О сложности и структуре контактных схем, близких к минимальным, для элементарных симметрических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2 доказана.

Замечание. При к = 2 с помощью градиентного алгоритма можно построить такое затеняющее множество Г па /•.'.'/. что

1п

|Т| ïC — (Ып+ 1). п

Доказательство проводится применением градиентного алгоритма для каждого слоя i?¿ и оценки леммы 1, так как в случае к = 2 можно найти точное значение р = п — i + 1.

Теорема 3. ^ nlogk(k%_1)+1y

Доказательство. Подсчитаем число возможных обобщенных полиномов от переменных х\,... ... , хп длины не больше I.

Число различных обобщенных мономов над переменными х\,..., хп равно к(к — 1) + 1)п, так как каждая переменная может быть в одной из степеней 0,1, — 1) и, если ее степень не 0, может

быть поляризована одной из констант 0,1, — 1).

Следовательно, полиномов длины не больше I не больше ((к(к — 1) + 1)п)г. Если ((к(к — 1) + 1)п)г < < кк , то 1%-п'(п) ^ I, так как обобщенных полиномов длины I хватит для задания всех fc-значных функций от переменных xi,...,xn. Отсюда ^ ra,logfc(fcfc(nfc_1)+1).

Теорема 3 доказана.

Авторы благодарят проф. В. Б. Алексеева за ценные советы, которые улучшили текст работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко К.Д. Верхняя оценка сложности полиномиальных нормальных форм булевых функций // Дискретная математика. 2005. 17. Вып. 3. С. 80-88.

2. Even S., К о ha vi I., Paz A. On minimal modulo 2 sums of products for switching functions // IEEE Trans. Elect. Comput. 1967. P. 671-674.

3. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. M.: Наука, 2001.

4. Сапоженко A.A. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2005.

Поступила в редакцию 17.09.07

УДК 519.71

Е.А. Попов

О СЛОЖНОСТИ И СТРУКТУРЕ КОНТАКТНЫХ СХЕМ, БЛИЗКИХ К МИНИМАЛЬНЫМ, ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: evgeny.a.popov@gmail.com)

В настоящей работе рассматривается задача синтеза контактных схем для элементарных симметрических функций. Установлена структура минимальных контактных схем, реализующих элементарные симметрические функции, а также найдены точные до аддитивной константы оценки сложности полученных схем. Доказано, что при достаточно больших п сложность элементарной симметрической функции п переменных с рабочим числом w удовлетворяет соотношению L(s%) = (2w + 1 )п — Bw, где Bw — некоторая неотрицательная константа.

Введение. Класс симметрических функций очень важен в теории синтеза. Схемы для линейных, пороговых, элементарных симметрических функций широко используются в различных теоретических и прикладных задачах синтеза СБИС, таких, как построение самокорректирующих схем,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00745).

проектирование вычисляющих и принимающих решения блоках СБИС. Вопросы, касающиеся сложности реализации функций из этого класса, начали активно исследоваться в конце 40-х годов прошлого века. Первые оценки сложности реализации произвольной симметрической функции п переменных в классе контактных схем были получены Шенноном [1], где была установлена верхняя оценка вида 0(п2). В работе [2] О.Б. Лупановым найдена верхняя оценка вида 0(п log2 п/ log log п) для сложности элементарных симметрических функций п переменных в классе контактных схем.

Близкие к точным оценки сложности симметрических функций были получены в работах [3, 4]. В [3] рассматривается класс симметрических периодических функций. Установлено, что при большом числе переменных п функции из этого класса можно реализовать минимальными контактными схемами со сложностью An — В, где В ^ 0, а А легко выражается через период. В [4] доказывается, что число контактов в минимальной контактной схеме, реализующей линейную функцию и корректирующей t замыканий, равно 4(i+l)n + 0(l) при больших значениях п. В [5] получено точное значение сложности Lr(£n) = 4 ((п — 2) + l) + г + l) при реализации линейной функции п переменных £п в классе контактных схем, корректирующих г обрывов.

В настоящей работе найдены точные до аддитивной константы оценки сложности реализации элементарных симметрических функций в классе контактных схем. Установлено, что при достаточно больших п сложность элементарной симметрической функции п переменных с рабочим числом w удовлетворяет соотношению L(sft) = (2ги + 1 )n — Bw, где Bw — некоторая неотрицательная константа.

Вспомогательные результаты. Дадим определения и сформулируем некоторые результаты из [3] и [4], которые нам потребуются в дальнейшем2.

