CC BY
827. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Доминирующие волны в стекающих пленках вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. 357, № 4. 483-486.
28. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1986. № 2. 73-78.
29. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов в системах с диссипацией // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. № 3. 91-97.
30. Chang Н.-С., Demekhin Е.А., Kalaidin Е. Simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film // AIChE J. 1996. 42, N 6. 1553-1568.
31. Ruyer-Quil C., Manneville P. On the speed of solitary waves running down a vertical wall //J. Fluid Mech. 2005. 531. 181-190.
32. Демехин E.A., Токарев Г.Ю, Шкадов В.Я. Двумерные нестационарные волны на вертикальной пленке жидкости // Теор. основы хим. технол. 1987. 21, № 2. 177-183.
33. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в пленке жидкости на почти горизонтальной поверхности // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2006. № 3. 11-24.
34. Liu J., Paul J.D., Gollub J.P. Measurements of the primary instabilities of film flows //J. Fluid Mech. 1993. 250. 69-101.
Поступила в редакцию 25.11.2016
УДК 531.396
О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА ШАТРОВ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ
К. А. Тузов1
Рассматривается задача поиска оптимальных параметров стабилизации линейных периодических систем. Системы приводятся к стационарному виду, после чего применяется метод шатров В.Г. Болтянского. Работоспособность процедуры демонстрируется на примере.
Ключевые слова: метод шатров В.Г. Болтянского, мультипликаторы Флоке, матричное уравнение Ляпунова.
The search problem for optimal parameters is considered to stabilize linear periodic control systems. Such a system is reduced to a stationary form; then, Boltyanski's tent method is applied. The efficiency of this procedure is illustrated by an example.
Key words: Boltyanski's tent method, Floquet characteristic multipliers, Lyapunov matrix equation.
1. Введение. Метод шатров В.Г. Болтянского [1] является одним из основных методов решения задач экстремального рода. В настоящей работе рассматривается возможность его применения для оптимальной стабилизации периодических линейных систем.
2. Постановка задачи. Задача, исследуемая в работе, появилась в результате обнаружения ошибок при реализации алгоритма имитации невесомости на центрифуге с управляемым кардано-вым подвесом, более подробно описанного в книге [2]. В течение всего этапа имитации орбитального полета консоль центрифуги вращается с угловой скоростью
0J = Wo + sin(2"7rz/t), (1)
где Wo, ш, v — некоторые константы, а внешнее полукольцо и кабина поворачиваются по заданным периодическим законам. Благодаря этому алгоритму происходит изменение модуля и направления
1 Тузов Кирилл Александрович — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ktuzovQgmail .com.
результирующего вектора перегрузки при сохранении его ориентации в системе координат, связанной с кабиной, строго ортогонально фронтальной плоскости испытуемого. Однако при проведении экспериментов возникали отклонения от этих программных значений, в результате чего иллюзия невесомости нарушалась. Для стабилизации программного движения вводятся корректирующие моменты. Линеаризуя систему, получим
х = A(t)x + ЪАМ, (2)
где A(t+T) = A(t). Будем искать управление в виде линейной обратной связи ДМ = ктх. Обозначим Ac(t, к) = A(t) + bkT. Здесь b и к — некоторые постоянные матрицы. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
х = Ac(k,t)x. (3)
3. Приведение системы к стационарному виду. Здесь и далее будем рассматривать систему второго порядка, т.е. х, у, z € К2. Покажем, что существует линейное преобразование, приводящее систему (3) к линейной с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему с Т-периодической матрицей Ac(t,k)
х = Ас (к, t)x (4)
и сопряженную ей систему
z = —Ас(к, t)z. (5)
Известно, что для любых двух решений систем (4) и (5) удовлетворяется тождество
z\x\ + z2x2 = const. (6)
Пусть pi (г = 1,2) — мультипликаторы Флоке системы (5) (собственные числа фундаментальной матрицы X(t), рассматриваемой в момент времени t = Т, т.е. по прошествии одного периода), a Ai (¿ = 1,2) — их комплексные логарифмы, поделенные на период Т, причем рассматривается та ветвь логарифма, мнимая часть которого лежит на полуинтервале [0,2-/г). Как было показано в книге [3], существуют два независимых решения системы (5), вид которых зависит от кратности Xf.
