О слабо возмущенном взаимодействии встречных плоских струй идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 532.528

О СЛАБО ВОЗМУЩЕННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВСТРЕЧНЫХ ПЛОСКИХ СТРУЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

С. Л. Толоконников1

Рассматривается задача о встречном нестационарном соударении плоских струй идеальной несжимаемой жидкости, вытекающих из каналов. Нестационарность течения связана с изменением давления в бесконечно удаленных точках каналов. Предполагается, что скорости возмущенного течения малы по сравнению со скоростями стационарного течения. Для решения задачи применен метод Гуревича Хаскинда. Для комплексного потенциала возмущенного течения сформулирована и решена смешанная краевая задача. В случае прямолинейных каналов и гармонических законов изменения давления в бесконечно удаленных точках каналов численно исследованы уравнения для отклонения свободных границ от стационарного положения.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, нестационарность, соударение струй.

The problem of unsteady collision of counter-moving inviscid incompressible flat jets outflowing from channels is considered. The unsteady pattern of the flow is connected with a change of pressure at infinitely remote points of the channels. It is assumed that the velocity of the perturbed flow is small compared to the velocity of the steady flow. The Gurevich Haskind method is used to solve the problem. A mixed boundary value problem for the complex potential of the perturbed flow is formulated and solved. For the case of rectilinear channels and harmonic laws of pressure variation at infinitely remote points, the equations for the deviation of free boundaries from their steady-state positions are numerically studied.

Key words: inviscid incompressible fluid, unsteadiness, jet flow.

В работе [1] рассмотрена задача о слабо возмущенном соударении плоских встречных струй, вытекающих из симметричных каналов, при симметричных законах изменения давления или скорости на бесконечности в каналах. Задача решена методом Гуревича Хаскинда [2 4|.

В настоящей работе в аналогичной постановке решена задача о встречном соударении струй, вытекающих из каналов различной геометрии, при различных законах возмущения давления в бесконечно удаленных точках каналов.

Рассмотрим установившееся течение, схема которохх) изображена на рис. 1, а. Жидкость считается идеальной, несжимаемой, невесомой. Постоянная Бернулли одинакова во всем стационарном

\ \ ©

А

а'-

О

С

-1

В1 А'

В'

©

О

о

1

—•—

в

в

Рис. 1. Схема течения (о) и параметрические области (б, в)

С

■ 1 i

1 Н,Х х2 х3 \ ! • » *—

1 Толокоиииков Сергей Львович капд. физ.-мат. паук, доцепт каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: tolsiemecli.matli.msu.su.

течении. Ширина каналов в точках А и А1 равна На и На' соответственно. Точка О — критическая точка стационарного течения; точка С — бесконечно удаленная точка струи; В, В' — точки отрыва свободных границ от стенок каналов.

На стационарное течение накладываются нестационарные возмущения, вызванные следующими изменениями давления Ра и Рд/ в бесконечно удаленных точках А и А1 каналов:

РА = Роа + pVqcQA (т) , РА> = PQA' + pVocdA' (Т) ,

(1)

где р — плотность жидкости; Роа, РоА' — стационарные значения давления в бесконечно удаленных точках А и А1 каналов; Уос — скорость установившегося течения на свободных поверхностях; т = V2 £

ос ; £ — время; дд — расход в канале А; дА(т), 9А'(т) — заданные функции времени.

ЯА

Индекс "0" соответствует характеристикам стационарного течения, индекс "С" — свободной поверхности, а "А", "А"' — бесконечно удаленным точкам каналов.

На свободной поверхности давление не меняется, стенки каналов неподвижны. Предполагается, что скорости возмущенного течения малы по сравнению со скоростями стационарного течения.

В качестве параметрической области используется верхняя полуплоскость и (рис.1, б).

Комплексный потенциал неустановившегося течения представляется в виде суммы комплексных потенциалов установившегося и возмущенного течений:

¿) = -шо(и) + ги(и, ¿).

Для стационарного течения имеем

ъио(и) = — 1п(и — Ъ) + — 1п(и — й)] г = г (и),

7Г 7Г

(2)

где qa> — расход в точке А1. Зависимость z(u) и значения параметров bad находятся из решения стационарной задачи.

