Алгоритм минимаксной стабилизации линейных систем третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

периодической по времени функцией, изменяющейся с той же частотой. Тогда обратное преобразование производить не требуется, решение определяется самими изображениями при замене s = 2jco.

Характер деформации свободных границ не имеет качественных отличий от рассмотренной в [1] симметричной задачи. На участке, соответствующем выравниванию формы стационарной струи, неустановившиеся свободные поверхности представляют собой бегущие волны, движущиеся со скоростью, равной скорости Vqc на свободной границе стационарного течения. Амплитуда этих волн растет при увеличении амплитуд е\ и возмущающих воздействий, а длина изменяется обратно пропорционально угловой частоте со.

На рис. 2, а,б представлены расчеты формы нестационарной свободной поверхности при со = 1 для различной геометрии установившегося течения и для различных амплитуд изменения давления. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16-01-00519, 15-01-00361).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Толоконников С. Л. О слабо возмущенном симметричном соударении струй идеальной несжимаемой жидкости // Фунд. и прикл. матем. 1999. 5, № 3. 861-870.

2. Гуревич М.И., Хаскинд М.Д. Струйное обтекание контура, совершающего малые колебания // Прикл. матем. и механ. 1953. XVII, вып. 5. 58-65.

3. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.

4. Кузнецов A.B. Нестационарные возмущения течений жидкости со свободными границами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975.

5. Кузнецов A.B., Сайкин С. С. Нестационарное истечение несжимаемой жидкости из сосуда// Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 2. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 1972. 46-54.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

7. Коновалов И.М. Определение коэффициента и линии сжатия при истечении жидкости из бокового отверстия в канале // Тр. Ленингр. ин-та инж. водн. транспорта. 1949. Вып. XV. 18-25.

8. Талиев В.Н. Попутное истечение жидкости из канала постоянного сечения // Докл. АН СССР. 1954. XCIV, № 4. 122-126.

Поступила в редакцию 05.04.2017

УДК 531.396

АЛГОРИТМ МИНИМАКСНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. В. Александров1, X. А. Рамирез Гутиерез2

В статье используются необходимые условия оптимальности для решения задачи минимаксной стабилизации линейных управляемых систем третьего порядка, когда не выполняются условия Калмана.

Ключевые слова: метод шатров, двойственный конус, стабилизация.

The necessary optimality conditions are used to solve the problem of minimax stabilization for linear controlled systems of third order when the Kalman conditions are not valid. Key words: method of tents, dual cone, stabilization.

1. Постановка задачи оптимизации. Рассмотрим при t\ = 00 редукцию интегрального функционала [1]:

¿1 ¿1 ¿1 J(u,x(0)) = J(xTGx + sou2) dt = J xT(G + s0kkT)xdt = J xTS2(k)x dt = xT(0)H(k)x(0). 00 0

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.

2 Рамирез Гутиерез Хомайра Атенеа — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: athe9ramirezQhotmail.com.

Требуется найти линейный алгоритм минимаксной стабилизации

сро(к) = max J(u,x(0)) —> min (1)

|a;(0)|sil fceQo

для системы

х = Ах + bu = (А + bkT)x, |ж(0)| < 1. (2)

Предполагается, что det(6, Ab,..., An~lb) ф 0, т.е. система (2) полностью управляема, G = GT > 0, Sq = So 0, Н = II1 ^ 0, где матрица Н(к) есть решение матричного алгебраического уравнения Ляпунова А^Н(к) + Н(к)Ас = -S2(k) при к € Qo и Q0 С {к € Rn\ReXj ^ -а0,а0 > 0} = Qь Итак, действительная часть любого собственного числа матрицы Ас отрицательна, Ас = А + Ьк и рассматривается случай, когда система (2) не колебательная, т.е. любой точке множества Q2(k) в пространстве параметров соответствует характеристический многочлен с действительными корнями.

Таким образом, предполагается, что множество Qo С Q\ П Q2 замкнуто и ограничено. 2. Уточнение постановки задачи для п = 3. Для систем третьего порядка постановка задачи выглядит следующим образом:

А = | , G = I >0, S2 = G, so = 0, 6=0, к =

Так как система (2) полностью управляема, то имеем общий случай полностью управляемых систем третьего порядка.

