CC BY
12
Серия «Математика»
2012. Т. 5, № 3. С. 32-40
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 517.9
О применении преобразования Себана — Бонда и теоремы Коши — Ковалевской в одной краевой задаче для системы Навье — Стокса *
А. И. Дрегля
Иркутский государственный университет
Аннотация. Система дифференциальных уравнений Навье - Стокса с помощью замены Себана - Бонда сводится к двум нелинейным дифференциальным уравнениям в форме Коши - Ковалевской. Получены достаточные условия разрешимости этой системы с начальными и начально-краевыми условиями, обоснована сходимость рядов в методе Крайна.
Ключевые слова: метод Крайна; погранслои; уравнения Близиуса; сходимость рядов; асимптотика; численные методы.
1. Введение
В статьях Лоренса Крайна [6, 7] предложен способ построения аналитических решений уравнений Навье - Стокса
д , ч д , . , ,
— {иг) + — М = 0, (1.1)
ди ди V д ( ди\ /л
идХ + У— = ГдГ (д )’ (.)
дТ дТ V д ( дТ \ идХ + = Рдг\Г~дг) ’ (.)
где V — кинематическая вязкость и Р — число Прандтля. При этом вопрос о сходимости соответствующих рядов оставался открытым. Уравнения (1.1) - (1.3) играют важную роль в математических моделях
* Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (мероприятие 1.2.2, проект 2012-1.2.2-12-000-1001-012), частично поддержана грантом Минобрнауки РФ, номер госрегистрации НИР: 01200804682.
формования волокна [6, 7] и в других моделях прикладной математики. В данной работе уравнения погранслоя (1.1) - (1.3) сводятся к системе двух нелинейных уравнений в частных производных в форме Коши -Ковалевской. Получены достаточные условия разрешимости этой системы с начально-краевыми условиями и доказана сходимость рядов представляющих решение. На этой основе проведены численные расчеты распределений скоростей теплообмена соответствующих моделей формования синтетических волокон.
2. Редукция системы (1.1) — (1*3), существование и построение решений
Воспользуемся заменой переменных Себана и Бонда [11] X = 2л
4их
и0а2'
У =
иоа2 ^ г2 - а2-
4га 2а2
* = ХХр (х,у).
С =
(2.1)
(2.2)
(2.3)
где Тс, Т^ постоянные величины соответствующие температурным значениям волокна в начале процесса формования волокна и соответственно в конце процесса. Тогда уравнения (1.2) и (1.3) примут вид:
_д_
дУ
д_
дУ
(1 + ХУ)
д2Г
дУ2
д2Г
+ + Х
дГ д2Г дГ д2Г
дХ дУ2 дУ дХдУ
(1+ху ) §
+ ргдС + рх
У
дГ дС дГ дС
дХдУ - дУдХ
= 0, (2.4)
= 0. (2.5)
Будем рассматривать эту систему с граничными условиями
Г Г
У = 0: Г + Хх =°, ат =2,С = 1,
Г
У = “: ат = С = 0.
Решение системы (2.4) и (2.5) будем искать и виде рядов Г = Го + ХГі + X 2Г2 + ....
С = Со + ХСі + X 2С2 +....
(2.6)
(2.7)
Следовательно, первые приближения для Р и О будут соответственно Р° и Оо, удовлетворяющие уравнениям
дЗРо. + „дР = 0 (2„,
ду3 + Р° ду2 0 ( )
д20о + ре, дО° = о (2 9)
дУ2 + РЕо дУ (2'9)
Эти уравнения идентичны уравнениям для плоской пластины [10]. Численные расчеты для уравнения Блазиуса (2.8) приведены в [1, 8, 9]. Функция 01 удовлетворяет уравнению:
О/ + Р(Р°о; - Р°Ог) + (УО0 + 0°) + 2РР;0° = о, (2.10)
где производные взяты по У.
