2/3)2/3 N)
1
х Є (0,1).
В [4] изучалось предельное поведение £ при п ^ то, и была доказана следующая теорема.
Теорема 1. При п ^ то справедливы утверждения:
1. Если а < 1/2, то Р {£/п = 0} ^ 1.
2. Если а = 1/2, то для всех к таких, что и = к/п Є (0,1)
п Р{£ = к} = #(и)(1 + о(1)).
3. Если а > 1/2, то Р {£/п = 1} ^ 1.
В настоящей работе теорема 1 используется для исследования описанного выше процесса распространения огня на дереве в случайном лесе. Ниже, в соответствии с теоремой 1, рассматривается только нетривиальный случай а = 1/2.
Пусть Fn,N - множество всех возможных лесов, состоящих из N упорядоченных некорневых деревьев и п помеченных вершин. Зададим на этом множестве равномерное распределение вероятностей. Предположим, что на
где К = {к1,..., к»—1 ^ 1, к1 + ... + к»—1 = N — 1 + і} . Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2. Пусть п ^ то, N ^ 2 фиксировано. Тогда для всех к таких, что к = иф^п,
и Є (° 1/ул?)),
пР{£1 = к} = 9 (^ї) °]у)(1 + о(1)).
Теорема 3. Пусть п, N ^ то так, что n/N ^ то. Тогда для всех к таких, что к =
и^5?)п, и Є (0,1/0^) ,
пР{£1 = к} = 9 (иф^) 0»;)(1 + о(1)).
Доказательство теоремы 2. Обозначим через V! объем выбранного дерева. По формуле полной вероятности
п Р {£1 = к}
п—N +1
= п Р {£1 = к^ = т} Р {^ = т} . (2)
т=к
Нетрудно видеть, что
Р ^1 = т} = Cnlmm—2bn—m,N —1 /Ъп^, (3)
где Ъп^, Ъ^т^—1 - число всех возможных лесов соответственно в Fn,N и Fn—m,N—1. В книге [3] доказано равенство
Ъп.^ = п!
П
Е
к1,..., kN ^ 1 j=1 к1 + ... + kN = п
N кк'—2
к,!
(4)
Согласно результатам статьи [2] при фиксированном N и п ^ то справедливо соотношение
ЪпМ - Nnn—2/2N — 1.
(5)
Используя формулу Стирлинга, из (3), (5) и равенства (4) для Ьп_ш,м-1 находим, что при т = п — N + 1 — г, г = 0,1,2,...
Доказательство теоремы 3. Следуя доказательству теоремы 2, представим сумму (2) в виде
2
N — 1 ___ N — 1 кк'—2
N
ЕП
Кі j=1
к,-!
(6)
п Р {£1 = к} = $1 + ^2 + Б3 + Б4, (11)
где
Представим сумму (2) в виде
п Р {£1 = к} = $1 + $2 + $з, (7)
Бі = ^ п Р {£1 = к^ = т} Р ^ = т} ,
Ьі
I = 1, 2, 3, 4,
где
Бі = ^ п Р {£1 = к^ = т} Р ^ = т}
Ь.
I = 1,2,3,
Ь = {п — N + 1 — А < т ^ п — N + 1} ,
Ь2 = {п — Ап4/5 ^ т ^ п — N + 1 — А} ,
Ь3 = {к ^ т < п — Ап4/5} ,
положительная постоянная А будет выбрана позднее.
Согласно теореме 1, при т е Ь2
т Р {£1 = к|VI = т} = д (1 + о(1)).
Используя (6), (8), получаем равенство Б1 = 9 (иф^) RN,
(8
(9)
Ь1 = {к ^ т < п — 2N — А^/3} ,
Ь2 = {п — 2N — А^/3 ^ т
^ п — 2N + AN2/}} , Ь3 = {п — 2N + А^/3 <т ^ п — N — А} , Ь4 = {п — N — А < т ^ п — N + 1} ,
положительная постоянная А будет выбрана позднее.
Из (4) и теоремы 1 [2] находим, что если п, N ^ то и п/^ ^ то, то сохраняет силу (5) и при достаточно большом значении А выполнены соотношения: при т е Ь1
^ — 1)(п — т)п_ш+1/2
ьп_ш,м_1 ^ ^ ~ ; ^хТТо, (12)
2N—2(п — т — 2N + 2)5/2 '
при т Є Ь2
где величина Ям может быть сделана сколь угодно близкой к QN выбором достаточно большого А.
Используя (3) и формулу Стирлинга, нетрудно найти, что при т е Ь2 У Ь3
N —11/62N—3^ \2^ 2
Ъ л/л(п — т)п—тт—22 _ 3 1(
bn—m.N—1 ^ Лт_ 11 /«гч лт-— *37 л ; о , 1 ) ,
при т Є Ьз
(13)
Р ^ = т} < С1(п — т) 5/2, (10) Ъп—m.N—1
N !(п — т)2Т N 2Т Т!
1
2Т \ 1/2
пт
здесь и далее символом С1,С2,... обозначены некоторые положительные постоянные (не всегда различные). Тогда если т е Ь3, то Р ^ = т} < С1А_5/2п_2 и
^ п Р {VI = т} < С1А_5/2,
а если т Є Ь2, то, учитывая (8) и (10), находим, что
[■ А
Б2 < С2 У"](п — т)—5/2 < СП х—5/2^х.
