CC BY
114
УДК 517.9
Н. В. Арделян1 , К. В. Космачевский2
О СХОДИМОСТИ СЕТОЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В ЯЧЕЙКАХ И НА ГРАНЯХ СЕТКИ
Для стационарных уравнений диффузионного типа изучается сходимость сеточных неоднородных краевых задач варианта MFD-метода (Mimetic Finite Difference method), в котором сеточные скаляры определены в ячейках сетки, а сеточные векторы заданы своими нормальными локальными координатами на плоских гранях ячеек сетки. Сеточные уравнения и краевые условия формулируются в операторной форме с использованием согласованных сеточных аналогов инвариантных дифференциальных операторов первого порядка и граничных операторов. Сходимость исследуется на основе теории операторных разностных схем: получены априорные оценки нормы погрешности решения через норму погрешности аппроксимации, гарантирующие сходимость первого порядка при неоднородных краевых условиях первого, второго и третьего рода в области с криволинейной границей. Используются полученные ранее сеточные аналоги неравенств вложения и аппроксимационные соотношения.
Ключевые слова: сеточные операторы, полиэдральная сетка, ячейки, грани, погрешность аппроксимации, априорные оценки, сходимость.
1. Введение. В области О С МП п = 2, 3 с достаточно гладкой границей дО, в декартовой системе координат, рассмотрим краевую задачу относительно функций
и = и(х) : О С Мп ^ Мп,р = р(х) : О С Мп ^ М*(О = О + дО)
для системы уравнений диффузионного типа в классической постановке:
Здесь V — набла-оператор Гамильтона, n = n(x) — вектор внешней единичной нормали к границе dQ. В уравнениях (1) q(x) ^ 0 k(x) ^ ко > 0 f (x) : Q С Rn — R1 — известные функции, определенные в области Q. В граничных условиях (2) a(x) ^ 0 e(x) ^ 0 ^(x) : dQ С Rn — R1 — известные функции, определенные на границе дQ. Функции а, в не обращаются в ноль одновременно и ограничены. Здесь и далее векторы (величины из Rn) обозначаем жирным шрифтом.
Работа выполнена в рамках исследования средствами теории операторно-разностных схем [1,2] сеточных краевых задач варианта MFD-метода (Mimetic Finite Difference method) [3], в котором сеточные скаляры определены в ячейках сетки, а сеточные потоки задаются своими локальными нормальными координатами на гранях сетки. Статья является продолжением работ [4,5], в которых рассмотрены свойства сеточных операторов, сеточные аналоги неравенств вложения, аппроксимационные свойства сеточной краевой задачи. Здесь изучаются вопросы сходимости путем получения априорных оценок погрешности решения через погрешность аппроксимации [5] сеточной задачи. Рассмотрены сеточные краевые задачи при неоднородных краевых условиях (2) первого, второго и третьего рода в области с криволинейной границей. Считается, что входные данные задачи (1), (2) обладают свойствами, обеспечивающими гладкость решения, достаточную для выполнения аппроксимационных свойств [5]. Обоснование сходимости на достаточно гладких решениях мы рассматриваем как практически важный этап теоретического
1 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ardelQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, ст. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: kosmaQcs.msu.su
qp + V ■ u = f, u + kVp = 0, x = (x1,..., xn) € Q, ар — ви • n = ц, x € dQ.
(1) (2)
исследования: очевидно, что не обладающие этим свойством сеточные задачи неприменимы при численном решении прикладных задач.
Методической основой работы является принцип операторной согласованности сеточной задачи. Принцип применим при аппроксимации краевых задач, содержащих пару инвариантных дифференциальных операторов первого порядка и соответствующие граничные операторы [6-9], для которых выполнено базовое интегральное тождество, обобщающее формулу интегрирования по частям. В соответствии с этим принципом, в сеточной задаче используются согласованные сеточные операторы [6], что означает выполнение для них сеточного аналога базового интегрального тождества, которое для операторов исходной краевой задачи (1), (2) имеет вид
J (рУ • и) йУ + J (и • Vр) йУ = J п ■ (ир) йа = J р (п ■ и) йа = J и ■ (пр) йа . (3)
О О дП дП 30
Подчеркнем, что согласованными должны быть сеточные аналоги как инвариантных дифференциальных операторов первого порядка (V, V- для задачи (1), (2)), так и граничных операторов умножения скаляров и векторов на нормаль п к границе д0. Знаками тождества в (3) отмечены эквивалентные варианты записи поверхностного интеграла, в которых круглыми скобками выделены граничные операторы.
