О скорости сходимости к предельному распределению Текст научной статьи по специальности «Математика»

минимальной модели (приведенных во втором столбце) указано соответствующее преобразование. В терминах /-графов, соответствующих атомам B,D\,C2, P4 (см. предложение 2 и рисунок), такое преобразование однозначно задается образом какой-то "отмеченной" вершины /-графа.

В третьем столбце использованы следующие обозначения: а (для атомов B,D\,C2) — центральная симметрия, в (для атомов C2,P4) переводит отмеченую вершину /-графа в вершину, соединенную с ней ориентированным ребром, а y (для атома P4) переводит отмеченную вершину в вершину, соединенную с ней двухзвенным путем, состоящим из ориентированного и неориентированного ребра.

Автор благодарен академику РАН А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3224.2010.1), программы РНП (грант 2.1.1.3704), программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (ГК 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация: В 2 т. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Singularities of integrable Hamiltonian systems // Topological methods in the theory of integrable systems / Ed. by A.V. Bolsinov, A.T. Fomenko, A.A. Oshemkov. Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2006. 1-67.

3. Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case // Comment. math. helv. 1990. 65. 4-35.

4. Ошемков А.А. Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2010. 201, № 8. 63-102.

5. Zung N.T. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities // Compos. math. 1996. 101. 179-215.

6. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек, I; II; III // Матем. сб. 1992. 183, № 12. 141-176; 1993. 184, № 4. 103-138; 1995. 186, № 10. 89-102.

7. Матвеев В.С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло // Матем. сб. 1996. 187, № 4. 29-58.

8. Bolsinov A.V., Matveev V.S. Integrable Hamiltonian systems: Topological structure of saturated neighborhoods of nondegenerate singular points // Tensor and vector analysis. Geometry, mechanics, and physics / Ed. by A.T. Fomenko, O.V. Manturov, V.V. Trofimov. Amsterdam: Gordon and Breach Sci. Publ., 1998. 31-56.

9. Калашников В.В. Простые гиперболические особенности пуассоновых действий // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.В. Болсинова, А.Т. Фоменко, А.И. Шафаревича. М.: Факториал, 1998. 115-126.

Поступила в редакцию 23.12.2009

УДК 511.7+519.2

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К ПРЕДЕЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

Р. Н. Бояринов1

Получены новые оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин.

Ключевые слова: случайная величина, распределение случайной величины, скорость сходимости.

New estimates of the rate of convergence to the limiting distribution for nonnegative random variables are obtained.

Key words: random variable, distribution of random variable, rate of convergence.

В работах [1-4] доказаны теоремы о распределении значений некоторых арифметических функций,

1 Бояринов Роман Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: roma_boyarin@yahoo.com.

имеющих предельное показательное или нормальное распределение; получены оценки скорости сходимости к предельному распределению. В данной статье предложен метод, позволяющий получить более точные оценки скорости сходимости к предельному распределению для неотрицательных случайных величин и использующий только асимптотические формулы для четных моментов.

Важную роль при доказательстве теорем о скорости сходимости играет лемма о характеристической функции интервала.

Определим для любых положительных а и е < а, любого натурального числа к следующие функции:

а+е

(2к + 1)! /

<р+(х) = <р+(х-,а,е,к) = 2 2Д;+'1 J (£ — а)к(а + е — 1)к сИ, х е [а, а + е],

X

а

(2к +1)! (

(р~(х) = (р-(х-,а,е,к) = 0 0, ' / (£ — а + е)к(а — Ь)к (М, хе[а — £,а].

(к!)2 е2к+1 )

X

Далее, определим функции

д(х) = д(х; а) =

\х\ < а; |х| ^ а,

д+(х) = д+(х; а,е,к) =

1, \х\ < а;

(\х\), а ^ \х\ ^ а + е; 0, \х\ > а + е,

1,

\х\ < а — е;

д-(х) = д-(х; а,е,к) = {^-(\х\), а — е ^ \х\ ^ а;

^0, \х\ > а.

