CC BY
37
УДК 517.937
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В ТЕРМИНАХ КОСИНУС И СИНУС ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ
© В.И. Фомин
Ключевые слова: банахово пространство; задача Коши; операторный дискриминант; полугруппа; линейный оператор.
Получено решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве в терминах косинус и синус оператор-функции.
В банаховом пространстве Е изучается задача Коши
и” (г) + Бы'(г) + Си(г) = /(г), 0 < г <« , и(0) = и0 , и" (0) = и'0 ,
(1)
(2)
где Б, С Є Щ(И); Щ(И) - множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е, с плотными в Е областями определения; /(г) Є С([0,«0; И).
Пусть
1) БСх = СБх , х Є Д(БС) I Д(СБ);
2) оператор Б1 = (-1/2)Б является генератором полугруппы и(1) класса С0 и
СП(г)х = и(г)Сх , х Є ДБ2) I Д(С);
(3)
3) операторный дискриминант Q = Б2 - С с оператором Б1, удовлетворяющим условию 2), является производящим оператором сильно непрерывной косинус оператор-функции С(г) и
БС(г)х = С(г)Бх , х Є Д(Б), С(г)и(г)х = и(г)С(г)х , х є ДБ) , Б(г)и(г)х = и(г)Б(г)х, х Є Д(Б),
(4)
(5)
(6)
где Б(г) - синус оператор-функция, ассоциирования с
С(г):
Б(г)х =
} С (т)
хйт
х Є И;
(7)
4) /(г) Є Д^) = ДБ2) I Д(С) при каждом г Є Є [0, «) и
Б/(г) Є С( [0, «) ; И), Б2/(г) Є С([0, «) ; И), С/(г) Є С([0, «) ; И);
(8)
(9)
(10)
5) ы0 Є Д0, где Де = {х Є Д(Б3) П Д(БС) П
ГІД СВ) | Сх Є Еі},Еі= {х Є Е | С(Г)т Є С‘(М^)}; ы'0 Є Дь где Д! = {х Є Д(Б2) П Д(С) | Бх Є И!}.
Теорема. При выполнении условий 1) - 5) задача (1), (2) имеет дважды непрерывно дифференцируемое решение вида
и(г) = и(г)[С(г)и0 + Б(г)( и'0 - Б^о)] + г
■ ^ Б (г - г)П (г - т) / (т)Л
(11)
Чтобы не обременять доказательство теоремы вспомогательными деталями, сделаем предварительно несколько замечаний, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Справедливы включения
Д0 С Д С Д^) С И1.
(12)
Действительно, известно [1], что ДО) = Е2, где Е2 = = {.г £ Е | С(Г)т £ С2(й^?)}; а Д С Д следовательно, .0(2) ^ Е1. Включение Д1 ^ Д(2) очевидно, ибо Д = {х £ Д(2) | Вх £ Е^. Покажем, что Д0 ^ Д1. Пусть х £ Д0, тогда х £ Д(В2) и х £ Д(С), следовательно, х £ Д(В2) I Д(С) = Д(2); кроме того, Вх £ £ Д(В2) и Вх £ Д(С), следовательно, Вх £ Д(2), а значит Вх £ Е1 в силу уже доказанного включения Д(2) ^ Е1. Получили: х £ Д(2) и Вх £ Е1, следовательно, х £ Д1.
В силу условий 2), 3) и формулы (7)
и(0) = I, С(0) = I, Б(0) = О,
(13)
где I и О - соответственно единичный и нулевой операторы.
Из условия 2) следует [2]:
и(г)х Є Д(Б), V х Є Д(Б), г Є [0, «);
(14)
U '(t)x = ВЩ(і)х, х Є О(В); В1и(ґ)х = U(t)B1x, х Є О(В),
(15)
(16)
ибо О(Б0 = О(Б).
В силу теоремы о производной от интеграла по переменному верхнему пределу [3] из формулы (7) следует соотношение
S '(ґ)х = С(ґ)х, х Є Е.
