CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 72-83
УДК 519.6
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ С НЕГЛАДКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА РАВЕНСТВ
Р. А. Хачатрян
В статье методом шатров получены необходимые условия экстремума в задачах математического программирования с негладкими ограничениями типа равенств. В некоторых таких задачах, где ограничения задаются, вообще говоря, не локально липшицевыми функциями, доказано правило множителей Лагранжа. Необходимые условия выражаются в терминах субдифференциала Мишеля — Пено и нижнего асимптотического субдифференциала Половинкина.
Ключевые слова: субдифференциал, шатер, касательный конус.
1. Мотивация, определения и обозначения
Исследования по необходимым условиям экстремума в последние годы были связаны в основном с более детальным изучением задач, в которых участвуют негладкие функции. При этом на первый план выдвигаются два аспекта: использование техники выпуклого анализа для невыпуклых задач и учет негладких ограничений типа равенства.
В статье [4] Ф. Кларком, с использованием вариационного принципа Экланда [13], доказано правило множителей Лагранжа в задачах с ограничениями типа равенств, задаваемых локально липшицевыми функциями. Правило множителей Лагранжа в терминах субдифференциала Кларка, при помощи теоремы о накрывании, доказано и в работе [3].
Несмотря на хорошие свойства субдифференциала Кларка, его использование в необходимых условиях экстремума не всегда приводит к удовлетворительному результату. Простейшие примеры показывают, что полученное в терминах обобщенных градиентов Кларка необходимое условие минимума довольно грубо и не позволяет отбросить заведомо неоптимальные точки. Это связано с тем, что для невыпуклой функции локальное ее поведение не всегда хорошо описывается обобщенной производной Кларка.
В работе [10] П. Мишелем и Ж. П. Пено введена новая выпуклая аппроксимация локально липшицевой функции. Введенный ими субдифференциал сохраняет многие свойства субдифференциала Кларака и входит в него. В [10] получено необходимое условие экстремума в задачах с негладкими ограничениями типа неравенств. В статье [11] в задачах с негладкими ограничениями типа равенств получено правило множителей Лагранжа в терминах субдифференциала Мишеля — Пено.
В настоящей статье показано, что применение метода шатров к негладким задачам приводит к получению принципиально новых результатов. Статья идейно связана с работами В. Г. Болтянского [2], Ф. Кларка [4], П. Мишеля и Ж. П. Пено [10], Б. Н. Пшеничного [7, 8] и Е. С. Половинкина [5], А. Д. Иоффе [11].
© 2016 Хачатрян Р. А.
Для вышеуказанной задачи получено необходимое условие экстремума, в котором субдифференциал целевой функции — нижний асимптотический субдифференциал По-ловинкина [5], а остальные — субдифференциалы Мишеля — Пено (теорема 3.3).
Б. Н. Пшеничным в [6] введено понятие верхней выпуклой аппроксимации (в.в.а) для негладких функций. Пусть f (x) — произвольная функция. Положим
F{x0,*)= Пт8ир/(Ж0 + Л^-/(Ж0).
у—fx, Л
Л4.0
Положительно однородная выпуклая, замкнутая по ж функция h(xo,x) называется
f x0
h(х0,х) ^ F(x0,x) (Vx £ Ж").
Множество
df(xo) = {х* £ Ж™ : h(x0,x) ^ (ж*,ж) Ух £ Ж™}
называется субдифференциалом, функции / в точке Жо- Здесь (ж*, ж) — скалярное произведение векторов х* и х, принадлежащих Ж™.
Определение 1.1 [6]. Выпуклый конус Km(x0) называется конусом касательных направленный множества М в точке Жо, если из включения ж G Км(хо) следует, что существует такая функция ^>(А), что
жо + Аж + ip(\) £ М
при достаточно малых А ^ 0 и А-1 ^>(А) ^ 0 при А X 0.
Следующая теорема является необходимым условием экстремума в общей задаче математического программирования в терминах в.в.а.
Теорема 1.1 [6]. Пусть xo — точка минимума функции f на множестве M. Допустим, что h(Жо,ж) — в.в.а. для / в xq. Тогда
df (xo) П KM (xo) = 0.
Здесь KM (xo) — сопряженный конус к конусу Km (xo), т. е.