Очевидно, что для любого действительного числа х имеет место неравенство

д-(х) < д(х) < д+(х). (1)

Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Для функций д+(х) и д-(х) выполнены следующие утверждения:

1) функция д+(х) монотонно убывает на отрезке [а; а + е], д+(а) = 1, д+ (а + е) = 0;

2) функция д-(х) монотонно убывает на отрезке [а — е; а], д-(а — е) = 1, д-(а) = 0;

3) д+) (а) = д+) (а + е) = д^) (а — е) = д^) (а) = 0 для любого натурального числа в ^ к;

4) функции д+(х) и д-(х) имеют непрерывные к-е производные, и для любого вещественного числа х справедливы неравенства

к!ек

(2)

Доказательство. Монотонность функции д+ (х) на отрезке [а; а + е] и функции д- (х) на отрезке [а — е; а] непосредственно следует из определения. Очевидно, что д+(а + е) = д-(а) = 0. Покажем, что д+(а) = д-(а — е) = 1. Действительно,

а+е е

(2к + 1)! Г. ,к, (2к + 1)! Г к. ,к,

9+(°>) = (¿.1)2^+1 I (*-а) (а + £-*) М = Щ2-Щл ]ук^-УГЛу = 1,

а 0

а е

9-(а -£)= I - а + е)к{а - 1)к М = /Ук{е-у)к йу = 1.

Возьмем теперь любое натуральное число в ^ к. Тогда

9(+\а - 0) = 0, + 0) = ((х ~ а)к{а + е - х)к)

,(«-1)

1

0

ае

х = а

Следовательно, существует g+ (a) = 0. Аналогично (a+e) = (a—e) = gS (a) = 0. Так как g+ (x) = 0 для \x\ < a и \x\ > a + e, то достаточно провести оценку для a ^ \x\ ^ a + e. Используя четность функции g+(x) и правило Лейбница для производной произведения, получаем

--> I , -

< Щ^Г1 -а)(а + в-\х\)^2 (\х\ - а)к~1^ {а + е- И)" <

^ v=0

Итак, для любого вещественного х выполняется неравенство \д^\х)\ ^ 2 ^^^ • Аналогично для а — е ^ \х\ ^ а имеем

< Е(1-1 " а + (¡7Т1)! " <

< «-ЗД^1*1"а + £){а"И) ^ (|ж|"а + (а"^

Лемма 1 доказана полностью.

Лемма 2. Пусть С+ (х) и С-(х) — преобразования Фурье функций д+ (х) и д-(х) соответственно. Тогда С+ (х) и С-(х) — четные непрерывные функции, для которых справедливы следующие неравенства:

[2а, х = 0, [2а, х = 0.

Доказательство. По определению

С+(х) = I д+(у)е~^у, С-{х) = | д-(у)е~^у.

— <х —<х

Так как д+ (у) и д-(у) — четные непрерывные функции, то

а+е а

0+{х) = ! д+{у)со${ху)йу и О-(х) = -|= J д_(у) ссв(ху) г1у

являются четными непрерывными функциями. Интегрирование по частям и оценки (2) из леммы 1 дают при х = 0

G+(x) = 2 9+(y)sin(xy)

a+s a+s а+е

/ g+\y) sin(xy) dy = —=- / (y) sm(xy) dy

\/2nx J y/2nx J

0 0 a

V2vf

a+s a+s

2 J g+\y) eos (xy+ dy, \G+(x)\ < J g+(y)dy^2a

0

a+s ^ - ok

|ж| k J I i)+ ^ л/2ж |ie|

Отсюда при ж ф 0 получаем \G+(x)\ < / \д+\у)\ dy < ^^ 2 •

Используя неравенство ^ Ьк, верное для любого натурального числа, имеем при х ф 0

км*)1 < ^ < (10t)i

\x\k £к-1 \x\k £к-1' Отсюда

[2а, x = 0.

Аналогично доказывается неравенство

(10fc)fc

[2а, х = 0.