2. Сетка, сеточные функции и операторы. В этом разделе приводятся списки необходимых обозначений и определений (подробнее см. [4,5]). Считаем, что сетка удовлетворяет общим требованиям, сформулированным в [3-5].
Рассматриваемый сеточный метод [3] построен для приближенного решения задачи (1), (2) на полиэдральной (в трехмерном случае, при п = 3) или полигональной (в двумерном случае, при п = 2) сетке. Полиэдральная (полигональная) сетка составлена из ячеек, являющихся многогранниками (многоугольниками). Грани многогранников или стороны многоугольников называем
п = 2, 3
ний и свойств.
1. шс, ш}, ш~р> ш} — сетки: множества ячеек С, их граней Е, граничных граней, внутренних граней соответственно, ш} = шР\ш£, ш = шс + ш}. Ячейки С € шс пронумерованы.
2. |А| — мера размерности к € {1,2,3} множества А с Кп той же размерности; А = А + дА, дА — граница множества А, р(А) — его диаметр.
3. Е(С) = {Е с дС} — множество граней ячейки С € шс-
4. С(Е) = {С}, С}} — множество ячеек с гранью Е. Номер ячейки С} меньше номера ячейки С} • Для граничных граней Е € ш} формально считавм, что С} — внешность сеточной области
0с = и С
сешс
5. Н € К1 — параметр сетки, Н > 0. Для элементов сетки
|С| = 0(Нп), |Е| = 0(Нп-1), р = О(Н).
6. с > 0, возможно с индексами, — не зависящие от Н положительные постоянные. Формулы с ними следует понимать в следующем смысле: существуют постоянные, при которых формулы
с
7. Конечномерные линейные пространства Вс, В}, В^, Вс = Вс Ф В} скалярных сеточных функций
дс = {дс = дс(С), С € шс} € Вс, д} = {д} = д}(Е), Е € ш}} € В}, д1 = {д} = д1 (Е), Е € ш}} €В}, дс = {дс,д7} € Вс.
В обозначениях функций верхний индекс указывает на тип сетки, нижний — на ее конкретный элемент. В изучаемом варианте МК1)-м<тода сеточные векторы представлены как сеточные функции из В}, значения которых на гранях Е € ш} интерпретируются как локальные координаты векторов вдоль нормалей, направленных в сторону ячеекС}.
8. Ьр — сеточная вектор-функция, определенная на гранях Е € Шр; Ьр € Мп — вектор, соединяющий барицентры ячейки Ср и ячейки Ср (или грани Е, если Е €
9. Скалярные произведения и нормы в пространствах сеточных функций:
(рс,9с)с= Е |С|Р%д%, (ир,ур)Р= Е ^/^И^.ц-Йл/Ы.
Сешс Решр
(р7,£7)7 = Е |Е| р7£7, (р7,£7)р = Е ^рр7£7, е1\\1Р||7 < й-1/2\\р7||р < е2\\'[Р||7. Ре^ Ре^
10. Скалярное произведение и норма в линейном пространстве В, индуцируемые оператором: 0 ^ А = А * £ £(В ^ В), и,ь £ В : (и,ь)А = (А и, у), |Н|А = л/(А и, и).
11. Сеточные аналоги дифференциальных операторов (V-) и V:
(Уср■) € С (Вр ^Вс), (Уср ■ ир)С = |C|-1 ^ (-1)т-1ир |Е|;
р еР (С)
Урс € С (ВС ^ Вр) , (УрсрС)р = |ЬР|-1 [рС (С2р) -рС (Ср)] .
Здесь и далее ир — сеточный вектор, рС (Ср) = рР для граничных граней Е € шр. Для Е € Е (С) в определении оператора (Уср■) число т = 1 V 2 — номер ячейки С = С^ в множестве
С (Е ) = {Ср, Ср }
ячеек с гранью Е.
12. Граничный сеточный оператор Ф7 € С (В^ ^ Вр) и сопряженный к нему:
Е € Ш0 : (Ф7р7)р = 0; Е € ш7 : (Ф7р7)р = |Ьр|-1р7 , [(Ф7)*ир]р = |Ь^|-1ир.