(z\=ex^u(t), (г\ = е^фц(1),
\ . » , Ai = Л2] < . . Ai Ф Л2- (7)
\^ = е^\1ф1г{1) + ф2гт, \zl = e^2i(t),
Здесь фц — некоторые Т-периодические ограниченные вещественные функции. Отметим, что вариант Ai = А2 возможен только тогда, когда эти числа вещественные. Если же их мнимые части ненулевые, то числа Ai и А2 будут комплексно-сопряженными. Воспользовавшись решениями (7), введем преобразование
ш) = (tn t12) М = m (Xl) ■ (8)
У2J \021 Ф22J \Х2J \Х2/
Применяя данное преобразование, с учетом (6) будем иметь
{eXltyi = const, i eXlty\ = const,
Л и ^ Ai = A25 A, (9)
e 1 (ty 1 + у2) = const, [ e 2 У2 = const,
Дифференцируя тождества (9), получим линейную систему с постоянными коэффициентами:
У = Ык)у■ (Ю)
При этом в зависимости от значений показателей Aj (j = 1,2) матрица системы As примет одну из следующих форм:
/-Re(Ai) -Im(Ai)\ , . Vlm(Ai) -Re(Ai)J' MAl) ^
Лs(k) = ("Al _°A J , А! ф A2, Аь A2 € M; —I.1 — Ai) ' Al = Aa"
4. Поиск оптимальных параметров стабилизации. Для системы с постоянными коэффициентами (10) можно сформулировать задачу оптимальной стабилизации. Рассмотрим квадратичный функционал, задаваемый симметричной неотрицательно-определенной матрицей G:
оо
J(k) = max / yTGy dt, G^O. (11)
|y(0)|siO J 0
Требуется найти такие коэффициенты к\,к-2, минимизирующие этот функционал на области Qq, чтобы система на этой области обладала определенным запасом устойчивости:
J(k) —> min,
keQ о
где Qo С {к : dct(Ajl — Лs(k)) = 0, Re(Aj) < — Ло, Ао > 0, j = 1,2}. Для решения этой задачи воспользуемся методом шатров, описанным в статье [4|.
Определение. Пусть Q С К2 и Xq € Выпуклый конус К С К2 с вершиной Xq будем называть шатрам множества Q в точке хо, если существует такое гладкое отображение ф, определенное в
окрестности точки хо, что выполнены следующие условия:
1) ф(х) = х + о(х — жо);
2) ф(х) € П при х € К П Е, где Е некоторый круг с центром в xq.
Для внутренних точек xq области Q шатром Kq будет являться вся плоскость R2, а сопряженным ему конусом К0 точка xq. Если xq лежит на 1'ранице Q и выполняются условия гладкости, то Kq и Kq полуплоскость и луч соответственно (рис. 1, а). В случае же когда точка Xq лежит на границе области и при этом является угловой (рис. 1,6), конус Kq следует строить но данному выше определению, а К0 как сопряженный ему конус. Штриховкой на рис. 1, 2 показана внутренность шатров и сопряженных конусов. Введем матрицу Н(к):
оо
о
Для ее вычисления можно воспользоваться матричным уравнением Ляпунова:
As(k)T Н + HAs(k) = -G.
Для отыскания оптимальных параметров стабилизации следует найти все собственные значения ßi{k), г = 1,2, матрицы Н(к) и выбрать наибольшее из них ¡л = max(ß\, ¿¿2)- В статье [4| дается критерий оптимальности стабилизации для систем произвольной конечной размерности. Выпишем его для системы второго порядка (10) в предположении, что собственные числа матрицы Н(к) не равны друг другу при всех к € Qq.
Теорема. Если функционал J(k) достигает своего ,м,ип,и,м,у,м,а на области Qq и G > 0, то существуют такое, неотрицательное число v ^ 0 и вектор а € К0. что выполняются следующие соотношения:
и + \а\^0, uCMß + aT = 0. (12)
ok
Для внутренних точек области Q выполнение условий этой теоремы равносильно выполнению теоремы Ферма о необходимом условии экстремума функции. Следует иметь в виду, что полученный метод позволяет находить параметры стабилизации, оптимальные в смысле функционала (11), вычисляемого для стационарной системы (10), а не для исходной (3).