Напомним, что симметрической называется функция, не изменяющая свое значение при любой перестановке аргументов. Элементарной симметрической функцией с рабочим числом w от п переменных называется функция s™, равная 1 на всех наборах с w единицами и 0 на всех остальных наборах.

Зафиксируем некоторую характеристическую функцию F, отображающую множество неотрицательных целых чисел в множество {0,1}. В настоящей работе мы будем рассматривать последовательность симметрических функций /,f от растущего числа переменных, которую можно задать с помощью характеристической функции F(x) следующим образом3:

in ! ' ' ' 1 ■En ) — F(x 1 + . . . + Хп ) .

Контактную схему, реализующую функцию п переменных, будем называть п-схемой. Введем операцию Df(S) подстановки константы а вместо переменной Xi, г € [1 , п], в n-схему S. При этом выполняются следующие действия:

1) удаляются все контакты типа х?;

2) замыкаются все контакты типа т.е. отождествляются концевые вершины этих контактов, а сами контакты удаляются;

3) перенумеровываются все переменные Xj в x:j-i для всех j € [г + 1,п];

4) удаляются все изолированные вершины.

Схему S без изолированных вершин, реализующую некоторую симметрическую функцию, в дальнейшем будем называть правильной, если для любого i, i 6 [1, гг.], все (п — 1)-схемы изоморфны как помеченные графы. Из определения следует, что для каждого i, г € [1 ,п], и о € {0,1} число контактов xf постоянно, обозначим его через /о-(Е), а сумму l0 + Ii обозначим через /(S) и назовем удельной сложностью правильной схемы S.

Теорема 1 [3]. Зафиксируем некоторую характеристическую функцию F. Тогда существуют такие целые неотрицательные константы Ар, Вр, Np, что при всех п ^ Np справедливо равенство L(f£) = Арп — Вр.

2Понятия, которые не определены в настоящей работе, могут быть найдены, например, в [6].

З3аметим, что последовательности элементарных симметрических функций sJJ с рабочим числом w от растущего числа переменных будет соответствовать характеристическая функция

. I 1, если х = w, Fix) = <

I 0, иначе.

Контакт, соединяющий вершины V и го, назовем (у, «^-контактом. Введем понятия линии и пучка, в терминах которых будем описывать структуру схем, реализующих симметрические функции.

Цепь 7, соединяющую вершины и г>„+1, такую, что для любого г Е [1 , п] ее г>г+^-контактом является контакт х^, назовем линией, причем вершину г Е [1,п + 1], будем называть ¿-вершиной линии 7, а вершины и — концевыми для линии.

Назовем пучком набор («¿д,«¿^-контактов х^ г Е [1,тг], такой, что для любого фиксированного я Е {1,2} вершины г^, г € [1,тг], либо все различны, либо все совпадают с некоторой вершиной V (в последнем случае назовем вершину V особой вершиной пучка).

Правильная схема Е называется приведенной4, если:

1) множество ее размыкающих контактов распадается на «о непересекающихся по контактам линий 71,... ,7<;0; г-вершину линии где в Е [1, «о], обозначим через г>|;

2) линии 78>, могут иметь общими только вершины из множества Уо — множества всех концевых вершин линий 71,..., 78о;

3) множество ее замыкающих контактов распадается на «1 не пересекающихся по контактам пучков #1,..., Ф81; обозначим вершины «¿д и «¿^ пучка Ф8, 5 € [1,^1], через V? 1 и г>*2 соответственно;

4) для любой линии 78 выполняется У^з П У\ С Уо, где У^з — множество всех вершин линии а у1 — множество всех особых вершин пучков #1,..., Фв1;

5) для некоторого а Е {0,1} и для всех г Е [1 ,п] выполняется = и|+(7, где вершина ■и®^, д € {1, 2}, не является особой для пучка и принадлежит линии 78»;

6) вход и выход схемы £ принадлежат множеству У\ и Уо;

7) все неполюсные вершины V схемы £, инцидентные одновременно некоторым контактам типа Хг, Иг и только им, принадлежат множеству

8) все вершины v схемы £, такие, что

= 2, принадлежат линиям 71,..., 7So

и {Л,»}

¿£[1 ,п]

Утверждение 1 [4]. При достаточно больших п иг Е [3, п — 2] для любого замыкающего контакта ж*, соединяющего вершины ^ и г^ в приведенной схеме 1!, выполняется один из следующих пунктов (с точностью до циклического переименования г^ в г^):

