О сходимости последовательности операторов Бернштейна - Канторовича в пространствах Лебега с переменным показателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

О СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАТОРОВ БЕРНШТЕЙНА-КАНТОРОВИЧА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Т. Н. Шах-Эмиров

Шах-Эмиров Таджидин Нурмагомедович, научный сотрудник отдела математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, tadgius@gmail.com

Пусть Е = [0,1], 1 ^ р(х) — измеримая и существенно ограниченная на Е функция. Через Ьр(х) (Е) обозначим множество измеримых на Е функций /, для которых /Е \/ (х)\р(ж)^х < то. Исследуется сходимость последовательности операторов Бернштейна - Канторовича {Кп(/, х)}^=1 к функции / в пространствах Лебега с переменным показателем Ьр(Е). Получены условия на переменный показатель, при которых указанная последовательность равномерно ограничена в этих пространствах и, как следствие, показано, что Кп (/, х) при п ^ то сходится к функции / в метрике

пространства Ьр(х)(Е) определяемой нормой ||/||р(.) = ||/||р(.)(Е) = М |а > 0 : / ) ^х < 11.

Ключевые слова: пространства Лебега с переменным показателем, операторы Бернштейна-Канторовича, полиномы Бернштейна.

001:10.18500/1816-9791 -2016-16-3-322-330

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что полиномы Бернштейна, определяемые формулой

к

Бп(/,х) = Pnk(х)/ (£) ' / е с([0,1])' х е [0,1], к=0 ^ '

где рпк(х) = СПхк(1 — х)п-к, равномерно сходятся в пространстве С([0,1]), однако они не подходят для аппроксимации разрывных функций. В работе [1] Л. В. Канторовичем (Кап1:огоу1сЬ) были введены операторы, представляющие собой аналог полиномов Бернштейна для суммируемых функций. Для / е Ь1 ([0,1]) определим, следуя [1], оператор Бернштейна-Канторовича следующим образом:

П „

Кп (/) = Кп (/,х)=£ Рпк (х)(п + 1) / / (1)

к=0 А„к

где Апк = [п+х, п+х], п е N. В работе [2] доказано, что для произвольного постоянного показателя р ^ 1 и / е Ьр([0,1]) имеет место соотношение ||/ — КП(/)||р ^ 0 (п ^ го). В настоящей работе ставится задача получить аналогичный результат для функций из пространств Лебега с переменным показателем. Для точной формулировки полученного результата нам понадобятся некоторые обозначения.

Пусть Е — измеримое подмножество числовой оси, р = р(х) - измеримая и существенно ограниченная на Е функция. Через Ьр(х) (Е) обозначим множество измеримых на Е функций /, для которых 1е I/(х)|р(х) ¿х < го. Из [3] известно, что если переменный показатель 1 ^ р(х) существенно ограничен на Е, то Ьр(х) (Е) можно превратить в банахово пространство с нормой

/(х) Р(Х) ¿х ^ 1 )> . (2)

а

I/ 1к) = II/ 1к)(Е)=1п£ ^ а > 0: J

е

При этом отметим (см. [4]), что если 1 ^ р(х) ^ д(х) ^ д(Е) < го, то имеет место неравенство

II/ Ир(0(Е) ^ гр>,||/||в(^)(Е), (3)

в котором

= тах

{1/0(Е) + д(Е)/в(Е), 1} , в(х) = д(х)/р(х),

где д(М) = еББ вир ^(х), #(М) = е8в1п£#(х).

хеш ~ хем "

г

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть р — выпуклая функция, заданная на промежутке А с К, неотрицательные числа дг, ..., дп таковы, что ^П=о дк = 1- Тогда имеет место неравенство Йенсена:

(те \ п

^дкХк) ^ дк), (4)

к=0 ) к=0

для любых хк £ А. Если / (х) и д(х) — интегрируемые на промежутке В с К

функции, а ^ /(х) ^ Ь (а, Ь £ А), д(х) ^ 0, при х £ В, и /в д(х)ёх = 1. Тогда выполняется следующее неравенство Йенсена для интегралов:

р |У д(х)/(х) ¿х I д(хМУ(х)) ¿х (5)

вв

при условии существования правого интеграла в неравенстве (5).

