Асимптотика конъюнкторной сложности самокорректирующихся схем для монотонных симметрических функций с порогом 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

одна траектория ш' идет вверх, и STk+1 (ш') = STk (ш') + 1;

другая траектория ш'' идет вниз, и STk+i(ш'') = STk(ш'') — 1. Заметим также, что STk(ш') = STk(ш''), Mn(ш')—Mn(ш'') £ {0,1, 2}. Действительно, максимумы двух траекторий, отличающихся только на одном шаге, отличаются на 0, 1 или 2:

0, если обе они достигли своего максимума Mn(ш') = Mn(ш'') до шага разветвления (шаг, на котором они отличаются);

1, если до шага разветвления они достигли лишь значения Mn (ш') — 1;

2, если до шага разветвления они не достигли значения Mn(ш') — 1. Тогда эта пара вносит следующий вклад в разницу (XTk — XTk+i):

(f (Stk (ш''),ММ(ш'')) — f (Stk+i(ш''),ММ(ш''))) — (f (Stk+i (ш'),Mn(ш')) — f (Stk (ш'),Mn(ш'))) ^ 0. Данное неравенство является следствием леммы при s1 = STk+i (ш''), s2 = STk (ш'), As = 1, m1 = Mn(ш''), m2 = Mn(ш') (тогда мы знаем, что s2 = s1 + 1, m2 — m1 £ {0,1,2}).

Таким образом, каждая пара траекторий вносит неотрицательный вклад в разницу (XTk — XTk+i) для любого k = 1,...,r — 1, откуда следует неравенство (3), а го него — неравенство (2). Теорема 2 доказана. □ Автор приносит благодарность А. Н. Ширяеву за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2: Теория. М.: Фазис, 1998.

2. Shiryaev A.N., Xu Z., Zhou X.Y. Thou shalt buy and hold // Quantitative Finance. 2008. 57, N 8. 765-776.

3. Allaart P.C. A general "bang-bang" principle for predicting the maximum of a random walk //J. Appl. Probab. 2010. 47, N 4. 1072-1083.

Поступила в редакцию 01.03.2013

УДК 511

АСИМПТОТИКА КОНЪЮНКТОРНОЙ СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ для монотонных СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОРОГОМ 2

Т. И. Краснова1

Для монотонных симметрических булевых функций /^(xi,..., xn) = V xiхз ПРИ

растущем n установлена асимптотика L&(/n) ~ (k + 2)n, где L&&(/n) _ конъюнкторная сложность реализации функции /П k-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе B = {&, —}, вес над^кного конъюнктора ^ k + 2.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, монотонные симметрические булевы функции, конъюнкторная сложность, самокорректирующаяся схема.

It is stated that the conjunction complexity L&&(/n) of monotone symmetric Boolean functions /n(xi;..., xn) = \J XjXj realized by k-self-correcting circuits in the basis B =

{&, —} asymptotically equals (k + 2)n for growing n when the price of a reliable conjunctor is > k + 2.

Key words: circuits, monotonie symmetric Boolean functions, conjunction complexity, self-correcting circuit.

В работе

рассматривается реализация булевых функций /^(xi,... ,xn) —

V xixj (т.е. монотон-

l^iKj^n

пых симметрических пороговых функций с порогом 2) k-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе B = {&, —} [1, 2]. Схема называется k-самокорректирующейся, если при

1 Краснова Татьяна Игоревна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kotovatï®ya.ru.

переходе в неисправное состояние не более чем к произвольных ненадежных элементов она реализует ту же самую функцию, что и в исправном состоянии всех ее элементов [3]. Все инверторы предполагаются надежными элементами, всегда реализующими инверсию и имеющими нулевые веса. Каждый надежный конъюнктор имеет фиксированный вес р, где р ^ к + 2, и всегда реализует конъюнкцию. Каждый ненадежный конъюнктор имеет вес 1 и в исправном состоянии реализует конъюнкцию, а в неисправном состоянии — булеву константу 5, которая предполагается фиксированной и заранее известной. Таким образом, все неисправности в схеме предполагаются константными однотипными на выходах неисправных конъ-юнкторов. Конъюнкторная сложность £&(/) — это наименьшая из сложностей к-самокорректирующихся схем в описанном выше базисе, реализующих булеву функцию /; под сложностью схемы понимается сумма весов всех элементов этой схемы.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. При растущем п выполняется соотношение £&(/П) ~ (к + 2)п

Вспомогательные утверждения. Возьмем произвольную схему 5 в базисе В. Элемент Е- назовем хг-блокиратором [4], если Е- — единственный инвертор в каком-то пути 2 из входа х^ (т.е. входа схемы, отвечающего переменной х^) в Е-; все остальные элементы из 2 (т.е. конъюнкторы), отличные от Е будем считать хг-предблокира,т,орны,м,и.