В силу условия 3) имеем [2]:
(17)
Б(г)х Є 0(2), V х ЄЕ,, t Є [0, да); (18)
С '^)х = QS(t)x, х ЄЕ1; (19)
С(ґ)х Є 0(2), V х Є 0(2), t Є [0, да); (20)
2С(^х = С(02х, х Є 0(2); (21)
S(t)x Є 0(2), V х Є 0(2), t Є [0, да); (22)
QS(t)x = S(t)2x, х Є 0(2). (23)
Из (4) следует, что BS(t)x = S(t)Bx, х Є О(В).
(24)
Действительно, используя формулу (7), замкнутость оператора В и равенство (4), получаем при каждом х Є О(В):
Б^ (0 х = Б | С (т) хйт = | БС (т) хйт =
0 0 Г ■
= | С (т) Бхйт = ^ (Г)Бх
0
Из (4), (21) следует соотношение
СС(Г)х = С(Г)Сх, х е 0(2). (25)
Действительно, пусть х е 0(2). Тогда х е О(Б), Бх е О(Б) и в силу (20) С(Г)х е 0(2) при каждом Г е [0, да), следовательно, С(Г)х е 0(Б2), Г е [0, да). Применяя (4), получаем:
Б2С(Г)х = Б[БС(Г)х] = Б[С(Г)Бх] = [БС(Г)]Бх =
= [С(Г)Б]Бх = С(Г)Б2х,
следовательно,
Б^2С(Г)х = С(Г) Б^х. (26)
В силу (21) Б12С(Г)х - СС(Г)х = С(Г) Б/х - С(Г)Сх, откуда следует в силу (26) соотношение (25).
Аналогично, из (23), (24) следует соотношение
CS(t)x = S(t)Cx, х Є 0(2).
(27)
Пусть Ф = Ф([0, да); Д(Е)) - множество оператор-функций А(Г) действительного переменного Г е [0, да) со значениями в ДО), где Ь(Е) - пространство ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим семейство сильно непрерывных по Г е [0, да) на пространстве Е оператор-функций А(Г):
ФЕ0 = {А(Г) е Ф | А(Г)х е С([0, да); Е) при каждом х е Е}
и семейство сильно непрерывно дифференцируемых по Г е [0, да) на множестве П ^ Е оператор-функций А(Г):
Фп1 = { А(Г) е Ф | А(Г)х е С‘([0, да); Е) при каждом х е П }.
По условию 2) Є ФЕ°
(28)
По условию 3) оператор-функция С(Г) сильно непрерывна по Г е Я на Е, следовательно,
С(Г) е Фе0. (29)
В силу (7), (29)
5(Г) е Фе0. (30)
В силу (15), (16), (28)
и(Г) е Ф1о(е)- (31)
Из определения множества Е1 следует, что
С (Г) е Ф1Е1. (32)
В силу (17), (29)
Б(Г) е Фе1. (33)
Замечание 1. Если А(Г) е ФЕ0, g(Г) е С([0, да); Е), то А(Г^(Г) е С([0, да); Е) [4].
Замечание 2. Из замечания 1 следует: если А1(Г), А2(Г) е ФЕ0, то А1(Г)А2(Г) е ФЕ0.
В силу (28) - (30) и замечания 2
С(0Щ(0 Є Фе0, S(t)U(t) Є Фе0, U(t)C(t) Є Фе0, Щ(Щ1) Є Фе0.
(34)
(35)
(36)
(37)
Замечание 3. Если Л(^ Є Фп*, g(t) Є С*([0, да); Е) и g(t) Є А при каждом t Є [0, да), то Л(^(^ Є Є С1([0, да); Е) и справедлива формула [3]
[лшог=л'(ґ)8(ґ)+л(і)^(і).
(38)
В дальнейшем понадобится также частный случай формулы дифференцирования интеграла по параметру:
Р(п)
g(т, п)Л
Р(п)
І [£(т п)] П *+Р'(п).? ОХпХ п). (39)
Доказательство теоремы. В силу (13) функции (11) удовлетворяют начальному условию и(0) = и0. Покажем, что эта функция удовлетворяет начальному
условию «'(0) = «'о и уравнению (1), которое можно записать в виде
«"(Г) - 2Б 1«'(Г) + С«(Г) = /(Г), 0 < Г < да Запишем (11) в виде «(Г) = и(Г>0(Г) + МГ), где ^(Г) = С(Г)«0 + Б(Г)(«0' - Б1«0),
и '(Г)^0(Г) = ЩГБ^Г).