Приведем также некоторые свойства функций рпк(х). Прежде всего, заметим, что для произвольного х £ [0,1] имеет место равенство

п

Е^пк(х) =1 (б)

к=0

Далее, пусть х £ [0,1] и £ > 0 — произвольное положительное число. Тогда (см. [5, лемма 2, с. 21]) 1

Е Рпк(х) ^ • (7)

к>| п-ф5

Отметим также, что

1

J(n + 1)рпк (х)йх = 1. (8)

0

В самом деле, используя бета-функцию

ъп , , ^ [1 к„ лп-к1 Г(к + 1)Г(п - к + 1) В(к + 1,п - к + 1)= / хк(1 - х)п к¿х = —-^----,

./о г(п + 2)

находим

с к = Г(п + 1) = 1

п

Г(к + 1)Г(п - к + 1) (п + 1)В(к + 1, п - к + 1)' откуда и следует (8).

2. О РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ БЕРНШТЕЙНА-КАНТОРОВИЧА

В ), Е = [0,1]

Пусть Е = [0,1]. Через Р обозначим класс показателей р(х) ^ 1, для которых выполнено условие Дини - Липшица

|р(х) - р(у)| 1п --- ^ х,у £ Е, (9)

|х - У1

и существует число 0 <5 ^ 1 такое, что

Р(х) = {д1' 0 ^ х ^ 5 (10)

\д2, 1 - 5 ^ х ^ 1, 1 ;

где дг ^ 1, д2 ^ 1. Для краткости записи введем обозначение

Спк (х) = (пк (/, х) = Рпк (х)(п + 1) J / (£)

A„fc

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Пусть р(х) £ Р. Тогда последовательность операторов {Кп(/, х)}^=1 равномерно ограничена в £Р(х) (Е). Другими словами, справедливо следующее неравенство:

Доказательство. Пусть Рассмотрим интеграл

1Кп (/)||Р(-) ^ С(р)У/||р(0 •

II/ НрО) ^ 1

(11)

1-5

|Кп(/,х)|р(х) ¿х = |Кп(/,х)|р(х) ¿х + |Кп(/,х)|р(х) ¿х + |Кп(/,х)|р(х) ¿х (12)

1-5

и покажем, что каждое из слагаемых в правой части равномерно ограничено относительно п. Пусть 0 < а < 1/2 и

Ро =

Ш1П

р(х), Р1 =

1—5-п-а-п-1<ж<1

р(х).

Оценим первое слагаемое. Рассмотрим разность р(х) - р0 на отрезке [0,5]. Возможны два случая. В первом случае р0 = д1 ив силу (10) р(х) - р0 = д1 - р0 = 0, во втором случае р(х) > р0, тогда из (10) имеем р(х) -р0 = д1 -р(х0) = р(5) -р(х0), где 5 < х0 ^ 5 + п-а + п—1, р(х0) = р0. Следовательно, используя условие (9), приходим к оценке

р(х) - Р0 = р(5) - р(х0) ^

й

1п

<

1п

|5—хо| 111 п-а+п-1

С учетом равенства (6) и оценки (13) получаем

6, с(а) 1п ^ 1п п

п > 2 а •

5 5

[ |Кп(/, х)|р(х) ¿х = [

Е^к (х)

к=0

Р(х)

¿х =

Е^к (х) к=0

р(х)—ро +Ро

¿х ^

^ (п +1) £ Рпк (х) У /

к=0 5

Ап

Р(х)-Ро п Ро

Е^пк (х) ¿х ^

к=0

Р(х)-Ро

с (а)

^ (п +1) 1п п

0 \£

Легко видеть с учетом (3), (11) и (13), что

Р(х)- Ро

|/(^И ^ Г

Е^к (х) к=0

¿х.