К*м{хо) = {ж* е Ж™ : (ж*,ж) Vx£ Км(х0)}-
Заметим, что в.в.а. определяется неоднозначно и для получения содержательных
f
тая непрерывная функция, то для любого ж* G d(—f)(xo) функция h(Жо,ж) = (—ж*,ж) есть в.в.а., а множество {—x*} — соответствующий субдифференциал вогнутой функ-f.
Используя этот факт, в настоящей статье получено правило множителей Лагранжа в некоторых специальных классах экстремальных задач, где участвуют не локально лип-шицевые функции (теорема 3.1).
f
направлению ж, обозначаемая f'Mp(xo,x), определяется следующим образом f'MP(xО,ж) = sup (limsup/(a;o + A(g + U,y-/(a;o + Au,)l.
weRn к Л4Я А )
Определение 1.3 [10]. Субдифференциалом Мишеля — Пено для локально липши-цевой функции / в точке xo называется множество
dMpf(xо) = {ж* е : /мр(жо,ж) ^ (ж*,ж) Ух G Ж™}.
/
в окрестности точки xo, то д/(xo) = дмр/(xo), где д/(xo) — обычный субдифференциал функции / в xo.
/
водная f'Mp(xo,x) является верхней выпуклой аппроксимацией функции / в точке Жо-Приведем определение нижнего асимптотического субдифференциала. Определение 1.4 [5]. Пусть / : ^ R — локально липшицевая функция и M = epi(/). Пусть К = Тм(хо)—Тм(хо), а f'AL{xo,x) — положительно однородная выпуклая функция, надграфиком которой является конус K. AL-субдифференциалом функции / xo
dALf(xо) = {ж* G Ж™ : fAL(Ж0,ж) ^ (ж*,ж) Уж G Ж™}.
Здесь A—B = {x G Rn/x + B С A} — разность множества А и B,
а Тм(xo) — нижний конус касательных направлений ко множеству M в точке xo (см. [5, гл. 3, п. 24, определение 24.3]).
В [5, с. 328, формула 27.10] показано следующее представление:
fAL{ж0,ж)= sup {f'L(xo,x + w)-f'L(xo,w)},
weKn
где
/¿(жо,п) = Пт8ир/(Ж° + л^-/(жо). a;o А
Отсюда следует, что функция f'AL(xo,x) является верхней выпуклой аппроксимацией для / в точке xo.
Определение 1.5 [1]. Выпуклый конус K С Km (x) называется шатром в точке x G M, если существует отображение г, определенное в некоторой окрестности U нуля, такое, что
Т ( ж )
ж + ж + г (ж) G M, если ж G К П U и -—-—> 0 при ж —» 0.
||ж||
Шатер K называется непрерывным,, если r — непрерывное отображение. В дальнейшем cl{M} — замыкание множества M С
con(M — xo) = {y G Rn/y = A(x — xo), А ^ 0, x G Щ,
Lin M = cl { con M — con M}.
2. Непрерывные шатры
Лемма 2.1. Пусть д(ж) — липшицевая функция, определенная в окрестности точки Жо С Мп. Тогда существует функция г (ж) = о (ж), определенная в некоторой окрестности нуля, такая, что
д(ж0 + ж) ^ д(х0) + д'Мр(%о,х) + г(х).
< Положим
г (ж) = max {О, д(хо + ж) - д{ х0) - д'МР{х о,ж)}.
Покажем, что г (ж) обладает нужным свойством. Допустим противное. Это означает, что существуют последовательность xi ^ 0 и положительное число ео такие, что
r(x¡) ^ б0||ж1||.
Положим _
Vi — и_и > Aj — ||®¿||-
xi
Тогда можно считать, что ¡ji —> уо. Имеем О < бо ^ lim sup -¡tzztt = lim sup
г—Юо Ж?ч г—)-оо
g{X0 + Xf-giX0)-9'MP(X0,y¡)
А»
^ lim
i—>оо
5(ж0 + хгуг) ~ д(х0 + Aj^o) , 5(>о + А*у0) - £/(жо) / ,
sup----1-----9мр{хо,уг)
Ai Aj
^ V Г I / —\ ' t —\Л , 1- + Агу!) - 5(ж0 + XiVo) ^ lim sup \дМр{хо,Уо) - 9мр{хо,Уг) \ + ™ sup---.
