О векторном уравнении Эйлера второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

О ВЕКТОРНОМ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© В.И. Фомин

Ключевые слова: банахово пространство; малое стабилизирующее возмущение; ограниченное решение; операторный дискриминант; точка вырождения; полугруппа; производящий оператор.

В банаховом пространстве находится методом малых стабилизирующих возмущений ограниченное в точке вырождения решение векторного уравнения Эйлера второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами.

В банаховом пространстве E методом малых стабилизирующих возмущений [1] изучается уравнение

t2x"(t) + tAx'(t) + Bx(t) = f (t), 0 < t < да, (1)

гДе f (t) e C( [ 0, да); E ), C( [ 0, да) ; E) - пространство непрерывных на [ 0, да) функций со значениями в E ; A, B е N(E) , N(E) - множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из E в E , с плотными в E областями определения.

Рассмотрим стабилизирующее возмущение уравнения (1) малым положительным параметром ее (0, е0 ], е0 - const:

(t + е)2х'е (t) + (t + е)Ax'е (t) + Bxе (t) = f (t), (2)

0<t <да,

xе(0) = xе ,0 > x 'e(0) = x 'e ,0 ■ (3)

Выясним вопрос об условиях разрешимости задачи (2), (3) и сходимости ее решения при е —— 0 к ограниченному при t — + 0 решению уравнения (1).

Исследования, проведенные в случае A, B е L(E) ,

L(E) - банахова алгебра ограниченных линейных

операторов, действующих из E в E [2-3], показывают, что вид решения задачи (2), (3) и характер его поведения при е — 0 определяются свойствами операторного дискриминанта Д = (A — I )2 — 4B , I - единичный оператор.

Заметим, что в случае A, B е N(E) область определения оператораДимеет вид Б(Д) = D(A2) о D(B) ■ Пусть выполняются следующие условия:

1) Д = F2 , где F - некоторый оператор из N (E) (в этом случае операторный дискриминант называется позитивным);

2) характеристические операторы

Лі 2= (1/2)(I — А + F) являются производящими

операторами полугрупп их (ґ) , и2 (ґ) класса С0 ;

3) AFx = FAx, х є D(Л2) , где

Я(Л2):: = Я(Л?) = Я(Л2) = Д(Л1Л2) = ДЛ^) = = Д(А2) п D(Б) п D(AF) п D(FA) ;

4) /(ґ) є Д(Л2) при каждом ґ є [0, да) ;

5) Af(t) , Ff (ґ), A 2/(ґ) , AFf(t) , Б/(ґ) є є С( [ 0, да ) ; Е) ;

6) хє ,0 є Д1, х 'є ,0 є Д(Л2), где

Д = D(A2) п D(AБ) п D(AF) п D(FA) п D(FБ) ;

7) типы ю1, ю2 полугрупп и1(ґ) , и2(ґ) удовлетворяют неравенству

ю= max{ ю1, ю2} <—1; (4)

8) начальные значения х є 0 , х'є 0 удовлетворяют

условиям

lim f є—— 0 L є—®15 Х є, 0 ] = 0, (5)

lim f є— 0 L Yffl5 1 Л1Х є ,0 1 1] = 0, (б)

lim f є— 0 L "є1 — И5 Хє ,0 ] = 0, (7)

где ю15 = ю1 + 8 , ю5=ю+8 , 8 - сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое что

ю8 <-!■ (8)

Замечание 1. Условия, при которых данный оператор Н , действующий в банаховом пространстве

E , является квадратом некоторого оператора T , и вид этого оператора T см. в [4].

Замечание 2. Для выполнимости условий (5) -(7) достаточно, чтобы для Уее (0, е* ] с (0, е0], где

е* - произвольное сколь угодно малое положительное число, не превосходящее е0, выполнялись соответственно следующие неравенства

II xе ,()| < L 0 е“18+Р ,

Iе^|| < K0е“5+Р ,

»v' II <Т Р®8—1+Р x е ,0 || < T1 е ,

где L0 , K0 , T1 - const; L0 , K0 , T1 > 0; p - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число.