с(а)

"ро ^ ТПП 1,Р ^ Г1,р

(13)

(14)

(15)

Тогда, подставляя (15) в (14), получим следующую оценку для первого интеграла:

/ ч с(а) с(а)

|Кп(/,х)|р(х) ¿х ^ г^/ (п + 1)тПпП-

Е^к (х) к=0

Ро

¿х ^ с(р, а)

00 В силу неравенства треугольника для нормы £Ро имеем:

_ 1 5 п

/ Е ^пк (х)

Е^к (х) к=0

Ро

¿х. (16)

к=0

Ро \ Ро / 5

¿х

0 к, П <5+п-

1

ро /5

^ (У1 Е £пк (х)

1

ро

Ро

¿х I +

+

Е Спк(х)

Ро

¿х I +

к,5+п-а^ п <1 — 5

/ Е ^пк(х)

V т Ь ^ -

Ро

111 ГРо I 7" Ро I ГРо

!11 + 112 + ^13

ч0 к, П ^1-5

Ч 0 ' П ^

5

1

1

1

5

(с

5

5

5

5

Пусть = (x). Применим к 1ц неравенства (4) и (5)

k, П <5+n-a

' П ^ 1

5

111 =

0

k, П <5+n-a

Pnk(x)

д(ж)

(n + 1W f(t)dt

An

5

^ MP0-1(x) J] pnk (x)

0 k, n <5+n-a

(n + 1) / f(t)dt

A„fc 5

dx ^

dx ^

^ E Pnk(x)(n + 1) у |f(t)|p0 dtdx = ^ J pnk(x)(n + 1)d^y |f(t)|p0 dt.

0 k,n<5+n-a Ank k,n<5+n-a 0 Ank

(17)

Пусть Ап = {к : Апк П[0, * + п-а ] = 0}, М*) = (е^к^ Апк' А )

(рф, * е ([0, 1]\икбА„ Апк).

В силу (8) для правой части (17) справедлива оценка

Е / Pnk(x)(n+1)dW if(t)ipo dt ^ E / if(t)ip0 dt

<

k,n<5+n-a 0

An

W if(t)ih0(t) dt = I llf llho(0

k, n <5+n-aAn h0 (t)

f(t)

lf IU0 (•)

dt.

Из (3) и (11) получаем:

I f IIhi(t)

f(t)

lf lk(0

h0(t)

dt ^ <V

(18)

Перейдем к оценке 112. Пусть rnk = n • Для оценки pnk (x) при

S + П-а ^ Tnk < 1 - S воспользуемся асимптотитеской формулой для гамма-функции при x > 0

lnT(x) = (x — ц) lnx — x + 2 ln(2n) + R0(x),

где |R(x)| ^ W2|X|' w(x) = sup • Из (20) для pnk(x) получаем:

u>0

(19)

(20)

lnpnk (x) = ln n — ln k — ln(n — k) + ln Г(п) — ln r(k) — ln Г(п — k) + k lnx + (n — k) ln(1 — x) = = n ln n — k(ln k — ln x) — (n — k)(ln(n — k) — ln(1 — x)) —

—1 ln 2nnTnk(1 — Tnk) + Rc(n) — R0(k) — R0(n — k) = —n ( Tnk ln — + (1 — Tnk) ln 1 _Tnk 2 \ x 1 x

— 2 ln(2nnTnk(1 — Tnk)) + Rc(n) — R0(k) — R0(n — k).

1 — т

(21)

Полагая H(t) = t ln 2 + (1 — t) ln x и замечая, что H(x) = H'(x) = 0, H"(x) = 2(1—2), применим к

(21) формулу Тейлора

ln pnk (x)=—n( --^r—xy+r(Tnk ^—2

— - ln(2nnTnk(1 — Tnk)) + Rc(n) — R0(k) — R0(n — k). (22)

Поскольку |г(тпк)| ^ (см. [6, с. 118, теорема 5]), при |тпк — х| ^ Xт1п{х, 1 — х} из (22)

определения Л0(х) для |тпк — х| ^ п-а легко получается оценка

Pnk(x) ^ ce

2x(1 —x) 3x2 (1 —x)2

— 2 ln(2nnT„fc (1 —T„fc))

(23)