г^те г^те Aj
Поскольку д'Мр(жо, ■) полунепрерывна снизу в нуле, то
lim sup [д'Мр(хо,Уо) ~ 9мры,у1)] < 0.
г^те
Пусть функция д липшицева с константой L. Тогда имеем
г д(х0 + \гШ) - д(х0 + АгУо)
lim sup--- ^ ¿Ну» — 2/о11 —0.
г^те Aj
Итак получили противоречие, поскольку правая часть неравенства стремится к нулю, а ее левая часть — фиксированное положительное число. >
Теорема 2.1. Пусть д локально липшицева и жо € — такая точка, что жо € M = {ж € : д(ж) = 0} и существует вектор w такой, что
д'мp (жо, w) < 0,
а функция д'Мр (ж, w) полунепрерывна сверху в точке ж0. Тоща подпространство
Н = {жеГ: д'МР(х 0,ж) < 0, д'МР(х 0, -ж) < 0}
M жо.
< По лемме 2.1 существуют такие функции п(ж) = о(ж), г = 1,2, что
д(хо + ж) ^ д(жо) + #мр(жо,ж) + Г1(ж), (2.1)
-#(ж0 + ж) ^ -д(х0) + д'Мр(хо, -х) + г2(х). (2.2)
Так как по предположению функция д'Мр (ж, w) полунепрерывна сверху по ж, то существует окрестность V точки жо такая, что
max д'мр(ж, w) = m < 0.
xgV
Положим р(А) = 8ир{г1 (ж) : ||ж|| ^ А}. Ясно, что функция р(А) монотонно не убывает и р(А) = о(А), п(ж) ^ р(||ж||). Поэтому для ж £ Н, 7 > 0 из неравенства (2.1) получаем
д{ж0 + ж + 7||ж||ад) ^ д{ж0) + 5мр(жо,ж + 7||ж||ад) + р(||ж|| +7||ж||||го||) ^ д'Мр(хо,х) + ^\\х\\д'Мр(хо,т)
р((1 + 7|И)М
+р(И(1 + 7|И1)) < ||ж|
75м р +
Выберем число > 0 настолько малым, чтобы выражение, выделенное в квадратных скобках, было меньше, чем ^д'мр(хо^) при ||ж|| ^ ж/0. Тогда
д(х0 +ж + 7||ж||ад) ^ ^75мр(жо,«0||ж|| < 0.
Так как (—дУмр(хо,х) = д'МР(жо, — ж), то аналогично, используя неравенство 2.2, получим, что существует такое число > 0, что
д(хо + ж — 7||ж||ад) > 0 (Уж £ Я, ||ж|| ^ 5~, ж ф 0).
Положим = } и рассмотрим функцию
д(т) = д( Жо + ж + т||ж||'ш)
на отрезке [—7,7]. Имеем 9(7) < 0 д(—7) > 0- Так как функция д непрерывна, то д(т) тоже является непрерывной функцией. Поскольку функция д на отрезке [—7,7] меняет знак, то в некоторой точке т(ж) £ [—7,7] она обращается в нуль. Итак, для любого 7 > 0 существует > 0 такое, что
д(х0 +ж+ т(ж)||ж|И = 0, | г(ж) 7, ||ж|| ^ 5~(.
Заметим также, что
д( жо + ж + (г + А)||ж||ад) д( жо + ж + гЦжЦад)
Иш вир ^—^ = Иш вир
Д4-0 А д^о
А А
^ \\х\\д'мр{хо + х + т\\х\\Ш^)
Поэтому в силу полунепрерывности сверху функции д'Мр (ж, ад) по ж в точке Жо и условия д'мр(ж0,ад) < 0, имеем
т д(т + А) — д(т) ^
птзир--- < 0 при малых ж.
д;о А
Отсюда следует, что функция д монотонно убывает и, следовательно, она имеет на отрезке [—7,7] единственный корень. Поэтому функция т(ж) для достаточно малых ж определяется однозначно. Из |т(ж)| ^ 7 и ||ж|| «С 6-у следует, что т(ж) —> 0 при ж —> 0.
Покажем, что функция т(ж) непрерывна. Допустим противное. Пусть существуют две последовательности {Щ}, {гЦ} такие, что х1 —> Жо, —> Жо, но т(ж7) —> г, т(у1) —» г, т ф т_. Отсюда и из непрерывности функции / следует, что
д(х0 + Щ + т\\Щ\\ъи) = 0,
д(х0 + ж0 + t\\x0\\w) = 0, |т| ^ 7, |т| ^ 7.