Укажем некоторые соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

В силу (4), (8)

|| U2(t) || < M25 exp( Ю251) , 0 < t < да,

(l8)

ю15 <—1 , ю25 <—1,

(9)

(10)

где М15, M25 - const, M15, M25 > 0 ; 5 - сколь угодно малое фиксированное положительное число, такое что выполняются неравенства (9), (10).

Известно [6], что для полугруппы U (t) класса C0

с производящим оператором Y справедливы соотношения

U'(t) x = YU(t) x , YU(t) x = U(t)Yx, x e D(Y) , и оператор Y замкнут. Следовательно, в силу условия 2)

U1(t) x = Л1U1(t) x, Л^^) x = U1(t)Л1 x , (19)

x e D^),

U2 (t) x = Л2 U2 (t) x , Л2 U2 (t) x = U2 (0Л2 x, (20)

x e D^),

где D(A):: = D^) = D^2) = D(A) о D(F) ; и операторы Л1, Л 2 замкнуты.

В дальнейшем неоднократно используются без дополнительных ссылок правила дифференцирования композиции операторной функции и векторной функции [7]

— 1 — Ю15 > 0 ,

— 1 — ю25 > 0 ,

(ll)

(12)

где ю28 =ю2 +8 ■

В силу малости параметра е будем считать в дальнейшем, что е <1 ■

Из условия (6) следует, что

lim f є ®151Лxe о 11 ] = 0 ,

lim І є

є— 0 [

I Л1xє ,0 || ] = 0 .

Из условия (7) следует, что 1—0 [є1—ю15|| 4,| ] = 0,

— [є 1—ffli ^ll ]=0,

(13)

(14)

(15)

(16)

[A(t)g(t)]' = A’(t)g(t) + A(t)g'(t),

а также известные неравенства [8]

||0x|| < І Є|| I x|| , V0 є L(E), Vxє E; II0102 И < II01IIII02 II , Va, 02 є L(E);

ии

| h(s) ds < 11 h(s) || ds .

Кроме того, понадобится частный случай формулы дифференцирования интеграла по параметру:

Р(л) ' Р(л)

| u(s,n) ds = | [u(s, ^)]'^ ds +

-P'On) u (PCn), n) .

(21)

Известно [5], что если ю - тип полугруппы U(t)

класса C0 , то

Теорема. При выполнении условий 1) - 6) задача (2), (3) при каждом є є (0, є0 ] имеет решение вида

||U(t)|| < M5exp(ю51) , 0<t <да,

xє (t) = U I ln I xє О + І1є (t) + І2є (t) , (22)

где M5 - const, M5> 0 ; ю5=ю+5, 5 - произвольное сколь угодно малое положительное число. Следовательно, в силу условия 2)

||U1 (t)Л < M15exp(ю151) , 0<t <да, 518

(17)

где

і

І1є (t) =| U 2 I ln ^ (ln — , X

т. е

a

a

О

:(ех'е,0 — Л1хе,0 )

ds

I I —5

т = | {

и2 I 1п—^-+-е— I х

1 У+5 + е

. У + 5 +е ) /(5)

х и1| 1п----------------------------- | dv

ds

При выполнении условий 7), 8) справедлив предельный переход

Нш хе (^ = х0(/) , t е (0, да) ,

где

0

t—5

0

X и,|1п VII] IМ <,V

ds

5

(24)

Предельная функция х0 (t) является решением уравнения (1). Это решение ограничено при t ^ + 0; если функция /^) ограничена на [0, да) , то х0 ^) ограничено на (0, да) ■

Теорема справедлива в силу доказываемых ниже лемм 1-4.

Лемма 1. При выполнении условий 1) - 6) задача (2), (3) имеет решение вида (22).