5

k

5

k

1

1

1

и

(Tnk —2) |T„k —x|

—n

Отметим, что при условии (19) и х £ [0, тпк] функция рпк(х) возрастает. Заметим, что при

Тпк - х = п-а

п

(тпк х) |тпк х|

2х(1 - х) 3х2 (1 - х)2

^ — п

2п-2а -

, - За

354

=п

1-2а

2

354

Подставляя правую часть последнего неравенства в (23) и учитывая, что

1п(2пптпк (1 )) ^ 1п(2пп52),

приходим к оценке

Рпк (тпк - п а) ^ се

-п1-2а 2-^Н -2 1п(2пп52)

(24)

верной также для всех х £ [0,5] в силу возрастания рпк(х) на указанном отрезке. Воспользовавшись полученной оценкой, покажем, что прпк(х) равномерно ограничены по п при 5 + п-а ^ тпк < 1 - 5, х £ [0,5]. Действительно, в силу того что п1-2а ^ 1пп при любом 0 < а < 1/2 и достаточно

больших п

1п п - п1 2а

2

354

- ^ 1п(2пп52) < 0,

(25)

откуда и вытекает, что прпк(х) < с(5, а), когда 5 + п а ^ тпк ^ 1 - 5, х £ [0,5]. Тем самым,

112 ^ с(р, а)

Е

к,5+п-а ^ П <1-5ап

¿х ^ с(р, а, 5).

(26)

Покажем теперь равномерную ограниченность по п величины !13. С учетом (7) получаем:

113 =

Е Рпк (х)(п + 1) / / (t)dt

Аг

Ро 5

¿х ^ У

0

Е

п+1

4п(1 - 25)2 у

к П А„ь

/

¿х ^

<

2Ро (1 - 25)2Ро

Е / /(^

к,П^1-5А ,

Ро

¿х ^ с(р, 5, а)

Ро

¿х ^

^ с(Р,5,а)5|/|Ро ^ с(Р,5,а)гРоР||/Ц^) ^ с(Р,5,а)гРоР.

(27)

Равномерная ограниченность по п первого интеграла из (12) доказана. Перейдем к доказательству равномерной ограниченности по п третьего интеграла из (12). Для этого заметим, что почти дословно повторяя рассуждения, которые привели нас к оценкам (13)-(16), получим

1-5

Е^пк(х)

к=0

1

Р1

¿х

^ ( / | Е ^пк (х)

Р1

¿х

+

,1-5 к,П^5

+

1

/ Е Спк(х)

V т с- ^ Ь . -

1

Р1

¿х

+

,1-5 к,5^п< 1-5-п

1

/ Е ^пк(х)

V т Ь ^

¿х

111 _ ГР1 I ГР1 I ГР1

= ^31 + ^32 + ^33 .

.1-5 к п ^1 5 п

Легко видеть, что для !31 можно получить по аналогии с (27) следующую оценку: ^31 ^ с(Р,5,а)5|/||Р1 ^ ^ а^г-^||/|Р1^) ^ ^ ^г^.

(28)

Поскольку для Рпк(тпк + п а) также справедлива оценка (24), то, учитывая (25) и убывание Рпк(х) на [тпк, 1] (5 ^ тпк < 1 - 5 - п-а), получаем для /32 оценку

132 ^ с(р, а)

1-5

Е

/ (t)dt

к,5^П< 1 — 5—п аА

' п ^ Ап

¿х ^ с(р, а, 5).

(29)

-а

п

-а

п

5

(с

5

к, п ^1-й

(с

5

5

1

1

1

1

(с

Наконец, для 132 таким же путем, как и для 1ц, выводится окончательная оценка вида

132 ^ Г^,

(30)

где ^(;) = { Зо^Д^' д ) вп = {к : д„к П[1 - 5 - п-а, 1] = 0}.

Из (28)-(30) вытекает равномерная ограниченность по п третьего интеграла в (12).