Заметим, что при Р ^ 1 аппроксимация О; может быть найдена легко. В этом случае полезно заменить независимую переменную У на 1 = Уу/Р и использовать приближения (которые верны в рамках ошибки порядка ): Р° = 2У = , О0 = 1 — вт/1, Р; = \ Р/' (0)У2 =
—0.190р. На основании работы [6] уравнение (2.10) приводится к виду 1 + Ы! — 20 ; + ^ [(2 — ^.Г2 — Цф; = 0, (2.П)
где Ф; = и Ф = вт/1. Уравнение (2.11) имеет решение
01 =
4^Р
(12Ф 1 + 1Ф — 1) + 1 Р"(0)(—12Ф 1 + 1Ф — 1)
(2.12)
при этом
' йО 1 \
йУ )
= —0.2 + о( . (2.13)
у=0 К'/Р)
Для малых X число Нуссольта принимает вид
« = — °-ХП. (2.14)
Следующее приближение для Р (суть Р1) определим из уравнения:
Р1" + Р°Р1' — Р° Р1 + 2Р°' Р; + УР°" + Р°' = 0, (2.15)
с граничными условиями
Р; (0) = 0, Р1 (0) = 0, Иш Р' = 0. (2.16)
У^оо
Рис. 1. Первая аппроксимация распределения скорости для функции р и ее первой и второй производной.
Рис. 2. Первая аппроксимация распределения скорости для функции р и ее первой и второй производной.
Численные решения уравнений (2.8) и (2.15) с соответствующими граничными условиями для аппроксимации уравнения движения (2.4) представлены на рис. 1-4.
Численные решения для системы уравнений (2.8), (2.15), (2.9) и (2.12) с соответствующими граничными условиями для уравнения тепловод-ности (2.5) представлены в таблицах 1, 2.
Подставляя ряды (2.6) и (2.7) в уравнения (2.4) и (2.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X можем получить дифференциальные уравнения для определения последующих коэффициентов рядов. Эти уравнения имеют следующий вид:
Р^ +Р,12)Р° — Р}Ро(1) + (п+1)РпР°(2) +Мга(Р°,Р;, ...,Рга_1) = 0, (2.17)
0(2) + РР°0(;) — РР°(1)0п + Мп(Р°,..., Рп, Ог,..., 0п_г) = 0, (2.18)
где п = 1, 2,..., Мп, Мп — определенные функции, например М; определена как
М; = Р°(2) + УР°(3).
Таблица 1.
Первая аппроксимация распределения скорости для функции Р0, Р и их первых и вторых производных.
N 1 2 3 4 5
Ро Р0 Р! Р Р 1.218553 0.603567 -0.858023 0.027446 0.163368 0.28499 1.533083 0.13248714 -0.208639 0.261262 0.240737 -0.800315 1.599455 0.026869 -0.043201 0.448101 0.129497 -0.107140 1.612806 0.005359 -0.008653 0.533272 0.050171 -0.52452 1.615464 0.001065 -0.001722 0.563855 0.016491 -0.019295
Рис. 3. Первое приближение распределения тепла для функции О0 и ее первой и второй производной.
Чтобы найти решение уравнений (2.17) и (2.18), мы должны задать начальные условия.
Решим систему (2.4) - (2.5) с начальными условиями:
!Р \у=о= аоо + ао1 X + ао2Х2 + ...
Ру \у=0= а10 + а11Х + а12Х2 + ...
Ру2 \у=0 = а20 + а21Х + а22Х2 + ...,
О \у=0= &00 + ^01Х + Ь02Х2 + ... ОУ \у=0= Ь10 + Ь11Х + Ь12Х2 + ....
Тогда для уравнений (2.17) - (2.18) получаем начальные условия вида
Рп \у=0= а0п (/'у I и
„/I I Оп \ у=0= Ь0п
Рп \у=0= а1п 1 ОМ = Ь
РII I = а У Оп \у=0= Ь1п
Рп \ у=0— а2п
0123456789
ттгтп
Ч I I I I Ч I I I I
Рис. 4- Первое приближение распределения тепла для функции О 1 и ее первой и второй производной.