Доказательство. Заменой t = ев1 — е задача

(2), (3) сводится к стандартной задаче Коши

и””(О + (А — I) и'е(т) + Вие(т) = яе(т), 0 <т<да, (25) ие (0) = хе ,0 , и'е (0) = е х”, ,0 , (26)

где и е (т) :: = х е (е вТ—е) , Я е(т) :: = /(е вТ—е) ■

В силу условий 1) - 6) выполняются известные условия разрешимости стандартной задачи Коши [9]. Используя соответствующую формулу из [9], получаем решение задачи (25), (26)

и е (т) = иДт) х е ,0 +

т

+1 и2(т ц)и1 (ц)(ех”,0 — Л^) dц + (27)

т—р

+ | | и2 (т — Р — ц) и^ (ц) я е (р) dц

d р ■

Проведя во втором слагаемом в правой части (27) за, 5 +е

мену ц = 1п-------, а в третьем слагаемом последова-

8

, 5 +е V + 5 +е

тельно замены р = 1п-----, ц = 1п-------- и возвра-

е 5 +е

щаясь к переменной t, получаем решение вида (22) задачи (2), (3). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. При выполнении условий 1) - 5) и 7) функция вида (24) определена при любом t е (0, да) и ограничена при t ^ + 0 . Если / ^) ограничена на [0, да) , то х0^) ограничена на (0, да) ■

Доказательство. Возьмем произвольное фиксированное t > 0 . В силу сильной непрерывности полугрупп и1(») , и2(») и непрерывности / (5) подын-

(23) тегральная функция

я0(5,0 =1 [ и2 Г 1п —— 1 и111п■V+S■ "1/(5) dV (28)

5 л V. V+ 5) V 5 |у + 5

непрерывна и, следовательно, интегрируема на любом промежутке [ А, t ], А - произвольное сколь угодно малое положительное число. Покажем сходимость несобственного интеграла

I

) = | Я0(51)

ds ■

(29)

Для этого достаточно доказать сходимость несобственного интеграла

11| Яo(s,0|| ■

0

Используя оценки (17), (18), получаем

IIЯ0(5,0|| < - |

(30)

и2|1п-

и11 1п

II/ ( 5)11

d V <

V + 5

< - М18 М28

I — 5

I

_±_Г28 |Ч+£Т181| /(5)II

V + 5) V 5 I V + 5

t—5

(31)

d V =

М18М28 ,Г1—/(5)\ | ^ + 5)“— “2—1 d V ;

| (V + 5)®1 Ш2 1 dV =

1л (V + 5)“

(32)

“1 —“2

В силу (31), (32)

||*0<», 0|| < МвМг8 t"«Ц / (5)|| X

“1 “ 2

0

0

х

0

0

0

0

0

т

х I Г1 ®2 s

[

Тогда

®1 ®2 о 1 ®15 _ ,

(33)

t

j I\g0 (s,t)ll

:jll f ^)|| [t®1 — ®2 s- 1— ®15 — s- 1 — ®25 I ds ■

Полагая N(t) = max || f (s) ||, получаем

Лемма 3. При выполнении условий 1) - 8) справедлив предельный переход (23), где хе ^) , х0(t) задаются формулами (22), (24).

Доказательство. Покажем вначале, что первые два слагаемых в правой части (22) сходятся к нулю при е — 0. Используя оценку (17), получаем

U1 | ln |x е,0

< Mjs (t + е)®15е—'®15 xе0 . (39)

В силу (5) правая часть неравенства (39) сходится к нулю при е —— 0 , следовательно

I

j IЫ-st)||

ds < M15M25 t®25 N(t) ® —®2

;j[t®1 — ®2 s- 1-®15 — s- 1— ®25 | ds.

(34)

Проведя непосредственное интегрирование, получаем

j I"t®1 ®2s 1 ®18 —s 1 ®28 J ds = ®1 ®2 t ®25 ■ (35)

®15 ®25

В силу (34), (35) t

j IЫ-st)||

M1SM-,S ds < 15 25 N(t) ■

®15 ®25

(36)

Из (36) следуют сходимости несобственного интеграла (30) и, тем самым, корректность определения функции х0 ^). Учитывая (36), а также неравенство

x0(t Л =

I I

j go(s, t) ds < j I |Я()(Л 0|| ds ,

получаем оценку вида

и II MieMoS

II x0 (t)|| < 15 25 N(t) ■

®15 ® 25

(37)

Из (37) видно, что функция x0(t) ограничена при t — + 0. Если функция f (t) ограничена на [0, да), т. е. sup N(t) = C < да , то из (37) следует, что x0(t) ог-

t e[0, да )

раничена на (0, да) . Лемма 2 доказана.