1) 11Ы) = 12(у2) = [1,п};

2) ЬЫ) = [1,п], 1о(у2) = {¿,¿ + 1};

3) /1(^1) = [1 ,п], /0(«2) = {« - 1,«};

4) 1а(У1) = {1 - 1,г}, 1О(У2) = {г - 1,г};

5) /0(^1) = {г,г + 1}, 1о(у2) = {м + 1};

6) 1а(У1) = {I - 1,г}, 1О(У2) = {г, г + 1},

где через 1о(у) (соответственно ^(и)) обозначено множество номеров переменных, управляют,их размыкающими (соответственно замыкающими) контактами, инцидентными вершине V, а через 12(у) — объединение /о(г>) и -^(и)-

Типом контакта будем называть номер пункта утверждения 1. Типом пучка будем называть максимальный тип его контакта.

Теорема 2 [4]. Для достаточно больших п существует приведенная схема 1!, реализующая симметрическую функцию , такая, что

L(E) - <: CF

где CF — некоторая неотрицательная константа

Особенности структуры приведенных схем, реализующих элементарные симметрические функции. Назовем приведенную схему £, реализующую элементарную симметрическую функцию s™ от достаточно большого числа переменных п с рабочим числом w, минимальной, если ее удельная сложность /(£) = М, где М такое, что Мп — L(sft) ^ const.

Лемма 1. В минимальной приведенной схеме £ отсутствуют пучки первого типа.

4В работе [4] вводится понятие 1-приведенной схемы в классе контактных схем, корректирующих замыкания, формулируется и доказывается теорема о существовании 1-приведенных схем. Нам потребуется частный случай этих результатов для контактных схем без самокоррекции.

Доказательство. Выпишем функцию проводимости всех проводящих цепей из входа в выход X, проходящих через пучок первого типа Ф:

¡ = !1&/2&(х1 Мх2У ...У хп) =

/1&/2, если существует г : Х{ = 1;

О,

если для любого г : Х{ = О,

Рис. 1. Подсхема Е, содержащая пучок типа 0

где, не ограничивая общности рассуждений, /1 — функция проводимости между входом схемы У\ и вершиной а /2 — функция проводимости между выходом схемы и вершиной у'2 (рис. 1). Рассмотрим три случая.

1. Пусть X реализует элементарную симме-

трическую функцию с рабочим числом т = 0. В этом случае / = /1&/2 и пучок Ф можно выкинуть, при этом удельная сложность схемы X уменьшится на 1, что противоречит теореме 2.

2. Пусть X реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уи = 1. Используя метод каскадов, легко показать, что ^ Зп. Пусть схема X содержит пучок Ф типа 1. Также X содержит линию, так как немонотонно зависит от каждой из своих переменных, и все размыкающие контакты приведенной схемы X по определению распадаются на линии. Оставшиеся п контактов могут быть либо линией, либо пучком с одной, двумя особыми вершинами или без особых вершин. Простым перебором можно показать, что ни одно из возможных соединений этих подсхем не реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уи = 1. Имеем противоречие с тем, что X реализует элементарную симметрическую функцию

3. Пусть X реализует элементарную симметрическую функцию в™ с рабочим числом уи ^ 2. Пусть схема X содержит пучок Ф типа 1. Предположим, что / ^ /1&/2, т.е. /(0,...,0) = 0, а /1(0,..., 0)&/2(0,..., 0) = 1. Тогда существует проводящая цепь 7, проходящая через пучок Ф, которая не содержит ни одного контакта, управляемого переменной за исключением контактов пучка Ф (выбор не ограничивает общности рассуждений). Так как уи ^ 2, то существует набор о = (1,1,..., 0), такой, что /(а) = 1. Тогда /(0,1,..., 0) = 1, что противоречит тому, что — элементарная симметрическая функция. Таким образом, / = /1&/2. Значит, пучок Ф можно удалить из схемы X, уменьшив ее удельную сложность на 1, что противоречит теореме 2.

Лемма доказана.

Лемма 2. Сложность минимальной приведенной схемы X удовлетворяет одному из соотношений:

1) /(X) ^ 2& + /(Х7), где схема X7 = 1?1(... Д1(Х)) не содержит пучков 2, 3, 4 и 5-го типа и к < т;

2) /(X) = 2ь) + 1.