Перейдем к доказательству равномерной ограниченности второго интеграла из (12). Пользуясь тем,

1

что величина р(/,д) = (/Е |/(х) — д(х)|р(х)dx)р - метрика в (Е) (см. [3, с. 615] или [4, с. 11, лемма 1.2.1]), имеем:

1-5

EZnk (x)

k=0

Р(х)

/1-5

dx I ^

E (x)

k,| П — x|<n-a

dx

+

( 1—5 P(x) \ p /1—5

+ Z E Znk(x) dx + /

J 5 k,n-«^| П — 2 / j V

E (x)

k,| n— Ф 2

P(x) \

dx

У

111

— 1p + Ip + Ip

— J21 + J22 + J23 •

Из неравенств (3) и (7) имеем:

1—5

123 ^

2Р

|/ (t)|dt

P(x)

dx ^ c(p,J)||/||p ^ c(p,5)rf,pII/IIP(^) ^ c(p,J)rp

(31)

Учитывая, что рпк(х) возрастает на [5,тпк] и убывает на [тпк, 1 — 5], и пользуясь оценкой (24) для (тпк ± п-а), получаем:

1—5

122 —

Е Pnk (x)(n + 1) / /(t)dt

П — 2

An

P(x)

1—5

<

dx ^

p(x)

E ce"

П — 2

" [2— ifl — 1 ln(2nn52)

/ (t)dt

An

(25) dx ^

1—5

<

E c(J,a) / /(t)dt

k,n-a^| П — 2

An

P(x)

dx ^ cp(5, a)rpp•

Пусть N — [(1 - 25)na], h — iN5 ^ n—a, An — + (l - 1)h, J + 1h], Аы — АЫ—1 U Аы U A„m, АП — U Ank, где — (k : A^Q Аы — 0}, к — (5 + (1 - 1)h-n—a+ 1h + n—a) и pi — min p(x).

kgän

Займемся оценкой интеграла 121

1—5

p(x)

N f

dx —

¡=1/,

E (x)

k,| - —x|<n-a

Е ^(х)

к,| к — х|<п-а ' 1 п 1

Пользуясь введенными обозначениями и (9), легко видеть, что

d d

p(x)— рг+Рг

dx.

p(x) - pi ^

ln

<

2h+(n+1)-1

ln

<

d

2c(5,a)n-a +n-1

ln c(5, a)na

(32)

(33)

Далее из (33) получим оценку

Е Pnk (x)(n + 1) / /(t)dt

k,| П — x|<n-a

An

P(x)—Рг

<

1

Р

lc

1

1

^ (п + 1)1п с(5,а)пС и подставим ее в (32)

п „

Е / /

к=0А:ь

1п о(5,а)пс

^ / с \ 1п с(5,а)па и /.I| 1п с(5,а)па ^ / с \

^ с(5,а)г1,р ||/Ур^) ^ с(5,а,Р)

1-5

Е Спк(х)

к,| п —х| <п-

Р(х)

¿х ^ с(5, а,Р) /

г=1

л„

Е Спк(х)

к,| п —х| <п-

¿х.

(34)

Пусть д(х) = ^ Рпк(х). Из (34) с помощью неравенств (4), (5) находим

к,| п-х|<п-а

N

Е / ^Рг (х)

7_1 "

г=1

N

Е ^#(п+ 1) / /(«э

к,| п — х|<п-

д(х)

Ап

¿х ^

^Е / ^-1 (х) Е Рпк(х)(п + 1) / |/(«)|Рг ^ ^

к,| п-х|<п-а А„Ь

1=1-

N

N

^Е/ Е Рпк (х)(п + 1^ |/(«)|Рг ¿«¿х = Е Е У Рпк (х)(п + 1^ |/(«)|Рг ¿«¿х

1=1л„г к>пем Апь 1=1 к,пемл„, А„ь

N

(8)

N

N

ЕЕ у Рпк (х)(п+1)^^ |/(«)|рг ^ ^ у |/(«)|рг ^ /1/(«)|рг

1=1 к, п емлп1 А„Ь 1=1 к, п е«1А„к

г=1

А1

N

Е

г=1

(

\

/|/(«)|Рг ^ + у |/(«Г

\Л™г Ап\Л„г

N „ N „

Е / |/(«)|Рг + £ / |/(«)|Рг ^ = ©1 + в2.

