CC BY
8
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
УДК 517.927.4
Дрегля Алена Ивановна,
м. н. с. НИЧИркутского государственного университета, тел. 8-9149147774, e-mail: ad@math.isu.ru
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В МОДЕЛЯХ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
A.I. Dreglea
SOLVABILITY OF ONE BOUNDARY VALUE PROBLEM IN THE BOUNDARY LAYER MODELS
Аннотация. Доказана теорема существования непрерывных решений двухточечной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, возникающего в теории пограничного слоя при моделировании некоторых процессов в современных технологиях формования волокна.
Ключевые слова: краевые задачи, формование волокна, нелинейные дифференциальные уравнения, принцип Шаудера.
Abstract. The theorem of existence of continuous solutions of the boundary-value problem for the 3rd order nonlinear differential equation is proved. Such problems arise in the boundary layer theory in the modeling of some processes in modern melt spinning technologies.
Keywords: boundary layer theory, melt spinning, nonlinear differential equations, Schauder fixed point theorem.
1. Постановка задачи
При моделировании ряда процессов в химических технологиях [1], [3-8], [10] важную роль играют уравнения пограничного слоя, в частности системы вида:
du dv v
■+—■+-= 0, (1.1)
dx dy a + y
du du u--+ v— = vn
dx dy
( Я2
д u
1 du
dy a + y dy
(1.2)
с граничными условиями
u(x, 0) = ue, v(x, 0) = 0, lim u(x, y) = 0.
Используя функцию тока y( x, y), замену
u = ■
где
1 dy a + y dx
У = fay/Ü^m
V =--
1 dy a + y dx
:, y = aV2«2,
x = f
ua
v„
уравнение (1.2) в работе [10] преобразовано к виду f = f g-f , _ f „
' nnn Jnn
>/2(1+2/2) V2(i+n/2)2
4(i+2/2) fn,-W2fn +
+ff^+42f -
(1.3)
с граничными условиями:
f
f = 0, ^2= 1 при П = 0, (1.4)
r- = 0 при n = TO. (1.5)
72(1+2/2)
В первом приближении вместо уравнения (1.3) обычно (см. [7], [10]) решается обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка вида
fnnn+ R(f 2)fn= 0 (16)
с соответствующими граничными условиями. Поэтому в индустриальной математике важную роль играют теоремы существования и методы построения решений двухточечных краевых задач вида
x"(t) + R(x(t),t)x"(t) = 0, a < t <ß, (1.7) x(a) = a, x (a) = b, x(ß) = c. (1.8)
В п. 2 данной статьи доказана теорема существования классических решений системы (1.7)—(1.8).
2. Теорема существования
Пусть
А. Функция R( x, t) определена и непрерывна на компакте
d={x, 11 x < a+bi\ß\+
+\c - a - bß\, a < t <ß}, m = min R(x, t), M = max {max R(x, t), 0}.
x,teD (x,tGD )
Ниже краевая задача (1.7), (1.8) сводится к нелинейному интегральному уравнению и, следуя [9, п. 35 ], применяется принцип неподвижной
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
I
| р (п)"п
. а_
в
| р (п)"п
точки Шаудера [9]. В результате доказано сущест- _а
/1 /1 ОЧ п _| Я ) "
вование решения краевой задачи (1.7), (1.8) на лю- р = Ге а "а а <п < в (2 5)
бом конечном отрезке [а в] в общем случае, ко- х а '
гда функция Я(х ,г) - любая непрерывная функ- с учетом обозначения (2.5) интегральное ция, удовлетворяющая условию А. уравнение (2.4) переписывается в краткой форме:
Теорема. Пусть выполнено условие А. Тогда х(г) = а + Ъг + (с _ а _ Ъв) х краевая задача (1.7), (1.8) имеет в классе С^а решение.