Заметим, что в силу (11), (12) правая часть неравенства (33) сходится к нулю при s — + 0 . Следовательно,

lim

е—0

U1 1 ln ^ 1 x е,0

= 0 ■

Используя оценки (17), (18), получаем t

..(t U f ln

U2 \ ln

0

s + е

t + е s + е

ds

e xe ,0 — Л1x е ,0— <

s + е

< M15 M25 еxe,0 Л1xе,0 х

t

j

t + е I®251s + е|®15 ds

s + е

е J s + е

M15 M25 е xe,0 ^1x е

(t + е)®

I

f / \®,— ® — 1

I (s + е) 1 2

(s + е)®1—®2—1 ds =

(t + е)®1 — ®2 — e®1 — ®?

ve ,0 Л1x е ,0 I

В силу (41), (42)

1111е (t)\\ <

< M15 M25 Г (t + е) ®

®1 — ®2 [ "

— (t + е)®2 5е—®2 5||e x'e0 — Л x.

В силу неравенства

IIеx'e,0 “ Л1xe,0 || < е|| хе,0 I|+^1xе,0

получаем

(40)

(41)

(42)

lim g0(s, t) = 0 ■

5 — + 0

(38)

Iae (t) <

M15 M25

®1 — ®2

[ (t + e) ®

0

0

x

0

0

x

0

0

x

0

X

®

е

0

0

0

х (е' “8 || х'е,<)| + е “ 8||Л1хе,()| ) +

+^ + е)“28 (е1—И28|| х^,0 || + е—И28|| Vе,|| )] ■ (43)

В силу (13) - (16) правая часть неравенства (43) сходится к нулю при е — 0 , следовательно,

ііш І1є (ґ) = 0 .

(44)

Для справедливости (23) осталось показать, что

1іш | Яє (5, ґ) <* = І Я<)(5, ґ)

(45)

где Я0(5,0 задается формулой (28), яе (5, ^ имеет вид

Яє (Э,ґ) = — | и2 (ІП ґ + Є 1 Х

5 + є -1 ^ У + 5 + є)

0

( V + 5 +е^| / (5)

X иг | 1п-------- ё V ■

V 5 + е ) V + 5 + е

Для справедливости (45) достаточно показать, что t

Иш Г || Яе (5,0 — Я0(5,0|| ^ = 0 ■

е — 0 Л 0

Запишем разность яе (5,0 — Я0 (5,0 в виде

е

Яе (5,О — Я0(5,0 = Г [Ь (к, V, 5,0]”к dк,

(46)

(47)

где

к (к, V, 5, ґ) = —1— Г и2 [" 1п—ґ+К—1

5 + К Г ^ V + 5 + к) 0

( V + 5 + К, f (5)

X и1| 1п---------^ ё V.

^ 5 + К ) V + 5 + К

Запишем к (к, V, 5, ґ) в виде

1 ґ 5

к (К, V, 5, ґ) =--- р (К, V, 5, ґ) ёV ,

5 + К Л

где

р (К, V, 5, ґ) = и | 1п

( Л/ 4- ї 4х иг | 1п

Тогда

ґ—5

! 1 (*

[ к (К, V, 5, ґ) У =------------------------ р (К, V, 5, ґ) ёV +

К (5 + к)2 Л

(5 + к)

1 t—5

+------ Г [Р(к, V,5,0]”к dV

0

Из (19) видно, что и^О х е О(Л) , х е О(Л) ■

В силу условия 4)

/(5) е 0(Л) ■

В силу (49), (50)

и1 (1п 1±£±к >|/1_ е о (Л)■

V 5 + к ) V + 5 + к

Следовательно, при нахождении производной [ р (к, V, 5, ^ ] ” можно использовать соотношения (19), (20):