Доказательство. Пусть в схеме X присутствует пучок типа 3. Применим к X операцию тогда полученная схема Х^1) = будет содержать фрагмент, изображенный на рис. 2, а.

Легко заметить, что между всеми вершинами г?!,... ,уп есть тождественная проводимость, поэтому мы можем склеить эти вершины и удалить 2п — 2 контакта. Тогда верно /(Х^1)) ^ М — 2 и X7 реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уи — 1. Будем повторять эту операцию до тех пор, пока в 5 Е [1,уи — 1], присутствуют пучки типа 3. Тогда будет верно

/(X«) ^ М — 2к и реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уи — к. Или иначе, /(X) ^ /(Х^)) + 2к, где к Е — 1], и схема не содержит пучков типа 3. Если к = ги, тогда /(X) ^ /(ХМ) + 2уо^2уо + 1.

Точно таким же образом рассматриваем пучки типа 2, только к X применяем операцию Лемма доказана.

Пусть в схеме X присутствует пучок типа 5. Применим к X операцию тогда полученная

схема Х^1) = £)}(Е) будет содержать фрагмент, изображенный на рис. 2, б. Легко заметить, что

между всеми парами вершин у^у^

у'п^у'п есть тождественная проводимость, поэтому мы можем

■ '«/ X X > А > > II > II ' ' х ■ ' / «/

склеить эти вершины и удалить 2п — 2 контакта. Тогда верно /(Х^1)) ^ М — 2 и Е'1' реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уи — 1. Будем повторять эту операцию до

Рис. 2. Подсхема X, содержащая пучки типа 3 (а); типа 5 (б)

тех пор, пока вЕ^', 5 Е [1, уо — 1], присутствуют пучки типа 5. После выполнения этих действий схема X7 реализует элементарную симметрическую функцию с рабочим числом уо — к и /(Х^)) ^ М — 2к, иначе, /(X) ^ /(Х^)) + 2к, где к Е [1, ги — 1], и схема не содержит пучков типа 5. Если к = т, тогда /(X) ^ /(X«) + 2™ ^ 2м + 1.

Точно таким же образом рассматриваем пучки типа 4, только к X применяем операцию £)*(£). Лемма доказана.

Далее будем считать, что в схеме X отсутствуют пучки типов 1-5, и сопоставим ей граф Г, построенный следующим образом: вершинам графа сопоставим линии схемы X, а дуга из вершины, соответствующей линии 71, в вершину, соответствующую линии 72, идет тогда и только тогда, когда 71 и 72 соединены пучком 6-го типа.

Назовем приведенную схему X строго приведенной, если граф Г состоит из непересекающихся по вершинам ориентированных цепей и циклов длины больше 1.

Лемма 3. Сложность минимальной приведенной схемы X, реализующей элементарную симметрическую функцию с рабочим числом т, удовлетворяет одному из соотношений:

1) /(X) ^ 2к + ¿(X7), где схема X7 = .. Д1(Х)) является строго приведенной и к < уи;

2) /(X) = 2<ш + 1.

Доказательство. Учитывая результаты леммы 2, /(X) ^ 2к' + /(X), где схема X является минимальной приведенной схемой, реализующей элементарную симметрическую функцию с рабочим числом (уо — к') и не содержащей пучков типов 1-5. Рассмотрим далее схему X и сопоставим ей граф Г.

Пусть граф Г содержит петлю, тогда схема X содержит подсхему X77, изображенную на рис. 3, а. Нетрудно заметить, что между всеми парами вершин У{ и г^, г,3 Е есть тождественная проводи-

мость и подсхему X77 можно удалить из схемы X. Если же граф Г содержит изолированную вершину, значит, схема X либо реализует тривиальную симметрическую функцию, равную 1 только на единичном наборе (частный случай), либо содержит линию, не подключенную к остальной схеме, которую можно удалить из схемы X.

Положим = £)];(£). Если граф Г содержит вершину с полустепенью исхода больше 1, то

схема содержит подсхему, изображенную на рис. 3, б. Заметим, что между парами вершин у[

и у

1 5 "

, у'п и у'п существует тождественная проводимость и их можно склеить. При этом можно

удалить по крайней мере 2п — 1 контакт. Таким образом будет выполнено /(Х^1)) ^ М — 2к' — 2, т. е. /(X) ^ /(Х^1)) + 2{к' + 1). Повторяя эту операцию до тех пор, пока в графе Г есть по крайней мере одна вершина с полустепенью исхода больше 1, получим первое условие леммы. Если же к = ии — к', то /(X) ^ /(Х^)) + 2уо ^ 2уо + 1. Таким образом, получили второе утверждение леммы.