г ./Ап4/5
Ь 2
Следовательно, Б2 и Б3 можно сделать сколь угодно близкими к нулю за счет выбора А. Отсюда и из (7), (9) получаем утверждение теоремы 2.
Ъп—
П—т^—1 — СП_т
Т
N - 1
Т
(14)
(15)
где
Т = п — т — N + 1, d = (2/3)2/3, у = <* — 1)1/3 (^ — 2
р (у/^); 3/2, —1) - плотность устойчивого закона распределения вероятностей, имеющая вид:
1 />+те Г Ну ,.,3/2 [ . пі
2п
ехр
2^
4|*|
91
Пусть т Є Ь1. Из (1) и теоремы 1 следует,
что
т Р{£1 = к^ = т} < С3.
С помощью формулы Стирлинга из (3), (5), (12) получаем оценку
Р ^ = т} ^ С4(п — т — 2N + 2)_5/2.
Учитывая эти неравенства, легко показать, что Я! < С5А_3/^_1 и при выборе достаточно большого А выполнено соотношение
Б1 = 0(0$).
Пусть т Є Ь2. Согласно теореме 1
(16)
т Р {£1 = к^1 = т} = 9 (и^) (1 + о(1)).
(17)
Из (3), (5), (13) находим, что
п
Отсюда и из (17) следует равенство
(и^)
Б2 = ----„т0 /.3--(1 + о(1))
N 2/3
х £/114 —1) ■
где суммирование по у проводится с шагом ^ — 1)—2/3. Поэтому
Б2 = (^^(1+о(1))
А
у3
< Сб
/У2 (е(1 — /N/2))—^+1
N3/2 (1 — /N + 1^)N—^+3/2.
Используя это неравенство, несложно показать, что если 1 — є < /N < 1 — , где
положительное число є сколь угодно мало, то
п
< N72 ехр{ —№/к — N/N 1п^ — /Г —N (і— /N + 2І) 1^1 - Л + N
< С7 е—
< N3/2 е ,
если А/^1/3 < ^ < 1 — є, то
п
<
С/
1/2
N
N 3/2
ехр {—N/N — N/N 1п (1 — ^/2)
— N (1 — ^) 1п(1 — /N)} <
С/'У^/24
N3/2 '
С помощью этих соотношений и (17) получаем, что если V = N1/3 /м , то
Б3 <
С10
N 3/2
п—2N+N (1—є)
Е
Л1/2 ^/24
/N е
т=п—2N+AN 2/3
п—2N+N(1—A/N)
+ ^ Е Є —^
N 3/2
т=п—2N+N (1—є)
—C8N
N
величина 5 сколь угодно мала при достаточно большом значении А. Учитывая, что р (у/^);3/2, —1) - плотность распределения вероятностей, получаем, что
Поскольку величина V меняется с шагом N_2/3, заменяя в последнем выражении суммирование интергированием, находим, что
Б2 = (1 + 0(1)). (18) Бз < С^ (А—3/2е—А3/24 + ^^е—'^)
Пусть т е Ь3. Из теоремы 1 следует, что выполнено (17). Представим т в виде
т = п — 2N + N/N,
где /м меняется с шагом 1/^, A/N1/3 ^ /м ^ 1 — A/N. Из (3), (5), (14) получаем оценку
п
— Р {v1 = т}
т
где А может быть выбрано сколь угодно большим. Поэтому
Б3 = 0(0?).
(19)
Пусть т е Ь4. Из теоремы 1 следует (17), а с помощью (3), (5), (15) можно показать, что
а
n P, , , C14 (N - AT(2' N-1
mP{V1 = m} < tw —) e
Тогда
N
2e
Cl5 N
Отсюда и из (11), (16), (18), (19) следует утверждение теоремы 3.
Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития на 2012— 2016 гг. «Университетский комплекс ПетрГУ в научно-образовательном пространстве Европейского Севера: стратегия инновационного развития».
1. Аннаков Б. Б. Банковский кризис и пожары в лесу. 2008. URL : http//www.
empatika.com/6log/agent_modeling_/orest_/ire (дата обращения 24.04.2012).
2. Бритиков В. Е. Асимптотика числа лесов из некорневых деревьев // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 5. С. 672-684.
3. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физмат-лит, 2000. 256 с.
4. Bertoin J. Fires on trees // Ann Inst. Henri Poincare. 2011. ArXiV1011.2308v2 (to appear).
5. Drossel B., Schwabl F. Self-organized critical forest-fire model // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 1629-1632.
6. Henley C. L. Static of self-organized percolation model // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. P. 27412744.
7. Zink R., Grimm V. Unifying wildfire models from ecology and statistical physics // The American Naturalist. 2009. Vol. 174. E170-E185.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
Павлов Юрий Леонидович
зав. лаб. теории вероятностей и компьютерной статистики, д. ф.-м. н.
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: pavlov@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218
Pavlov, Yury
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia
e-mail: pavlov@krc.karelia.ru tel.: (8142) 781218
Хворостянская Елена Владимировна
старший научный сотрудник, к. ф.-м. н.
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: cher@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218
Khvorostyanskaya, Elena
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia
e-mail: cher@krc.karelia.ru tel.: (8142) 781218