(48)

(49)

(50)

[ р (К V 5 ґ) ]'К =

: ^2 | ІП-

: и | 1п

+и 2 \ 1п-

5 + К ) (V + 5 + К)2

' + К |и;( 1п^±£±К,х

f (5)

(V + 5 + К)2

+и 2 \ 1п-

V + 5 + К

f (5) "

(V + 5 + К)2

' + К 1 и1 (1п У + 5 + К ,х

= и2 | 1п-

' + К 1 и ( 1п У + 5 + К ,х

(ґ + К)(V + 5 + К)2

Л 2f ( 5) —

V л /V л f (5)

--------------------Л1} (5)------------------

(5 + К)(V+ 5 + К) (V + 5 + К)

(51)

В силу (48), (51)

[ к (К, V, 5,ґ) ]'К =

= и, 1п

их|1п

+

X

0

X

X

0

0

/ (5)

(5 + к)2 (V + 5 + к) t — 5 —V

(5 + к) ^ + к) (V + 5 + к)

Л2/(5) -

(5 + к)2 (V + 5 + к)2

/ (5)

(5 + к) (V + 5 + к)

Тогда

|| [ И (к, V, 5,0 ]”

I—5 <1

Л/(5) —

d V ■

t + к

и2 | 1п-

V V +5 + к

II/ (РЦ ,

(5 + к)2 (V + 5 + к) t — 5 — V (5 + к) ^ + к) (V + 5 + к)2

V

иг\ 1п

|| Л 2/( 5)|| +

(5 + к)2 (V + 5 + к)2

II Л/(5) II-

II/ ( 5)11

(5 + к)^ + 5 + к) В силу (17), (18) t + к

d V ■

и2 1п-

Далее,

< М.

2 8

< М

18

t + к

V + 5 + к

V + 5 + к 5 + к

^ + к) (5 + к) (V + 5 + к)

1

1

(5 + к)2 (V + 5 + к) V

(5 + к)2 (V + 5 + к)2

1

1

(5 + к)2 V + 5 + к V + 5 + к

_ ______________1_____________

(5 + к)2 (V + 5 + к)

(52)

(53)

(54)

(55)

1

1 1

1

(5 + к) (V + 5 + к)2 5 + к V + 5 + к V+ 5 + к

1

< ------------------------- ■

(5 + к)2 (V + 5 + к)

В силу (52) - (57)

(57)

[ И (к, V, 5, t) ]”к

,, ,, (t + к)“28

< М\8М28 “ ч2 + Ю Х

(5 + к)2 + “18

/(5)|| + 1К/(5^| +|Л2/(5)|| ]•

I—5

:• Г (V + 5 + к)“1—“2— 1 dv ■

Полагая N1^) = шах || Л1/(5)||, N2(t) = шх || Л2/С^Ц,

0 < 5 < Г 11 0 < 5 < t" 11

получаем [ И (к, V, 5, 0 ]”к

< М!8М28 х

= [ 2 N (0 + Nl(t) + N2(t) ]

(t + к)“

(5 + к)2 + “18

I — 5

Г (V + 5 + к)“ — “2 — 1

d V ■

(58)

Имеем:

I — 5

Г (V + 5 + к)“1— “2— 1 dV ■

(/ + к)Ю1 — “2 - (5 + к)Ю1 — ю1 — ю2

(59)

Заметим, что выражение в правой части (59) неотрицательно. Тогда

(/ + к)И1 — “2 — (5 + к)И1 — “2

и1 “2 \Ю, — Юл

(/ + к)Ю1 — “2 — (5 + к)ю —

|(/ + к)Ю1 “2 — (5 + к)Ю1 “2 | “ —Ю2 |

^ + к)Ю1 — “2 + (5 + к)Ю1 — “2

<

| Ю — ю2

В силу (59), (60)