Лемма 2 доказана полностью.

Рассмотрим полное вероятностное пространство (О, Т, Р), где О — пространство элементарных событий, Е — сигма-алгебра подмножеств О, Р — полная сигма-аддитивная конечная мера, такая, что Р(О) = 1. Пусть : О ^ М — случайная величина, а Еп(х) = Р(ш : |£п(^)| < х) — функция распределения модуля этой случайной величины, где п — некоторый вещественный параметр, а х > 0. Обозначим через

(п) = J х2и6Еп(х) 2и-й момент случайной величины |£п|. Справедливы следующие теоремы. о

Теорема Фубини. Пусть £(Ш\,Ш2) является Е1 ® Т2-измеримой функцией, интегрируемой по мере ¡1 ® ¡2:

J ,Ш2)\d(ßi ® ß2) <

П1 X 02

Тогда интегралы J £(Ш1,Ш2) ¡1(6^1) и § £(Ш1,Ш2) ¡2(6ш2) определены для всех и1 и Ш2, являются Е1- и 01 02 Т2-измеримыми функциями и

! £(Ш1,Ш2) 6(^1 ® ¡12) = J Ц1(6и>1 £(Ш1,Ш2) ¡2(6^2) = J №(6^2^ £(Ш1,Ш2)^1(6^1).

0;1.х 02 01 02 02 01

Доказательство см. в [5, с. 215].

Теорема 1. Пусть существует абсолютная постоянная По ^ 1, такая, что для любого n > щ существует натуральное число N = N(n) ^ 3, такое, что для любых целых чисел 1 ^ v ^ N справедливо следующее равенство:

m2v(n) = (l + j^j ,

где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = Тогда найдется вещественное число ni >

По, такое, что для любого n > ni и любого а > 0 справедливо равенство

п2 , , (134(ln N +1) 1 3N \ Fn(a) = 1 — е + Rn, \Rn\ < 6 1 -1 + — +—J .

Доказательство. Пусть то ^ 1 — такое число, что f (n) ^ 1 для любого n > то. Тогда ni ^ max(no, то). Рассмотрим сначала случай 2е ^ а ^ 2N. Пусть g(x), g+(x) и g- (x) — функции, определенные

выше. Обозначим /лп = P(w : \£n(w)\ < а). Тогда /лп = f g(x) dFn(x). Пусть = f g+(x) dFn(x),

о о

--те

l1- = J g-(x) dFn(x). В силу (1) выполняются неравенства ^ ßn ^ ß+. Найдем асимптотическую о

формулу для ц,+ . Справедливы следующие равенства:

,+ 2

К = J ¿Рга(ж) J а+{у)соъ{ху)(1у, = +

0 0 (3)

Яп1 = J J С+(у)со8(ху)с1у, = -|= J сШп(х) У а+(у)со8(ху)с1у.

0 Т 0 0

По теореме Фубини в интегралах (3) можно переставить порядок интегрирования, а для Яп\ справедлива оценка ^ / \С+(у)\с1у ^ ек-1т[-1 при к ^ 2.

Т

Т

Далее /х^ = —%= / С+(у) с1у / сов(ху) с1Рп(х). Справедливо следующее разложение соэ(ху) с остаточ-0 0

ным членом в форме Лагранжа:

у у' ^ (2г/)! (2ДГ)!

Отсюда имеем

Тыл Т

М ,2^, Г ОлЛП

,+= ^ I аМ « V + , ю , « I* <

0 v=0 0

|Д+2| ^ ^ (тг)^ • Возьмем Т = Тогда |Д+2К ^г- Обозначим

Т лт_1

-щг-

так как т2м(п) ^ 2ЛП для п > щ. Поскольку верны неравенства N1 ^ (у) и (2Ж)! ^ (ЛП)2, то получаем

N

0 v=0

Подставляя выражение для ш,2и (п), получим

2 Т М-1 (_1)v y2v у!