Доказательство. Сведем задачу (1.7), (1.8) хар-= р(х), а< г < р. (2.6)
к нелинейному интегральному уравнению (2.4). Для этого введем обозначение и = х и перепишем уравнение (1.7) в виде При а < г < р и Ух е С[аР] имеем неравен-
и + Я(х, г )и = о
с условием
и (а) = х (а), 0 <
'' Гв
где х (а) определим позже. Тогда очевидно I Рх(п)"п
/
_| я(х(я),я)ж так как функция Рх (п) , определяемая формулой
х"(г) = х"(а)е а . (2.1)
Путем интегрирования (2.1) от а до г с
учетом граничного условия х (а) = Ъ получим
равенство
ство
Г' рх (п)"п
—а-< 1,
(2.5), положительна при п > а и Ух. Следовательно, для Ух е С[а в] имеем оценку
|| р (х) ||<| а | + | Ъ || в | + | с _ а _ Ъв\= г, (2.7) я(х(я),я)где \\р(х)\\=™в р(х) \. Тем более, пРи
И, - - " '
е а "а. {22) У\\ х \\< г справедливо неравенство
Интегрируя (2.2) с учетом граничного усло-
\\р (х)\\< г,
вия х(а) = а получим уравнение т. е. интегральный оператор р : С[а в] ^ С[а в]
п _аЯ(х(я)^)сь переводит шар \\х\\< г пространства С[а,в] само-
х(г) = а + Ъг + х (а)||е а "а"п. (2.3)
а а
Полагая в (2.3) г = в и используя граничное
го в себя.
Докажем, что оператор р вполне непреры-
,, вен. Для этого воспользуемся теоремой Арцелла
условие х(в) = с, найдем х (а) по формуле ([9], стр. 198-200) о предкомпактности множеств в
» ч с _ а _ Ъв С[а в]. Ввиду оценки (2.7) образ множества
х (а) = а . '
вп я(х(я),я)л. \\х\\< г при отображении Р(х) равномерно огра-
\\е " "а"п ничен постоянной г.
а а Далее, очевидна оценка
Подставляя вычисленное х (а) в уравнение \ р (х) _ р (х) \< (2.8)
(2.3), получим искомое нелинейное интегральное ¡2
уравнение, эквивалентное краевой задаче (1.7), <\ Ъ \\ г _ г \ I \ С _а _ в \ Г р (п)"п \
(18), ' " 1 ^ в lJxVíУíl•
х(г) = а + Ъг + (2.4) \|рх(п)п '
а
а
г п Я(х(.),ЯОтметим, что, так как функция Рх (г) поло-
ГГе а ЛаЛп
жительна, то
+(с _ а _ Ъв)1
г
вп _аЯ(х(.X." \Грх(п)Лп\= Грx(п)dп, г1 < г2.
ГГе а "а"п г г
а а Рассмотрим два случая.
Для краткости введем обозначение Случай Г (М > 0)
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
в п
I ^ (п)йп > Ц е-м(о-а)ёаёп
в еМа
= I—(в-Мп- в-Ма)ёп =
1 -М
а
Ма 111
[-±е Мв +—е Ма] + — (в-а) = М М М М
1
М2
■{М(в-а) + е
-М (в-а)
-1} > 0, УМ > 0.
Случай II: (М = 0)
в в п в
| Гх (п)^п >Ц ёаё-ц = | (п - а)йп
= -(в -а )-а(в-а) =
= (в-а)
(в + а- 2а) (в-а)2
2 2 Следовательно, при Ух е О справедливо неравенство
в
I ^ Шп> С > 0,
(2.9)
где
С =
(в-а)2
2 '
1 ^_LЛ-M(в-а).
М = 0,
¿г(М(в-а) + еМ (в-а)-1), М> 0.
С другой стороны, очевидно и выполнение неравенства
п в
Гх (п) < | е-т(а-а)йо < | е^т(о-а)йо = С
'2'
где
С2 =
в-а, т = 0
1-е-т (в-а) ^ г\
1-е-, т > 0
е|т|(в-а) _
т < 0.
| с - а - Ьв\С | ,= /| | + " С2 1 - ^2 \= 1 1 - ^2 1,
где / =\Ъ |+
С1
\с-а-Ъв\
С
С2. Итак, существует константа
Таким образом, при Ух, t е О справедливо неравенство
0 < ^(п) < С2. (2.10)
В итоге неравенства (2.9), (2.10) при любых t1, t2 из отрезка [а, в] и любых х^) из шара
Б (0, г) пространства С[а в] дают такое уточнение оценки (2.8):
| Р1(х)-Р2(х) |<| Ъ || tl -12 | +
/ такая, что при У(х,t2) е О выполнена оценка |РД х) - Р2( х)|</Ц - t2 |. При этом константа / не зависит от х, ^, t2 из О . Мы доказали, что образ Р( (х) шара Б(0, г) равноограничен и равностепенно непрерывен в С[а в] и на основании теоремы Арцелла пред-
компактен в С[а в].