Сформулируем краевую задачу для изображения по Лапласу функции w(u, t) = <р(и, t) + iip(u, t)

dip

[4]. На неподвижных стенках сосуда = 0, поэтому ip = ip(t). Так как считаем Qa{t) и дА'(т)

ограниченными, а для изменения расхода на бесконечности в каналах необходимо иметь бесконечно большие значения давления, то ip = 0 на В'А', А'А, АВ [5].

С помощью интеграла Коши-Лагранжа, используя интеграл Бернулли, с точностью до 0(Vip)

ПОЛУЧИМ

р - Рос = -р

(3)

Так как давление на свободной границе струй постоянно, из (3) будем иметь следующее соотно-

Ид(р о

: ——Ь Vnr —— = 0. После перехода к безразмерному времени г at OLpo

1 dip dip

получим---1—h —-J— = 0. Последнее уравнение после перехода к изображениям по Лапласу легко

qA от д<ро

s

s _ dip 1 _ --^о

интегрируется: — <р + —— = 0, откуда — (pis, (ро) = DAs) е QA (i = 1, 2). Индекс 1 относится

QA d(p0 " qA

к свободной границе В'С, индекс 2 — к ВС. Функции Di(s) и D2(s) будут определены далее. С использованием (2) получаем

ехр ( — — (ро(и) ) = ехр (—— In (и — b)Xl(и — d) ) = (и — b)Xl(и — d) \ Qa ) V 7Г J

— s/тг

где

Ai =

QA' VoA'hA' OíA'

А,

а А' =

Vqa'

QA VoAhA OLA Voc

Поэтому на свободной границе В'С (и € (—оо, — 1))

1

а А =

Yoa_

Voc'

Re — w(u, s) = f\(u, s) = Di(s) (—u + b) 1(—u + d) QA

A =

—s/тг

h A' hA

на свободной границе ВС (и € (1, оо))

Re — w(u, s) = s) = £>2(5) (и — b)Xl(u — d) QA L

— s/тг

Следовательно, аналитическая в верхней полуплоскости функция и)(и,з) удовлетворяет смешанным краевым условиям

г 1 _

1т — ц]{и,8)= 0, «€(—1,1); ЦА

1 [ А (в)Л («,«), «е(-оо,-1);

Ке — уи(и,«) = <

ЧА [£»2(в)¡2(и, з), и € (1, оо).

Решение смешанной задачи дает формула Келдыша-Седова [6]

1 ч у/и2 - 1

— w(u, s) =-

qA тгг

— 1 оо

/2(e,s)

Ve-i(t-u)

dc

(4)

Формулу (4) можно переписать в следующем виде (здесь и в дальнейшем для сокращения записи будем опускать аргумент в функциях /1 (и, в) и /2(и, в)):

1 _, , _ У^т г ^[Р^М-О + Р2(в)М0] + и[р2(з)М0 - А^Щ-Щ ЧА тгг У _ И2) и

Функции ^1(5) и -£>2(5) определяются известными законами (1) изменения давления в точках А и А!. Так как в бесконечно удаленных точках А и А1 каналов = О, У^/ = 0, то из (1), (3) и (4) находим

Обозначим

Ji(u) = J

1

Тогда из (4) получим

~9 А») = — ■ QA

h(-0

s

QA

(6)

1 . QA

1 .

'

VI- b2

7Г

VI- d2

7Г

00

(A(s)Jl(6)+^2(s)J2(b)), (A(s)Ji(d)+^2(s)J2(d)).

(7)

Подстановка (7) в (6) приводит к системе линейных уравнений для определения Di(s) и D2(s).