(51)
(40)
I
, (Г) = |Б(/ - т)и(Г - т)/(т)^т .
Тогда «'(Г) = [и(Г>0(Г)]' + Д(Г)
(41)
при условии, что слагаемые в правой части (40) дифференцируемы. В силу (31) и замечания 3, если
^(Г) е С1([0, да); Е), (42)
м’о(Г) е О(Б), Г е [0, да), (43)
то и(Г)^0(Г) е С1([0, да); Е) и по формуле (38)
[и(Г)^(Г)]' = и '(Г)^(Г) + и(Г)^'(Г). (44)
Покажем справедливость включений (42), (43).
В силу (12) и условия 5)
«0 е Е1,
(45)
следовательно, в силу (32) С(Г)«0 е С1([0, да); Е).
В силу (33) Б(Г)(«0' - Б1«0) е С1([0, да); Е). Из последних двух включений следует (42). В силу (12) и условия 5)
«0 е 0(2),
следовательно, в силу (20) С(г)«0 е 0(2), г е [0, да). В силу (12) и условия 5)
«0 е °(2Х
следовательно, в силу (22) БУМ е 0(2), Г е [0, да).
(46)
(47)
(48)
(49)
В силу условия 5) Б«0 е 0(Б2) и Б«0 е 0(С), следовательно, Б«0 е 0(2). Тогда Б1«0 е 0(2) и в силу (22)
Б(Г)Б1«0 е 0(2), Г е [0, да).
(50)
В силу (47), (49), (50) справедливо включение м’о(Г) е 0(2), Г е [0, да), откуда следует (43). Итак, в силу (42), (43) справедлива формула (44). В силу (15), (16), (43)
В силу (19), (45) С '(Г)«0 = 2Б(Г)«0. В силу (23), (46) 2Б(Г)«0 = Б(Г)2«0. Получили:
С '(Г)«0 = Б(Г)2«0.
В силу (17)
Б '(Г)(«0' - Б1«0) = С(Г)(«0' - Б1«0).
В силу (52), (53) мъ'(Г) = Б(Г)2«0 + С(Г)(«0' - Б1«0). В силу (44), (51), (54)
(52)
(53)
(54)
[и(Г>0(Г)]' = и(Г)[Б1С(Г)«0 + Б1Б(Г)(«0' - Б1«0)] +
+ и(Г)[Б(Г)2«0 + С(Г)(«0' - Б1«0)]. (55)
В силу условия 5) «0 е 0(Б), следовательно, в силу (4) Б1С(Г)«0 = С(Г)Б1«0. (56)
В силу условия 5) «0' - Б1«0 е 0(Б), следовательно, в силу (24)
Б1Б(Г)(«0' - Б1«0) = Б(Г)(Б1«0' - Б12«0).
(57)
В силу (56), (57) формулу (55) можно записать в виде
[и(Г>0(Г)]' = и(Г)[С(Г)Б1«0 + Б(Г)(Б1«0' - Б12«0)] +
+ и(Г)[С(Г)(«0' - Б1«0) + Б(Г)(Б12«0 - С«0)]
или, после приведения подобных членов,
[и(Г)^(Г)]' = и(Г)[С(Г)«0' + Б(Г)(Б1«0' - С«0)]. (58)
Найдем /0'(Г). В силу непрерывности функции /(т ), включения (35) и замечания 1 подынтегральная функция g0( т , Г) = Б(Г - т )и(Г - т )/( т ) непрерывна по т и Г. В силу условия 4)
/(т ) е 0(Б), т е [0, да),
(59)
следовательно, в силу (31), (33), (38) ^0("Г, Г)]Г' = = Б'(г - т )и(г - т)/(т) + Б(г - т)и\г - т)/(т), или в силу (15) - (17) ^0(т , Г)]Г = С(Г - т )и(Г -- т )/( т ) + Б(Г - т )и(Г - т )Б1/( т ), из чего видно в силу (8), (34), (35) и замечания 1, что производная [&)( т , Г)]Г' непрерывна по т и Г, следовательно, можно применить формулу (39):
I
ют = /+
С(Г - т)и (Г - т) / (т)й?т +
г
^ Б (Г - т)и (Г - т)Б1 / (т)Л: -
(60)
+Б (0)и (0) / (Г). В силу (13)
Б(0)и(0)/(Г) = 0. (61)
В силу (41), (58), (60), (61)
«' (Г) = и (Г)[С (Г)«0 + Б (Г )(Б1«0 - С«0)] +
Г Г
+1Б (Г - т)и (Г - т) Б1 / (т)й?т +| С(Г - т)и (Г - т) / (т)Л.