Аналогично рассматривается случай, когда граф Г содержит вершину с полустепенью захода больше 1, только к X применяем операцию £)*(£). Лемма доказана.

а

VI V2 vn vn+i

Рис. 3. Граф Г, содержащий петлю (а); вершину с полустепенью исхода

больше 1 (б)

Лемма 4 [4]. В строго приведенной схеме X пучки, соответствующие различным ребрам графа Г, могут пересекаться только в вершинах, принадлежащих линиям.

Оценки сложности схем, реализующих элементарные симметрические функции. Итак, любую элементарную симметрическую функцию можно реализовать минимальной с точностью до аддитивной константы схемой, которая будет состоять только из блоков, соответствующих циклу или цепи в графе Г(X) (строго приведенной схемой). Задача нахождения нижней оценки сложности реализации элементарной симметрической функции в классе контактных схем сводится к нахождению нижней оценки в классе строго приведенных схем.

Рассмотрим строго приведенную схему X удельной сложности /(X) = М, где М такое, что Мп — L(s™) ^ const, которая реализует элементарную симметрическую функцию s™.

Утверждение 2. Граф Г(Х) состоит либо из одной цепи длины w, либо только из циклов суммарной длины меньше w.

Доказательство. Пусть Г(Х) содержит цепь длины меньше w, которой соответствует подсхема X. Тогда никакая проводящая цепь из входа схемы X в ее выход не проходит через подсхему X и X можно удалить, при этом удельная сложность X уменьшится по крайней мере на 1, что противоречит выбору схемы X.

Если Г(Х) содержит цепи длины больше w, то удельная сложность X будет больше М, так как можно построить схему X7, реализующую s™(x 1,...,жп), такую, что граф Г(Х7) будет состоять из одной цепи длины w меньшей удельной сложности. Таким образом, этот случай тоже противоречит выбору X.

Аналогично предыдущему случаю рассматривается тот случай, когда кроме подсхемы, соответствующей цепи графа Г(Х) длины w, в схеме X есть подсхемы, соответствующие циклу или цепи в графе Г(Х).

Остался случай, когда Г(Х) состоит только из циклов. Суммарная длина циклов не превосходит w, так как иначе можно было бы построить схему X7, реализующую функцию sbn(xi,... меньшей удельной сложности (например, схему, соответствующую графу Г(Х), который состоит из одной цепи длины ги), что противоречит выбору X.

Утверждение 3. Граф Г(Х) не может состоять из циклов.

Доказательство. Предположим противное. Пусть схема Е, реализующая элементарную симметрическую функцию , минимальна и граф Г(Е) состоит из циклов. Тогда система уравнений

a,i+kini = w, а2+к2п2 = w,

a,s+ksns = w,

(1)

где w — рабочее число функции s^; a¿, i = 1, s, — смещения в г-м цикле относительно предыдущего; ki, i = 1, s, — длина г-го цикла, имеет решение (w, ni,..., ns) в целых числах. Другими словами, это значит, что в схеме S на наборе с w единицами есть проводимость между входом и выходом.

Покажем, что у этой системы уравнений существует еще одно решение (w',п'х,... ,n's), отличное от первого (т. е. такое, что по крайней мере w ф w').

Пусть

ai+кгщ = w', а2+к2п2 = w',

a,s+ksn's = w'.

Вычтем из г-го уравнения системы (2) i-e уравнение системы (1). Получим систему

Til) = w1 — w,

k2(ri2^n2) = w1 — w,

ч ks(n's-ns) = w'

w.

Выразим:

w — w

кг

m

i = 1, s.

Положив т' = т + кг, получим п[=Ц kj + п¿, и набор (го',^,... ,п'8) есть решение системы

г= 1 -}фг

(1), отличное от (и), п\,..., п3).

Другими словами, мы получили, что в схеме а есть проводимость на наборе с т' единицами, что противоречит определению элементарной симметрической функции. Теорема 3. При достаточно больших п справедливо равенство

L{sZ) = (2w + l)n^Bv

где В„

некоторая неотрицательная константа.

Доказательство. Нижняя оценка вытекает из теорем 1, 2, лемм 1-4 и утверждений 2, 3. Верхнюю оценку можно получить, построив контактную схему для элементарной симметрической функции по методу каскадов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shannon С.Е. The synthesis of two-terminal switching circuits // Bell Syst. Techn. J. 1949. 28. N 1. P. 59-98.