Таблица 2.
Первое приближение распределения тепла для функции О0,01 и их первой производной.
~М 1 2 3 4 5
~Оо 0.301783 0.662435 0.134347 0.267996 0.532728
О'0 -0.429011 -0.104319 -0.216006 -0.432698 -0.861045
О1 0.288841 0.161625 0.729456 0.267143 0.856935
О1 -0.190674 -0.106676 -0.668176 -0.288583 -0.101708
Граничные условия
( dF\ dF
(F + XdXJ 1 y=o=0; — Iy=o= 2; G \y=o =1
требуют следующего выбора постоянных в формулах (а) и (в): аоо = floi = ао2 = 0, аю = 2, ац = ai2 = •• = 0;
b00 = 1, b01 = b02 = ••• = 0,
остальные постоянные могут быть произвольными. Принимаяем во внимание, что уравнения (2.4) - (2.5) имеют тривиальные решения
F = const, G = const•
В силу этого на полуоси 0 < Y < те эти уравнения имеют разрывные решения. А именно справедлива
Теорема 1. Существует R > 0 такое, что в области D = {0 < X < R, 0 < Y < те}, уравнения (2.4) - (2.5) с условиями Y = 0 : F+X=
0, дду = 2, G = 1; Y = те : ду = G = 0, имеют решение
I F(X, Y), 0 <Y < R, 0 <X <R,
| c, R <Y < те,
О (О(Х,У), 0 <У<К, 0 <Х<К,
|о, К <У < ж,
где с-произвольная постоянная, 1(Х,У), С(Х,У) — единственное аналитическое решение уравнений (2.4) - (2.5) с условиями Коши
С1 (Х,У) Ь'=0= 0 Г„,„У,, =,
(I) | ру(Х У) |,-=0= 2 (//^ < (Х =0 Х
11"» (Х, У) Ь-=0= а2(Х) 1Оу(Х.У) 1у=° = ВД,
где а2(Х), Ъ\(Х) — фиксированные аналитические функции определенные при 0 < Х < К, К — радиус сходимости рядов
1 = 10 + Х11 + Х212 + ••.,
О = Оо + ХО1 + Х 2О2 + ...,
0 <К < К
Доказательство теоремы:
Существование единственного при 0 < Х < К, 0 < У < К решения системы (2.4) - (2.5) с условиями Коши
1(Х, 0) = 0, (Х, 0) = 2, 1£2)(Х, 0) = а(Х),
О(Х, 0) = 1, Оу (Х, 0) = Ъ(Х)
следует из теоремы Коши-Ковалевской (см., например, [4] ). Выполнение граничного условия I 1 + ХдХ ) = 0, О|у=0 = 1, ду |у=0 = 2
V ) у=0 = =
вытекает из вида решения 1, О. Тривиальным решением системы (2.4) -
(2.5) являются произвольные постоянные. Поэтому разрывное решение
[1(Х, У), 0 < У < К, 0 < Х < К,
1 с, К <У < ж,
I О(Х, У) 0 < У < К, 0 < Х < К,
|0, К < У < ж,
удовлетворяет граничному условию на бесконечности ^1 у_00 = 0,
01 у_те = 0. Теорема доказана.
При произвольной постоянной с и произвольных начальных функциях а(Х),Ъ(Х) в условиях
1(Х, 0) = 0, Фу (Х, 0) = 2, 1^2)(Х, 0) = а(Х),
G(X, 0) = 1, Gy(X, 0) = b(X)
построенное решение F, G поставленной краевой задачи может оказаться разрывным. Чтобы решение было непрерывным, функции a(X), b(X), постоянную c и подвижную границу R надо выбирать определенным образом. Для этого достаточно a(X), b(X), с и R1, где R1 < R выбрать так, чтобы решение задачи Коши (2.4) и (2.5) с условиями
F(X, 0) = 0, Щт(X, 0) = 2, F^2)(X, 0) = a(X),
G(X, 0) = 1, Gy(X, 0) = b(X)
при Y = R1 удовлетворяли условиям F(X, R1) = const, G(X, R1) = 0^ Подходящие функции a(X),b(X), постоянную c и подвижную границу R1, вообще говоря, можно выбрать известным методом прогонки или методом стрельбы.