Для нахождения деформации свободных границ используем кинематическое условие [2]. Нормальная составляющая г? отклонения свободной поверхности от стационарного положения удовлетворяет соотношению

dr]_dr] 2 дт] _ дф

М ~dt+VocWo~ Wo'

которое в изображениях по Лапласу записывается в виде

s — . QA drj dip

hA hA dtpo dtpo

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, следует из (5) определить явный вид функции

ip(u, s). Для свободной границы ВС (и > 1, Im и = 0) после замены переменных — = cos —, — = cos —,

q 2 и 2

где а, 9 € [0,7г), находим

1 А 00 — ip(a,s) =-

QA тг

. а а [ /i(-l/cosf)d0 . а [ /i(-l/cos §) cos § йв

— sin — cos — / ----h sin — / ---—*—

2 2 J cos а — cos 9 2 J cos а — cos 9

о о

+

+

D2 {S)

IT

a a f /2(l/cos I) d9 a f /2(-l/cos f) cos § dtf — sin — cos — / -£—— -sin- /

2 2 У cos a — cos 0 о

cos a — cos 0

(9)

Для вычисления входящих в (9) интегралов представим следующие функции разложениями Фурье:

/ 1 \ ( \ \ 9

) = £ cos "в, /1 ) cos - = £ *>(*) cos n0

1

/1 -

п=О

оо

cos 0/2, 1

п=О

оо

/ 1 \ / 1 \ 0

= £^)cosn0, h{^J-2)cos- = j:Ms)coSn9.

4 ' 7 ri=0 4 ' 7 n=0

С использованием формулы

cos п9

IT

cos о; — cos9 sin a

sin па из (9) находим

1 -г, \ Di(s)

— ф{а,,з) = —— QA 2

oo oo

an sin na —

sin па \ D2 / ^ v 1 1 'cosa/2 J + T~

Vri=l n= 1 / \ri=l

I>

c„. sin na

smna

—^ cos a/2

(10)

Уравнение (8) запишем в виде

s d(po _ ^ 1 djj aAd-ф

ЯАИА da НА da дА da

Подставляя (10) в последнее соотношение, получаем уравнение для нахождения отклонения свободной границы ВС:

s 1 / Ai 1 \ . а а_ 1 2 а drj

Ь~а2лт VI - bcos a/2 + 1 - dcos a/2 J Sm 2 C°S 2 V + ~h~A C°S 2 da ~

oa_ ' 2

/00 oo oo \

-Di(s) cos2 — ^ nan cos na — - sin — ^ bn sin na — cos — ^ n&ra cos na +

ri=l

ri=l

n= 1

/ oo oo

+-D2(s) COS2 — ^ nc„ cos na + - sin — ^ dn

smna

a \ - ,

+ cos — nd„

n= 1

ri=l

cos na

n= 1

(11)

Уравнение (11) решается при условии r](0,s) = 0.

Чтобы найти уравнение для отклонения границы В'С, из (5) определяется зависимость 1р(и, s)

1 8 1 а Л г ,

при и < —1, используется замена переменных — = cos —, — = — cos —, a, 9 € 0, тт) и после выполпе-

4 2 и 2

ния преобразований находится уравнение, аналогичное (11).

Рассмотрим далее частный случай прямолинейных каналов. Установившееся течение для прямолинейных каналов исследовалось в [7, 8]. Однако для расчета неустановившегося течения удобнее использовать несколько иное, чем предложенное в указанных работах, расположение точек на параметрической области.

г. * dlV0

Решение стационарной задачи легко получить отображением комплексной скорости-и ком-

dz

плексного потенциала wo на полукруг единичного радиуса. Соответствие точек физической z и параметрической к плоскостей указано на рис. 1, е.

Искомые отображения строятся методом особых точек:

dwо , , к-

(*) = —,-—, (12)

Vocdz 1 — >í3>í'

dz _ {ki - к2){1 - xiK2){l + х|)(1 - >í3>í)2(1 - к2)

7Г(1 — К-2Я^)2(К — Я\)(1 — Я\к)(к — Я-2){1 ~ Я2>с)(1 + К2)

Соотношения для неизвестных параметров, входящих в эти формулы, имеют вид

2 1 , „2

(13)

Хъ -\ —

= аАЧ --=аА, А= -- ——(14)

1 - К'2К3 V 1 — >¿2^3 ) 1 + Щ

Первые два из этих соотношений связывают параметры со значениями скоростей в беско-

нечно удаленных точках каналов, а третье представляет собой выражение для отношения толщин каналов. При заданных Л, аА/ < 1 и аА < 1 из соотношений (14) единственным образом находятся параметры Формулы (12) и (13) определяют все интересующие нас физические и геометрические характеристики етационаржнх) течения.