= Ж У йу ^ (2»/)! + = ^ +

Тогда

, 4а 7 ^ у2гУ! _ 4а ^ Г2"+У! 2аТ ^ Т^ V»/

1 газ1 ^ У У (2*)! " (2г/)!(2г/ + 1) ^ /(«) «/! ^ /(п) I

0 v=0

Т М-1 2„ , „ М-1

0

так как Т = и а ^ 2м. Для любого натурального N верно неравенство (1,4)^ ^ у/Й. Кроме того,

1 4 N

2, 8ем < 31 поэтому верно неравенство ^ ~§Щ- Введем функцию распределения

р (х) = I1 — е-ж2, х >0;

[0, х < 0.

Тогда V! = J х2v йР(х). Преобразуя /л+3, получим 0

Т N -1 2 Т 2И

/х+з = -|= у С+(у) йу I йР(х) х; (~1()2)!У)2гУ = ^ / йу / (с°8(жу) +

0 0 v=0 0 0 где \в\ ^ 1. Далее,

T T

= ^ J G+(v)dy J cos(xy) dF(x) + Д+4, /х+4 =-|= J G+(y)dy J cos(xy)dF(x),

0 0 0 0

где

2aT Î3T2\N 1 Î3\N 1

По теореме Фубини меняем порядок интегрирования:

T

/44 = "^= J dF(x) J G+(y)cos(xy)dy. 00

Далее,

= Ж / / + J \G+(y)\dy <

k-irpk-i ПРИ к ^ 2.

Итак,

где

ek

0 0 T

a+e

= J g+(x) dF(x) + r+5 = + R+5, V+5 = j g+(x) dF(x) = 1 - e-a2 + R+6, 00

a+e

R+6 = j g+(x) dF (x) ^ F (a + e) - F (a) <e,

так как F (a + e) - F (a) = F (h)e < V2e~°'5e < e.

Отсюда Ц+ = 1 — e-a + R+, R+ = R+l + r+2 + R+3 + Rn4 + Rn5 + R+6, где верна оценка

, 2(10 к)к 2_

\RU I < £k-iTk-i + ^v + -Щ +

Совершенно аналогично проводятся вычисления для . Поэтому

/ 2

, ATPÎ^ I Е>- — I Е>- — I г, iпЛ АТ?(пЛ — 1 r,-a I I,

Ln6,

a

Ц-4 = j g- (x) dF(x) + R— = + R—, = j g-(x) dF(x) = 1 - e-a2 + Rn

a

Rn6 = F (a - e) - F (a)+ j g-(x) dF (x).

Тогда \R~6\ ^ 2 (F(a) - F (a - e)) < 2e, так как F (a) - F (a - e) = F'(h)e ^ л/2е~°'5е < е. Отсюда a2

= 1 — e + Rn , Rn = Rnl + Rn2 + Rn3 + R-4 + Rn5 + Rn6, где

Далее,

.„_. 2(10k)k 2 3N

^ gfc-irfc-i + 2* + W) +

a2 , , (10k)k 1 3N ,

Так как T = |VN, то = ^ ^L,. Получим |rn| < 2 f£ ++ ^ + .

ae

Формула (4) доказана в предположении 2е ^ a ^ 2N. Обозначим

Л ( (40k)k 1 3N

sk-iN^ 2N f{n)

Тогда имеет место равенство Fn(2e) = 1 — е_4е2 + гп, где \rn\ ^ 2Д. Так как 1 — е_4е2 ^ 2у/2е~°'5е ^ 2е, то Fn(2e) ^ 2е + 2Д. Отсюда при 0 < a ^ 2е получаем равенства

2 2 Fn(a) = 1 - е "a + rn, rn = Fn(a) + е "a - 1,

где

\rn\ < Fn(a) + 1 - е ""2 ^ Fn(2e) + 1 - е "4е2 ^ 4е + 2Д ^ 6Д. Пусть теперь a > 2N. Тогда

Fn(a) = Fn(2N) + an = P(w : 2N < {„(w) < a) < P(w : {„(w) ^ 2N) = 1 - F„(2n) < e "4 + 2 A. Имеем

