CC BY
5где С = QB, В = Пусть Si = {X + А) (X + А)т и = (X + В) {X + В)т, где
X = (x\,...,xn) и xi ~ н.о.р. Np (0,Ip). Тогда S1 ~ Wp (n,Ip, Ai) и 52 ~ Wp (n,Ip, A2). Отметим, что нецентральное распределение Уишарта Wp (n, Е, MMT) зависит не от матрицы M, а только от параметра нецентральности MMT (см., например, [7]). Поэтому в силу (3) матрицу А можно положить равной (л/Ще 1,..., уауЗр), а матрицу С — равной (\//3iei,..., ■\/]Зрср)- В этом случае столбцы матриц А и С пропорциональны. Тогда имеем
QS2QT = (QX + QB) (QX + QB)T =d (X + С)(X + С)T ,
где =d означает равенство по распределению. Теперь рассмотрим последовательность матриц А = Aq, А\, ..., Ар_ 1, Ар = С, где Ак = (V/3ieb ..., \>%ек, ^Jak+\ek+i,..., Тогда по лемме 3 имеем
a(i(AoAT)) ... a(l(ApAT)). Отсюда заключаем, что
a(l(AAT)) a(l(CCT)) =d a(l(BBT)),
что и требовалось доказать.
3. Доказательство теоремы 1. Из леммы 2 следует, что если и и v — два случайных вектора, причем u ^st v, то для функции ф, не убывающей по каждому из своих аргументов, и для произвольной константы с выполнено неравенство
P (ф (и) ^ с) ^ P (ф (v) ^ с).
Используя обозначения теоремы 2, положим и = a (l (Ai)), v = a (l (A2)) и тем самым получим требуемое утверждение теоремы 1.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Ю.Н. Тюрину за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Das Gupta S., Anderson T.W., Mudholkar G.S. Monotonicity of the power functions of some tests of the multivariate linear hypothesis // Ann. Math. Statist. 1964. 35. 200-205.
2. Anderson T.W., Das Gupta S. A monotonicity property of the power functions of some tests of equality of two covariance matrices // Ann. Math. Statist. 1964. 35. 1059-1063.
3. Perlman M.D., Olkin I. Unbiasedness of invariant tests for MANOVA and other multivariate problems // Ann. Math. Statist. 1980. 8. 1326-1341.
4. Groeneboom P., Truax D.R. A monotonicity property of the power function of multivariate tests // Indagationes Mathematicae. 2000. 11. 209-218.
5. Richards D.S.P. Total positivity properties of generalized hypergeometric functions of matrix argument //J. Statist. Phys. 2004. 116, N 114. 907-922.
6. Shaked M., Shanthikumar J.G. Stochastic Orders. N.Y.: Springer-Verlag, 2006.
7. Muirhead R.J. Aspects of Multivariate Statistical Theory. N.Y.: Wiley, 1982.
Поступила в редакцию 13.05.2011
УДК 511
ИНВЕРСИОННАЯ СЛОЖНОСТЬ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Т. И. Краснова1
Для последовательности булевых функций /П(х1,. ..,хп) = \/ х^х^ при любых
фиксированных к, р ^ 1 и растущем п установлена асимптотика Ь-(/П) ~ п шт{к + 1,р}, где Ь-(/П) — инверсионная сложность реализации функции /П к-самокорректирующимися схемами из функциональных элементов в базисе В = {&, —}, р — вес надежного инвертора.
Краснова Татьяна Игоревна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, монотонные симметрические булевы функции, инверсионная сложность, самокорректирующаяся схема.
It is stated that the inversion complexity L-(fn) of monotone symmetric Boolean functions fn(xu ..., xn) = \J XiXj by fc-self-correcting schemes in the basis B = {&, —} for growing
n asymptotically equals n min{fc + 1,p} when the price of a reliable inventor p ^ 1 and к are fixed.
Key words: circuits of functional elements, monotone symmetric Boolean functions, inversion complexity, self-correcting circuit.