13. Сеточный аналог УРс € С (Вс ^ Вр) градиента при нулевом значении функции на границе. Определяется формулой для оператора Vрс из п. 11 при р7 = 0. Нормы операторов (Уср•), Ур с Ф^ (Ф7 )* есть величины по рядка Л-1.
14. Операторы (Уср•), Vрс, Ф7 согласованы [4-6]: выполнено сумматорное тождество
(рС, Ус р • и р) С + (V рср С, и р) р = (Ф7р7, и р) р
— сеточный аналог формулы (3) и имеют место свойства
УрСрС = УРсРС + Ф7Р7, (Уср•)* = -урС
— следствия этого тождества и определений ип. 11 13.
{}
задача [5] для функций рС = {рС, р7} € Вс, и р € Вр в обозначениях раздела 2 имеет вид
а)^рс + УСр-мр = /жс; 5)Мрир + УрсРС = йр-, в) а'р'- = ¡л'. (4)
Здесь , /Xе € Вс, ¿р € Вр, а7, в7€ Вр — сеточные скалярные функции, способ их задания через соответствующие функции исходной задачи (1), (2) описан в [5], = 0. Правая часть dр введена в уравнение (4),б, так как = 0 при рассмотрении задачи для погрешности. Здесь и далее, как правило, любой сеточный оператор умножения на известную сеточную функцию обозначается так же, как и эта функция. Такие операторы перестановочны.
Линейный оператор Мр € С (Вр ^ Вр) (см. уравнение (4),б) описан в [3] (см. также [5]) и строится в цитированных в [3] работж исходя из требования аппроксимации дискретным скалярным произведением (М риринтеграла / (и ■ V) Здесь и далее ир€ Вр —
п с
сеточные векторы, точечные проекции [5] на сетку ш} вектор-функций и, V : 0 — Кп. Точечные проекции определяются через значения функций в барицентрах граней или ячеек (подробнее см. [5]). Оператор М} обладает свойствами М} = М}, 0 < с^ ^ М} ^ смах [3,5] и обеспечивает эффективность МК1)-м<чч>да. в частности, сходимость сеточной задачи с однородным краевым условием первого рода [3]. В [5] доказана локальная аппроксимация сеточным уравнением (4),б потокового уравнения и + кУр = 0 из (1).
В настоящей работе сеточная граница разбивается на две непересекающиеся части:
ш} = ш}1 и ш}2, ш}1 = 0.
Рассматривается вариант, когда а} ^ са на гранях Е € ш}1 и (4),в является сеточным краевым условием первого (в} = 0) или третьего (в} > 0) рода. На гранях Е € ш}2 заданы а} = 0, в} = 1, и, в силу определения величин (Ф7)*, |Ф|7, условие (4),в принимает вид и} = д} сеточного
Е€
€ ш}2 потоковое уравнение (4),б заменяется на краевое условие и} = д}, а значение и} сеточной функции и} заменяется в уравнениях (4),а, (4),в на величину д}. В силу того, что ш}1 = 0, не рассматривается вариант краевого условия второго рода на всей границе. Аналогичный способ учета краевого условия второго рода в операторной форме рассмотрен в [8] и в других наших работах при ячеечно-узловой аппроксимации на треугольной сетке нестационарных задач.
Для операторного представления задачи вводятся характеристические граничные функции ¿7 € В} частей граничной сетки ш}: УЕ € ш} (¿7)} = 1 УЕ € ш}\ш}г (¿7)} = 0. Вводятся также характеристические функции граничных сеток ш} как частей всей сетки ш}: УЕ € ш} (¿7)} = 1 УЕ € ш}\ш} (¿7)} = 0 Операторы ¿7 € С (В} — В}), Щ € С (В} — В}) умножения на одноименные функции являются проекторами и ¿ = ¿* ^ 0, ¿2 = ¿ для любого из них. В силу локальности определений граничных операторов Ф7, (Ф7)* имеют место свойства перестановочности (Ф7)*$2 = ¿2 (Ф7)*> ¿7Ф7 = Ф7¿1) которые используются при построении приводимых ниже операторных задач.