2. Лупанов О.Б.К вопросу о реализации симметрических функций алгебры логики контактными схемами / / Проблемы кибернетики. Вып. 15. М.: Наука, 1965. С. 85-99.

3. Гринчук М. И. О сложности реализации симметрических булевых функций контактными схемами // Математические вопросы кибернетики. Вып. 3. М.: Наука, 1991. С. 77-104.

4. Валентинов Е. В. О сложности и структуре минимальных самокорректирующихся контактных схем из некоторых классов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. МГУ. М., 2001.

5. Ложкин С. А. Об одном методе получения линейных нижних оценок сложности контактных схем и структуре минимальных схем для некоторых функций // Методы и системы технической диагностики. Вып. 18. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1993. С. 110-112.

6. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики: Учебное пособие. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.

Поступила в редакцию 31.10.07

УДК 681.3:519.9:519.68:612.001.57 Е.А. Попова

МЕТОД АНСАМБЛЕЙ ДЕРЕВЬЕВ РЕШЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ МОЗГА ЧЕЛОВЕКА

(кафедра автоматизации систем вычислительных комплексов факультета ВМиК, e-mail: eapopova@gmail.com)

Работа посвящена разработке метода локализации активных областей мозга по сигналам электроэнцефалографии на основе ансамблей случайных деревьев решений. Предлагается метод сведения задачи локализации к задаче классификации качества дипольных источников. Представлен алгоритм локализации, состоящий в построении ансамбля деревьев решений для параметров дипольных источников, отвечающих за аппроксимацию регистрируемого потенциала в разные моменты времени и нахождения наиболее вероятных зон расположения источников на основе специальной процедуры голосования. Показано, что подход, основанный на аппарате деревьев решений, позволяет устойчиво определять параметры переходной функции между источником и регистрируемым сигналом, что является существенным для построения интерфейса мозг-компьютер. Сходимость предложенного метода продемонстрирована как на точных решениях, так и при анализе сигналов реальных экспериментов по анализу вызванных потенциалов.

1. Введение. Работа посвящена методам автоматизированного анализа электрической активности мозга. Судить об электрической активности мозга мы можем с помощью электроэнцефалограммы. Электроэнцефалограммой [1] называется запись слабых (порядка 5-100 ¿¿V) электрических потенциалов, генерируемых мозгом. ЭЭГ-сигнал представляет собой разность потенциалов между электродами, размещенными на поверхности головы. Существует два вида электрической активности мозга: это спонтанная активность и вызванные потенциалы. Спонтанной активностью называются электрические колебания, которые соответствуют нормальному состоянию человеческой деятельности, т. е. когда у человека нет никаких выраженных чувственных или мыслительных процессов. Вызванным потенциалом называют реакцию мозга на внешний стимул или электрические колебания системного характера, возникающие в нервных структурах в ответ на раздражение рецепторов. Вызванные потенциалы можно использовать как канал связи между мозгом человека и компьютером. Каждая мыслительная деятельность человека характеризуется вызванным потенциалом на электроэнцефалограмме. Распознавание конкретной деятельности человека по вызванным потенциалам является основополагающей идеей, развивающейся в последнее время в области интерфейса мозг-компьютер (Brain-Computer Interface) [2, 3]. Тем не менее разработка BCI еще в самом начале. Необходимо понять, каким же образом создается связь между мозгом человека и компьютером, какие алгоритмы следует использовать для автоматизированного анализа этих объектов. Электроэнцефалограмма является неинвазивным методом регистрации активности мозга. Любое эмоциональное состояние, визуальное восприятие, моторная активность отражаются на ЭЭГ-сигнале, что делает его обработку достаточно трудоемкой задачей. Для выделения вызванных потенциалов из ЭЭГ используют два основных подхода. Первый основан на обработке только самого сигнала, выделение соответствующих спектральных характеристик, удаление артефактов, определение принципиальных компонент сигнала для вызванных потенциалов. Второй подход, который используется в данной работе, основан на выделении характерных для вызванных потенциалов активных областей мозга. Как правило, определение локализации таких областей происходит в рамках конкретной модели мозга. В настоящей работе используется дипольная модель источников. Модель основана на предположениях о нейронных клетках как источниках (генераторах) электрического тока. Мозг моделируется как некий объемный проводник с