Асимптотически минимальные схемы для одной последовательности булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для доказательства нижней оценки воспользуемся мощностным неравенством, вытекающим из леммы 5,

\l0g Wx,u,co(n)J и тем фактом, что log W\,v,u(ri) ^ п — logп + 0(1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ложкин С. А. Основы кибернетики. М.: Изд-во МГУ, 2004.

2. Л у панов О. Б. О синтезе контактных схем // ДАН СССР. 1958. 119. № 1. С. 23-26.

3. Л у пан о в О. Б. Об асимптотических оценках числа графов и сетей с п ребрами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. С. 5-21.

4. Ложкин С. А. О синтезе ориентированных контактных схем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995. № 2. С. 36-42.

5. Lozhkin S.A., Shiganov А. Е. High accuracy asymptotic bounds on the BDD size and weight of the hardest functions // Fundamenta Informaticae (in print).

6. Коршунов А. Д. Об асимптотических оценках сложности контактных схем заданной степени // Дискретный анализ: Сб. науч. тр. Вып. 5. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1965. С. 35-63.

7. Шиганов А. Е. О сложности ориентированных контактных схем с ограниченной полустепенью исхода // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докл. XV Международной конф. Казань: Отечество, 2008. С. 133.

8. Ложкин С. А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. С. 189-214.

9. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 06.10.08

УДК 519.95

Т.И. Краснова1

АСИМПТОТИЧЕСКИ МИНИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ*

Для монотонных симметрических булевых функций /™(ж) = V установлена асимпто-

тика Ьв(/™) ~ Зп, где Ьв(/™) — сложность реализации функции схемами из функциональных элементов в базисе В = {&, —}.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность схемы, монотонные симметрические булевы функции.

Для монотонных симметрических булевых функций /^(ж) = V х^х^ установлена асимптотика Ьв(/2) ~ Зп, где Ьв(— сложность реализации функции в базисе В = {&, —}.

1 Механико-математический факультет МГУ, студ., е-таП:ко1юуа1л€1уа.ги.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект № НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

1. Введение. Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе В = {&, [1, 2].

Под сложностью Ь(Б) схемы Б подразумевается число функциональных элементов в Б. Сложностью реализации Ьв{/) булевой функции / называется наименьшая из сложностей схем в заданном базисе В, реализующих эту функцию.

Далее рассмотрим реализацию монотонных симметрических булевых функций (ж) (т.е. пороговых симметрических функций с порогом 2) в базисе В.

2. Оценка Ьв(/^(ж)) снизу. Нижнюю оценку будем доказывать в предположении, что на входы схем наряду с переменными подаются константы 0 и 1. Ясно, что получаемые оценки справедливы и для случая, когда на входы схем разрешается подавать только переменные. При этом предположении любая схема в рассматриваемом базисе обладает следующими свойствами [3].

Свойство 1. Если в схеме Б на выходе некоторого элемента реализуется константа, то этот элемент можно удалить, получив схему, реализующую ту же функцию, что и Б.

Свойство 2. Если в схеме Б хотя бы на один из входов некоторого элемента подается константа, то этот элемент можно удалить, получив схему, реализующую прежнюю функцию.

Свойство 3. Если в схеме Б выход некоторого элемента Е не является выходом схемы и не соединен с входами других элементов, то Е можно удалить, получив схему, которая реализует первоначальную функцию.

Лемма 1. При п ^ 3 справедливо неравенство ^ Ьв{^~1) + 3.

Доказательство. Пусть Б — произвольная минимальная схема, реализующая /^(ж), п ^ 3, и содержащая наименьшее возможное число конъюнкторов. Покажем, что из Б можно удалить не менее трех элементов и получить схему для /^_1(ж).

Введем в схеме монотонную нумерацию вершин таким образом, чтобы для любой дуги номер начала дуги был меньше номера ее конца [2]. Рассмотрим конъюнктор Е& с минимальным номером. Заметим, что на входы Е& могут подаваться только переменные и функции, реализуемые одними инверторами (иначе получаем противоречие с минимальностью номера ЕПусть д — функция, реализуемая на выходе Е^.

Заметим, что выход Е& при п ^ 3 не может быть выходом всей схемы, поскольку у д не более двух существенных переменных, а у (ж) их п. Тогда множество Е = {. !•'.■>■ • • •, -Е1«}, состоящее из элементов, у каждого из которых хотя бы один вход соединен с выходом элемента Е^, не пусто.