I — 5

Г (V + 5 + к)“ — “2 — 1 dV <

<

х

V

0

X

х

х

0

0

<

<

0

^ + к)Ю1 — “2 + (5 + к)Ю1 —

(61) II Яе (5,0 — Я0(5,0|| <

и1 “2

В силу (58), (61)

[ И (к, V, 5, ^ ]”к < < Р^) [(t + к)“18 (5 + к)—2—“18 + + ^ + к)“28 (5 + к)— 2 — “28] ,

где

Ра) =

М18 М28 [ 2N(^ + N (t) + N (t) ]

| “ — ю2

В силу (9), (10)

(/ + к)“8 < /“8, (/ + к) “2 8 < / “2 8 ■

В силу (62), (63)

[ И (к, V, 5,0 ]”к

< Р^) [ t“18 (5 + к)— 2—“18 + t“28 (5 + к)—2—'“28 ] ,

Из (47) следует, что

(63)

(64)

е

| Яе (5, t) — Я0 (5,0 II < Г [И (к, V, 5,0]”

dк ■ (65)

В силу (64), (65)

|| Яе О — Я0 0|| <

< Ре)

t

5 Г (5 + к) 2 “8 dк +

+1“28 Г (5 + к) 2 “28 dк

(66)

Далее,

Г (5 + к) 2 ®18 d к = 0

= ——----------Г (5 + е)—1

—1 — Ю18Ь

е

Г (5 + к)—2—“28 dк = 0

= — ----------Г (5 + е)—1

—1 — Ю,я L

(67)

1 ®2 8 — 5 1 Ю2 8

(68)

В силу (66) - (68)

15

X [ (5 + е) 1 “18 — 5 1 ®18] +

Р(0 ^ г, ч—1—

+ ^------------- I (5 + е) 1

— 1 — ®1Х

“28 _ с—1 — “28

(62) Тогда

I

||| Яе(5,0— Я0(5,0\\ ^5 :

.P(t) t,

®'8 —5 1 “18 I ds +

— “,я —5-1— “8 I ■

Р(-)t Г Г/ \—1

+ —------------ I | (5 + е)

—1 — “28 ' 1 В силу (9), (10) —го18 > 1, — го28 > 1. Тогда

(69)

Г[(5 + е) 1 “8 —5 1 “8] ds = 0

= —^ Г V + е)

—“18 Ь

t

/[ (» + е)—1

0

= —^ Г V + е)

— е—“18 — Г

ш,я —5 1 “28 I ds =

— 0,

е —0

(70)

— 0 ■

е —0

(71)

Из (69) - (71) следует соотношение (46). Лемма 3 доказана.

Лемма 4. При выполнении условий 1) - 5) и 7) предельная функция х0(-) , задаваемая формулой (24), является решением уравнения (1).

Доказательство. Запишем х0 (^ в виде

I

л-) = Г Я0(5,0 ds ;

где

1 — 5

Я0(5, t) = Г ^, 5, t) dV,

М>^, 5, t) = и2 | 1п— | и11 1п v+s | /(5)

21 V + 5 I 1 I 5 I 5 (V + 5)

Найдем х0 (t) . Известно [7], что применение формулы (21) корректно, если подынтегральная функция и (5, л)

и ее производная [ и(5,л) ] непрерывны по пере-

<

0

к

0

0

е

0

0

0

менным 5 , л. Покажем, что подынтегральная функция Яо (5, t) и ее производная [ Яо (5,О ]^ непрерывны по переменным 5 , t. Используя (38), доопределим Яо (5, t) по непрерывности в нуле:

Я0(0, t) = 11Ш Я0(5, t) = 0 ■

5 — + 0

Следовательно, Яо (5 t) непрерывна по 5 , t ■ В силу (49), (50)

и1|1п VI! е о (Л),

и |1п -1 / (5)

< М,8,1 (5)| .Г 8 (77)

В силу (11) правая часть неравенства (77) сходится к нулю при 5 — + 0 . Следовательно,

Нт

5 ——+ 0

и 1п-

= 0

(78)

5 ) 5 (V + 5)

Следовательно, при нахождении производной [ м(у, 5, t) ]” можно использовать соотношения (20):

