CC BY
10
Серия «Математика»
Том 2 (2009), № 1, С. 313-316
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 517.9
О«-* о о о
решении одной нелинейной краевой задачи на полуоси с малым параметром
А. И. Дрегля
Сибирский институт ГАСИС, Иркутский госуниверситет
Аннотация. Рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка на сколь угодно большом интервале [0, ^], где е -малый параметр. Предложен метод последовательных приближений для построения искомого решения.
Ключевые слова: краевая задача, малый параметр, сингулярность, принцип сжимающих отображений.
Рассмотрим уравнение
d2 и
—2 = R(u,x,e), 0 < x< ж, (1)
где е - малый параметр.
Пусть
1. R(u, х,е) - непрерывная функция в области Q = {|u| < r, 0 < x < ж, 0 < е < р}, причем в области Q выполнены оценки
sup |RU(u, х, е) — а21 = O(|u|),
Х,£
sup |R(u, x, е) — a2u — R(0, x, е)| = O(|u|2),
Х,£
sup |R(0, x, е)| = O(e4),
Х
a2 — const.
Требуется построить малое решение u при е ^ +0 уравнения (1) на сколь угодно большом интервале [0,1 ], удовлетворяющее граничным условиям
u|x=0 = 0; u|X=1/£ = 0- (2)
Подобные краевые задачи возникают в ряде проблем в прикладной математике [2, 3, 4], [6].
С помощью замены х = | задачу (1)—(2) приведем к виду
"27/
є2= .Я(и, ¿/є, є), 0 < í < 1, (3)
«|і=о = 0, и|і=і = 0. (4)
Задачу (3)—(4) можно рассматривать как нелинейное операторное уравнение
^ (и, є) = 0, (5)
где оператор
^(и, є) = |є2"2 — Л(и, ¿/є,є),и(0),и(1) |
действует из банахова пространства X = С^,] в банахово пространство У = С[а5]-+ Л2. При этом оператор ^ имеет производную Фреше по и, причем производной Фреше в точке и = 0 отвечает линейная краевая задача
"2и
є2 "2 — а2и = Л-(£), (6)
и(0) = 0, и(1) = 0. (7)
Так как соответствующая функция Грина оператора —2 — (а/є)2 имеет
вид
{бЬ к(£- 1) бЬ кв ^ .
бЬ М Бак^-і) < +
к , 8
где к = От, то непосредственными вычислениями проверяется оценка ||^-1(0,є)||£(Х^У) = °(1/є2)-
Лемма 1. Пусть
1) Оператор ^(и, є) непрерывен по и, є и имеет частную производную Фреше ^(и, є) непрерывную по и, є,
||^-1(0,є)|| = 0(1/є2);
2) (и,є) — К(0,є)|| < Д||и||);
3) ||^(0,є)11 = о(є4).
Тогда найдутся числа Го Є (0, г) и ро Є (0, р) такие, что для каждого є Є (0, ро) уравнение (5) имеет в шаре ||и|| < є2Го непрерывное
решение и ^ 0 при є ^ 0.
О РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 315
Доказательство:
Следуя работе Р. Ю. Леонтьева [7], уравнение (5) с помощью замены u = е2v приведем к эквивалентному уравнению v = $(v, е), где $(v, е) = v — ^2F-1 (0,e)F(e2v,e) в силу условий леммы удовлетворяет условиям принципа сжимающих отображений.
На основании леммы 1 имеет место следующий результат.
Теорема 1. Пусть выполнено условие 1. Тогда задача (3)-(4) имеет единственное решение u ^ 0 при е ^ 0. Последовательность {un}, где un является решением линейной краевой задачи
е2 "dun — a2 V'n = R(un-i,t/e,e) — a2un-i, (8)
un(0) = 0, un(1) = 0 (9)
uo = 0, сходится к этому решению нелинейной краевой задачи (3).
При численном решении сингулярных линейных краевых задач (8)— (9) с малым параметром при старшей производной является эффективным использование сеток Г. И. Шишкина (см. [4, 5]).
Автор благодарит проф. Сидорова Н. А. за постановку задачи.
Список литературы
1. Дрегля А. И., Пимшина Л. П. О применении сеток Шишкина в одной сингулярной задаче с малым параметром / А. И. Дрегля, Л. П. Пимшина // Труды 3ей межвузовской занальной конференции, посвященной памяти проф. Б.А.Бельтюкова. — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та, 2007. — C. 43-46.
2. Glauert M. B., Lighthill M. J. The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder / M. B. Glauert, M. J. Lighthill // Proc. R. Soc. London, 1955, 320. — P. 188-203.
3. Schlichting H. Boundary Layer Theory / H. Schlichting. — McGraw Hill, 1951.
4. Farrel P. A. Robust Computational Techniques for Boundary Layers / P. A. Farrel, A. F. Hegarty, J. J. H. Miller and others. — Chapman and hall CRC, Florida, USA, 2000.
5. Dreglea A. I., Shishkin G. I. Robust numerical method for a singularly perturbed equation with unboundedly growing convective term at infinity / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. — Novosibirsk, 2004. — P. 83-87.
6. Дрегля А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров / А. И. Дрегля // Сиб. журн. индустр. матем. — 2008. — Том 11. — № 3. — C. 61--70.
7. Леонтьев Р. Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений / Р. Ю. Леонтьев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. — Челябинск, 2008. — Вып. 1. — № 15 (115). — C. 37-41.
A. I. Dreglea
Solutions of nonlinear BVP with small parameter on semi-axis
Abstract. This paper addresses two-point BVP for the second order differential equation on arbitrarily big interval [0,1 ], where е is small parameter. The method of successive approximations is employed for solutions construction.
Keywords: BVP, small parameter, principle of contracting mappings.
Дрегля Алена Ивановна, старший преподаватель кафедры управления, ГОУ ДПО Сибирский институт ГАСИС, 664000, Иркутск, ул. К. Либкнехта, 153, ([email protected])
Dreglea Aliona, Siberian Inst. GASIS, 153, K. Libkneht St., Irkutsk, 664000, M.Sc., ([email protected])