Если ^ = Жг, г € {1,..., п}, то Е& можно удалить, и исходная схема не будет минимальной, а если д = Жг, г € {1,... , п}, то конъюнктор Е& можно заменить, очевидно, на инвертор, тогда как исходная схема по предположению содержит наименьшее возможное число конъюнкторов. Следовательно, д не может зависеть ровно от одной переменной.

Без ограничения общности можно считать, что д = д(Ж1,Ж2) зависит только от х\ и ж2. Если ¿-я, 'I € {1,2}, переменная подается на вход Е& инвертированной, то обозначим через Е~ инвертор г-ш переменной, выход которого подается на вход Е

Докажем, что существует хотя бы один элемент Е', Е' ^ {Е± , Е^-, -Е^}, один из входов которого соединен с выходом какого-то элемента Е~ или со входом схемы ж*, 1 € {1,2}.

Предположим противное. Пусть такого элемента Е' не существует и в любую цепь, ведущую из входа х\ или из входа жг в выход схемы Б, входит ЕВ этом случае, как нетрудно заметить, схема обладает следующим свойством: если д(а\,а2) = д(а[,а'2), то и /(о-!,<т2,от) = /(сг[,а2,с), где / — реализуемая схемой Б функция, а а — любой набор длины п — 2.

Выделим следующие пять входных наборов схемы Б:

сг! = (0,0,01_^0), а2 = (0,1,01_^0), стз = (0,1,1,01_^0),

п—2 п—2 п — 3

(74 = (1, 1, 0, ... , 0), ¿5 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0).

п—2 п-3

Функция д(ж1,жг) на наборах (0,0), (0,1), (1,1) принимает не более двух значений, значит на наборах одной из пар ((0, 0), (0,1)), ((0, 0), (1,1)), ((1,1), (0,1)) значения совпадают. Если д(0, 0) = д(0,1), то по указанному выше свойству схемы /(05) = /(¿з), но /^(05) ф ЛЧбз)- Если <7(0,0) = <7(1,1), то /(£1) = /(£4), но Ф /2п(ст4). Если д{ 1,1) = д{0,1), то /(сг2) = /(<т4), но /2П(<72) ф /2п(ст4)-

Получаем противоречие, исключающее наше предположение. Значит, существует хотя бы один вышеуказанный элемент £"; зафиксируем его. Один из входов Е' соединен с выходом какого-то элемента Е~ или со входом xi (для конкретного г G {1,2}).

Подадим на вход схемы, отвечающий ж*, константу 0. Получившаяся схема S' реализует функцию ¡2~1 от оставшихся переменных.

Пусть существует инвертор Е~, тогда из схемы S' можно удалить Е' и Е& по свойству 2 и Е~ по свойству 1.

Пусть инвертора Е~ нет, тогда по свойству 2 из схемы S' можно удалить Е', Е& и все элементы из Е. Если в Е входят два или больше двух элементов, то всего из схемы будет удалено не менее трех элементов. Остается рассмотреть случай, когда Е = {£"}. Заметим, что тогда Е' — двухвходовой элемент, поскольку на один его вход подается выход Е^, а другой вход соединен со входом ац. Таким образом, Е' — конъюнктор. Его выход не может быть выходом схемы S, поскольку реализует О, если Xi = 0 (независимо от значений остальных переменных). Значит есть элемент Е", один из входов которого соединен с выходом элемента Е'. Элемент Е" тоже можно удалить из схемы S' по свойству 2. Лемма доказана.

3. Асимптотика для LB(/^) при растущем п.

Теорема. При растущем п

LB(/«)~3n.

Доказательству теоремы предпошлем некоторое специальное представление функции (ж) и вспомогательную лемму. Запишем переменные xi,...,xn в матрицу M размера к х п, где m, = px/n], к = так, чтобы в г-ш строке и в j-м столбце стояла переменная ж/ф_1)+г, если k(j — 1) + г ^ п,

иначе оставим клетку пустой; несколько последних клеток последнего столбца, возможно, останутся пустыми. Обозначим через дизъюнкцию переменных г-го столбца, а через Zi дизъюнкцию переменных г-ш строки. М.И. Гринчук в [4] нашел для /^(ж) следующее представление:

№) = /2TO(y)v/2fc(5), (1)

где ж = (жь ... ,жп), у = (г/i,... ,уп), z = (zi,.. .,zn).

Справедлива также

Лемма 2. В базисе В = {&,

LB(fï) <: 12п.

Доказательство. Функция (ж) представима в виде

/г (жь • • • ,жп) = жп(ж1 V ... V Xfi—i ) V ¡2~1{ жъ • • .,xn-i).