В силу (13) «'(0) = «0 , т. е. функция (11) удовлетворяет второму начальному условию. Запишем «'(Г) в виде
«'(г) = и(гу*1(г) + ш + /2(г), где ^1(Г) = С(Г)«0' + Б(Г)(Б1«0' - С«0),
(62)
(Г) = | Б (Г - т)и (Г - т)Б/ (т)А, /2 (Г) :
0
^ С (Г - т)и (Г - т) / (т)Л.
Тогда
«"(Г) = [и(Г)^1(Г)]' + Д(Г) + /2'(Г)
(63)
при условии, что слагаемые в правой части (62) дифференцируемы. В силу (31) и замечания 3, если
(64)
(65)
(66)
^(Г) е С1([0, да);Е),
^(г) е 0(Б), г е [0, да),
то и(Г)^(Г) е С1([0, да);Е) и
[и(Г)^(Г)]' = и'(Г)^1(Г) + и(Г)^1'(Г).
Покажем справедливость включений (64), (65).
В силу (12) и условия 5)
«0 е Е1, (67)
следовательно, в силу (32) С(Г)«0' е С1([0, да);Е).
В силу (33) Б(Г)(Б1«0' - С«0) е С‘([0, да);Е). Из последних двух включений следует (64). В силу (20), (48)
С(г)«0' е 0(2), Г е [0, да). (68)
В силу условия 5)
Б1«0' е Е1, (69)
следовательно, в силу (18)
Б(Г)Б1«0' е 0(2), Г е [0, да). (70)
В силу условия 5) С«0 е Е1, следовательно, в силу (18) Б(Г)С«0 е 0(2), Г е [0, да). (71)
В силу (68), (70), (71) ^(Г) е 0(2), Г е [0, да), откуда следует (65). Итак, в силу (64), (65) имеет место формула (66). В силу (15), (65)
и'(г)^(г) = Би(г^1(г).
В силу (19), (67)
С '(Г)«0' = 2Б(Г)«0'.
В силу (17)
Б ,(Г)(Б1«0' - С«0) = С(Г)(Б1«0' - С«0).
В силу (73), (74)
^'(Г) = 2Б(Г)«0 + С(Г)(Б1«0 - С«0).
В силу (66), (72), (75)
(72)
(73)
(74)
(75)
[и(Г>1(Г)] ' = Б1и(Г)[С(Г« + Б(Г)(Б1«0' - С«0)] +
+ и(Г)[Б12Б(Г)«0' - СБ(Г)«0 + С(Г)(Б1«0' - С«0)]. (76)
Запишем правую часть (76) в форме, которая нам потребуется в дальнейшем. В силу условия 5)
«0' е 0(Б),
следовательно, в силу (4) С(Г)Б1«0 = Б1С(Г)«0'.
(77)
(78)
В силу (68) С( )«0' е 0(Б), е [0, да), следова-
тельно, в силу (16)
и(Г)Б1С(Г)«0' = Б1и(Г)С(Г)«0'.
В силу (78), (79) и(Г)С(Г)Б1«0 = Б1и(Г)С(Г)«0'.
В силу (24), (77) Б1Б(Г)«0' = Б(Г)Б1«0'.
(79)
(80)
(81)
В силу (18), (69) Б( )Б1«0' е 0(2), е [0, да), следовательно, Б(Г)Б1«0' е 0(Б) и в силу (16)
и(Г)Б1Б(Г)Б1«0' = Б1и(Г)Б(Г)Б1«0'.
В силу (81), (82) и(Г)Б12Б(Г)«0' = Б1ЩЩГ)Б1«0'.