Лемма 1 [4]. Если функция /(х1,... ,хт) непредставимо, в виде

то ни один хг-блокиратор не может быть выходным, элементом схемы.

Доказательство. Предположим, что х^-блокиратор Е- является выходным элементом схемы. По определению существует путь из входа х^ в Е-, не содержащий инверторе в, кроме Е-. Значит, функция (2)

Будем говорить, что элемент Е следует, за, хг-блокиратором, если хотя бы на один из входов этого элемента подается выход этого х^-блокиратора.

Лемма 3. Если к-самокорректирующаяся схем,а, Б реализует функцию /(х1,... ,хт) существенно зависящую от переменной хг и непредставимую в виде (1) или (2), то сумм,а, весов всех элементов, следующих за хг-блокирторами в в, не меньше к + 1.

Доказательство. Предположим, что сумма весов всех элементов, следующих за х^-блокираторами, к +1 к ложим, что все эти элементы неисправны. В этом случае реализуемая схемой функция должна остаться

к

при указанной неисправности не зависит от переменной х^, поскольку по лемме 1 х^-блокиратор найдется в любом пути из входа х^ в выход схемы, а по лемме 2 ни один из х^-блокираторов не является выходным элементом, и поэтому в любом пути из х^ в выход схемы найдется неисправный элемент. Получаем противоречие, исключающее наше предположение. Лемма доказана.

Заметим, что /П существенно зависит от всех своих переменных и непредставима в виде (1) или (2). Нижняя оценка. Нижние оценки будем доказывать в предположении, что на входы схем наряду с переменными подаются константы 0 и 1. Ясно, что получаемые оценки будут справедливы и для случая, когда на входы схем разрешается подавать только переменные. При этом предположении любая схема в рассматриваемом базисе обладает следующими свойствами [5].

Свойство 1. Если в к-самокорректирующейся схеме 5 на выходах некоторых исправных элементов

к

реализующую ту же функцию, что и 5.

Свойство 2. Если в к-самокорректирующейся схеме 5 на входы, некоторых исправных элементов

к

реализующую прежнюю функцию.

Заметим, что слова "реализуется константа" (или "подается константа") означают, что она реализуется (подается) при всевозможных допустимых неисправностях в схеме, допустимых в том смысле, что их к

потребуется следующее очевидное свойство, обобщающее первые два.

/ (х1, •••, хт) — хг&д(х11 • •• хт),

то любой путь из входа, хг в выход схем,ы содержит хг-блокиратор. Лемма 2. Если функция /(х1, • • • ,хт) непредставима в виде

(1)

/ (х1, • ••) хт) — хг&д(х11 • ••! хт) I

(2)

Свойство 3. Если в к-самокорректирующейся схеме 5 существует, такое множество элементов М, что при одновременном, исправном состоянии всех элементов из М на, выходах некоторых из них реализуются константы, а на входы, остальных элементов из М подаются константы, то все элементы Мк

Для любой схемы как нетрудно заметить, существует эквивалентная ей схема 5", которая содержит те же конъюнкторы, что и и в которой нет цепей из двух и более инверторов; именно такие схемы без цепей из двух и более инверторов будем рассматривать ниже.

Лемма 4. При п ^ 3 справедливо неравенет,во ^ 1) + к + 2.

Доказательство. Пусть 5 — произвольная минимальная к-самокорректирующаяся схема, реализующая /П, п ^ 3. Покажем, что из 5 можно удалить какие-то элементы с общим весом не менее к + 2 и получить к-самокорректирующуюся схему для /2П • Так как в рассматриваемых нами минимальных схемах нет цепей из двух и более инверторов, то все элементы, следующие за ж^-блокираторами, — конъюнкторы.

Предположим, что для некоторого входа ж^ в схеме 5 за ^-блокираторами следуют конъюнкторы К&,..., Кг&, сумма весов которых не меньше к + 2. В этом случае при ж^ = 0 по свойству 3 можно будет удалить все эти конъюнкторы, а также Жг-предблокираторные конъюнкторы и ж^-блокираторы и получить к-самокорректирующуюся схему, реализующую /2П- 1; утверждение леммы выполнено.

Предположим теперь, что для каждого входа ж^, г = 1,...,п, за ж^-блокираторами следуют какие-то конъюнкторы К &,..., К&, сумма весов которых менее к + 2; заметим, что в таком случае все эти г конъюнкторов ненадежные, поэтому сумма их весов не превосходит к + 1. По лемме 3 при любом г = 1,...,п сумма весов всех элементов, следующих за ж^-блокираторами, не меньше к + 1. Получается, что для каждого г = 1,...,п за ж^-блокираторами следует ровно к + 1 ненадежных конъюнкторов.