Это представление можно промоделировать в базисе В = {&, V, схемой, содержащей менее 3п элементов. После замены каждого дизъюнктора подсхемой из одного конъюнктора и трех инверторов сложность возрастет не более чем в четыре раза. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Верхняя оценка. Построим схему S, моделирующую (1). С помощью п инверторов реализуем xi,..., хп. Возьмем две подсхемы Sy и Sz, каждая из которых в свою очередь разбивается на две подсхемы S'y, S'y и S'z, S" соответственно. Далее будем реализовывать дизъюнкцию каждой группы переменных как отрицание конъюнкции уже полученных отрицаний этих переменных.

Подсхема S'y имеет п входов, на которые подаются инверсии переменных xi,..., жп, и m выходов, на которых реализуются yi,..., ут. На это потребуется п — т конъюнкторов и m инверторов, тем самым L(S'y) = п. Аналогично на п входов подсхемы S'z подаются х\,... ,жп, а на к ее выходах реализуются z\,..., Zfc. На это потребуется п — к конъюнкторов и к инверторов, тем самым L(S'Z) = п.

Подсхема S'y имеет m входов, на которые подаются yi,... ут, и один выход, на котором реализуется /™(у). Согласно лемме 2, получаем L(S'y) ^ 12m ^ \2{у/п + 1). Аналогично подсхема S" имеет к

входов, на которые подаются t'i.....:>. и один выход, на котором реализуется /g (z). Согласно лемме 2,

получаем L(S^) < 12к < 12(^+1).

Осталось реализовать дизъюнкцию /™(у) V/2 (z); на это понадобится еще 4 элемента. Согласно (1), полученная схема S реализует функцию ж). В итоге получаем верхнюю оценку теоремы:

LB(/2n) < LB(S) ^п + п + п+ 12(Vn + 1) + 12(Vn + 1) + 4 = Зп + 24^п + 28 ~ Зп.

Нижнюю оценку нетрудно получить индукцией попе использованием леммы 1. Теорема доказана. Выражаю признательность моему научному руководителю, профессору кафедры дискретной математики Н.П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л у панов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: ЦПИ при мехмате МГУ, 2002.

3. Редькин Н.П. Доказательство минимальности некоторых схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. С. 83-101.

4. Грин чу к М. И. О монотонной сложности пороговых функций // Методы дискретного анализа в теории графов и сложности. Вып. 52. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1992. С. 41-48.

Поступила в редакцию 12.11.08

LOW RANK PERTURBATIONS OF NORMAL AND CONJUGATE-NORMAL MATRICES AND THEIR CONDENSED FORMS WITH RESPECT TO UNITARY SIMILARITIES AND CONGRUENCES

Ghasemi Kamalvand M.. Ikramov Kh. D.

Two theorems are proved on the compact forms with respect to unitary similarity and unitary congruence transformations. They yield a theoretical basis for economical iterative methods that solve systems of linear equations whose coefficient matrices are low-rank perturbations of normal and conjugate-normal matrices.

Keywords: normal matrices, conjugate-normal matrices, unitary similarities, unitary congruences, generalized Lanczos process.

A NUMERICAL METHOD FOR CALCULATING SOLITONS OF THE NONLINEAR SCHRODIN-GER EQUATION IN THE AXIALLY SYMMETRIC CASE

Matusevich O. V., Trofimov V. A.

A numerical method is proposed for determination of the eigenfunctions and eigenvalues of the nonlinear Schrodinger equation in the axially symmetric case. Optical solitons interpreted in the physical sense are found for various values of the nonlinearity coefficient by means of the developed method. As has previously been shown by other authors, such solitons are unstable under small perturbations of their shape. Since the considered problem finds numerous applications, methods providing for soliton stabilization are widely discussed in the literature. One of these methods involves strong modulation of the medium nonlinearity or even the reversal of the nonlinearity sign, which necessitates taking into account the wave reflected from irregularities and analyzing additionally the applicability of the mathematical model. We show that, theoretically, it is possible to stabilize a soliton via weak modulation of the cubic-nonlinearity coefficient. Such modulation ensures alternation of the length of nonlinear layers and enables one to increase the path length by a factor of 70 without a beam collapse.

Keywords: nonlinear Schrodinger equation, iteration method, eigenfunction, eigenvalue, femtosecond pulse.

SOLUTION OF AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH PHASE CONSTRAINTS BY THE DOUBLE VARIATION METHOD

Rovenskaya E. A.