Чтобы построить множество Qвоспользуемся условием Гурвица для характеристического многочлена Р(А) = Л3 + ро\2 + <?оА + го матрицы Ас:

Ро(к,а)>0, qo(k,a)>0, го(к,а)>0] Ro = Ро{к, a)qo(k, а) — го(к, а) > 0.

При построении множества Q2 учтем необходимое и достаточное условие существования только действительных корней характеристического многочлена Р [2]:

iß (к а) 12

q0(k, а) ^ —, г~(р0, qo) ^ г ^ r+(p0, qo), где r± = -p0qo ± l^i'Po ~ 3<?о)3/2-

Чтобы выполнялось включение Qo С {к € -Rra|ReAj ^ — ско}, сделаем замену и = А + ао для многочлена Р(Х) = (v — ско)3 +Po{v ~ ^о)2 + qo{v — ско) 1гои воспользуемся условием Гурвица для редуцированного многочлена

р(и) = u3+(-3ao+(ai-k3))u2+(3al-2(ai-k3)ao+(a2-k2))iy-al+(ai-k3)al-(a2-k2)ao+(a3-ki) = 0.

Это дает возможность получить замкнутое множество QТаким образом, множества Q\, Q2 и Qo (Qo С QiCiQ2) являются замкнутыми множествами. Предполагается дополнительно, что Qo — ограниченное множество.

3. Формулировка необходимых условий оптимальности [1]. Для решения задачи (1)

ipo(k) = max хт(0)Н(к)х(0) —>• min, к € Qo, |ie(0) | = i fceQo

найдем собственные числа ßi(k), г = 1,... ,п (здесь п = 3), матрицы Н(к) и определим эквивалентный функционал ißi(к) = max ßi(k).

1 i^ii^n

Предположим, что к0 € Qo есть точка абсолютного минимума функции ip\(к) на замкнутом множестве Qo- Для формулировки необходимого условия оптимальности введем множество активных индексов 1{к): j € 1{к), если ßj(k) = max ßj(k), и построим множества Qo, Qi, ■ ■ ■ ,Qn в

1 i'.ii'.n

пространстве параметров к\, к2, ■ ■ ■, km € Rm (т = 1, 2, 3):

Qt = {keRm\ т(к) < <рг(к°), keQo}U{k0}.

Если i g 1(к°), то точка к0 является внутренней точкой множества Qi и поэтому, как показано в [1], Qi не участвует в формулировке необходимых условий оптимальности. Следовательно, необходимо использовать только множество Qo и множества с активными индексами.

Если множество Qo выпуклое, то аппроксимирующим конусом Ко этого множества в окрестности точки к0 является опорный конус [1]. Двойственным конусом для Ко является Kq = {а £

Rm| ат(к — к°) < 0, к € Ко(к0)}, двойственным конусом К*, j £ 1(к°), луч Uj \ Vj > 0 [3]. Необходимые условия оптимальности [1| сформулированы в следующей теореме. Теорема. Если к0 есть точка, минимума, функции ^р\(к) на, множестве. Qo, то существуют множители Лагранжа Uj ^ 0, j £ I(k°), и двойственный вектор a, £ Kq, такие, что выполняются условия (суммирование ведется, на, множестве активных индексов):

Е

+ и ф о

дк

+ аТ = 0.

(3)

(4)

Вектор наихудших начальных условий Жо(0) есть собственный вектор матрицы Н(к°

[11-

Если для j £ 1(к ) вектор

" дк = 0, ТО, ПОЛОЖИВ Uj

= 1, vs = 0, s € I (к0), s ф j и а = 0,

получим условия (3) и (4), которые соответствуют в этом случае теореме Ферма, когда к0 является внутренней точкой множества Qo.

4. Описание алгоритма отыскания оптимальных параметров.

1. Проверка условия полной управляемости ёе1:,(Ь, АЬ,..., Ап~1 Ъ) ф 0.

2. Построение множества Qo■

3. Нахождение матрицы Н(к) как решения алгебраического уравнения А^(к)Н + НАс(к) = -в2(к).

4. Нахождение максимальных собственных чисел матрицы Н(к)

^(к) = тахлн(к), 1

где <1еЬ(цгЕз — Н) = 0.