Отсюда т = т в силу однозначности функции т(ж). Таким образом, показано, что в малой окрестности нуля и при ж G Н функция т(ж) непрерывна и т(ж) —> О,
д( жо + ж + т(ж)ЦжЦ'ш) = 0.
Так как 0 G H, то
||Ргя(ж)|| < ||ж||,
где Ргя(ж) — проекция точки ж на подпространство Н. Положим
Ф(ж) = ж + г(Ргя(ж))||ж||ад. Очевидно, что функция Ф непрерывна в некоторой окрестности U пуля и такова, что д{ ж0 + Ф(ж)) = 0 (Vx G Н f]U, Ф(ж) - ж = о( ж)).
Следствие. Пусть функция g дифференцируема но Гато в окрестности точки жо ж gG(жо) = 0. Пусть вектор w такой, что (g'G(xo),w) < 0 и функция f (ж) = (gG(x),w) полунепрерывна сверху в точке Жо- Тогда подпространство Н = {ж G Ж™ : (g'G{xо), ж) = 0} является непрерывным шатром к множеству M в точке жо-
Замечание. Теорема 2.1 верна, если вместо обобщенной производной Пено использовать производную Кларка и тогда условие полунепрерывности сверху обобщенной производной автоматически выполняется. Заметим также, что если локально липшицевая функция g(x) имеет обычную производную по направлениям, то согласно лемме 28.1 [5, гл. 3, п. 28] ее обобщенная производная Пено совпадает с обобщенной производной Кларка, и поэтому д'мр(х,х) полунепрерывна сверху по ж.
3. О правиле множителей Лагранжа в негладких задачах оптимизации
Рассмотрим следующую задачу математического программирования:
fo(ж) —> min, fi(x)=0 (i = 1,..., k, ж G M). (3.1)
Теорема 3.1. Пусть точка жо G R™ —решение задачи (3.1). Предположим также, что функции ^(ж), i = 0,1,..., k, непрерывны в окрестности точки жо и дифференцируемы в этой точке. Пусть К является непрерывным шатром для множества M в точке жо. Тогда существуют числа \i, i = 0,1,..., k, не равные нулю одновременно, и такие, что
k
0 G^] ^Л(жо) - К*.
< Обозначим
F (ж) := (^(ж) - /э(жо ),fi (ж),...,fk (ж^.
Покажем, что
F '(жо )К = Rk+1.
Пусть
F' (жо )К = Rk+1.
Отсюда следует, что существует такой симплекс [21,22, - - -, 2^+2] С Жк+1, содержащий нуль в качестве внутренней точки, что
[21,22, - - - ,2^+2] £ F'(жо)К-
Значит, существуют векторы Ж] £ К (^ = 1, 2, - - -, к + 2) такие, что
2^=^'(ж0)Ж7, ^ = 1,2,... ,/с + 2. (3.2)
Так как векторы 2] — 21, ] = 2, 3, - - - , к + 2, образуют базис в Жк+1, то можно определить линейное отображение Ь : Жк+1 —у Ж" следующим образом:
Пусть
Положим
L(zj — 21 ) = Xj — Х\, j = 2,... ,k + 2.
k+2 / k+2 \
Y^ &Zj + ( 1 - S в Г1 G ' Z2' ' ' ' ' Zk+2]• j=2 V j=2 J
cp(z) = L(z - 21) + xi,
где ^(z) — непрерывное отображение симплекса [zi, Z2, •••,Zk+2] в множество сопу{жГ,ж^,..., }• Действительно, имеем
/ k+2 . k+2 s \
cp(z) = L(z - 21) + ЖГ = L I ^ + i 1 - ^ j 21 - 21
V j=2 ^ j=2 ' )
k+2
+ Ж1
k+2
L s- + Ж1 = - ¿1) + Ж1
. j=2
j=2
k+2 k+2 k+2 = ^ Pj (Xj - Щ) + ЖГ = ^ + ( 1 - /3j pi G С0ПУ{ЖГ, • • • , Щ+2 }•
j=2 j=2 V j=2 У
Так как K является непрерывным шатром для M в точке Жо, то существует непрерывное отображение гр(ж) = ж+ г(ж), г(ж) = о(ж), такое, что
ж0 + ^(ж)еМ (\/ж £ К П Вео (0)),
Где 6о — некоторое положительное число. Для фиксированных чисел 6 > 0 и б > 0 определим непрерывное отображение на [zi, Z2, • • •, Zk+2] следующим образом:
ф5(г) = г-----б, 2 G 21,22,... ,zk+2},
6
б = (б,0,... ,0). к
При малых 6 > 0 имеем 6 сопу{ж]~,Щ,... ,Q Вео(0) П К и, следовательно,
L(ôz - ôzi) + ôxï = ôip(z) G К П Вео (0).