Будем рассматривать схемы из надежных и ненадежных функциональных элементов в базисе B = {&, —} [1, 2]. Схема называется к-самокорректирующейся, если при переходе в неисправное состояние не более чем к произвольных ненадежных элементов она реализует ту же самую функцию, что и при исправном состоянии всех ее элементов [3]. Каждый надежный инвертор имеет вес p, где p ^ 1, и всегда реализует инверсию. Каждый ненадежный инвертор имеет вес 1 и в исправном состоянии реализует инверсию, а в неисправном состоянии — булеву константу ó. Все конъюнкторы — надежные элементы (реализуют только конъюнкцию) и имеют нулевой вес.
Обозначим через L-(S) инверсионную сложность схемы S, т.е. сумму весов всех инверторов, содержащихся в S, и для произвольной булевой функции f положим L-(f ) = inf L-(S), где нижняя грань берется по всем fc-самокорректирующимся схемам, реализующим f. Заметим, что сложность схемы S равна Ш\ + p ■ m2, где Ш\ — число ненадежных инверторов в S, а Ш2 — число надежных инверторов в S. Полнота надежной части базиса гарантирует существование fc-самокорректирующихся схем, реализующих булеву функцию f ; пусть Sf — одна из таких схем и L-(Sf ) = L. Очевидно, существует не более (\L] + 1)2 таких пар (mi,Ш2), что Ш\ + p ■ Ш2 ^ L. Рассмотрим область значений функции L-(S), заданной на множестве всех fc-самокорректирующихся схем для булевой функции f, сложность которых не превосходит L. Очевидно, данная область конечна. Значит, величина L—(f ) достигается на некоторой fc-самокорректирующейся схеме Smin и задает инверсионную сложность реализации функции f fc-само-корректирующимися схемами.
В данной работе исследуется инверсионная сложность пороговой функции fn(xi,..., xn) = V XiXj.
Теорема. При любых фиксированных к е{1, 2,...}, p ^ 1 и растущем n выполняется соотношение
L-(fn) ~ n min{k + 1,p}.
Доказательству теоремы предпошлем вспомогательные утверждения. Вначале рассмотрим обычные (необязательно самокорректирующиеся) схемы из функциональных элементов в базисе B = {&, —}, реализующие булеву функцию f (xi,... ,xm). Инвертор E- в схеме S назовем Xi-блокиратором, если E- — единственный инвертор в каком-то пути [2] из входа "Xi ' (отвечающего в схеме S переменной Xi) в E-. Обозначим через L(f ) наименьшую из сложностей схем, реализующих булеву функцию f ; под сложностью схемы здесь понимается число всех элементов этой схемы.
Лемма 1. Если схема S реализует существенно зависящую от переменной Xi функцию f (xi,..., xm), которую нельзя представить в виде
f (xi,..., xm) = Xi&g(Xi,..., xm), (*)
то любой путь из входа "Xi" в выход схемы S содержит Xi-блокиратор.
Доказательство. Предположим, что нашелся путь из входа "Xi" в выход схемы S, не содержащий ни одного Xi-блокиратора. Тогда этот путь не содержит ни одного инвертора и содержит только конъюнкторы. Таким образом, функция f (xi,..., xm) представима в виде f (xi,..., xm) = xi&g(xi,..., xm), а это невозможно по условию леммы. Полученное противоречие исключает наше предположение. Лемма доказана.
Лемма 2. Если к-самокорректирующаяся схема S реализует функцию f (xi,... ,xm), существенно зависящую от переменной Xi и непредставимую в виде (*), то общий вес Xi-блокираторов в S не меньше min{fc + 1,p}.
Доказательство. Предположим, что вес всех Xi-блокираторов в S меньше min{fc + 1,p}. Значит, среди них нет ни одного надежного элемента, а число ненадежных не превосходит fc. Предположим, что все Xi-блокираторы перешли в неисправное состояние. С одной стороны, реализуемая схемой функция должна оставаться неизменной, так как схема fc-самокорректирующаяся. Но с другой стороны, функция,
реализуемая схемой после поломки, не может зависеть от переменной Xi, поскольку, согласно лемме 1, Xi-блокиратор найдется в любом пути из "Xi' в выход схемы. Получаем противоречие, исключающее исходное предположение. Лемма доказана.