В силу (25), (46)
С(Г)С«0 = СС(Г)«0.
В силу (3), (47) и(г)СС(г)«0 = Си(г)С(г)«0.
В силу (84), (85)
(82)
(83)
(84)
и(Г)С(Г)С«0 = Си(Г)С(Г)«0.
В силу (3), (49) и(Г)СБ(Г)«0' — Си(Г)Б(Г)«0'.
В силу (71)
Б(Г)С«0 е 0(Б), Г е [0, да), следовательно, в силу (14) и(Г)Б(Г)С«0 е 0(Б), Г е [0, да).
(86)
(87)
(88)
(89)
Припишем в первых квадратных скобках в правой части (76) выражение Б(Г)(-С«0) + Б(Г)С«0 (это можно сделать в силу (89)). Покажем, что
Б1и(Г)Б(Г)С«0 — Си(Г)Б(Г)Б1«0.
В силу (16), (88) Б1и(Г)Б(Г)С«0 — и(Г)Б1Б(Г)С«0.
(90)
(91)
В силу условия 5) С«0 е 0(Б), следовательно, в силу (24)
Б1Б(Г)С«0 = Б(Г)Б1С«0.
В силу условий 1), 5) БС«0 — СБ1«0.
(92)
(93)
В силу условий 5) Б1«0 е 0(2), следовательно, в силу (27)
Б(Г)СБ1«0 — СБ(Г)Б1«0.
В силу (3), (50) и(Г)СБ(Г)Б1«0 — CU(Г)S(Г)B1«0■
(94)
(95)
Из (91)-(95) следует (90). В силу (80), (83), (86), (87), (90) соотношение (76) с учетом добавленных слагаемых Б(Г)(-С«0) и Б(Г)С«0 можно записать в виде
[и(Г)^(Г)]' — 2Б1и(Г)[С(Г)«0' + Б(Г)(Б1«0' - С«0)] -- Си(Г)[С(Г)«0 + Б(Г)(«0' - Б1«0)],
[и(Г)^1(Г)]' — 2Би(Г^1(Г) - СЩХ^Г).
(96)
Найдем /1'(Г). В силу (8), (35) и замечания 1 подынтегральная функция g1( т , Г) — Б(Г - т )и(Г - т )Б1/( т ) непрерывна по т и .
В силу условия 4)
Б/( т ) е 0(Б), т е [0, да),
(97)
следовательно, в силу (31), (33), (38) ^( т , Г)]Г' — Б'(Г -т )и(г- т)Б1/(т) + Б(г- т )и\г- т ^/т ) или в силу (15) - (17) ^( т , Г)]Г' — С(Г - т )и(Г - т ) Б1/( т ) + Б(Г - т )и(Г - т )Б12/( т ), откуда видно в
силу (8), (9), (34), (35) и замечания 1, что производная ^(т , Г)]/ непрерывна по т и Г.
Следовательно, можно применить формулу (39):
+
11 (/) = | С (/ - т)и (/ - т) Б/ (т)йТт
0
t
+ J Б (/ - т) Б1и (/ - т) Б1 / (т^т +
0
+ Б(0)и(0)Б1/(Г).
В силу (13) Б(0)и(0)/(Г) — 0, а следовательно,
1(/) = |С (/ - т)и (/ - т) Б1./ (тМт
0
- J Б (/ - т) Б1и ( / - т) Б1 / (т)^
+
(98)
Запишем правую часть (98) в форме, которая потребуется нам в дальнейшем. В силу (16), (59)
и(Г - т)Б1/(т) — Би(Г - т)/(т).
(99)
В силу (14), (59) и(Г - т )/( т ) е 0(Б), т е [0,Г], е [0, да), следовательно, в силу (4)
С(Г - т)Б1и(Г - т )/( т ) —
— БС(г - т )и(/ - т)/(т).
В силу (99), (100)
С(Г - т )и(Г - т)Б1/( т) —
— Б1С(Г - т )и(Г - т)/(т).