Описанный вариант сеточной задачи (4) формулируется в виде системы операторных уравнений общего вида (см. также [8-10]):
а) Ассрс + Ас}и} = /с; б)А}}и} + А}срс + А}7р7 = д}; в) а7р7 + Ь7А7}и} = п7. (5)
Здесь А с индексами — линейные операторы, а7 ^ 0, Ь7 ^ 0, п7, /с, д} — известные сеточные функции, задаваемые следующим образом:
Асс = , А}} = ¿7 + (I} - ¿7) М} (I} - Ц) , Ас} = Ус} ■ (I} - Ц) ,
А}с = (I} - ¿7) У}с, А}7 = (I} - ¿7) Ф7, А7} = -(Ф7)* (I} - ¿7),
(6)
а7 = ¿7 а7, Ь7 = ¿7 (в7 / |Ф71), п7 = ¿7 Д7, /с = /хс -Ус} ■ ¿2; Д7, д} = (I} - ¿7) й} + ¿7д7 - (I} - ¿7) М} ¿7д7 .
Здесь I} € С (В} — В}) — тождественный оператор, функция Д7 € В} равна нулю на внутренних гранях и функции д7 на границе: Д} = 0 УЕ € ш}, Д} = д} УЕ € ш}. Линейные операторы системы (5), (6) обладают свойствами:
Асс = Асс ^ 0, А}} = А}} > 0, Ас} = -А}с, А}7 = -(А7})*. (7)
В (7) последние два свойства взаимосопряженности являются следствием операторной согласованности (см. раздел 2 п. 14) исходной сеточной задачи (4).
Далее изучается операторная сеточная задача (5), (6), записанная в виде одного уравнения рс
Ассрс = /с, Асс = Асс - Ас}Б-}А}с = Асс; (8)
Б}} = А}} - А}7 Ь7А7} = Б}} ^ с, /с = /с - Ус} ■ ¿7Д7 - Ас}Б- } (д} - А}7 Д7) , УЕ € ш71 : Д} 4 д}/а}, в^ = в^/ (а}|Ф|7) ; УЕ € ш7,2 : Д7 4 0, в7 = 0.
Уравнение (8) получается подстановкой граничной функции р7 из уравнения (5),в в уравнение (5),5, с последующим исключением функции ир из уравнения (5),а посредством модифицированного уравнения (5),б. Верна оценка нормы оператора уравнения (8): \\Acc\\ = О (Л-2).
4. Разрешимость сеточной задачи. Далее нам понадобится сеточное неоднородное неравенство Фридрихса [4]:
С € Вс : (1 - е) Ъи ||С < с
С и2
С
¿7 £7
+ е
р + е
-1 ИУрс £С ||2
р
(9)
Здесь е > 0 — параметр, а 57 € Вр — характеристическая функция части границы Шр С В
е
е
Лемма. Для функции уС € Вс, УЕ € шР уР = уС (Ср), верна оценка
|уС 11Асс > с (|Ур С уС ||р + К у7\\?).
Здесь Ср € С (Е) — приграничные ячейки: Е € ш^, Е С д (Ср).
Доказательство. Определим положительную функцию х р € Вр (и соответствующий оператор умножения) в неравенстве Б—р ^ с% р, при выполнении которого верна оценка
у
С У' ^ с УАрсуС УХ^
(см. определение оператора Асс в (8))- Для самосопряженных положительно определенных операторов А, В неравенства В- 1 ^ А- 1, В ^ А эквивалентны. Поэтому достаточно оценить сверху оператор Бр р:
(Бр рир,
и = и
|2
+ |(Ф7Г (1р -
Ф ир и* <
сМ + 51 Л сф
р р
и , и
р
(10)
Здесь использованы равенство (Ф7)* (1р - 51) ир = (Ф7)*ир и оценки Арр ^ с^2, Ь7 ^ сф1^. Из (10) следует, что Б рр ^ с (Л + /Л и неравенство Б—р ^ сх р выполнено при условии Л ^ с,
если х р = 1 УЕ € ш р\ш р , х р = Л УЕ € ш р . При Ь7 = 0, когда (5),в — сеточное краевое условие
первого рода, сф1 = 0 Брр = Арр ^ с ХР = 1-
д
/
Для правой части доказанного неравенства ||уС уАсс ^ с уА рсуС получим
|АрсУСУХг
^ с
£ (I р - 57) (V РСуС)р + £ Лга+1 (I р - 51) (у°рСУС) р
уРеш_р\
л1
Реш
,71
( \
С)2 I ^п+1 „.С)2
р
Е (VРСУС) р + £ Лп+1 (урСУС)
^ с
Реш0
РешХ1
(11)
/
1(1 р - 57) уРсУС||р + £ Л
'га— 1
V
реш
71
УС
усГ
В (11) 57 = +52 • Легко видеть, что V рСуС = (!р - ¿7) УРСуС и го (11) следует, что || АРСу
С| 2
>
> с ^ VрсУ
С|
|р
+ У7)• Лемма доказана.