Заметим, что функция f2(Z) существенно зависит от всех своих переменных и непредставима в виде (*). Нижние оценки для сложности реализации f2(XZ) ^-самокорректирующимися схемами удобно доказывать в предположении, что на входы схем наряду с переменными подаются константы 0 и 1 (ясно, что получаемые оценки справедливы и для случая, когда на входы схем разрешается подавать только переменные). При этом предположении любая схема в рассматриваемом базисе обладает следующим свойством [4].
Если в k-самокорректирующейся схеме S на выходе некоторого исправного элемента реализуется константа, то этот элемент можно удалить и получить k-самокорректирующуюся схему, реализующую ту же функцию, что и S.
С учетом этого свойства и леммы 2 устанавливается следующий определяющий для нижней оценки факт.
Лемма 3. При n ^ 3, любом фиксированном p и натуральном k справедливо неравенство
L-(f2) > L- (f2n-1) + min{k + 1,p}.
Доказательство. Пусть S — произвольная k-самокорректирующаяся минимальная схема, реализующая f2(x), n ^ 3. Подадим на вход схемы "Xi" константу 0. Получившаяся схема реализует функцию f2-1 от оставшихся переменных. По лемме 2 суммарный вес Xi-блокираторов не менее min{k + 1,p}.
Из определения Xi-блокиратора следует, что либо непосредственно на его вход подается переменная Xi, либо существует путь по конъюнкторам из Xi в него. Заметим, что если хотя бы на один из входов конъ-юнктора подается константа 0, то и на выходе этого конъюнктора реализуется константа 0 (напомним, что они по условию надежные элементы). Таким образом, мы установили, что на входы всех Xi-блокираторов подается константа 0. По пределению Xi-блокираторы являются инверторами, поэтому на их выходах реализуется константа 1.
Следовательно, по указанному выше свойству все Xi-блокираторы можно удалить. Отсюда и вытекает требуемое неравенство. Лемма доказана.
Для доказательства верхней оценки используется конструкция Гринчука из [5]. Запишем переменные Х\,... ,хп в матрицу М размера I х т, где m = \у/п},1 = \п/т\, так, чтобы в г-й строке и j-м столбце стояла переменная Xmj-i)+i, если m(j — 1)+i ^ n, иначе оставим клетку пустой. Таким образом, несколько последних клеток последнего столбца, возможно, останется пустыми. Обозначим через yj дизъюнкцию переменных j-го столбца, а через Zi — дизъюнкцию переменных i-й строки (j = 1,...,m; i = 1,...,l).
Лемма 4 (М.И. Гринчук [5]). Функцию f2(%) можно представить в виде
f2(Z) = fm(y) v fl(Z), (**)
где X = (Xi,.. .,Xn),y = (yi,.. .,ym), Z = (zi,.. .,Zi).
Лемма 5 [6]. При n выполняется соотношение L(f2) ~ 3n.
Доказательство теоремы. Верхняя оценка. Построим k-самокорректирующуюся схему Ss требуемой сложности.
Вначале рассмотрим случай, когда k + 1 ^ p, т.е. min{k + 1,p} = k + 1. Схему Ss составим из k + 1 одинаковых подсхем S1,..., Sk+1, моделирующих (**), и одной подсхемы S^ 2.
Подсхема Sjk+2 содержит надежные элементы и реализует в зависимости от предполагаемой ошибки либо конъюнкцию (5 = 0), либо дизъюнкцию (5 = 1) k + 1 переменных. Входы подсхемы Sjk+2 соединяются с выходами подсхем S1,..., Sk+1, а выход этой подсхемы является выходом всей схемы. Конъюнкцию реализуем с использованием надежных конъюнкторов, а дизъюнкцию группы переменных — как отрицание конъюнкции их отрицаний. В любом случае L-(Sk+2) < (k + 2)p.