(100)
(101)
В силу (14), (97) и(Г - т)Б1/(т) е 0(Б),
т е [0, ], е [0, да), следовательно, в силу (24)
Б(Г - т)Б1и(Г - т )^1/( т ) — — Б1Б(Г - т )и(Г - т)Б1/( т)
(102)
В силу (101), (102) и замкнутости оператора Б! соотношение (98) можно записать в виде
1 (Г) = Б | С (Г - т)и (Г - т) / (т)й?т -
0
г
■ Б11Б (Г - т)и (Г - т) Б1 / (т)ёт
11(Г) — Б1/2(Г) + Б1/1(Г).
Найдём /2'(Г). В силу (5), (59)
(103)
т. е
т. е
/
1'2 (/) = Б1 |и (Г - т)С(Г - т) / (т^т +
0
/
Г2 (/) = |и (/ - т)С(/ - т) / (т)^.
0
В силу непрерывности функции /(т ), включения (36) и замечания 1 подынтегральная функция g2( т , Г) —
— и(Г - т )С(Г - т )/( т ) непрерывна по т и Г.
В силу условия 4)
/(т) е 0(2), т е [0, да), (104)
следовательно, в силу (20) С(Г - т )/(т ) е 0(2),
т е [0,Г], Г е [0, да), откуда вытекает, что
С(Г- т)/(т) е 0(Б), т е [0,Г], Г е [0, да). (105)
В силу (12), (104)
/( т ) е £,, т е [0, да). (106)
Учитывая (31), (32), (105), (106) и применяя фор-
мулу (38), получаем:
Ы т , Г)]/ — и'(/ - т )С(Г - т )/( т ) +
+ и(Г - т)С'(Г - т )/( т )
или в силу (15), (19), (106)
[&( т , Г)]/' — Б1 и(Г - т )С(Г - т )/( т ) +
+ и(Г - т)2Б(Г - т )/( т ). (107)
В силу (16), (105)
Б1и(Г - т )С(Г - т )/( т ) —
— и(Г- т )БС(Г- т )/(т ). (108)
В силу (4), (59)
Б1С(Г - т )/( т ) — С(Г - т^/т). (109)
В силу (108), (109)
Б1и(Г - т )С(Г - т )/( т ) —
— и(г - т )С(г - тБ/т). (110)
В силу (23), (104)
2Б(г - т)/(т) — Б(г - т)2/(т). (111)
В силу (107), (110), (111)
ы т , Г)]/' — и(Г - т )С(Г - т )Й1/( т ) +
+ и(Г - т)Б(Г - т )2/( т ),
откуда видно, в силу (8) - (10), (36), (37) и замечания 1,
что производная ^2( т , Г)]Г' непрерывна по т и Г, сле-
довательно, можно применить формулу (39), согласно которой с учётом (107) и замкнутости В1 получаем:
+ |и (Г - т)2Б (Г - т) / (т)А + и (0)С(0)/(Г).
0
В силу (13) и(0)С(0)/(Г) — /(Г). Тогда, учитывая (5), (59) и вид оператора Q, получаем:
I
12(/) = / (/) + А | с (/ - т)и (/ - т) / (т)Л +
0
I
+ ^ и (Г - т)Б12Б (Г - т) / (т)й?т -0 (112)
— ^ и (Г - т)СБ(Г - т)/(т)й?т.
0
Запишем правую часть (112) в форме, которая потребуется нам в дальнейшем. В силу (22), (104)
Б(г- т )/(т ) е 0(2), т е [0,Г], Г е [0, да), (113)
следовательно, ББ(Г - т )/(т ) е 0(Б), т е [0,Г], Г е [0, да) и в силу (16)
и(Г - т )Й1Б15(Г - т)/(т) —
— Б1и(Г - т)Б1Б(Г - т )/( т ). (114)
В силу (24), (59)
Б1Б(Г - т )/( т ) — Б(Г - т^/т). (115)
В силу (114), (115) и(Г - т)Б125(Г - т)/(т) —
— Б1и(Г - т)Б(Г - т)Б1/(т). (116)
В силу (3), (113) и(Г - т)СБ(Г - т)/(т) —
— Си(Г - т)Б(Г - т )/( т ). (117)
В силу (6), (59)
и(Г- т )Б(Г- т )/(т ) — Б(Г- т )и(Г- т )/(т ). (118) В силу (117), (118) и(Г- т )СБ(Г- т)/(т) —
— СБ(Г - т )и(Г - т )/( т ). (119)
Учитывая (6), (97), (116), (119) и замкнутость операторов Б1, С, формулу (112) можно записать в виде
12 (/) = / (/) + В11С (/ -т)и (/ - т) / (т)й?т +
0
Г
+ Б11Б (Г - т)и (Г - т)Б1 /(т^т -
0
Г
— С ^ Б (Г - т)и (Г - т) / (т)й?т,
0
т. е.