Теорема. Для оператора задачи (8) верно: Асс ^ с ^ А—С ^ с.
с
Х
2
Доказательство. В случае Acc — ^ с имеем Acc ^ Acc ^ с. Оценим снизу оператор Acc при q^ ^ 0.
В сеточном неравенстве Фридрихса (9) положим Шр = ш^1, gC = yC € B?c, где функция yC определена в лемме. Тогда из леммы и (9) следует при е < 1 :
l|yC|liCo > с (||VFcy с||р + P7Н?) > с (||VFcy c||р + е ||¿7y7>
\ )
> (1 - е) е ||yC||C - се2 ||y7||р ^ (1 - е) е ||yC||C - cíe2 ||yC||C = (1 - С2е) е ||yC||C .
При достаточно малом е из (12) получаем искомую оценку ¡ACC ^ с ¡yC ¡C- Теорема доказана.
При b7 ^ сМ7 (см. (8)), когда (5),в — сеточное краевое условие третьего рода, использование в лемме простейшей оценки D—р ^ ||Dpp||-1 вместо неравенства D—р ^ с%р с переменной функцией нецелесообразно. В этом случае ||Dpp ||-1 = O (h) и число обусловленности {a оператора Acc оценивается как O (h-3), что ухудшает ожидаемую эффективность алгоритмов численного решения задачи (1), (2). Утверждение теоремы означает разрешимость задачи (8) и дает оценку {a = O (h2), обосновывающую эффективную операторную алгоритмизацию задачи (8).
5. Априорная оценка устойчивости и сходимость. Простая оценка решения pC опе-
раторного уравнения (8) получается из равенства л/А сс'РС = (л/А с с) 1 fC ||рС''
с
IA cc
.Используя неравенство Acc ^ c ^ A-C ^ c теоремы, получим
/С
< c||fс||с + ||AcfD-F (/ - AfyД7) ||A-1 . (13)
CC
Далее понадобится следующее известное утверждение.
Утверждение. Для конечномерных линейных прост,ранет,в 315 32 и операторов
А12 (32 ^ 3^, А21 (3! ^ З2),
т,аких, что А12 = — А^, 1т (А12) = З1, выполнено
Ац = — А12А21 ^ с, у2 € З2 : ||А12У2||1п1 < 11У2 N2 ^ — А21А-/А12 < 1. (14)
Действительно, используя разложение З2 = 1т(А21) ® кег (А12), получим У2 = А21У1 + ^2 €32, А12^2 = о :
|| А12У2 N А—]1 = (А12А21У1, А12У2)АГ11 = — (У1, А12У2) = (А21У1, У2) < ||У2 |2-
Неравенство (14) применялось нами в [11] и в других работах (см., например, [12]) при изучении задач типа (5), (7).
Положим в (14) 31 = 3с 32 = 3(, А12 = Ас(А21 = Б—^Аес- Тогда, учитывая неравенства Асс ^ — А12А21 ^ с, ^ с, в правой части (13) получим
||Асе— А(7Д7) ||А_1 < — А(7Д7||с_1 < с||#(||( + ||А(7Д7||с-1. (15)
СС —— Р Р
Введем параметр а: а = 1 при Ь7 ^ сМ7 ((5), в — условие третьего рода), а = 0 если = 0 на всех или части граней Е € ш^1 ((5),в — условие первого рода). Всегда верна простая оценка ||А(тД7||Б—- < с||А(тД7
В случае краевого условия третьего рода (при Ь7 ^ сМ7, а = 1 ) эту оценку можно улучшить, используя утверждение. Действительно,
||А(7Д7- (с — А(7Ь7А7^_1А(7Д7, А(7Д^ . (16)
В (16) оператор ^с - Ар7 Ь7А7р^ действует в подпространстве 1т (Ар7) С Вр, в котором оператор Ар767А7р обратим. Поэтому верно неравенство, продолжающее (16):
\\АР7Д7< сЛ-1 ИМД7\\(-л^Л^)-1 .