Предположим, что в схеме 5 найдется вход ж^, с которым соединен вход хотя бы одного конъюнктора. Введем в схеме 5 монотонную нумерацию вершин таким образом, чтобы для любой дуги номер начала дуги был меньше номера ее конца [2], и выберем из всех таких конъюнкторов конъюнктор К & с наименьшим номером. В силу минимальности схемы в этом случае существует цепочка К&,..., К&, Е-, I ^ 1, в которой хотя бы один вход конъюнктора = 2,.. .,1, соединен с выходом конъюнктора К&_ 1, а вход

инвертора Е-(являющегося в данном случае ж^-блокиратором) — с выходом конъюнктора К&.

Если среди конъюнкторов К &,..., К& имеется хотя бы один конъюнктор К&, который не следует за ж^-блокиратором, то при ж^ = 0 по лемме 3 и свойству 3 можно удалить к + 1 конъюнкторов, следующих за ж^-блокираторами, и еще, по крайней мере, конъюнктор К& (а также жг-предблокираторные конъюнкторы и ж^-блокираторы); утверждение леммы выполнено.

Предположим, что все конъюнкторы К&,..., К& следуют за ж^-блокираторами. В этом случае выделим ж^-блокиратор Е-, за которым следует

К & К &

Е- соединен со входом схемы. А поскольку Е- — ж^-блокиратор, то этот вход отвечает переменной ж^.

К & 0

этот случай исключается.

Остается рассмотреть случай, когда входы схемы "напрямую" со входами конъюнкторов не соединяются и для каждого входа ж^ за ж^-блокираторами следует ровно к + 1 ненадежных конъюнкторов. Пусть Е& — конъюнктор из 5 с наименьшим номером; на его входы могут подаваться только функции, реализуемые одними лишь инверторами, т.е. только отрицания переменных (иначе номер конъюнктора Е& не

Е &

ма 5 минимальна; отсюда следует, что на выходе исправного элемента Е& всегда реализуется некоторая функция д = ж^&жу. За ж^-блокираторами помимо

Е &

следуют еще какие-то к конъюнкторов Е&,..., Е&+ 1. Но в этом случае при подаче на вход ж^ единицы и при неисправности элементов Е&,..., Е&+ 1 реализуемая схемой функция не будет зависеть от ж^, тогда как подфункция /2П(ж 1,...,ж:?--1,1,ж.,-+1 ,...,жп) = ж 1 V ... V ж^- 1 V 1 V ... V жп (которую должна выдавать к-самокорректирующаяся схема), очевидно, существенно зависит от ж^. Полученное противоречие исключает рассматриваемый случай. Лемма доказана.

Нижняя оценка (/2П) > (к + 2)п легко устанавливается индукцией по п с использованием леммы 4.

Верхняя оценка. Для доказательства верхних оценок воспользуемся обобщенной конструкцией М.И. Гринчука [6] из работы Н.П. Редькина [5].

Верхнюю оценку для ^(/П) получим конструктивно: построим к-самокорректирующуюся схему требуемой сложности в зависимости от типа неисправности. Пусть схема — эт0 к-самокорректирующаяся схема в базисе = {V, —} из работы [5]. Заменим все ненадежные дизъзюжзкторзъ! в СХ6М6 НЕ

подсхемы из трех надежных инверторов и одного ненадежного конъюнктора, а все надежные дизъюнкто-ры — на подсхемы из трех надежных инверторов и одного надежного конъюнктора. Заметим, что после подобной замены неисправность типа 1 на выходе неисправного конъюнктора соответствует неисправно-0 соответствует схеме

Поскольку все инверторы в построенной схеме б*5 имеют нулевые веса, число надежных дизъюнкторов в схеме совпадает с числом надежных конъюнкторов в схеме 55, а число ненадежных дизъюнкторов в схеме — с числом ненадежных конъюнкторов в схеме 55, то имеем £(55) ^ )•

От противного докажем, что построенная нами схема 55 действительно к-самокорректирующаяся

5

Шаг 1. Введем в схеме б"5 монотонную нумерацию вершин таким образом, чтобы для любой дуги номер начала дуги был меньше номера ее конца [2]. А в схеме рассмотрим монотонную нумерацию вершин, индуцированную монотонной нумерацией вершин схемы 55, следующим образом: дизъюнктору припишем номер выходного инвертора в соответствующей ему при замене подсхеме; инвертору — номер соответствующего ему инвертора из схемы

Заметим, во-первых, что при исправной работе обеих схем на выходах элементов с одинаковыми номерами реализуются одинаковые функции. Во-вторых, при одновременном переходе в неисправное состояние типа 5 ненадежного конъюнктора и в состояние типа 5 соответствующего ему ненадежного дизъюнктора на выходе этого дизъюнктора и инвертора из схемы б"5

5

Шаг 2. Рассмотрим такое множество М, состоящее те более чем из к ненадежных конъюнкторов, что при переходе их в неисправное состояние типа 5 схема 55 перестада реализовывать /2П. Поставим множеству М в соответствие множество М^, состоящее из дизъюнкторов схемы из которых после замены были получены конъюнкторы множества М. Заметим, что при переходе дизъюнкторов множества Му в неисправное состояние типа 5 схема продолжает релизовывать т.е. на выходах выходных элементов схем

5 5

и реализуются разные функции.