(3-3)
Поскольку Р(жо) = 0 и отображение Р дифференцируемо в точке жо, то из (3.2)-(3.3) следует, что
, , ч Р(Хо) ', ^ , ч о(Жо,М*0) -
ф8(г) =г-----Р(ж0М2)-----б
_ч . _\ о(жо, 5(р(г))
/к+2 \ г - Р'(ж0) I ^ (ж7 - жг) + жг -
5
— 6
_ , , о(а?о,6у(г)) о(х0,5ф))
— z — х---- — е —---- — е.
о о
Следовательно, для достаточно малых 0 > 0 6 > 0 непрерывное отображение отображает симплекс [¿1, ¿2, • • •, 2к+2] в себя. Значит, по теореме Брауера существует неподвижная точка этого отображения, т. е. существует элемент £ [¿1,22, • • • ,2^+2] такой,
ф5 (2е) =
Отсюда, имея ввиду определение отображения Ф5(2), получаем
/о(жо + ))) = /о(жо) - б0, /¿(жо + ))) = 0, г ^•••Л
хо + ^(0<р(ге)) £ М.
жо
Р '(жо )К =
Значит, существует ненулевой вектор А = (Ао, А1, • • •, Ак) такой, что
<А,Р'(жо)у*) ^ 0 (Vу* £ К)•
Следовательно, (Р'*(жо)А, ж) ^ 0 (\/ж £ К), т. е. Р'*(жо)А £ К*. Откуда, получаем
к
0 Аг /Яжо ) - К * • > ¿=о
Следствие. Пусть в задаче ЗА множество М задано следующим образом:
М = {ж £ Ж" : д(ж) = 0}-
Пусть д — выпуклая непрерывная функция и 0 £ дд(жо )• Предположим также, что относительно функций /¿, г = 0,1, • • • , к, выполнены все предположения теоремы ЗЛ.
Тогда, если жо — решение задачи ЗА, то для любого ж* £ дд(жо) существуют числа Ао ^ 0 А1, А2, • • •, Ак, не равные нулю одновременно и такие, что
0 £ ^ Ак/г'(жо) + с1 { сопдд(жо) — сопж*}• (3^4)
г=о
< В силу теоремы 3 из [9] для любого ж* £ дд(жо) выпуклый конус Км(хо,х*) = {ж : д'(хо,х) ^ 0, (ж*,ж) ^ 0}
является непрерывным шатром к множеству M = {ж G : g(x) = 0} в точке жо. Следовательно, по теореме 3.1 для любого ж* G dg(xo) существуют числа Ао ^ 0 Ai, • • •, Ak, не равные нулю одновременно, такие, что
k
0 Ai/(жо) - KM(жо, ж*). (3.5)
i=0
Имеем
KM (ж0, ж*) = cl { con ж* — con дд(жо)} •
Отсюда, учитывая включение (3.5), немедленно получим правило множителей Лагран-жа (3.4). >
Заметим, что функции /, i = 0,1, •.. , k, вообще говоря, не являются локально лип-шицевыми, a g может и не быть дифференцируемой функцией. Поэтому, при помощи вариационного принципа Экланда или теоремы о неявных функциях в задаче 3.1 невозможно получить правило множителей Лагранжа.
Рассмотрим экстремальную задачу
/(ж) ^ min, £(ж) =0, ж G M. (3.6)
Теорема 3.2. Пусть f g — выпуклые функции, a M — выпуклое множество. Пусть Жо — решение задачи (3.6) и для некоторого ж0 £ дд(жо) существуют такие векторы vj\, W2, что
д'(ж0,wi) < 0, (x0,w2) > 0, wi,w2 £ M — ж0.