An optimal control problem with an integral quality index specified in a finite time interval is formulated for a model of economic growth that leads to emission of greenhouse gases. The controlled system is linear with respect to control. The problem contains phase constraints that abandon emission of greenhouse gases above some predefined time-dependent limit. As is known, optimal control problems with phase constraints fall beyond the sphere of efficient application of the Pontryagin maximum principle because, for such problems, it is formulated in a complicated form that is difficult for analytic treatment in particular situations. In this study, the analytic structure of the optimal control and phase trajectories is constructed using the double variation method.

Keywords: phase constraints, double variation method, modeling of economic growth and emission of greenhouse gases.

ON THE CHOICE OF THE SMOOTHING PARAMETER IN KERNEL DENSITY ESTIMATION

Ushakov V. G., Ushakov N. G.

Algorithms for the automatic choice of the smoothing parameter in the problems of kernel density estimation using the behavior of the total variation of the estimate are proposed.

Keywords: kernel estimates, smoothing parameter, total variation.

RECONSTRUCTION OF DISTRIBUTIONS OF RANDOM FUNCTIONS IN PROBLEMS OF STOCHASTIC DIFFRACTION TOMOGRAPHY

Shestakov O. V.

The problem of reconstruction of the probabilistic characteristics of the refractive index of an object is considered. The object changes its structure during recording of projection data. Within the framework of the basic model of diffraction tomography, a method for reconstructing the distributions of a random function from projection distributions is developed for the case when the random function has no more than a countable number of states.

Keywords: stochastic tomography, Radon transform, projections, random functions, diffraction theorem.

THE NUMBER OF PUBLIC KEYS IN THE McELIECE-SIDEL'NIKOV CRYPTOSYSTEM

Chizhov I. V.

The McEliece-Sidel'nikov cryptosystem is a modification of the McEliece cryptosystem, which is one of the oldest public-key cryptosystems. It was proposed by V.M. Sidel'nikov in 1994 and is based on the it-fold application of the Reed-Muller codes RM(r,m). A lower bound is obtained for the power of the set of public keys of the McEliece-Sidel'nikov cryptosystem using an arbitrary number u of blocks.

Keywords: public-key cryptography, code cryptosystem, McEliece cryptosystem, McEliece-Sidel'nikov cryptosystem, coding theory, Reed-Muller codes, estimates of the number of public keys.

ON THE SYNTHESIS OF ORIENTED CONTACT NETWORKS WITH SOME RESTRICTIONS IN ADJACENT CONTACTS

Shiganov A. E.

Realization of Boolean functions in the class of oriented contact networks (OCN) with some restrictions on the weight, number, and type of adjacent contacts is studied. OCNs are considered in which, from an arbitrary vertex, at most A arcs issue and at most v different Boolean variables are used in the attachment to the issuing arcs. The weight of a vertex of an OCN is defined as being equal to A if one arc enters the vertex and equal to A(1 +w), where ui > 0, otherwise. Then, as usually, the weight of an OCN is defined as the sum of the weights of its vertices; the weight of a Boolean function, as the minimum weight of OCNs realizing it; and the Shannon function Wx,v,u{n), as the maximum weight of the Boolean function of n variables. For this Shannon function for A > 1, v > 1, and arbitrary ui > 0, the so-called high-accuracy estimate

A 2n ( 2ArV2l°gn±0(l)\

Wx,v,u(n) = t——— 1 + ---— •

A — 1 n \ n f

is obtained. This result shows the influence of the weight and structural restrictions introduced in the class of OCNs on the asymptotic behavior of the Shannon function Wx,v,u{n) and its high-accuracy estimates.

Keywords: Boolean function, contact network, Shannon function, high-accuracy estimate.

ASYMPTOTICALLY MINIMAL SCHEMES FOR ONE SEQUENCE OF BOOLEAN FUNCTIONS

Krasnova T. I.

Monotone symmetric Boolean functions /™(i) = V xix:i are considered. For such functions, the asymp-

totics LB(/™) ~ 3n, where LB(/™) is the complexity of realization of function /" by schemes of functional elements in the basis B = {&, —}, is established.

Keywords: schemes of functional elements, complexity of a scheme, monotone symmetric Boolean functions.

ИНДЕКС 71015 (каталог "Роспечать") ИНДЕКС 40577 (каталог "Пресса России")

ISSN 0201-7385. ISSN 0137-0782.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2009. № 3. 1-56.

ISSN 0201-7385 ISSN 0137-0782