Ш — /(Г) + Б1/2(Г) + Б1/1(Г) - С/0(Г). (120)
Подставляя в правую часть (63) вместо [и(Г)^1(Г)]', /1'(Г), /2'(Г) их выражения из (96), (103), (120) и учитывая (40), (62), получаем:
«"(Г) — 2Б1и(Г)^1(Г) - Си(гу0(г) + Б1/2(Г) + Б1/1(Г) +
+ /(Г) + Б1/2(Г) + Б1/1(Г) - С/0(Г) —
— /(Г) + 2Б1[и(Г>1(Г) + /,(Г) + /2(Г)] - С[и(Г>0(Г) + Ш] —
— /(г) - Б«'(г) - С«(г).
Получили равенство «"(Г) — /(Г) - Б«'(Г) - С«(Г) или «"(Г) + Б«'(Г) + С«(Г) — /(Г), т. е. функция (11) является решением уравнения (1). Выше было показано, что она удовлетворяет начальным условиям (2).
Покажем, что
«(Г) е С2([0, да);Е). (121)
Как уже отмечалось выше, справедливо включение ЩГ^^Г) е С'([0, да);Е). Из равенства
/1(Г) = | С(Г -т)и (Г -т)Б1/ (т)й?т +
0
/
+ | Б (Г - т)и (Г - т)Б12 / (т)ёт
0
Тогда в силу (62) «'(Г) е С1([0, да);Е), т. е. справедливо включение (121). Теорема доказана.
Замечание 4. В случае Б, Се Д(Е) решение задачи (1), (2) имеет вид [5]
и(?) = ехр(Б1?)[С(?)и0 + Б(/)« -B1u0j\ +
Г
+ | Б (/ - т)ехр[Б1(? - т)] / (т)^т.
0
Доказанное выше утверждение анонсировано в [6]; оно дополняет результаты работ [7], [8], в которых решение задачи (1), (2) найдено в терминах полугрупп и1(Г) и и2(Г) класса С0 с производящими операторами Л1 = (1/2)(-Б - Г) и Л2 = (1/2)(-Б + Г) при условии, что Б2 - 4С — Г2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарёв С.И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. ВИНИТИ. 1990. Т. 28. С. 91.
2. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М., 1995. С. 17,
26.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. СПб., 2002. С. 609.
4. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967. С. 21, 22.
5. Фомин В.И. Об уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 483-488.
6. Фомин В.И. О задаче Коши для линейного дифференциально -операторного уравнения в банаховом пространстве // Понтрягин-ские чтения - XIV: сборник материалов Воронеж. весенней мате-мат. шк. Воронеж, 2003. С. 143.
7. Фомин В. И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 8. С. 1130-1133.
8. Фомин В.И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 427-428.
и условий (8), (9) следует, что ^'(t) £ C([0, *);£), т. е. Ii(t) £ С'([0, *);£). Из равенства
12 (t) = f (t) + ju (t - t)C (t - T)Bif (T)dT +
0
t t
+ ju (t - t)S (t - T)B2f (i)di - ju (t - t)S (t - T)Cf (i)di,
0 0
непрерывности функции f(t) и условий (8) - (10) следует, что I2'(t) £ C([0, Ю)Е), т. е. I2(t) £ C1([0, <ю);£).
Поступила в редакцию 9 марта 2010 г.
Fomin V.I. About the Cauchy problem decision for the linear differential equation of the second order in banach space in terms of cosine and a sine of operators-functions.
Decision of the Cauchy problem for the linear differential equation of the second order with the constant neolimited operational factors in banach space in terms cosine and a sine of operators-functions is achieved.
Key words: Banach space; Cauchy problem; operator discriminant; semigroup; linear operator.