а
а
б
Рис. 1. Различимо варианты шатров и сопряженных конусов
5. Основной результат. Применим описанный выше метод шатров для решения задачи стабилизации программного движения кабины центрифуги с управляемым кардановым подвесом. Будем полагать, что консоль вращается с заданной угловой скоростью (1), а внешнее кольцо и кабина движутся но программным периодическим законам. При этом будем полагать, что внешнее кольцо и консоль движутся идеально, а во вращении кабины возникают отклонения, обусловленные ошибкой в начальной выставке. Рассмотрим систему уравнений, описывающих отклонения от программного движения кабины:
= (13)
[¿2 = (ЛМ^Ж^) эт 6>(£) +к\)Х1 +к-2Х2-Здесь и)(1) угловая скорость консоли центрифуги, задаваемая периодическим законом
ш = Шо + Ш\ со8(27гг4),
а 7 и 9 программные значения углов поворота кабины и внешних) кольца карданова подвеса центрифуги, которые определяются через со следующими формулами:
7 = aretan —
ш21 \ п füül
—, = , в = aretan —
Va2+ü2i2 / \ 9
При компьютерном моделировании параметрам были присвоены следующие числовые значения: V = 0,2; шо = 0,33; ш\ = 0,22; д = 9,8; Ао = 0,8177; I = 18, функционал (11) определяется следующей матрицей:
\и 1000
Рис. 2. Область Qо в задаче оптимальной стабилизации центрифуги
Рис. 3. Графики отклонений от программных углов кабины для различных коэффициентов стабилизации: 1 к = (—3,5; —3,511). 2 (-3,5;-1,2)
В результате компьютерного анализа было получено, что областью устойчивости этой системы на плоскости (к\,к-2) является множество к\ < 0, < 0. В качестве области Qo из теоремы в нем был выбран треугольник с вершинами (—2,2; —1,2), (—3,5; —1,2) и (—3,5; —3,511), лежащий в третьей координатной четверти. Для нахождения точки оптимальной стабилизации вышеописанный алгоритм был выполнен на 7 участках этого треугольника (см. рис. 2): внутренность треу!х).льника 1, три стороны 2 4 и ТРИ вершины 5 7. Конусы Ä'q, сопряженные шатрам для точек этих участков, выглядят следующим образом: для точек внутренности Kq состоит только из самой этой точки, для сторон 2 4 это ЛУЧ) исходящий из этой точки и перпендикулярный стороне, а в вершинах 5 7 конус К0 образуется углом, заключенным между двумя внешними нормалями к сторонам, соседним с этим углом (см. рис. 2). Вычисления показали, что условия теоремы выполняются только в вершине с координатами (—3,5; —3,511). В ней вектор частных производных ^ = (—0,0178; 0,0251), а условие (12) выполняется при v = 136,986, а = (0,5784; —0,8157). При данных значениях вектор а
лежит в сопряженном конусе Kq. Полученные таким образом параметры к\, к2 будут оптимальными в смысле функционала (11) для системы, редуцированной из (3) к стационарному виду преобразованием (8) и имеющей вид
Л/Л = /-1,7560 0,5944 \ (уЛ
\у2) V-0'5944-1'7560/ VW '
Наихудшие возмущения можно найти как собственные векторы матрицы H (к), и в данном случае это уо1 = (—0,9961; —0,0885), уо2 = (0,0885; —0,9961), а также симметричные им уоз = (0,9961; 0,0885), 2/04 = (—0,0885; 0,9961). Функционал (11), подсчитанный для приведенной системы, принимает значение J (к) = 0,6414. На рис. 3 приведены два графика, описывающие поведение системы (13) в исходных координатах, соответствующие оптимальным параметрам стабилизации (пунктирная линия) и другим, взятым из области Qo- Из графиков видно, что стабилизация, полученная с использованием метода шатров, эффективнее.
6. Вывод. Рассмотрены линейные периодические системы второго порядка, которые заменой были приведены к стационарному виду. Для них был применен метод шатров В.Г. Болтянского. С помощью этого метода численно решена задача поиска оптимальных параметров стабилизации периодического движения карданова подвеса стенда-тренажера типа центрифуги.
Теоретические исследования выполнены при поддержке РФФИ, грант №16-01-00683, а численное моделирование стабилизации центрифуги — при финансовой поддержке РНФ, грант ,V"1 I 51) 00029.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи матем. наук. 1975. 30, № 3(183). 1-54.
2. Александров В.В., Воронин • /.//.. Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во МГУ, 1995.
3. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
4. Alexandrov V.V., Bugrov D.I., Corona Morales G., Tikhonova K. V. Tent-method application for minmax stabilization and maxmin testing // IMA J. Math. Control Info. 2015. 34, N1. 15-25.
Поступила в редакцию 14.12.2016