Шаг 3. Выберем элемент Е в схеме с минимальным номером, удовлетворяющий следующему свойству: на его выходе и на выходе элемента схемы 55 с таким же номером реализуются разные функции. Теперь рассмотрим три случая.

Случай 1. Элемент Е — инвертор. Тогда соответствующий ему в схеме 55 элемент — это тоже инвертор, причем с тем же номером. Из неравенства функций, реализуемых на выходах исправных инверторов, автоматически следует неравенство функций, подаваемых на их входы.

Случай 2. Элемент Е — неисправный ненадежный дизъюнктор. Сразу получаем противоречие, так как на выходе этого дизъюнктора и инвертора из схемы б"5 с таким же номером реализуется константа 5.

Е

ему в схеме 55 элемент — это надежный или исправный ненадежный конъюнктор, выход которого соединен со входом инвертора с тем же номером. Из неравенства функции, реализуемой на выходе дизъюнктора Е

ностью исправной подсхемы, автоматически следует неравенство функций, подаваемых хотя бы на один из соответствующих входов дизъюнктора и подсхемы.

Подытожим случаи 1 и 3. Если в схеме на соответствующий вход элемента Е подается непосредственно переменная, то получаем противоречие. Если же подается выход какого-то элемента Е', то его

Е

Принимая во внимание асимптотическую оценку сложности схемы из работы [5], имеем

¿!(/2гаК Д^К ¿05$) ~ (А; + 2)п.

Теорема доказана.

Автор выражает признательность профессору И. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколени" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.

3. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

4. Краснова Т.П. Инверсионная сложность самокорректирующихся схем для одной последовательности булевых функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 3. 53-56.

5. Редькин Н.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 2. 62-79.

6. Гринчук М.И. О монотонной сложности пороговых функций // Методы дискретного анализа в теории графов и сложности: Сб. науч. тр. Т. 52, № 2. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1992. 41-48.

Поступила в редакцию 13.04.2012

УДК 512.572

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВОЗРАСТАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ ТОЖДЕСТВ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР А. Джамбруно1, М. В. Зайцев2

Изучаются числовые характеристики тождеств ассоциативных и неассоциативных алгебр. Анонсирован результат о том, что у ассоциативной PI-алгебры последовательность коразмерностей асимптотически возрастает и что для произвольных неассоциативных алгебр это неверно.

Ключевые слова: тождества, коразмерности, монотонный рост.

Numerical characteristics of identities of associative and non-associative algebras are studied in the paper. It is announced that the sequence of codimensions of an arbitrary associative PI-algebra asymptotically increases and that this is not true in the general non-associative case.

Key words: identities, codimensions, monotone growth.

Пусть A — ассоциативная PI-алгебра над полем F нулевой характеристики. Каждой такой алгебре можно сопоставить целочисленную последовательность {cn (A)} n = 1, 2,..., характеризующую количе-

A

ными тождествами можно найти в [1, 2]. Напомним, что

Сп{А) = (ШРпъщау

где Pn — пространство полилинейных многочленов от переменных xi,...,xn в свободной ассоциативной алгебре F < X > со счетным множеством порождающих X = {xi, Ж2,...}, a Id(A) — Т-идеал тождеств алгебры A в F < X >. Последовательность {cn(A)} содержит важную информацию о тождествах алгебры A

современной PI-теории.

Точное вычисление последовательности коразмерностей — чрезвычайно сложная задача, она решена только в очень частных случаях. Например, если A = G — внешняя алгебра бесконечномерного векторного пространства, то cn(G) = 2n-1, как показано в [3].

Если A = UT2(F) — алгебра верхнетреугольных матриц 2 х 2 над F, то (см. [4])

cn(UT2(F)) = (n - 1)2n-1 +2.

{cn(A)} A

аналитической задачей. Одним из первых ключевых результатов в данном направлении стала работа [5] (и альтернативное более позднее доказательство этого факта в [6]), в которой показано, что для любой PI-алгебры A существует вещественная константа a, такая,что

cn(A) < an (1)

1 Джамбруно Антонио — доктор наук, проф. Департамента математики и информатики Ун-та Палермо (Италия), e-mail: antonio.giambrunoQunipa.it.

2 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zaicevmvQmail .ru.