Fn (a) = 1 - e " "2 + e " "2 - e "4 + г„ + an = 1 - e " "2 + ßn,

где вп = е а — е 4 + гп + ап. Отсюда \вп\ ^ \е а — е 4 \ + \гп\ + \ап\ ^ 2е 4 + 4Д ^ 6Д, так как 2е-4 ^ 2Ж. Тем самым доказано, что при любом а > 0 выполняется равенство Рп(а) = 1 — е~а + На, где

( (40Л)к 1 3м

Sk-1N^ 2N fin))•

1

Пусть к = [In Ж] + 1, а e = 40kJ^ . Тогда

(40 k)kVN (Ш)к

к ■. , £ = -—тбт--£ =

№'5к ek-iN^'

Отсюда получаем е < _ Поэтому \Rn\ ^ 6 Г + трг + j^y^ • Теорема 1 полностью дока-

зана.

Непосредственным следствием является теорема 2, которая формулируется в более удобной для применения форме. Пусть далее [x] — целая часть x.

Теорема 2. Пусть существует абсолютная постоянная По ^ 1, такая, что для любого n > щ и любых целых чисел 1 ^ и ^ [x\nf(n)] + 1, где 0 < к ^ ^ — некоторая постоянная, справедливо

следующее равенство: Ш2и(п) = и\ + ущ^ , Щ ^ 1) где /(•) — вещественнозначная функция и

lim f (x) = Тогда найдется вещественное число П\ > По, такое, что для любого n > П\ и любого

х^+ж

а > 0 справедливо равенство Fn(a) = 1 — е-"2 + Rn, где \Rn\ ^ 16201п 1пЯга) _

у/ к ln f (n)

Доказательство. Пусть N = [к ln f (n)] + 1. Поэтому из теоремы 1 получаем

2« /(>!)

Существует такое число П\ = П\(я) > щ, что при п > П\ верно неравенство f(n) ^ е~ ^ б35. Очевидно, что к 1п2 ^ 1 — к 1п3. Выполняются следующие неравенства:

к 1п f(п) <М ^ к 1п f (п) + 1, (1пЖ + 1) ^ 1п(0,61п/(п) + 1) + 1 ^ 21п1п/(п).

Отсюда

1 3м 4 4 1п 1п 1 (п)

2W fin) ^ (/(п))-1п2 х1п21п/(п) " у/кЫ f(nY

так как

In In fin) 1 4 , „. . 4 „. . i6

> , ^ , 01 ,, , In f(n) ^ /(n) ^ e^^.

у/x In f(n) ^ж In f(n) x In 2 In f(n) 0?ln2

Отсюда получаем, что при n > U\ верно

'270lnln f (n)\ 1620 lnln f (n)

\Rn\ < 6

y/x\llf(n) J y/x\llf(n)

Теорема 2 полностью доказана. Аналогично доказываются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть существует абсолютная постоянная По ^ 1, такая, что для любого n > По существует натуральное число N = N(n) ^ 3, такое, что для любых целых чисел 1 ^ v ^ N справедливо следующее равенство:

«■»<»> = Ш (l + ш) ■ и <

где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = Тогда найдется вещественное число ni >

По, такое, что для любого n > ni и любого а > 0 справедливо равенство

п

2 [ t2 , , / 134(1п N +1) 1 3N \

FM = 75./е 1 ^ < 6 ( y/N + + ж) ■

о

Следствие 1. Если N = [ж\п f (п)} + 1, где 0 < ж ^ ^ — некоторая постоянная, то

^ 1620 In In/(п)

л/Ж In f(n)

Замечание. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае: относительно предельного распределения F(x) будем предполагать, что F(x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (существует такая абсолютная постоянная L > 0, что для любых x, y Е R выполняется неравенство \F(x) — F(y)\ ^ L\x — y\).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть существует абсолютная постоянная По ^ 1, такая, что для любого n > По существует натуральное число N = N(n) ^ 3, такое, что для любых целых чисел 1 ^ v ^ N справедливо следующее равенство:

m2v{n) = a2v (l + j^j , Щ < 1,

где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = Пусть для <j2v имеют место неравенства