Следовательно, оператор Р вполне непрерывен. Итак, мы доказали, что оператор Р( удовлетворяет условиям принципа неподвижной точки Шаудера [9, с. 401]. Поэтому нелинейное интегральное уравнение (2.4) имеет в классе С[а в] решение.
Отметим, что ввиду структуры оператора Р производные
йР, г = 0,1,2,3 Ух е С^
при Ух^) е С[а в] будут непрерывны. Поэтому
решение уравнения (2.4) будет три раза непрерывно дифференцируемо. Теорема доказана.
В заключение отметим, что в приложениях в теории полимеров представляют интерес теоремы существования краевых задач и численные методы для уравнения (1.6) на полуоси, т. е. когда в условии (1.8) /3 = <х>. Некоторые теоретические результаты и численные расчеты в этом направлении приведены в [2], [4], [7], [8].
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.», проект 2012-1.2.2.-12-000-1001-012.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аристов С. Н. Точные решения уравнений На-вье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных/ С. Н. Аристов, Д. В. Князев, А. Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. 2009. Т. 43, №.5. С 547-566.
2. Сидоров Н. А. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в сектори-альных окрестностях / Н. А. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев, А. И. Дрегля // Матем. заметки. 2012. Т. 91. С.120-135.
в
а
а
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
3. Дрегля А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. С. 61-70.
4. Дрегля, A. Краевые задачи в моделировании формования волокон аналитические и численные методы / А. Дрегля. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 110 с.
5. Glauert M. B., Lighthill M. J. The Axisymmetric Boundary Layer on a Long thin Cylinder. Proc. R. Soc. London, 1955. 320. P. 188-203.
6. Schlichting H. Boundary Layer Theory. 7-th ed. McGraw Hill, 1951.
7. Farrel P. A., Hegarty A. F., Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I. Robust Computation-
al Techniques for Boundary Layers. Florida, [USA] : Chapman and Hall CRC, 2000.
8. Dreglea A.I., Shishkin G.I. Robust Numerical Method for a Singularly Perturbed Equation with Unboundedly Growing Convective Term at Infinity // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2004. Р. 83-87.
9. Треногин В. А. Функциональный анализ. М : Наука. 1997. 488 с.
10.Richelle E. Momentum and Thermal Boundary Layer Along a Slender Cylinder in Axial Flow // Int. J. Heat and Fluid Flow 16: 1995 Elsevier Science Inc., Р. 99-105
УДК 517.98 Мижидон Арсалан Дугарович,
д. т. н., профессор, зав. каф. «Прикладная математика» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления,
тел. (3012) 43-14-15, e-mail: miarsdu@esstu.ru Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), к. ф.-м. н., доцент, зав. каф. «Высшая математика и общепрофессиональные дисциплины» Бурятского филиала Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики,
тел. (3012) 42-35-26, e-mail: barguev@yandex.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИНЫ С ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
S.G. Barguev, A.D. Mizhidon
MATHEMATICAL MODEL OF A PLATE WITH SOLID BODIES
Аннотация. Рассматривается вывод уравнений движения твердых тел, установленных с помощью упругих элементов на упругой пластине.
Ключевые слова: виброзащита, пластина, твердые тела, уравнения движения, принцип Гамильтона.
Abstract. In the article the finding movement equations of the solid bodies, established on the elastic plate by means of elastic elements.
Keywords: vibroprotection, plate, solid bodies, movement equations, principle of Hamilton.
Введение
Вибрацию широко применяют в самых различных областях техники для защиты оборудования, чувствительного к увеличению динамических нагрузок. Современная теория виброзащиты помогает в основном исследовать и конструировать систему виброизоляции, когда источник и объект виброзащиты можно рассматривать как абсолютно твердые тела. В действительности в виброзащит-
ных системах (ВЗС) под влиянием внешних воздействий возникают не только перемещения источника и объекта как твердых тел, но и их упругие деформации. В этом случае ограничиваются рассмотрением источника и объекта как упруго-вязкой системы с конечным числом степеней свободы, описываемой дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [1].
Целью данной работы является вывод уравнений движения твердых тел, установленных с помощью упругих элементов на упругой пластине.
1. Основные обозначения
Рассмотрим следующую механическую систему (рис. 1). На упругой пластине 1, прикрепленной к твердому телу 2, установлены N объектов защиты, допускающих моделирование в виде твердых тел. Предполагается, что масса твердого тела 2 значительно превышает сумму масс объектов защиты и пластины. Источником динамических воздействий является заданное поступательное колебание твердого тела 2.