При В1 = 1т (АРт), В2 = В7, А12 = АРт, А12 = АтР из (14) следует
||АР7Д7\\(-Л^Л^)-1 ^ с|Д7\\р ^ Д\\р. В итоге получается оценка — следствие формул (6), (13), (15), (16):
||рС||асс < с /||с + ||dр||р + ||Уср • 527Д7||с + Л1/2\\£7д7\\7) +
+ с ((1 - а) \\Ф7¿7д7\\р + ар7д
(17)
Здесь учтено соотношение с1 \\р7 \\_, < Л-1/2\\р7\\ р ^ с2\\р7\\7 между поверхностной и объемной нормами граничной функции и определение оператора Ар7 (см. (6)).
При наличии краевых условий второго рода (¿2 = 0) в (17) фигурирует величина
||Уср ■ %Д7||с ^ сЛ-1/2р7д7\\7.
Оценку (17) можно улучшить в этой части, применяя метод энергетических неравенств аналогично [2, гл. 6]. Пусть рС — решение уравнения АссрС = —Уср ■ 52Д7- Умножим его скалярно па рС:
||рС ||Асс = -УсР ■ 57 Д7 ,рС)с = (527Д7, 52 Урс рС) р <
(18)
< сеЛ \\£7д7+ (4е)-1 р7Ф7р7||р < с (еЛ \\£7д7+ (4еЛ)-1 \\£27р7.
Здесь р2 € В7 — граничная функция, равная на граничных гранях Е € шР значениям функции рС € Вс в приграничных ячейках: УЕ € Шр р2 (Е) = рС )Ср). В (18) использована следующая из определений операторов формула: УЕ € шР (УРСр^р = — (Ф7р2)р. Из (18) следует искомая оценка !рСЦАсс ^ с\\$2Д7при выполнении неравенства \\$2р2^ с !рС¡Асс и ВЬ1боре достаточно большого значения параметра еЛ = О (1).
Докажем оценку \\^2р2^ с ||рС||Асс- Неравенство ||рС||Асс ^ с ||рС||С теоремы сложим с
неравенством ||рС||Асс ^ с ^||УРсрС||р + р2 \\2) леммы:
|рС||Асс > с (|Урср2с||р + ||рС||С + \№2\\?) . (19)
Из (19), с учетом сеточного неравенства вложения [4] \\д7^ с ||дС||С + ||Урс$С||р , следует требуемое неравенство УрСУ' ^ с (\\р2\\2 + Р7р2\\^) ^ с\\£2р2\\2. При этом, как показано
II и ^Асс у 1 1 / 1
выше, выполнена оценка ||рС||Асс ^ с\\$2Д7Ц^-
Представляя решение сеточного операторного уравнения (8) в виде суммы рС = рС + рС, где рС — решение уравнения (8) с правой частью /С + Уср ■ 52Д7, и используя неравенство треугольника, получим оценку устойчивости, улучшающую (17):
1|рС ЦА к II Ас
< с (||/С||с + l|dP||р + \\^2 Д7\\7 + (1 - а) \\Ф7¿7Д7\\р + Д7\\7) . (20)
Для анализа сходимости введем погрешности
2рС = {^С } = {рС - рС, р7 - р7 } , = ир - иР,
где p? = {pe,Рж} — проекция на сетку решения u, Р исходной задачи (1), (2). Подставляя в уравнения (4) сеточные функции pC, pX, определим, как и в [5], погрешности аппроксимации
^ е Be, ^UF е Bf, е B7:
tf = чЫ + Vfc • < - /f, = M fUfx + vcfp?, Ф1 = cPpl - ~ Д7- (21)
Рассматривая определения (21) как уравнения относительно сеточных функций pX? ={ p?, pi}, вычтем каждое из них от соответствующего уравнения из (4). В итоге получим сеточную задачу для погрешностей, совпадающую с (4) с точностью до обозначений: решение peсеточной задачи (4) следует заменить на погрешности Z?, правые части , , д7 — на погрешности аппроксимации ^p?, , соответственно. С учетом этих замен, верны данные в разделе 3, операторные формулировки сеточной задачи и априорные оценки раздела 5. Основная оценка устойчивости (20) даст оценку сходимости:
IIZ?||Acc, < c (||<lie + || ^||F + P7II7 + (1 - a) h-1/2KllF + a^7II7) •
В заключение приведем полученные в [5] локальные оценки для погрешностей аппроксимации: в общем случае ^p? = O (h), = O (h); на прямолинейной (n = 2) или плоской (n = 3) границе = 0; для криволинейной границы = O (h) в трехмерном случае (n = 3) при краевых условиях второго (¿7 = 0) и третьего рода (¿7 = 0, a = 1) и = O (h2) в трехмерном случае при краевых условиях первого рода (¿7 = 0, a = 0) ив двумерном случае.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
2. С а м а р с к и й А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
3. L i р n i к о v К. N., М а n z i n i G., Shashkov М. J. Mimetic finite difference method //J. Comput. Phys. Part B. 2014. 257. P. 1163-1227.