0 < <2V ^ (Cv)v(2-^ , где C > 1, 0 < 5 < 2 — некоторые постоянные. Тогда найдется вещественное число ni > По, такое, что для любого n > ni и любого а > 0 выполняется равенство Fn(o) = F(а) + Rn, где

|Д„, , м (rov + 1, + = в = м + L

Следствие 2. Если N

xlnfjn) ln ln f (n)

+ 1, где 0 < ж ^ — некоторая постоянная, то ^ 450MC(lnln/(n))2

ж(\п/(п))2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vaughan R.C, Wooley T.D. On the distribution of generating functions // Bull. London Math. Soc. 1998. 30. 113-122.

2. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова // Актуальные проблемы теории чисел: Тр. IV Междунар. конф. Тула, 2002. 5-31.

3. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению // Чебышевский сборник. 2005. 6, вып. 1. 50-57.

4. Карацуба А.А., Королев М.А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи матем. наук. 2006. 61, № 3(363). 3-92.

5. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 08.02.2010

УДК 515.12

О МАКСИМАЛЬНЫХ СЦЕПЛЕННЫХ СИСТЕМАХ М. А. Добрынина1

Строится компакт X, такой, что пространство A3(X) максимальных 3-сцепленных систем не является нормальным. Доказывается, что для любого произведения бесконечных сепарабельных пространств существует максимальная сцепленная система, носитель которой совпадает с пространством произведения. Также доказывается, что множество максимальных сцепленных систем со связными носителями всюду плотно в суперрасширении A(X), если пространство X связно и сепарабельно. Обсуждаются свойства полунормальных функторов, сохраняющих точки взаимной однозначности.

Ключевые слова: максимальные fc-сцепленные системы, носитель, функтор суперрасширения, полунормальные функторы.

The compact space such that the space A3(X) of maximal 3-linked systems is not normal is constructed. It is proved that for any product of infinite separable spaces there exists a maximal linked system with the support equal to the product space. It is proved that a set of maximal 3-linked systems with continious supports is everywhere dense in the superextension A(X) if X is connected and separable. The properties of seminormal functors preserving one-to-one points are discussed.

Key words: maximal fc-linked systems, support, superextension functor, seminormal functors.

В 1983 г. Я. Ван Милл [1] определил пространство Ak(X) максимальных fc-сцепленных систем компакта X и доказал, что при к > 2 пространство Ak(X) может не быть компактным. А. В. Иванов [2] определил Nk(X) как пространство полных fc-сцепленных систем и усилил результат Ван Милла, доказав [3], что Ak(X) всюду плотно в Nk(X) и, следовательно, некомпактно для любого компакта X без изолированных точек. Поскольку всякий компакт является нормальным пространством, естественно возникает вопрос о нормальности пространства Ak(X). Одним из основных результатов настоящей работы является следующая

Теорема 1. Существует компакт X, такой, что пространство A3(X) не нормально.

Напомним, что fc-сцепленной системой называется такая система замкнутых подмножеств компакта X, что любые ее к элементов пересекаются. Максимальной fc-сцепленной системой (MfcCC) называется такая fc-сцепленная система, которая не содержится ни в какой другой fc-сцепленной системе. Если £ — MfcCC, то носителем £ называется замкнутое множество

supp(£) = [U{F Е £ : F — минимальный по включению элемент £}].

Пространство Ak(X) состоит из MfcCC (при к > 2 с конечными носителями) с топологией, открытую пред-базу которой образуют множества вида O(U) = {£ Е Ak(X): существует такое F Е £, что F С U}, где U — открытое подмножество X. При к = 2 пространство A2 (X) называется суперрасширением пространства X и обозначается через A(X), при этом вместо обозначения М2СС используется МСС.

1Добрынина Мария Александровна — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

mary_dobr@mail.ru.