1=1 л г=1 л, /л

ап\Ля

Обозначим

и перейдем к оценке в]

5 («) =

Рг, при « £ Лпг-2+г, г = 1, 2, 3, Р(«), для остальных « £ Е,

N

N

©1 = Еу |/(«)Г= Е у |/(«г^ =

1 1лп( 1 1лп(-1 и Лп( + 1

N „ N „ N „

= Е / |/(«)Г ^ + Е / |/(«)|Р1 ^ + £ / |/(«)|Р1 =

г=1\ г=1\ г=1\

1-5-^ 1-5 1-5+Ь,

= / |/(«)ГМ ^ +/1/(«г^ + у |/(«г^ ^

5—Ь, 5 5+Ь,

(|/(«)Г (') + |/(«Г^ + |/(«)Г^

Е

Так как 5 («) ^ р(«), то с учетом (3) можно получить для (35) следующую оценку:

/ (|/(«)Г № + |/(«)ГМ + |/(«)Г=

(35)

1*1 (*) '«1 (•)

/ («)

Е

<И +

'«аС-)

/ («)

«2 (О

<и +

1«2 (•)

I «3 (*)

/ («)

вз(*)

<

I «3 (•)

л

< / гв1(0

/(;)

\/11^1 (•)

81 (*)

d; + / г!2^

/(;)

^ 11^2 (•)

!2 (*)

d; + / г!31*)

/(;)

^ П^аС-)

!3 (*)

d; <

< г«1(Е) + г«2(Е) + г^а(Е)

(36)

Остается оценить в2. Пусть = тт{к : Дпк е ДП} и = тах{к : Дпк е ДП}. Введем

следующие обозначения:

П— = Дпк— \Ani-1, П+ = Дпкг+\Апг+1,

(;) =

р при ; е п—,

р(;) для остальных ; е Е, Тогда ДП\лп = п—г Ц1 П+ и из (3)

р(;) для остальных ; е Е.

N

N

®2 = Е I |/(;)Г d; + Е I |/(;)Г d; <у |/(;)Г(*) d; + у |/(;)|! (*) d; <

Е Е

г=1

г=1

пП

< П/

Е

< / гв_(4)

/(;)

+ / п/1

Е

/(;)

d; <

/(;)

d; + г^

/(;)

d; < И-(Е) + И+(Е).

(37)

Из (18), (26), (27), (31), (36) и (37) получаем равномерную ограниченность операторов Канторовича - Бернштейна на единичном шаре пространства £р(х) (Е). □

Покажем теперь, что операторы Бернштейна-Канторовича сходятся в £р(х)(Е). Сначала рассмотрим случай непрерывных функций. Пусть для £ > О

|/(х') — / (х" )| < 2, |х' — х'' | < х', х" е Е, / е С ([0,1]). Полагая (Пк(х) = Рпк(х)(п + 1) /д [/(х) — /из (6) имеем:

п

/ (х) — кп (/,х) = Е С к(x)d; = Е1 сп к (х) + Е 2 сп к(х)

(38)

к=0

где 1 берется по к, для которых |х — ;| < а ^2 — по остальным к. Поскольку из |/(х)| < С (х е [0,1]) следует, что ||/||р(^) < С, то, воспользовавшись (38) и (7), приходим к оценке

/ — *п(/)11Р(о < НЕ 1 сПкоо „ + НЕ2сПк(*)

и-'—/1 КО и-*—2

£ М

< ^ +

КО 2 2п£2'

где М = та^ /(х). Если п достаточно велико, то Пм < £ и

П/ — Кп(/)ПР(^) < £,

что и доказывает сходимость операторов Бернштейна - Канторовича в £Р(х) (Е) в случае непрерывных функций. Для сходимости последовательности {Кп(/,х)}^=1 к достаточно

того, чтобы (см. [7, с. 215]) операторы Кп(/,х) были равномерно ограничены и сходились к тождественному оператору 1 (/) для любой / е Э, где Э — некоторое множество, всюду плотное в ¿Кх)(Е). Из доказанной теоремы и того факта, что С[0,1] плотно в £р(х)(Е) (см. [3, с. 41]), вытекает сходимость операторов Бернштейна - Канторовича в случае произвольных функций из £р(х) (Е). □

Автор благодарит И. И. Шарапудинова за постановку задачи, а также ценные советы при ее решении.