Тогда либо
0 £ df (xo) + con дд(жо) — KM (жо), (3.7)
либо
0 £ df (жо) — con ж0 — KM (жо). (3.8)
< Пусть включение (3.7) не выполняется. Тогда согласно сильной отделимости выпуклых множеств существуют вектор ui и число ¿i > 0 такие, что
<ui — (Уз — У* )> < —¿1 (V У* £ df (жо), y* £ con дд(жо), y* £ KM (жо)). (3.9)
Отсюда следует, что
<ui ,У* — У* > ^ 0 (V y* £ con дд(жо), y* £ KM (жо)). (3.10)
Действительно, если для некоторых y* £ con дд(жо), y* £ KM (жо)
(ui,У* — y*) < 0,
то при А ^ + го имеем
(ub МУ* — У^) ^
а это противоречит соотношению (3.9). Значит, из (3.10) следует, что
ui G (— con <9#(жо) + KM (жо ))* = (— con д#(жо ))* П КМ(жо) = {ж : д'(ж0,ж) ^ 0} П cl{con(M - ж0)}.
(3.11)
Из (3.9) следует, что
/'(xo,Ui)= max (x*,ui) < —¿1. (3.12)
ж*€д/ (ж о)
Конусы
Kq+(xq) := {х £ Ж™ : g'{xQ,x) ^ О}, Км(х0) = cl{(conМ - ж0)},
в силу теоремы 34.2 [1, гл. 4, п. 9, с. 278] являются непрерывными шатрами для множеств = {x G : g(x) ^ 0} и М соответственно. Поскольку по предположению теоремы
int Kq+ (xo) П Km (xo) = 0,
то согласно теореме 1.2 [6, гл. 4, п. 1, с. 290] о пересечении непрерывных шатров, выпуклый конус
Ki = Kq+ (xo) П Km (xo)
является конусом касательных направлений для П М в точке xo. Отсюда и из (3.11) следует, что существует отображение ^>1 (А) = o(A) такое, что
Ф1(Л) = xo + Aui + ^i(A) G M, £(Ф1 (А)) ^ 0 (3.13)
для достаточно малых А ^ 0.
Аналогично, если включение (3.8) не имеет место, то существуют вектор U2 и число ¿2 > 0 такие, что
/'(xo,U2) < —¿2, U2 G Km (xo) П Kq- (xo), (3.14)
g(x) ^ 0}, KQ-(x0) = {x £ M™ : (x*0,x) ^ 0}.
Поскольку g выпукла, то
g{xo + x) -g(x0) > (x*0,x) ^ 0 (Vx £ Kn-(x0)).
Отсюда следует, что выпуклый конус Kq- (xo) является непрерывным шатром к множеству Поскольку то предположению int Kq- (xo) П Km (xo) = 0, то конус
K2 = Kq- (xo) П Km (xo)
также будет конусом касательных направлений для Q-ПМ в точке xo. Отсюда и из (3.14) следует, что существует отображение ^>2 (А) = o(A) такое, что
Ф2(Л) = xo + AU2 + ^2(Л) G М, 5(Ф2(А)) ^ 0. (3.15)
M
дется точка е G [Ф1 (А), Ф2 (А)] такая, что
0(0 =0, е G М. Имеем также, что для некоторого a G [0,1]
е = xo + aAu1 + (1 — a)Au2 + o(A).
А>0
/(е) — /(xo) < /'(xo, xo + aAui + (1 — a)Au2 + o(A)) + o(A) < 0,
что противоречит предположению о том, что точка xo — решение задачи (3.6).
Теорема 3.3. Пусть xo — точка минимума локально лиишицевой функции /o(x) при ограничениях
/¿(x) =0, i = 1,2,... x G
где /i,i = 1, 2,... , k, — также локально лнпшицевые функции. Пусть существуют такие векторы w¿, что /¿Mp(xo, w¿) < 0 i = 1, 2,... , k, ж функции /¿Mp(x, w¿) полунепрерывны сверху по x в точке xo. Тогда существуют число Ао ^ 0 ж векторы x*,... ,x£, не все одновременно равные нулю, такие, что
k
0 G Ao^al/o(xo) + x*, x* G Lin дмр/¿(xo), i = 1,..., k. (3.16)
¿=i
< Положим = {ж G Rn/f¡MP(xo,x) ^ 0, f¡MP(xo,—x) ^ О}. По теореме 2.1 подпространство H¿ является непрерывным шатром для множества M¿ = {x G Rn//¿(x) = 0} в точке xo. Если конусы H¿ отделимы, то существуют векторы x* G H¿*, i = 1, 2,..., k, не равные нулю одновременно такие, что
xi + x2 + • • • + xk = 0.