В силу (38), (78) из (76) следует, что

11Ш [ Я0(5,t) ],t = 0 ■

5 ——+ 0 ‘

(79)

Соотношение (79) позволяет доопределить производную [ Яо (5, t) по непрерывности в нуле:

[ w(v,]' = и2 (1п ——1 и! 11п— 1 АЖ ,(72) [ Я0(5,t) ]'t = Нш [ Я0(5,-) ]^ = 0

V V + 5) V 5 ) ts (V + 5) ^5 = 0 5—+0 1

В силу непрерывности полугрупп и (•) , и2 (•) функция w(v, 5, Г) и ее производная [ м(у, 5, t) ]” непрерывны по V , t. Следовательно, при нахождении производной [ Яо (5, t) ]^ можно использовать формулу (21):

t—5

[ Я0(5,О ]'t = Г [ м^,5,t) ]'tdV + м(- — 5, 5, 0 ■ (73)

Запишем (72) в виде [ м(у, 5, t) ]^ = 1 Л м^, 5, t) ■ Учитывая, что и2 (0) = I, получаем

(74)

Таким образом, производная [ Яо (5, t) ]' непрерывна по переменным 5 , t. Следовательно, при нахождении производной х0 (t) можно применить формулу (21):

х0 (0 ={[ Я0(5, t) ]tds + Я0(1, t)

0

или с учетом того, что Яо (t, t) = 0 , t

х0(t) = {[ Я0(5,О ]'^ ■

0

(80)

t V 5 ) 5

В силу (73) - (75)

t—5

^ 1 I*

[ Я0(5,0 г, = - Л2 Г w(v, 5, t) dV +

(75)

Чтобы применить формулу (21) при нахождении х0 ^) ,

нужно показать, что производная [ Яо (5, t) ]"(2 непрерывна по переменным 5 , t ■

В силу (72), (73), (75)

?' Ь(* г+7 ] и1(|п

t 1 2 V V + 5 ) 1 V 5 ) 5 (V + 5)

0 \ / ч учу

+1 и 11п -1 /&.

t V 5) 5

d V +

(81)

[ Яo(s,t) ]' { = - Л2 Я0(5,t) +1 и1 (1п ~■ (76) t t t V 5) 5

Используя оценку (17), получаем 524

В силу сильной непрерывности полугрупп и1 (•) . и2 (•) подынтегральная функция

q(v, 5,t) = и2 1 1п—— | и11 1п — [ Л2 /(5)

2| V + 5) 1 | 5 ) 5 (V + 5)

0

0

непрерывна по переменным V , t. В силу условия 4) Л2 /(5) е О(Л) ■ (82)

В силу (49), (82)

илШ^ ео(Л)■

5 ) 5 (V + 5)

Следовательно, при нахождении производной [ q(v, 5, t) ]' ( можно использовать соотношения (20):

[ q(v,5,?) ]' = и211п ——1 и1 (1п V+S1 Л /(5) ■ (83)

^ 2 V V + 51 1 | 5 1 -5(у+5)

В силу непрерывности полугрупп и1 (•) , и2 (•) производная [ q(v, 5, t) ]' { непрерывна по переменным V , t ■

Следовательно, при дифференцировании интеграла в правой части (81) по переменной t можно использовать формулу (21). В силу (50) при нахождении производной второго слагаемого в правой части (81) по переменной t можно использовать соотношения (19). Получаем:

1 t—5

[ Я0(5, t) ]2 =— -2 Г q(v, 5,0 dV + t 0

1 — 1

I (* 1

+ ~ ! [ q(v, 5,0 ]' dv+ - q(t — 5, 5, t)

-л t t

—4 и 11п ^ 1 ^ + 4 Л1 и 11п'1 / (5)

t2 V 5) 5 г V 5

Заметим, что

q(v, 5,0 =Л2 w(v, 5,0 ■

В силу (83)

1

[ q(v, 5, t) ]” = - Л^ w(v, 5, t) ■

(84)

(85)

(86)

Так как и2 (0) = I, то

(87)