4. Арделян H. В., Космачевский К. В., С а б л и н М. Н. О свойствах согласованных сеточных операторов для сеточных функций, определенных в ячейках и на гранях сетки // Прикладная математика и информатика. № 54. М.: МАКС Пресс, 2017. С. 13-34. (А г d е 1 у а п N. V., Kosmachevskii К. V., S ab 1 i n М. N. Properties of consistent grid operators for grid functions defined inside grid cells and on grid faces // Computational Mathematics and Modeling. 2018. 29. N. 1. P. 10-29.)
5. Арделян H. В., Космачевский К. В., С а б л и н М. П. О свойствах сеточных краевых задач для функций, определенных в ячейках и на гранях сетки // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2017. № 3. С. 3-9. (А г d е 1 у а п N. V., Kosmachevskii К. V., S a b 1 i n М. N. Properties of grid boundary value problems for functions defined on grid cells and faces // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2017. 41. N 3. P. 105-112.)
6. С а б л и н М. П., Арделян Н. В., Космачевский К. В. Согласованные сеточные операторы при ячеечно-узловом определении сеточных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2017. № 1. С. 3-12. (Sablin М. N., Ardelyan N. V., Kosmachevskii К. V. Consistent grid operators with the cell-nodal definition of grid functions // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2017. 41. N 1. P. 1-10.)
7. Арделян П. В., Гущин И. С. Об одном подходе к построению полностью консервативных разностных схем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. № 3. С. 3-10. (Ardelyan N. V., G u s h с h i n I. S. One approach to the construction of completely conservative difference schemes // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 1982. N 3. P. 1-9. https://zbmath.org/?q=an:0498.65045)
8. Арделян П. В. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений акустики и Максвелла //ЖВМ и МФ. 1983. № 5. С. 1168-1176. (Ardelyan N. V. The convergence of difference schemes for two-dimensional equations of acoustics and maxwell's equations // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1983. 23. N 5. P. 93-99.)
9. Ardelyan N. V., Kosmachevskij К. V. Implicit free-lagrange method for computing two-dimensional magnetogas-dynamic flows // Computational Mathematics and Modeling. 1995. 6. N 4. P. 209-224.
10. Ardeljan N. V., Kosmache vskii К. V. An implicit free Lagrange method with finite element operators for the solution of MHD-problems // Finite Elements in Fluids, New Trends and Applications. IACM Special International Conference. Part 2. Venezia, Italy, 1995. P. 1099-1108.
11. Арделян H. В., Черниговский C.B. Об устойчивости одной операторно-разностной схемы, определенной на прямой сумме пространств // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1984. № 1. С. 32-37. (А г d е 1 у а п N. V., Chernigovskij S. V. Stability of an operator-difference scheme defined on a direct sum of spaces // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 1984. N I. P. 41-47. http://zbmath.org/?q=an:0562.65069)
12. Арделян H. В. Устойчивость двухслойных операторно-разностных схем с симметричными и косо-симметричными операторами // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. 5. № 4. С. 79-91.
Поступила в редакцию 18.09.18 После доработки 12.12.18 Принята к публикации 12.12.18