Библиографический список

1. Kantorovich L. V. Sur certains développements suivant les polynômes de la forme de S. Bernstein I, II // C. R. Acad. Sci. URSS. 1930. P. 563568; 595-600.

2. Lorentz G. G. Bernstein Polynomials. Toronto : Univ. Toronto Press, 1953. 130 p.

3. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(t) ([0,1]) //Матем. заметки. 1979. Т. 26, вып. 4. С. 613-632.

6.

7.

Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем / ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. Владикавказ, 2012. 270 с.

Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949. 688 с. Боровков А. А. Теория вероятностей : учеб. пособие для вузов. М. : Наука, 1986. 432 с. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. М. : Наука, 1967. 416 с.

Образец для цитирования:

Шах-Эмиров Т. Н. О сходимости последовательности операторов Бернштейна - Канторовича в пространствах Лебега с переменным показателем // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 3. С. 322-330. 001: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-322-330.

On Convergence of Bernstein - Kantorovich Operators sequence in Variable Exponent Lebesgue Spaces

T. N. Shakh-Emirov

Tadgidin N. Shakh-Emirov, Daghestan Scientific Centre of RAS, 45, Gadgieva st., 367000, Makhachkala, Republic of Dagestan, Russia, tadgius@gmail.com

Let E = [0,1] and let a function p(x) ^ 1 be measurable and essentially bounded on E. We denote by Lp(x)(E) the set of measurable function f on E for which fE | f (x)|p(x)dx < to. The convergence of a sequence of operators of Bernstein -Kantorovich {Kn(f, x)}^=i to the function f in Lebesgue spaces with variable exponent Lp(x)(E) is studied. The conditions on the variable exponent at which this sequence is uniformly bounded in these spaces are obtained and, as a corollary, it is shown that if n ^ to then Kn(f,x) converges to function f in the metric of space Lp(x)(E) defined by the norm

II f Ik) = II f Ik) (E) = if a > 0 : E Ifir^ dx < l}.

Key words: Lebesgue spaces with variable exponent, Bernstein - Kantorovich operators, Bernstein polynomials.

References

1. Kantorovich L. V. Sur certains développements suivant les polynômes de la forme de S. Bernstein I, II. C. R. Acad. Sci. URSS, 1930, pp. 563568; pp. 595-600.

2. Lorentz G. G. Bernstein Polynomials. Toronto, Univ. Toronto Press, 1953, 130 p.

3. Sharapudinov I. I. Topology of the space Lp(t)([0,1]). Math. Notes, 1979, vol. 26, iss 4, pp. 796-806. DOI: 10.1007/BF01159546.

4. Sharapudinov I. I. Nekotorye voprosy teorii prib-lizhenii v prostranstvakh Lebega s peremennym pokazatelem [Some aspects of approximation theo-

ry in variable Lebesgue spaces]. YuMI VNTs RAN i RSO-A, Vladikavkaz, 2012, 270 p. (in Russian).

5. Natanson I. P. Konstruktivnaia teoriia funkt-sii [Constructive theory of functions]. Moscow ; Leningrad, GITTL, 1949. 688 p. (in Russian).

6. Borovkov A. A. Teoriia veroiatnostei : ucheb. posobie dlia vuzov [Probability Theory : Textbook for High Schools]. Moscow, Nauka, 1986, 432 p. (in Russian).

7. Vulih B. Z. Vvedenie v funktsional'nyi analiz [Introduction to functional analisys]. Moscow, Nauka, 1967, 416 p. (in Russian).

Please cite this article in press as:

Shakh-Emirov T. N. On Convergence of Bernstein - Kantorovich Operators sequence in Variable Exponent Lebesgue Spaces. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 3, pp. 322-330 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-322-330.