Из формулы (13) интмрнрованием находится функция -—z(x) = F(x). Конформное отобра-

ПА

жение верхней полуплоскости и на параметрический полукруг к имеет вид к = и/{ 1 + л/1 — и2). Поэтому искомая функция z(u) определяется выражением z(u)/hA = F (и/( 1 + Vi — . Зависимость я(и) позволяет также найти используемые для решения нестационарной задачи параметры: Ъ = 2xi/(l + к2), d = 2х2/(1 +

Рис. 2. Форма свободной границы FB в моменты времени г = 0, тт/4, тг/2, 37г/4 (кривые 1 4 соответственно) при значениях из = 1: Л = 0,5: а. а = 0,4; а^ = 0,5; Е\ = £о = 0,05 (а) и из = 1: Л = 1: а.а = «А' = 0,5; £\ = 0,02: £о = 0,04 (б): кривые 0 стационарные свободные границы

Расчеты проводились для случая прямолинейных каналов при гармонических законах изменения давления на бесконечности в каналах, имеющих одинаковую угловую частоту со, но различные амплитуды: дА'{т) = £\ё2:>шт, дА(т) = £2e2:'UJT. Можно считать при этом, что w(u,t) также является

периодической по времени функцией, изменяющейся с той же частотой. Тогда обратное преобразование производить не требуется, решение определяется самими изображениями при замене s = 2jco.

Характер деформации свободных границ не имеет качественных отличий от рассмотренной в [1] симметричной задачи. На участке, соответствующем выравниванию формы стационарной струи, неустановившиеся свободные поверхности представляют собой бегущие волны, движущиеся со скоростью, равной скорости Vqc на свободной границе стационарного течения. Амплитуда этих волн растет при увеличении амплитуд е\ и е2 возмущающих воздействий, а длина изменяется обратно пропорционально угловой частоте со.

На рис. 2, а,б представлены расчеты формы нестационарной свободной поверхности при со = 1 для различной геометрии установившегося течения и для различных амплитуд изменения давления. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16-01-00519, 15-01-00361).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Толоконников С. Л. О слабо возмущенном симметричном соударении струй идеальной несжимаемой жидкости // Фунд. и прикл. матем. 1999. 5, № 3. 861-870.

2. Гуревич М.И., Хаскинд М.Д. Струйное обтекание контура, совершающего малые колебания // Прикл. матем. и механ. 1953. XVII, вып. 5. 58-65.

3. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.

4. Кузнецов A.B. Нестационарные возмущения течений жидкости со свободными границами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975.

5. Кузнецов A.B., Сайкин С. С. Нестационарное истечение несжимаемой жидкости из сосуда// Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 2. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 1972. 46-54.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

7. Коновалов И.М. Определение коэффициента и линии сжатия при истечении жидкости из бокового отверстия в канале // Тр. Ленингр. ин-та инж. водн. транспорта. 1949. Вып. XV. 18-25.

8. Талиев В.Н. Попутное истечение жидкости из канала постоянного сечения // Докл. АН СССР. 1954. XCIV, № 4. 122-126.

Поступила в редакцию 05.04.2017

УДК 531.396

АЛГОРИТМ МИНИМАКСНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. В. Александров1, X. А. Рамирез Гутиерез2

В статье используются необходимые условия оптимальности для решения задачи минимаксной стабилизации линейных управляемых систем третьего порядка, когда не выполняются условия Калмана.

Ключевые слова: метод шатров, двойственный конус, стабилизация.

The necessary optimality conditions are used to solve the problem of minimax stabilization for linear controlled systems of third order when the Kalman conditions are not valid. Key words: method of tents, dual cone, stabilization.

1. Постановка задачи оптимизации. Рассмотрим при t\ = оо редукцию интегрального функционала [1]:

¿1 ¿1 ¿1 J(u,x(0)) = J(xTCx + s0u2)dt = J xT(G + s0kkT)xdt = J xTS2(k)x dt = xT(0)H(k)x(0). 0 0 0

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.

2 Рамирез Гутиерез Хомайра Атенеа — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: athe9ramirezQhotmail.com.