5. Применение теоремы Ферма для поиска внутренних стационарных точек множества Qo■

6. Применение необходимых условий оптимальности (3) и (4) при любом к £ Ьё<5о:

6.1) для вершин (угловых точек) множества Qo',

6.2) для граничных линий множества Qo',

6.3) для граничных поверхностей множества Qo■

7. Описание результатов решения задачи минимаксной стабилизации.

Рис. 1. Схема алгоритма

Схема алгоритма представлена на рис. 1.

5. Применение алгоритма для решения конкретной задачи. Рассмотрим задачу минимаксной стабилизации, когда а,\ = 1, а2 = а>з = 0, кз = 0 и

G =

^ 0, S2 = G, So = 0, Ъ =

к =

Рассмотрим применение алгоритма но предложенным семи этапам.

1. При заданных коэффициентах системы (2) имеем ёе!(Ь, АЬ, А2Ь) = —1 ф 0.

2. Для построения множества Qo при а о = 0,01 рассмотрим характеристическое уравнение матрицы Ас и получим описание замкнутого множества Ql^.

Рис. 2. Множество Qi

к2 ^ -0,002, к2 ^ -0,0099 + 100къ к2 ^ 1,02^1 - 0,0192.

Необходимые и достаточные условия наличия только действительных корней [2|

-0,33 ^ к-2, 0,074 - ¿(1 + 3к2)3/2 + 0,333к2 ^

£ I

кг < 0,074 + + 3^)3/2 + 0,333й2

дают описание замкнутохх) множества Так как С <ЗхП<52) то пересечением множества <5х (рис. 2) и множества (^2 (рис. 3) является замкнутое и охраниченное множество <5о = П (^2 (рис. 4).

3. Находим решение уравнения Ляпунова матрицу Н(к):

(к1 _ к\ 2 \-кп

_ 1 _i_ I _ hi

Щ 2 2

I _I I te. I k'2

2fci 2 2 l-fc2

tf(fc)=

_ i I fe I

2 2 l-fc2

_ 1 i

2fcj ^ 2 2

1

1

2fci 2fc?

_ 1 I 1 _ te

2fcj ^ 2 2

hi 2

2 ^ l-fc2

1

2fci

_ 1 i

2fcj ^ 2 2

_I i _JL_

2 ^ l-fc2

__L_ I 4_hi

2k? 2 2

l-fc2

__L_ i

2fc? 2 2

4. Для поиска ¿ij(fc) = max fii(k) запишем характеристическое уравнение det(^iiEs — Н) = 0 в виде

д3 + bii^i2 + Cij.1 + di = 0,

1'ДС bi =

1

1

+

к2

__1 1 к2 к 1 к2

2kf(l-k2) 2(1 -к2) ' 2(1-fc2) 2fci 2kf 2 2 2fci'

+

ki

k\k2

2kf(l-k2) 2(1 — k2) 2(1 — k2)'

Зависимости C\(k) и d\(k) от параметров носят аналогичный характер.

С помощью формул Кардано Виста и соответствующей программы MATLAB проведем численный анализ действительных корней

ftp\ Ъ\ ^ / 7Г <р\ Ъ\ ^ / 7Г <р\ Ъ\

ii\ = 2rcos —--, и2 = 2rcos-----, Дз = 2rcos —I—--,

h V3/3f V3 sJ г h V3 з/з

где

COS (<£>) = n= signal)

Ъ\ b\C\ d\ 27 6 2 ;

Pi

3ci — 6i

Рис. 3. Множество Qo

Построив графики функций и дз (рис. 5), получим тах ^н(к) =

ц2(к) Ук € фо.

5. Для поиска стационарных точек внутри замкнутох'о и охраничен-нохх) множества проведя численный анализ на сетке с масштабом 0,0015, получим, что / Ои ф о внутри этохх) множества.

6. Применение теоремы для У к € Ьё<5о- Рассмотрим двойственные конусы для каждой граничной точки.

6.1. Для вершин множества <5сь ххрсдставлсннох'о на рис. 4, получим следующие результаты. 6.1.1: (—0,00026; —0,021). Для этой вершины двойственный конус имеет вид

{г/ = (Ьс, Ъ) € К*, -0,01047 < с < 0, Ь > 0}.

