О сходимости непараметрической оценки кривой регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

Комплексный анализ рисков призван решать задачи сбора, обобщения и представления первичной информации о наличии и путях проявления опасных факторов, способных наносить те или иные виды ущерба при реализации проектов, выявлять страховые риски и оценивать их количественные показатели.

Библиографические ссылки

1. Хохлов Н. В. Управление риском. М. : ЮНИТИ-Дана, 2007.

2. Ковалев В. В. Методы оценки инвестиционных проектов. М. : Финансы и статистика, 2008.

T. E. Baloban, K. V. Alshevskiy Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

RISKS ASSESSMENT IN AEROSPACE COMPLEXES

The concepts of risk analysis, risks assessments are given. Risks assessment tasks are considered. Risks valuation methods are presented. The attributes of the risks assessment project and the conditions of its accomplishment are presented.

© Балобан Т. Е., Альшевский К. В., 2010

УДК 62.506.1

Д. В. Безмен, Л. Н. Голуб, А. В. Медведев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О СХОДИМОСТИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ КРИВОЙ РЕГРЕССИИ

Рассматриваются асимптотические свойства непараметрической оценки кривой регрессии по наблюдениям с ошибками. При этом требования сходимости непараметрических оценок несколько ослаблены, в частности, рассматривается класс непрерывных и недифференцируемых функций. Доказывается асимптотическая несмещенность оценки кривой регрессии и сходимость в среднем.

3) - |Ф

г-

x - x.

s v s J

4) —lim Ф

c s®¥

При моделировании дискретно-непрерывных процессов часто используются регрессионные модели. Рассмотрим непараметрическую оценку кривой регрессии и ее свойства.

Дана выборка(у),(хг,у), . ., (х,,у,) из 5 независимых наблюдений двумерной случайной величины (X, У) с плотностью вероятности р (х, у). Пусть

р (х), р (у) - плотности вероятностей случайных величин X, У, а у (х) = М {у | х} - кривая регрессии У по

формулу (1) в виде

X, где М {у | х} - условное математическое ожидание. В дальнейшем будем считать р (х) и р (у) непрерывными во всей области определения.

Рассмотрим некоторые свойства непараметрической оценки кривой регрессии при 5 . В качестве оценки кривой регрессии примем следующее [1]:

Л

dx = 1;

= 5 ( x - xi ) ;

cs 0

5) lim scs =¥;

s

6) lim cs = 0.

Покажем, что lim M {y ( x ) - ys ( x )} = 0 . Запишем

s V V / \ ' )

ys (x)£Ф

œ x - x ö

-E y ( x )Ф

œ x - x ö

= 0 .

Далее, заменим ys ( x) на y (x). Полученное

œ x - x ö

ys ( x ) = E y.- ( x )Ф

i=1 ö

œ x - x ö œ

Еф

œ x - x öö

ражение y(x)ЕФ -L -Eу• (x)Ф

(1)

è Cs 0

œ x - x ö

è Cs 0

вы-

от-

V s 00

(

лично от нуля. Покажем, что

где Ф

x - x

- некоторая функция («ядро»), обла-

дающая следующими свойствами:

1) ограниченностью;

2) четностью;

lim M i y ( x )ЕФ

î i = 1 s œ

œ x - x ö

è C 0

-Ey (x)Ф

i=1

x - x,

= 0.

(2)

Математические методы моделирования, управления и анализа данных.

Учитывая, что y (x) = M {y | x}, придем к выражению

If г x -1 ö

Иш— I y(х)Ф - p (t) dt -

s r- J r- ^ '

s c

s n(t)

1 г Г x - t ö

- I y(t)F - p (t) dt = Y.

w(t)

Воспользовавшись теоремой о среднем [2], получаем:

Иш

г 1 x+c" Г х -1 ö i

—y (х) I Ф — p (t) dt -1 y(9)>

c J c c

Us x-cs V s 0 Us

x+c- Г x -1

|Ф

c

x-cs \ s J

1 x + cs Г

ö

p (t) dt

x -1 c

1

x+c Г x -1 ö

c

y (x) | Ф x— p (t) dt -

x -c V cs 0

Л

--y(x) I Ф - p(t)dt = 0, 9e[x-cs;x + cs]

cs x-cs V cs 0

(с ростом s, 6® x).

Пользуясь теоремой о непрерывности [3], можно доказать, что limD {ys (х)} = 0. Из

M {( У ( х)-ys ( х ))2} = (D{ys (х)} + (У(х)-М{ys (х)})2

получаем, что limМ {{y (х)- ys (х))2} = 0.

Таким образом, доказана сходимость в среднем.

Библиографические ссылки

1. Надарая Э. А. Непараметрические оценки кривой регрессии / АН ГрузССР. 1964. С. 56-68.

2. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983. С. 21-34.

3. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. : Наука, 1970. Т. 2.

D. V. Bezmen, L. N. Golub, A. V. Medvedev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

TO NONPARAMETRIC ESTIMATOR CONVERGENCE OF CURVE REGRESSION

The asymptotical properties of curve regression nonparametric estimator are considered. The convergence requirements of nonparametric estimators are expanded, the class of continuous approximated functions is particularly studied. Asymptotical nonbias of regression curve evaluation and convergence on the average are proved.

© Безмен Д. В., Голуб Л. Н., Медведев А. В., 2010

УДК 621.391

В. А. Бессонов, В. А. Пахотин, К. В. Власова, С. В. Молостова Российский государственный университет имени И. Канта, Россия, Калининград

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИЗА ПРИЕМНЫХ МНОГОКАНАЛЬНЫХ АНТЕНН

Представлены основы обработки пространственных сигналов с помощью многоканальных антенных систем. В рамках метода максимального правдоподобия анализируются оптимальные алгоритмы обработки, выводится дисперсия Рао-Крамера для азимута и угла места пространственного сигнала. Определяется частотный диапазон и оптимальная конфигурация многоканальной антенной системы.

Фазированные антенные решетки (ФАР) широко известны. Они обеспечивают высокоэффективную обработку пространственных сигналов в области радиолокации. В области пеленгации ионосферных сигналов используются многоканальные антенные системы. Они отличаются от ФАР тем, что сигналы от элементарных вибраторов антенной системы с помощью многоканальных приемников и АЦП передаются в ЭВМ. В этом случае реализуется многоканальная антенная система, отображающая распределение напряженности поля по вибраторам. Основная обработка пространственной и временной информации при этом производится в цифровом виде в ЭВМ. Заменяя

элементарные вибраторы на элементы Гюйгенса и переходя к интегральным зависимостям, можно ввести представления о пространственно-временном сигнале и его обработке методами теории оптимального приема [1]. В результате оказывается возможным провести полный анализ эффективности приемных как дискретных, так и непрерывных (зеркальных) антенных систем с оценкой дисперсии азимута и угла места по выражению Рао-Крамера [2].

В работе изложены основы теории многоканальных приемных систем. Определяется оптимальный алгоритм обработки пространственной и пространственно-временной информации. Выводятся выражения