Каждая подсхема Si, i = 1,...,k + 1, состоит из шести подсхем Si-, Sy, S%z, Sfy, Sfz, SiiV. Подсхема
Sl'~ содержит n ненадежных инверторов и реализует Х\,... ,хп. Подсхема S%y имеет п входов, на которые подаются инверсии переменных Х\,... ,хп, и m выходов, на которых реализуются у■ ■ ■, ут- Для построения Sy достаточно n — m конъюнкторов и m надежных инверторов, поэтому можно считать L-(S%y) ^ mp. Аналогично на п входов подсхемы S%z подаются Х\,... ,хп, а на I ее выходах реализуются Z\,..., Z[. Для построения SZ достаточно n — l конъюнкторов, l надежных инверторов и L-(S\) ^ lp.
Подсхема Sfy строится из надежных элементов; она имеет m входов, на которые подаются y1,..., ym, и реализует fm(Z). Согласно лемме 5, получаем L-(Sfy) ^ L(fm)p ~ 3mp.
Аналогично подсхема Sfz из надежных элементов имеет l входов, на которые подаются z\,...,zi, и
реализует /2(S). Согласно лемме 5, получаем L-(Sfz) ^ L(/2)p — 3lp.
Подсхема Sl'v реализует дизъюнкцию /™(S V fi, (S), на это понадобится еще 4 надежных элемента, из которых 3 будут инверторами.
Согласно лемме 4, каждая полученная таким образом схема Si,i = l,...,k + 1, реализует функцию
/П(Х).
Оценим сложность подсхемы Si:
L-(Si) = L-(S)+L-S)+L-(SZ)+L-(S}y) + L-(S}z) + L-(Si,v) <
< n + mp + lp + 3mp + 3Ip + 3p ~ n + 4p(m + 1) + 3p <n + 8рл/п + lip ~ n. В итоге получаем оценку
L-(/n) < L-(Ss) = (k + 1) L-(Si ) + L-(Sk+2) < (k + 1) L-(Sl) + (k + 2)p - (k + 1) n + (k + 2)p - (k + 1) n.
Для доказательства того, что полученная нами схема S s на самом деле k-самокорректирующаяся, рассмотрим ее следующую модификацию Ss : каждую входную переменную Xi заменим на группу переменных x1,x..., xk+1, в некотором роде ее дублирующих, а на входы каждой подсхемы Si, i = 1,..., k+1, подадим свой набор переменных x\,x%2,... ,xin. В результате такой модификации окажется, что подсхема S% реализует функцию /n(x\,xl2,... ,xin). Заметим, что переход в неисправное состояние типа 5 инвертора, соответствующего Xj из подсхемы S1, можно интерпретировать как ошибку типа ô на входе схемы отвечающем переменной xj. Очевидно, что схема Ss, которую будем считать состоящей исключительно из надежных элементов, при не более чем к константных неисправностях типа ô на входах схемы и подаче xi,i = 1,... ,n, на исправные входы схемы, отвечающие переменным x1,x2,..., xk+1, реализует функцию
/n(x).
Пусть теперь p < k + 1, т.е. min{k + 1,p} = p. В качестве схемы Ss воспользуемся схемой Sp, которая отличается от схемы Si только тем, что в подсхеме, соответствующей Si'-, все инверторы надежны. Данная схема k-самокорректирующаяся (поскольку все ее элементы надежны) и
L-(/n) < L-(Ss) = L-(Sp)= pL-(Si,-)+L-(Sy)+L-(SZ)+L-(S}y)+L-(Sfz) +L-(Si,v) <
<pn + mp + lp + 3mp + 3Ip + 3p ~ pn + 4p(m + 1) + 3p <pn + 8рл/п + 11 p ~ pn.
оценка теоремы получается из леммы 3 индукцией по n. Теорема доказана.
Автор выражает признательность Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколени" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Редькин И.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.
3. Редькин И.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
4. Редькин И.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 2. 62-79.
5. Гринчук М.И. О монотонной сложности пороговых функций // Методы дискретного анализа в теории графов и сложности: Сб. науч. тр. Т. 52, № 2. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1992. 41-48.
6. Краснова Т.И. Асимптотически минимальные схемы для одной последовательности булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2009. № 3. 53-56.
Поступила в редакцию 20.06.2011