В этом случае условие (3.16) выполняется, поскольку имеем
H* = c1{con дмр/¿(xo) - con дмр/¿(xo)} = Linдмр/¿(xo),
и можно выбрать Ao = 0. Если конусы H¿, i = 1, 2,..., k, неотделыми, то в силу теоремы В [12] (теорема о пересечении локально непрерывных шатров, общий случай) конус
k
H = р| H¿
¿=i
является конусом касательных направлений для множества M = Пk=i M¿ в точке xo. В этом случае
H * = H* + H* +-----h Hk = Lin дмр /i(xo) + Lin дмр /2(xo) +-----+ Lin дмр /k (xo).
Теперь, по теореме 1.1 имеем
dAL/o(xo ) П H * = 0.
Отсюда
k
0 G dAL/o(xo) + ^Linдмр/¿(xo).
¿=i
Тогда условие (3.16) выполняется при Ao = 1.
Литература
1. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами.—М.: Наука, 1973.—446 с.
2. Болтянский В. Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи мат. наук.—1975.—Т. 30, № З.-С. 3-55.
3. Дмитрук А. В., Милютин А. А., Осмоловский Н. 17. Теорема Люстерника в теории экстремума // Успехи мат. наук.—1980.—Т. 35, № 5.—С. 11-46.
4. Clarke F. Н. A new approach to Lagrange multipliers // Math. Oper. Res. 1.—1976.—№ 1,—P. 165-174.
5. Половинкин E. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения.—М.: Физматлит, 2014.-608 с.
6. Пшеничный В. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.—М.: Наука, 1980.—320 с.
7. Пшеничный В. П., Хачатрян Р. А. Ограничения типа равенств в негладких задачах оптимизации // Докл. АН СССР.—1982.—Т. 267, № З.-С. 553-556.
8. Пшеничный В. П., Хачатрян Р. А. Необходимые условия экстремума для негладких задач // Кибернетика.—Киев, 1983.—№ 3.—С. 111-116.
9. Хачатрян Р. А. О пересечении шатров в гильбертовом пространстве и необходимых условиях экстремума для негладких функций // Изв. АН АРМ ССР. Математика.—1988.—Т. 23, №3.—С. I 19 162.
10. Michel P., Penot J.-P. Calcul sous-differentiel pour les functions lipschitziennes et non lipschitziennes // C. R. Acad. Sc. Paris. Ser. I.-1984.-Vol. 291.-P. 269-272.
11. Ioffe A. D. A Lagrange multiplier rule with small convex-valued subdifferential for non-smoth problems of mathematical programming involving equality and nonfunctional constraints // Math. Programming.—1993.—№ 58.-P. 137-145.
12. Ivanasbi R. On the Intersection of Continuous Local Tents // Proc. Japan Acad. Ser. A.—1993.— Vol. 69.—P. 308-311.
13. Ekeland I. On the variational principle I I J. Math. Anal. Appl.-1974.-Vol. 47, № 2.-P. 324-353.
Статья поступила 25 января 2015 г.
Хачатрян Рафик Агасиевич Ереванский государственный университет, доцент кафедры численного анализа и мат. моделирования АРМЕНИЯ, Ереван-0025, ул. Алека Манукяна, 1 E-mail: khachatryan.rafikOgmail.com
NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS IN NON-SMOOTH PROBLEMS WITH EQUALITY CONSTRAINTS
Khachatryan R. A.
Necessary conditions for extremum in non smooth problems are obtained in this article. The problem under consideration includes both equality and inequality type constrains given by non-smooth functions. The necessary conditions are given in terms of asymptotic subdifferentials. Generalized Lagranges's multiplier rule for non-smooth problems with not local lipschitz constraints is obtained. It is proved also that Peno's and Clark's generalized derivatives are upper convex approximations for local Lipshitz functions.
Key words: subdifferential, tent, tangent cone.