То есть не существует двойствсннох'о вектора, для котороххх выполнялось бы равенство (4). 6.1.2: (—0,00011; —0,02). Здесь имеем два случая:

a) когда находимся в четвертом квадранте, т.е. двойственный вектор имеет вид (а, ас) € К*, а > 0 и —0,01 ^ с ^ 0, необходимое условие (4) не выполняется;

b) когда находимся в нервом квадранте, т.е. двойственный вектор имеет вид (а, Ъ) € К*, а > 0 и Ь > 0, равенство (4) тоже не выполняется.

6.1.3: (-0,000249, -0,2505). В этом случае 333,48 ^ а ^ 359,42, откуда —0,4990 ^ с ^ —0,0101 и двойственный конус имеет вид {г/ = (а,са) € К*, а > 0}, что влечет невыполнение необходимого условия оптимальности.

6.1.4: (—0,037, —0,333). Здесь имеем три случая:

a) во втором квадранте при —0,322 ^ с ^ 0 и а < 0 двойственный вектор имеет вид V = (а,са) € К*, а < 0 и равенство (4) выполняется: (1082,2 - 96,6294) + (а, ас) = 0 при а = -1082,2 и с = -0,0892;

b) для третьих) квадранта двойственный вектор имеет вид (а,Ь), а < 0, Ь < 0 и необходимое условие (4) не выполняется;

c) для четвертого квадранта двойственный вектор имеет вид V = (Ьс,Ь), —оо <г —0,34, Ь < 0 и необходимое условие (4) не выполняется.

6.2. Рассмотрим храничные линии множества <5о-

6.2.1: {к2 = —0,0211 - 0,00026 < кг < -0,00011}, {и = (0,6) € К*, Ъ > 0} двойственный конус. Необходимое условие (4) не выполняется.

6.2.2: {к2 = ЮОкг -0,0099| -0,000249 < кг < -0,00011}, {(100а, -а) €

К*, а > 0} двойственный конус и необходимое условие (4) не выполняется.

6.2.3: {кг = 0,074 + 0,ЗЗЛ2 + ^(1 + 3/г2)3/2| - 0,333 < к2 < -0,2505}, {г/ = (6,-|(За + 1)1/2 - 0,333) € К*, -0,33 ^ а ^ -0,2505, Ъ > 0}

двойственный конус и необходимое условие (4) не выполняется.

6.1.4

Рис. 4. Множество <Зо

2001

-1000

2 -0,34 .0,04

12 -0,34 -о,04 "1

Рис. 5. Корни /XI (а), (Ь), /¿з (с) характеристического многочлена матрицы Н

6.2.4: {кг = 0,074+0,33/г2-#(1+3/г2)3/2|-0,333 < к2 < -0,02}, {и = (-6, -±(3а + I)1/2 + 0,333) € К*, —0,333 "С а —0,02, Ь > 0} двойственный конус и необходимое условие (4) не выполняется.

6.3. Множество Qo граничных поверхностей не имеет, так как т = 2.

7. Оптимальные параметры к0 = (—0,037, —0,333), минимальное значение функционала (47,62), наихудшие начальные условия a;i(0) = 0,8892, х2(0) = 0,3656, Жз(0) = —0,2748 и симметричные им.

Заключение. С помощью метода шатров В.Г. Болтянским [3] было получено первое доказательство принципа максимума Л.С. Понтрягина. В статье [1] метод шатров применяется для решения задач минимаксной оптимизации линейных управляемых систем. В настоящей работе показано, что алгоритм поиска оптимальных параметров на основе необходимых условий [1] успешно работает с линейными системами третьего порядка. Этот алгоритм можно применять, например, когда не выполняются жесткие ограничения оптимальной стабилизации по Калману (GT = G > 0, Sq = So > 0) или когда отсутствует выпуклость множества Qo (рис. 4).

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-50-00029, пп. 1-3 статьи) и РФФИ (проект № 16-01-00683).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Alexandrov V.V., Bugrov D.I., Corona Morales G., Tikhonova K. V. Tent-method application for minmax stabilization and maxmin testing // IMA J. Math. Control and Inform. 2017. 34. 15-25.

2. Шильпиков Л.П., Шильпиков А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. М.; Ижевск, 2009.

3. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи матем. наук. 1975. XXX, вып. 3 (183). 3-55.

Поступила в редакцию 19.10.2017