В силу (84) - (87)

t —5

П 1 I*

[ Яo(s, t) ] \2 =— — Л2 Г w(v, 5, t) dV +

t 0

1 ^5

+ Л2 Г w(v, 5, t) dv +

/2 Л

[ Яo(s, t) ] V = -1 |(л2 —Л2 ) Я0(5, О + 11 / (5)

+ (Л1 +Л2 — I) и11 1п

В силу (38), (78) из (88) следует, что

Ит [ Я0(5, t) ] V = 0 ■

5 — + 0 t

Следовательно, производную [ Яо (5, t) ] ”р. можно доопределить по непрерывности в нуле:

[ Я0(5, t) ] ^2 = Нш [ Я0 (5, t) ] " 2 = 0 ■

* 5 = 0 5 —+0 1 t

Значит, производная [ Яо (5,О ]'^ непрерывна по переменным 5 , t, и при нахождении производной х"0 (t) можно применить формулу (21).

Учитывая равенство (80), получаем

I

х0(-) = {[ Я0(5,t) ] V ^ +[ Я0(5,0 ]” t

(89)

Учитывая равенства Я0(-,0 = 0, и1 (0) = I, получаем из (76)

[ Яo(s, t) ] ” t

/ а)

5 = t t

В силу (88) - (90)

2 ‘

(90)

х0 (t) = 2 t2

У(t) + (л2 — Л2 ) ГЯo(S,1) ^ + 0

+ (Л+Л— I )_[и (1п - 1 ds

0 V 51 5 _

т. е.

х0(- ) = £ [ / (t) +(Л2 — Л2 ) хь(-) +

+ (Л1 +Л2 — I) I(t)] , где

(91)

0

0

0

1(- ) = Г и111п-1 ds ■

0

В силу (76), (80)

х0(-) = 1 [Л2х0(-) + 1(-)] ■ (92)

Используя формулы (91), (92), имеем

-2х” (-) + - Ах” (-) + Бх0 (-) = /(-) + (Л2 — Л2 )х0 (-) + +(Л1 + Л2 — I) 1(1) + А Л2 х0 (-) + А 1(1) + Бх0 (-) =

= / (-) + [л| + (А — I )Л 2 + Б ] х0(-) +

+ (Л1 +Л2 — I + А)1(-) = / (-)

в силу того, что Л2 + (А — I)Л2 + Б = 0 , Л1 + Л2 — I + А = 0 , ибо Л 2 - корень характеристического уравнения Л2 + (А — I)Л + Б = 0 , и

Л + Л = I — А . Лемма 4 доказана. Теорема доказана.

Случай нулевого операторного дискриминанта исследован в [10].

Результаты настоящей работы анонсированы в [11].

ЛИТЕРАТУРА

1 Фомин В.И. Метод малых регулярных возмущений при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 12. С. 1712.

2^ Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1568-1569^

3^ Фомин В.И. Об уравнении Эйлера второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 483-488^

4^ Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М., 1988. С. 169.

5^ Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980. С. 211.

6^ Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М., 1995. С. 17.

!■ Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967. С. 22, 162.

8^ Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980. С. 123, 127, 265.

9^ Фомин В.И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 427-428^

10^ Фомин В.И. Малые стабилизирующие возмущения векторного уравнения Эйлера второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами и нулевым операторным дискриминантом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 2. С. 67-69^

11 Фомин В.И. О представлении решения векторного уравнения Эйлера второго порядка в терминах полугрупп // Понтрягинские чтения - XXI: материалы Воронеж. весенней математ. шк. Воронеж, 2010. С. 236-238^

Поступила в редакцию 16 февраля 2012 г

Fomin VI ON VECTOR EQUATION OF EULER OF SECOND ORDER WITH UNBOUNDED OPERATOR COEFFICIENTS

In the Banach space by the method of small stabilization perturbation we can find the solution of the equation of Euler of Second Order with Unbounded Operator Coefficients bounded in a generate point

Key words: Banach space; small stabilization perturbation; bounded solution; operator discriminate; degenerate point; semigroup; generator