3. Заключение
Доказанная теорема гарантирует разрешимость рассматриваемой краевой задачи в классе разрывных функций и устанавливает сходимость рядов в численно-аналитическом методе Крайна [6, 7] для системы Навье-Стокса (1.1) - (1.3). Методом пристрелки, вообще говоря, можно подобрать такие начальные функции и “подвижную” границу К1, при которых соответствующее решение будет непрерывным. Ввиду важности построения непрерывных решений при моделировании процессов формования волокон на основе системы (1.1) - (1.3) этот вопрос заслуживает отдельного рассмотрения. Результаты расчетов, приведенные в таблицах 1, 2, показывают, что привлечение старших членов разложения в ряды существенно повышают точность в моделировании процесса формования в сравнении с результатами работ [6, 7].
Список литературы
1. Дрегля A. Краевые задачи в моделировании формования волокон аналитические и численные методы / А. Дрегля. - Saarbrucken : Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. - 110 c.
2. Дрегля А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров / А. И. Дрегля // Сиб. журн. индустр. математики. - 2008. - Т. 11. - С. 61-70.
3. Дрегля А. И. О решениях одной нелинейной краевой задачи на полуоси с малым параметром / А.И. Дрегля // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2009.
- Т. 2, № 1. - С. 313-316.
4. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. - М. : Наука, 1961.
5. Сидоров Н. А. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях / Н. А. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев, А. И.
Дрегля // Мат. заметки. - 2012. - Т. 91. - С. 120-135.
6. Crane L. J. Heat Transfer on Continuous Solid Surfaces / L. J. Crane // Ing. Arch.
Bd. - 1974. - Vol. 23. - P. 203-214.
7. Crane L. J. Boundary Layer Flow on a Circular Cylinder Moving in Fluid at Rest / L. J. Crane // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). - 1972. -Vol. 23. - P. 201-212.
8. Dreglea A. I. Robust Numerical Method Based On Blasius’ Approach For Flow Past a Flat Plate in The Case Of Heat Transfer For Large Reynolds Numbers / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Abstracts of the International Conference CMAM-1, Minsk, Belarus. - 2003. - P. 19-20.
9. Dreglea A. I. Robust Numerical Method Based on Blasius Approach for a Flow Past Flat Plate For Large Reinolds Numbers / A. I. Dreglea, G. I. Shishkin // Proc. of Irish Soc. Sci. and Eng. Comput.: Ann. Symp., Irish Soc. Sci. and Eng. Comput. Publ., 23-24 May, 2003. - Belfield, Dublin, 2003. - P. 14.
10. Robust Computational Techniques for Boundary Layers / P. A. Farrel, A. F. Hegarty, J. J. H. Miller, G. I. Shishkin. - Florida, USA : Chapman and hall CRC, 2000. - 275 p.
11. Saban R. A. Skin-friction and heat-transfor characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow / R. A. Saban, R. Bond // J. Aero. Science. - 1951. - Vol. 18. - P. 671.
Aliona Dreglea
Application of the Seban and Bond Transform and the Cauchy
— Kovalevskaya Theorem for one Boundary Layer Problem for Navier — Stocks Equations
Abstract. The Seban and Bond change of variables and the Cauchy - Kovalevskaya theorem are employed for solution to the boundary layer problem derived from the Navier
- Stocks equations in the theory of melt spinning process.
Keywords: melt spinning, PDE, Navier-Stoks equation.
Дрегля Алена Ивановна, м.н.с, отдел НИЧ, Иркутский государственный университет, 664033, Иркутск. ул. К. Маркса, 1, ([email protected])
Dreglea Aliona, Irkutsk State Univertsity, 1 K. Marksa St., 664033, Irkutsk, Russia, ([email protected])
